2020-2021广州市中大附中高中必修二数学下期中模拟试卷(含答案)
2020-2021广州市中大附中高中必修二数学下期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．643．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥4．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．65．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．46．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤7．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π B ．12πC ．20πD ．24π8．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 9．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭10．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D--，则四面体ABCD的外接球的体积是（）A．12512πB．1259πC．1256πD．1253π11．已知实数,x y满足250x y++=，那么22x y+的最小值为（）A．5B．10C．25D．21012．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且//mβ，//nβB．α内不共线的三点到β的距离相等C．α，β都垂直于平面γD．m，n是两条异面直线，mα⊂，nβ⊂，且//mβ，//nα二、填空题13．已知在直角梯形ABCD中，AB AD⊥，CD AD⊥，224AB AD CD===，将直角梯形ABCD沿AC折叠，使平面BAC⊥平面DAC，则三棱锥D ABC-外接球的体积为__________．14．若过点(8,1)P的直线与双曲线2244x y-=相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________．15．已知,m n为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//mnm nαα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////mn m nαβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//mmααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//mm nnββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．16．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .17．已知棱长等于31111ABCD A B C D-，它的外接球的球心为O﹐点E是AB 的中点，则过点E的平面截球O的截面面积的最小值为________.18．已知点()1,0A-，()2,0B，直线l：50kx y k--=上存在点P，使得2229PA PB+=成立，则实数k的取值范围是______.19．三棱锥A BCD-中，E是AC的中点，F在AD上，且2AF FD=，若三棱锥A BEF-的体积是2，则四棱锥B ECDF-的体积为_______________．20．在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，AC BC⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题21．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭.（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）若3πθ=，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.22．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论； （2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值. 23．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .24．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.25．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则2OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.4．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.5．C解析：C【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得. 【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.8．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B9．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
高中数学必修二 期中模拟试题(二)(含答案)
2020-2021学年高一数学下学期期中模拟试题（二）一．选择题1．已知向量(2,3)OA =，(4,1)OB =-，P 是线段AB 的中点，则P 点的坐标是 A ．(2,4)- B ．(3,1) C ．(2,4)- D ．(6,2)【答案】B【解析】由线段的中点公式可得1()(32OP OA OB =+=，1)，故P 点的坐标是(3,1)，故选B ．2．若复数z 满足(1)(1)22z i i -+=-，则||z =A B C ．5 D【答案】D【解析】由(1)(1)22z i i -+=-，得22222(22)(1)22224121(1)(1)112i i i i i i iz i i i i -----+--=====-++-+， 12z i ∴=-，则||z = 故选D ．3．已知复数z 满足(12)|43|z i i +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 A ．2- B ．2i - C ．1 D ．i【答案】A【解析】由(12)|43|5z i i +=-， 得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， ∴复数z 的虚部为2-．故选A ． 4．复数3121iz i -=+的共轭复数的虚部为A ．12i -B ．12iC ．12-D ．12【答案】D 【解析】31212(12)(1)3111(1)(1)22i i i i z i i i i i ---+====-+--+， ∴3122z i =+， ∴复数3121i z i-=+的共轭复数的虚部为12， 故选D ．5．已知向量a ，b 满足||2||2b a ==，|2|2a b -=，则向量a ，b 的夹角为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ， 若||2||2b a ==，则||2b =，||1a =，若|2|2a b -=，则222(2)4488cos 4a b a a b b θ-=-⋅+=-=， 解可得1cos 2θ=， 又由0180θ︒︒，故60θ=︒， 故选C ．6．已知向量(1,2)a =-，(21,1)b m =-，且a b ⊥，则|2|a b -= A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】A【解析】向量(1,2)a =-，(21,1)b m =-，且a b ⊥， 可得(21)20m ---+=，解得32m =， 所以(2,1)b =，2(5,0)a b -=-， 所以|2|5a b -=． 故选A ．7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．m α⊂，n α⊂，//m β，////n βαβ⇒ B ．//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒C ．m α⊥，//m n n α⊥⇒D ．//m n ，n m αα⊥⇒⊥【答案】D【解析】m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A ，m α⊂，n α⊂，//m β，////n βαβ⇒，也可能相交，所以A 不正确； 对于B ，//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒也可能异面，所以B 不正确； 对于C ，m α⊥，//m n n α⊥⇒有可能n α⊂，所以C 不正确；对于D ，//m n ，n m αα⊥⇒⊥，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确． 故选D ．8．四面体A BCD -中，DC ⊥面ABC ，3AB BC ==，120ABC ∠=︒，8DC =，则四面体A BCD -外接球的表面积为 A ．100π B ．50π C ．25π D ．91π【答案】A【解析】设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -外接球的球心为O ，半径为R ， 连接1O C ，1OO ，OC ， 由正弦定理可得12sin BCO CBAC=∠，即1332sin30O C ==︒，1142OO DC ==，222211435R OC OC OO ==+=+=，即四面体A BCD -外接球的表面积为245100S ππ=⨯=， 故选A ． 二．多选题9．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论正确的是 A ．a 是单位向量 B ．//BC bC ．1a b =D ．(4)BC a b ⊥+【答案】ABD【解析】A ．||2AB =，∴由2AB a =得，||||12AB a ==，∴a 是单位向量，该选项正确； B ．22BC AC AB a b a b =-=+-=，∴//BC b ，该选项正确；.||2,||1C AC a ==，∴由2AC a b =+得，22244AC a a b b =++，即2444a b b =++，∴214b a b =-≠，该选项错误；D ．BC b =，由上面得，2(4)(4)40BC a b b a b a b b +=+=+=，∴(4)BC a b ⊥+，该选项正确．故选ABD ．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是A ．34AC = B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD ∆ 【答案】ACD【解析】因为cos b c A =，由正弦定理可得，sin sin cos sin()B C A A C ==+， 所以sin cos 0A C =， 因为sin 0A ≠，所以cos 0C =即12C π=，1cos8ACA AB==， 由角平分线定理可得，18AC CD AB BD ==，设AC x =，8AB x =，则BC =，CD =，Rt ACD ∆中，由勾股定理可得，22)1x x +=， 解可得34x =，即34AC =，6AB =，13624ABC S =⨯⨯=，所以89ABD ABC S S ∆==故选ACD ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则A ．CM 与PN 是异面直线B ．存在P 点使得//PN 平面11CCD D C ．平面PAN ⊥平面11BDD BD ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD【解析】对于A ，因为C ，N ，A 共线，又CN ，PM 交于点A ，即P ，M ，N ，C 共面，因此CM 与PN 共面，故选项A 不正确；对于B ，当P 为11A D 的中点时，//PN 平面11CC D D ，故选项B 正确； 对于C ，AN BD ⊥，1AN BB ⊥，1BDBB B =，BD ，1BB ⊂平面11BDD B ，AN ∴⊥平面11BDD B ，AN ⊂平面PAN ，∴平面PAN ⊥平面11BDD B ，故选项C 正确；对于D ，过P ，A ，C 三点的正方体的截面与11C D 相交于点Q ，则//AC PQ ，且PQ AC <，因此一定是等腰梯形，故选项D 正确．故选BCD ．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11A D 的中点，则( ) A ．1BD B C ⊥ B ．//EF 平面1DB B C ．1AC ⊥平面11B D CD ．过直线EF 且与直线1BD 2【答案】BC【解析】对于A ，11//B C A D ，1A DB ∴∠是BD 与1B C 所成角（或所成角）的补角， 11A D BD A B ==，160A DB ∴∠=︒，BD ∴与1B C 不垂直，故A 错误；对于B ，取AD 中点G ，连接FG ，EG ，则//EG BD ，1//FG BB ， EGFG G =，1BDBB B =，∴平面//EFG 平面1DB B ，EF ⊂平面EFG ，//EF ∴平面1DB B ，故B 正确；对于C ，1111AC B D ⊥，111AA B D ⊥，1111AC AA A =，11A C 、1AA ⊂平面11AA C ， 11B D ∴⊥平面11AA C ，1AC ⊂平面11AA C ，111AC B D ∴⊥，同理11AC B C ⊥， 1111B D B C B =，11B D 、1B C ⊂平面11B D C ，1AC ∴⊥平面11B D C ，故C 正确；对于D ，取11A B 中点H ，连接FH 、EH ， 则11//FH B D ，1//GF BB ， FHGF F =，1111B D BB B =，∴平面//EHFG 平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，EF ⊂平面EHFG ，∴过直线EF 且与直线1BD 平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG ，2GF =，1144222GE BD ==+=， ∴过直线EF 且与直线1BD 平行的平面截该正方体所得截面面积为22S =，故D 错误．故选：BC ．三．填空题13．已知i 虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的虚部为3-，则||z = ． 【答案】13【解析】221(1)(1)1(1)(1)111(1)(1)1222ai ai i ai i ai a a i a az i i i i i -----+----+=====-++--，复数1()1aiz a R i-=∈+的虚部为3-， 132a+∴-=-，解得5a =，23z i ∴=--，22||(2)(3)13z ∴-+-13．14．已知向量13(,2a =，若向量b 与a 反向，且||2b =，则向量b 的坐标是 ．【答案】(3)-【解析】因为：向量13(,2a =，||1a ∴=，向量b 与a 反向，且||2b =∴2(1,3)b a =-=-．故答案为：(-．15．已知向量(,3)a m =，(1,2)b =-，且()a b b +⊥，则m = ． 【答案】1【解析】根据题意，向量(,3)a m =，(1,2)b =-，则(1,1)a b m +=+． 因为()a b b +⊥，所以()120a b b m +⋅=+-=，解得1m =， 故答案为：1．16．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，BC 若球O 的表面积为20π，则这个三棱柱的体积为 ．【解析】设ABC ∆和△111A B C 的外心分别为1O 、2O ，连接12O O ，可得外接球的球心O 为12O O 的中点，连接OA 、OB 、OC 、1O A 、1O B 、1O C ，ABC ∆中，2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==-⋅， (0,)A π∈，23A π∴=， 根据正弦定理，得ABC ∆外接圆半径112sin BCO A A==球O 的表面积为20π，2420R ππ=，RRt △1O OA 中，12OO ，可得12124O O O O ==，直三棱柱111ABC A B C -的底面积12sin 23ABC S AB AC π∆=⋅，∴直三棱柱111ABC A B C -的体积为12ABC S O O ∆⨯=四．解答题17．已知复(,)z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数212(5)z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）323a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）3(42). 【解析】（1）由(,)z a bi a b R =+∈，得3(3)z i a b i +=++， ()(2)2222(2)(2)55z a bi a bi i a b a bi i i i i +++-+===+---+， 再由题意可得：302020b a b a b +=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩，解得323a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）由（1）得，332z i =-+，则22132(5)32(5)2z z m m i i m m i =++-=-+++-23(2)(2)2m m i =-+-，则2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，即324m << ∴实数m 的取值范围是3(42)．18．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位．（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若12z z z =，求z 的共轭复数z ．【答案】（1）1(3-，1)2；（2）1255z i =-+.【解析】（1）复数112z i =-，234z i =+，所以12(12)(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，所以实数a 的取值范围是1(3-，1)2；（2）化简122212(12)(34)51012343(4)2555z i i i i z i z i i -----=====--+-，z 的共轭复数1255z i =-+．19．（1）设1e ，2e 是正交单位向量，如果122OA e me =+，12OB ne e =-，125OC e e =-，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且2m n =．求m 、n 的值．（2）已知(2,3)OA =，(6,3)OB =-，点P 在线段BA 的延长线上，且3||||4AP PB =，求点P 坐标． 【答案】（1）112m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或105m n =⎧⎨=⎩；（2）(10,21)P -. 【解析】（1）以O 为原点，1e ，2e 的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则(2,)OA m =，(,1)OB n =-，(5,1)OC =-，∴(3,1)AC m =--，(5,0)BC n =-，又A ，B ，C 三点在一条直线上，∴//AC BC ，30(1)(5)0m n ∴⨯----=，与2m n =联立， 解得112m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或105m n =⎧⎨=⎩； （2）(2,3)OA =，(6,3)OB =-，(2,3)A ∴，(6,3)B -，设(,)P x y ，点P 在线段BA 的延长线上，且3||||4AP PB =， ∴34AP PB =-， 即(2x -，33)(6,3)4y x y -=----， ∴32(6)433(3)4x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得10x =-，21y =． (10,21)P ∴-．20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长等于2的菱形，120ADC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，O ，E 分别是1A C ，AB 的中点，AC 交DE 于点H ，点F 为HC 的中点（1）求证：//OF 平面1A ED ；（2）若OF 与平面ABCD 所成的角为60︒，求三棱锥1A ADE -的表面积．【答案】（1）答案见解析；（26315++【解析】（1）连接1A H ，由于点F 为HC 的中点，O 为1A C 的中点，所以1//OF A H ， 由于OF ⊂/平面1A ED ，1A H ⊂平面1A ED ，所以//OF 平面1A ED ．（2）连接BD ，由于四边形ABCD 为边长为2的菱形，120ADC ∠=︒． 所以ABD ∆为等边三角形．所以233AH =，3DE =，且DE AB ⊥， 由于OF 与平面ABCD 所成的角为60︒，且1//OF A H ，由于1AA ⊥平面ABCD ，则：160A HA ∠=︒，所以112,5AA A E ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以1AA DE ⊥．又DE AB ⊥，1AA AB A =，1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB ， 则：1A E DE ⊥，所以三棱锥1A ADE -的表面积为：11113631522123512222222++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=．21．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积2224b c a S +-=． （1）若6a ，2b =，求cos B ；（2）求sin()sin cos cos()A B B B B A +++-的最大值．【答案】（130；（2）52. 【解析】（1）2224b c a S +-=，可得12cos sin 24bc A bc A =， sin cos A A ∴=，可得tan 1A =，(0,)A π∈， 4A π∴=， 6a =，2b =， ∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得22sin 62sin 66b A B a ⨯===， 又a b >，B 为锐角，230cos 16B sin B ∴=-=． （2）4A π=，sin()sin cos cos()A B B B B A ∴+++-sin()sin cos cos()44B B B B ππ=+++- 2222sin cos sin cos cos sin 2222B B B B B B =++++ 2(sin cos )sin cos B B B B =++令sin cos t B B =+，则212sin t BcoB =+，∴原式2211132(2)2222t t t =+-=+-，(0t ∈，2]， ∴当2t =时，4B π=，此时，原式的最大值为52． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD ∆为等边三角形，平面PAD ⊥平面PCD ． （Ⅰ）证明：直线CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若2AB =，Q 为线段PB 的中点，求三棱锥Q PCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】（Ⅰ）证明：取PD 的中点，连接AO ，PAD ∆为等边三角形，AO PD ∴⊥，又AO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面PCD ，平面PAD ⋂平面PCD PD =，AO ∴⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AO CD ∴⊥， 底面ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥， AO AD A =，AO ，AD ⊂平面PAD ， CD ∴⊥平面PAD ； （Ⅱ）解：2AB =，由（Ⅰ）得AO ⊥平面PCD ， ∴点A 到平面PCD 的距离3d AO ==， 底面ABCD 为正方形，//AB CD ∴， 又AB ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， //AB ∴平面PCD ， A ∴，B 两点到平面PCD 的距离相等，均为d ， 又Q 为线段PB 的中点． ∴点Q 到平面PCD 的距离322d h ==， 由（Ⅰ）知，CD ⊥平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，CD PD ∴⊥， ∴111332233223Q PCD PCD V S h -=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=． 故三棱锥Q PCD -的体积为33．。
【常考题】高中必修二数学下期中试题附答案
7．D
解析：D 【解析】
设直线 l 的倾斜角为 θ∈[0,π).点 A(1,−2),B( 3 ,0). 3
直线 l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点 P(0,−1).
1 2
1 0
kPA
0 1
1, kPB 0
3
3.
3
∵点(1,−2)和( 3 ,0)在直线 l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧， 3
异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大， ∴当异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大时，
圆心到直线的距离 d | 2 2 | 2 2 2
所以圆上的点到直线的距离的最小值为 2 2 1.
故选 B. 【点睛】 本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函 数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】
【解析】 【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积． 【详解】 解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
M 是线段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ， 则：当 AM BC 时，线段PM 达到最小值， 由于： PA 平面 ABC ， 所以： PA2 AM 2 PM 2 ， 解得： AM 1， 所以： BM 3 ， 则： BAM 60 ， 由于： BAC 120 ， 所以： MAC 60 则： ABC 为等腰三角形． 所以： BC 2 3 ，
B．
3
,
2 3
C．
2 3
,
5 6
新高中必修二数学下期中模拟试卷及答案
AD与半圆相切时， ，解得 ，
，所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
取 的中点 ，连接 ，则 ,所以异面直线 与 所成角就是直线 与 所成角，在 中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
解：因为圆 ： ，即 ，
圆心 ，半径 ，
由题意，得 与 关于直线 对称，
则 解得 ， ，圆 的半径 ，
解得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.
15．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因
16．已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为__________.
17．已知直线 且与以A(-1,1)、B(2,2)为端点的线段相交，实数 的取值范围为___________.
18．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．
24．在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0），
OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当AB中点在直线 上时，求直线AB的方程.
25．如图，正方形 所在平面与平面四边形 所在平面互相垂直， 是等腰直角三角形， ， ， ．
2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷
2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷一、单项选择题1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，3)，若a∥b，则m等于()A.3B.－3C.4答案：B解析：由题意得1×3－m×(－1)＝0，∴m＝－3.2.已知i为虚数单位，z＝(1+i)/(1-i)，则复数z的虚部为()A.－2iB.2iC.2D.－2答案：D解析：z＝(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+i)×(1+i)/(1+1)＝(1+2i+i²)/2＝(2i-1)/2＝-1/2+i，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则BE·EA等于()A.－2B.－1C.1D.2答案：B解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，BE＝(－2,1)，EA＝(0，－1)，BE·EA＝－1.4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数(1+i)/(1-i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由题意可得(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+2i+i²)/(1+1)＝(2i)/(2)＝i，故其共轭复数为－i，对应的点位于第四象限.5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设AB＝a，AD＝b，则BF等于()A.－a＋b/4B.a－b/4XXXD.a＋b/3答案：B解析：如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF＝AF－AB＝AE－AB＝(1/2)AD－AB＝(1/2)(b－a)－a＝(b－3a)/4.6.在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|BC|的最小值是()A.2B.4C.√3D.12答案：C解析：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝－(1/2)|AB||AC|，故|AB||AC|＝4，|BC|＝|AC－AB|≥|AB|－|AC|＝√3，当且仅当∠ABC＝60°时取等，故|BC|的最小值是√3.9.在三角形ABC中，如果sin2A+sin2B<sin2C，那么三角形ABC不可能是哪种形状？A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案：C解析：根据正弦定理，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中a、b、c为三角形的三边，R为三角形外接圆的半径。
新高中必修二数学下期中模拟试卷附答案
新高中必修二数学下期中模拟试卷附答案一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732B ．10863+C ．1663+D ．3221663+ 3．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．64．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．226．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a8．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32C ．4πD ．3410．已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．83312．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.14．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.15．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．16．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．17．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.18．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．19．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）． （1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．22．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．24．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.25．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30，试求三棱锥M ANC -的体积.26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-；（1）求直线AB 方程的一般式；（2）证明△ABC 为直角三角形；（3）求△ABC 外接圆方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =. 设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =，所以222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+=+，所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为()1132216644264232+⨯⨯⨯⨯+=. 故选：D.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 3．B解析：B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.4．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m,故32m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.6．C解析：C【解析】【分析】 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．7．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．8．C解析：C【解析】【分析】（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立.【详解】（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC AB ⊥，又平面ABE 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则AC =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，DE ⊄平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT . G 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .DE AB D =，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行.因此，可能正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题. 9．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径3DE = 2343S ππ==【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.10．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.11．B解析：B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B. 12．D解析：D【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则1353()4()+01111c ⋅-+⋅=所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.14．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC ∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答 解析：323π【解析】【分析】取正ABC 的外心为M ，过M 作平面ABC 的垂线，在上取点O ，使得12OM AD =，即得O 是三棱锥A BCD -外接球球心，求出球半径可得体积．【详解】如图，M 是ABC ∆外心，AM 延长线与BC 交于点E ，E 是BC 中点，过M 作MO ⊥平面ABC ，取12OM AD =， ∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，23333AM =⨯⨯=，3OM =，∴22223(3)23OA OM AM =+=+=， 所以2344()(23)32333V OA πππ==⨯=． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．15．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直 解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．16．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A＝120°AB＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60 解析：3 【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O ．在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1．过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求．由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°．在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝32．17．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ＝2，由此能求出该球的表面积． 【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π． 故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题． 18．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围 解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 19．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：23【解析】【分析】作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.【详解】设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.20．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34m =-，5 【解析】【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可.【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1. （2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短， 211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.23．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.24．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.【详解】(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH3，∴NG3又S△ABC＝12·BC·AH＝12×2×22312，∴V E－ABC＝13·S△ABC·NG6.【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.25．（1）证明见解析（2）463【解析】【分析】 （1）先证明AM ⊥平面11BB C C ，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果.【详解】（1）证明：如图，由直三棱柱111ABC A B C -知1AM BB ⊥，又M 为BC 的中点知AM BC ⊥，又1BB BC B =，所以AM ⊥面11B BCC ，又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面11B BCC .（2）如图：设AB 的中点为D ，连接1A D ，CD .因为ABC 是正三角形，所以CD AB ⊥.由直三棱柱111ABC A B C -知1CD AA ⊥.所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角.即130CA D ∠=︒， 所以1322443A C CD ===，所以16A D =， 在1Rt AA D △中， 221136442AA A D AD =-=-=111422222AA NC =⨯== 三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积，所以2113146422332AMC S V NC ⎫⋅=⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭=△. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题.26．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】【详解】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43k -==； BC 5231--34k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |2， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2020-2021广州市高中必修二数学下期中试题含答案
2020-2021广州市高中必修二数学下期中试题含答案一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．2732B ．10863+ C ．1663+ D ．3221663+2．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．83．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥ 4．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．326．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b7．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．2108．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2B ．13C ．1∶5D ．3∶29．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 833 11．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________．15．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________ 16．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.19．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC的边BC 所在直线的方程.22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD . 24．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 截得弦长为2. （1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程； (2) DC 边所在直线的方程．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）求证：1AN A B ⊥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+=所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1144323⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．2．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.3．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 画出截面图形如图 显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形； 故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．5．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.7．A解析：A 【解析】由题意知，22x y +表示点(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+，所以22x y +的距离的最小值为5，故选A.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．10．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.11．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.12．B解析：B【解析】试题分析：①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：33【解析】【分析】棱11111,,A A AB A D与平面11AB D所成的角相等，所以平面11AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sinθ.【详解】因为棱11111,,A A AB A D与平面11AB D所成的角相等，所以平面11AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AOθ∠=，设棱长为：1，126,22AO AO==，易知232sin36θ==.3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.15．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】 【分析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ==所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】 【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为22447.S R πππ==⨯= 故答案为：7π． 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．17．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 24x =-+.故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===⋅， 所以30BPD ∠=o .过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅o ， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 303)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==-故231x t =-此时，221(31)[23(31)]t t V -----=21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=.（2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 18．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,2AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 19．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P 在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．易求得P(2,4)．20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=. 【解析】 【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程；（2）根据题意，设()33,B t t +，则342,22t t M ++⎛⎫⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17BC k =-，即可得到BC 的直线方程.【详解】（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即两直线的交点()0,1P -，所以，直线AP 的斜率21310k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-. （2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在直线2l 上， 即3421022t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --， 所以22131AB k --==--， 直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BC AB BC AB k k k k k k k k --=++， 即11133111133BC BC k k --=++，解得17BC k =-， 所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=-+，化简得7170x y ++=.【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题. 22．（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD . 【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =， 所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为35PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. 又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD . 又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BODO=， 又因为2BM CM =，因此BO BMDO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以//OM 平面PCD . 【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离： 111222d +-==， 则2222111222r d ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离： 212311k k d k --+==+解得： 43k =，即34k =则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+= 25．（1）320x y ++=；（2）320x y -+= 【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程； （2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的距离得出2210510m +=，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD， 又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0， 所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3， 而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0. (2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC， 所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0. 由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等 所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．26．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥. 【详解】解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P Q 分别是,AC AB 的中点，//PM BC ∴，且12PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N Q 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ，∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴， 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A .（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =I ， ∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，又Q 侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ， 又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.。
广东高二高中数学期中考试带答案解析
广东高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数等于A．1+I B． 1-i C． -1+i D．-1-i2.若复数的最小值和最大值分别为A．1和11B．0和11C．5和6D．0和13.已知平面向量，则向量A．B．C．D．4.下列命题中的假命题是....5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．B．C．D．6.已知等于A．0B．4C．8D．167.设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横坐标的取值范围是A．B．C．D．8.的三内角的对边边长分别为，若，则A．B．C．D．9.由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是A．36B．32C．28D．2410.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为A．B．C．D．二、填空题1.过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________；2.计算：___________(用数字作答)；3.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为____________;4.对于非零实数，以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则．那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是．三、解答题1.已知向量，，，且为锐角。
(1)求角的大小；(2)求函数的值域。
2.已知复数（1）设集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数（2）设所表示的平面区域内的概率。
3.如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.(1)证明：；（2）求二面角A——B的正切值。
4.设的垂直平分线。
（1）当且仅当?（2）当直线的斜率为2时，求轴上截距的取值范围。
5.已知函数，数列满足(1)用数学归纳法证明：；（2）证明：6.已知函数.（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围。
2020-2021广州市中大附中高中必修三数学上期中模拟试卷(含答案)
2020-2021广州市中大附中高中必修三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?5．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,156．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．67．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④8．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”9．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．9612511．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦12．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 14．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．15．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．16．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________． 17．以下说法正确的是_____________ .①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.18．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END19．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21． 2.5PM 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 2.5PM 值的一组数据：2.5PM 的值y90 70 50 40 30 20 “绿色出行”的人数x （单位：万人） 124689（1）已知“绿色出行”的人数x 和 2.5PM 值y 有线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）（2）若某日“绿色出行”的人数为10万人，请预测该市 2.5PM 的值.（计算结果保留一位小数）参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bxxnx ==-⋅==--∑∑ 22．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题： （1）79.589.5:这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?23．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率； (2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．24．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 25．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+$$$，1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y n x yb x x x n x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y bx =-⋅$(计算$a b$，时精确到0.01). 26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．C解析：C【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.4．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.5．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 6．B解析：B模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．9．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()0,y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆y =(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题13．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）解析：2 5【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2.5故答案为25. 14．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.15．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为63AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．17．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．18．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6 【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去） 当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去） 即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．19．20【解析】试题分析：根据频率分布直方图得视力在09以上的频率为（100+075+025）×02=04∴该班学生中能报A 专业的人数为50×04=20考点：频率分布直方图解析：20 【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A 专业的人数为50×0.4=20. 考点：频率分布直方图.20．-029【解析】所以残差是解析：-0.29【解析】0.8516082.71ˆ53.29y=⨯-= ,所以残差是5353.290.29.-=- 三、解答题21．（1）^7.8889.42y x =-+；（2）10.6 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出,x y ，利用参考公式，求出^b 和^a ，即可得出y 关于x 的回归方程；（2）根据回归方程，可预测出当10x =时，该市 2.5PM 的值. 【详解】 解：（1）1246899070504030205,5066x y ++++++++++====，^222222219027045064083092065504107.881246896552b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==-≈-+++++-⨯， ^41050()589.4252a =--⨯≈ ， 所以线性回归方程为^7.8889.42y x =-+， （2）当10x =时，代入^7.8889.42y x =-+，^7.881089.4210.6y =-⨯+≈，所以某日“绿色出行”的人数为10万人时，该市 2.5PM 的估计值为10.6 . 【点睛】本题考查线性回归方程以及由线性回归方程估计其他值. 22．(1)见解析;(2)0.75;70.5. 【解析】 【分析】 【详解】（1）利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，而频数=频率⨯组距，可得结论，频率为：0.025⨯10=0.25，频数为：0.25⨯60=15. (2)纵坐标与组距的乘积是相应的频率，再求和，即可得到结论，（1）及格率为：0.015⨯10+0.03⨯10+0.025⨯10+0.005⨯10=0.15+0.3+0.25+0.05=0.75 (2)平均数为：44.5⨯0.01⨯10+54.5⨯0.015⨯10+64.5⨯0.015⨯10+74.5⨯0.03⨯10+84.5⨯0.025⨯10+94.5⨯0.005⨯10=4.45+8.175+9.675+22.35+21.125+4.75=70.523．(1) 16(2)2572P=【解析】【分析】（1）直接由几何概型中的长度型概率计算公式求解．（2）设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y，由已知列不等式组，利用几何概型中的面积型概率计算公式求解．【详解】解：（1）因为电台每隔1小时报时一次，甲在[)0,60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件.设事件A为“甲等待的时间不多于10分钟”，则事件A恰好是打开收音机的时刻位于[)50,60时间段内，因此由几何概型的概率公式得()60501606P A-==，所以“甲等待的时间不多于10分钟“的概率为16.（2）因为甲、乙两人起床的时间是任意的，所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型.设甲需要等待的时间为x，乙需要等待的时间为y（10分钟为一个长度单位）.则由已知可得，对应的基本事件空间为()06,06xx yy⎧⎫≤<⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤<⎩⎪⎪⎩⎭.甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为()06,061xM x y yx y⎧⎫≤<⎧⎪⎪⎪=≤<⎨⎨⎬⎪⎪⎪->⎩⎩⎭.在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示.显然Ω表示一个边长为6的正方形OQRS 的内部及线段OQ ，OS ，其面积21636S ==.M 表示的是腰长为5的等腰直角三角形QDE 的内部及线段DQ ，其面积22125522S =⨯=，故所求事件的概率为252523672P ==. 【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查转化能力，属于中档题． 24．（1）11,24m n == ； （2）16.【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，已知三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，利用相关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题()()1132413111134mn m n m n⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为i X ， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ， 则()4121123412P X =⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 25．（1）14；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P == (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y bx x==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分 【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.26．（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）分边抽取2,3,1人；（3）15. 【解析】 【分析】（1）根据数据表和频率分布直方图可计算得到第4组的人数和频率，从而可得总人数；根据总数、频率和频数的关系，可分别计算得到所求结果；（2）首先确定第2,3,4组的总人数，根据分层抽样原则计算即可得到结果；（3）首先计算得到基本事件总数；再计算出恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）第4组的人数为：9250.36=人，第4组的频率为：0.025100.25⨯＝ 251000.25n ∴== Q 第一组的频率为0.010100.1⨯= ∴第一组的人数为：0.110010⨯=100.55a ∴=⨯=Q 第二组的频率为0.020100.2⨯= ∴第二组的人数为：0.210020⨯=180.920x ∴== Q 第三组的频率为0.030100.3⨯= ∴第三组的人数为：0.310030⨯=300.927b ∴=⨯=Q 第五组的频率为0.015100.15⨯= ∴第五组的人数为：0.1510015⨯=30.215y ∴== （2）第2,3,4组的总人数为：1827954++=人∴第2组抽取的人数为：186254⨯=人；第3组抽取的人数为：276354⨯=人；第4组抽取的人数为：96154⨯=人 （3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，基本事件总数为：2615n C ==所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数为：233m C == ∴所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率：31155m p n === 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算总数、频数和频率、分层抽样基本方法的应用、古典概型计算概率问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识，能够通过频率分布直方图准确计算出各组数据对应的频率.。
2021-2022学年广东省广州市高二年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年广东省广州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知函数的导函数为，且，则（ ）()f x ()f x '()15f '=()()121limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．B ．C ．D ．252510【答案】D【分析】根据导数的定义式直接求解.【详解】因为，()15f '=所以，()()()()()012121102121lim2limx x f x f f xf x f x∆→∆→+∆-=-'=∆+∆=∆故选：D.2．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）()y f x =A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【答案】C【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，()2f '1l10k >表示切线斜率，()3f '3l 30k >又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，(3)(2)(3)(2)32f f f f -=--2l 2k 结合图象，可得，即.3210k k k <<<()()()()03322f f f f <<-<''故选：C.3．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学N M n 期望值是（ ）A ．B ．C ．D ．M n N⋅N M nN -()1Mn N-⋅()1N M n N--⋅【答案】B【分析】根据题意，抽到正品数服从超几何分布，结合超几何分布的期望公式，即X 可求解.【详解】由题意，有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，N M n 则抽到正品数服从超几何分布，X 所以抽到的正品数的数学期望值是.()N MD X n N -=⋅故选：B.4．某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分服从正态分布ξ，若，则总分高于530分的考生人数为（ ）()2480,N σ(430530)0.78P ξ≤≤=A ．2400B ．3520C ．8520D ．12480【答案】B【分析】根据正态分布曲线的对称性，得到，即可11(530)(430530)22P P ξξ>=-≤≤求解.【详解】由题意，总分服从正态分布，且，ξ()2480,N σ(430530)0.78P ξ≤≤=根据正态分布曲线的对称性，可得，10.78(530)0.112P ξ->==所以总分高于530分的考生人数为.320000.113520⨯=故选：B.5．己知的展开式中含的项的系数为（ ）()242(12)x x -+3x A ．56B ．60C ．68D ．72【答案】A【分析】将二项式前一项展开并乘入后面的多项式，根据展开式的通项，分()412x +别求得各项中的系数，相加即可.3x 【详解】因为，()()()()4442221221212-+=+-+x x x x x 其中展开式的通项，()412x +()14422rr rr rr T C x C x +=⋅=⋅⋅所以的系数为：.3x 4133422256⋅-⋅=C C 故选：A.6．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不.同的涂色方法种数为（ ）A ．64B ．72C ．84D ．96【答案】C【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，A 、C 不同色；A 、C 同色两大类，由此可得答案．【详解】由题意知，分两种情况：(1)、C 不同色注意：B 、D 可同色、也可不同色，D 只要不与A 、C 同色，A (所以D 可以从剩余的2种颜色中任意取一色：有种；)432248⨯⨯⨯=(2)、C 同色注意：B 、D 可同色、也可不同色，D 只要不与A 、C 同色，A (所以D 可以从剩余的3种颜色中任意取一色：有种．)431336⨯⨯⨯=共有种，483684+=故选：C ．7．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明.该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器､碑碣､钱币､陶器､玉石器､甲骨､竹木､纸质､瓷器共九类.小明去中国文字博物馆参观，并任意选取了三类重要藏品重点参观，则小明在碑碣､甲骨､瓷器三类中至少参观了一类的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6716215723【答案】B【分析】9类藏品中选取3类藏品共有种不同情况，利用间接法可得在碑碣､甲3984C =骨､瓷器三类中至少参观了一类有种不同情况，由古典概型的概3396842064C C -=-=率计算公式即可求解.【详解】解：9类藏品中选取3类藏品共有种不同情况，3984C =碑碣､甲骨､瓷器三类都不选有种不同情况，3620C =则所求概率为.8420168421P -==故选：B.8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，R ()y f x =()y f x '=0x ≠，若，，，则()()0f x f x x'+>()1a f =3311log log 99b f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．B ．a c b <<b c a <<C ．D ．a b c <<c a b<<【答案】D 【分析】根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性()()0f x f x x '+>()()g x xf x =()g x 比较大小．【详解】解：令函数，则，因为定义域为的()()g x xf x =()()()g x f x xf x +''=R 是奇函数，所以函数为偶函数；()y f x =()g x 当时，因为，所以，即，所以0x >()()()()f x xf x f x f x xx '+'+=>()()0xf x f x '+>()0g x '>在上为单调递增，()g x (0,)+∞，，()()11a f g ==()()333111log log log 22999b f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为，所以()()111ln ln ln ln2ln2222c f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0ln1ln2ln e 1=<<=，ln 212<<根据在上单调递增，所以．即．()g x (0,)+∞()()()ln 212g g g <<c a b <<故选：D ．二、多选题9．设函数的导函数为，则（ ）()3213f x x x x =-+()f x 'A ．B ．是函数的极值点()10f '=1x =()f x C ．存在两个零点D ．在(1，+∞)上单调递增()f x ()f x 【答案】AD【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.【详解】，所以函数在上单调递增，所以函数不()()222110f x x x x '=-+=-≥()f x R 存在极值点，故B 错误，D 正确；，故A 正确；()10f '=，得，中，，()32103f x x x x =-+=()2330x x x -+=2330x x -+=9120∆=-<所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C 错误.2330x x -+>0x =故选：AD10．关于的说法正确的是（ ）11()a b -A ．展开式中的二项式系数之和为2048B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中仅第7项的二项式系数最大【答案】AC【分析】根据二项式系数的性质即可判断选项A ，由为奇数可知，展开式中二项式n 系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BCD.【详解】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；()11a b -1122048=A 由题可知的展开式的通项公式为，()11a b -()11111kk kk T C a b -+=-因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系11n =12数相等且最大，所以不正确，正确.B D ，C 故选：AC.11．下列说法正确的是 （ ）A ．设随机变量X 服从二项分布，则16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()5316P X ==B ．已知随机变量X 服从正态分布，且，则()22,N σ()40.9P X <=()020.4P X <<=C ．；()()2323E X E X +=+()()2323D X D X +=+D ．已知随机变量满足，若，则随着的ξ()(),101P x P xξξ====-102x <<()D ξx 增大而减小【答案】AB【分析】结合正态分布的对称性和数学期望与方差计算公式和运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由随机变量X 服从二项分布，16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，所以A 正确；()33361153=()(1)2216P X C =-=对于B 中，由随机变量X 服从正态分布，且，可得()22,N σ()40.9P X <=，()40.1P X ≥=根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B 正确；()102[12(4)]0.42P X P X <<=-≥=对于C 中，根据期望和方差的性质，可得，()()2323E X E X +=+，所以C 不正确；()()2232D X D X +=⋅对于D 中，由随机变量满足，ξ()(),101P x P xξξ====-可得，()()21,E x D x x ξξ=-=-根据一次函数与二次函数的性质可知：当时，随的增大而增大，102x <<()D ξx 所以D 不正确.故选：AB.12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红12A A ，3A 球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球B 的事件，则（ ）A ．()922P B =B ．()15|11P B A =C ．事件与事件相互独立B 1A D ．是两两互斥的事件123A A A ，，【答案】ABD【分析】根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得1A 2A 3A ，然后由条件概率求得，()()()123,,P A P A P A 1()P B A ，再逐项判断.123()()()()P B P BA P BA P BA =++【详解】解：因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D 正确；1A 2A 3A 因为，()()()123523,,101010P A P A P A ===所以，故B 正确；11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===同理，3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======所以，故A 正确；1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=由于，故事件与事件不相互独立，故C 错()()115559()10111022P BA P B P A =⨯≠⨯=B 1A 误.故选：ABD 三、填空题13．曲线在处的切线方程是______________．24ln y x x =+1x =【答案】650x y --=【分析】先求出切点坐标，利用导数求出切线的斜率，写出切线的方程.【详解】，当时，所以切点坐标为，42y x x '=+1x =1y =(1,1)，所以切线斜率为6，所以切线方程为，即．16x y ='=16(1)y x -=-650x y --=故答案为：650x y --=14．将4名实习老师分配到3个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是__________.(用数字作答)【答案】36【分析】先将4名实习教师分成3组，再将三组实习教师分配到三个不同的班级，按分步乘法计数原理即可求出总的分配方法数．【详解】先将4名实习教师分成3组，共＝6种分组方法，24C 再将三组实习教师分配到三个不同的班级，共种分配方法，33A =6∴总共有6×6＝36种分配方法．故答案为：36．15．设，，且展开式中各项的系数和为，则的最小值为0a >0b >52b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3214a b +___________.【答案】924.5【分析】利用已知条件可得出，再将与相乘，展开后利用基本2a b +=14a b +()12a b +不等式可求得的最小值.14a b +【详解】因为，，则，所以，展开式中各项的系数和为0a >0b >0a b +>52b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()532a b +=所以，，则，2a b +=()141141419552222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当时，等号成立，故的最小值为.2b a =14a b +92故答案为：.9216．如图，正方形纸片的边长为，在纸片上作正方形，剪去阴影部ABCD 5cm EFGH 分，再分别沿的四边将剩余部分折起．若、、、四点恰好能重合于点EFGH A B C D ，得到正四棱锥，则体积的最大值为______．P P EFGH -P EFGH -3cm【分析】设正方形的边长为，分析可得EFGH 2x 0x <<的体积关于的函数关系式，结合导数法可求得正四棱锥体积的P EFGH -x P EFGH -最大值.【详解】设正方形的中心为点，则点也为正方形的中心，ABCD O O EFGH 连接，连接分别交、于点、，易知、分别为、的中HF AC EH FG M N M N EH FG点，设正方形的边长为，为的中点，则，EFGH 2x OAC 12AO AC ==、分别为、的中点，则，则，O M HF HE 12OM EF x==AM AO OM x =-=由题意可得，可得，0x x x >⎪>⎩0x <<如下图所示，在正四棱锥中，平面，平面，P EFGH -PO ⊥EFGH OM ⊂EFGH ，PO OM ∴⊥因为，，则PM x=OM x =PO ==211433P EFGH EFGH V PO Sx -∴=⋅==正方形令，其中，则，()45252f x x=-0x <<()()34350252f x x x '=-=列表如下：()f x '+-()f x 增极大值减所以，，()max 10f x f==因此，.P EFGH -3.四、解答题17．在中，角所对的对边分別为，且，ABC A B C ､､a b c ､､3cos cos b A a B b c +=+(1)求A ；(2)若，求的面积.114,cos 7a B ==ABC 【答案】(1).3A π=(2)ΔABC S =【分析】(1) 边角转换，再利用三角恒等变换可求得角；A (2) 利用正弦定理求得边长，再利用三角形内角关系求得.b sin C 【详解】(1)将条件中的边转换为角度的正弦值3sin cos sin cos sin sin B A A B B C+=+sin sin()B A B =++sin sin cos cos sin B A B A B=++∴ 2sin cos sin B A B =∴1cos 2A =又∵ (0,)A π∈∴ 3A π=(2)由得，又，1cos 7B =sin B =sin sin a bA B =16b =sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=Δ11sin 141622ABC S ab C ==⋅⋅=所以的面积为ABC 18．已知等差数列各项均为正数，公差，若分别从下表第一、二、三行中各{}n a 3d <取一个数，依次作为，，，且，，中任何两个数都不在同一列.3a 4a 5a 3a 4a 5a 第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行11129(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，数列的前项和为，求证：.()()1813n n n b a a +=+⋅+{}n b n nT32n T <【答案】(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.n b n T 【详解】(1)由题意可知，数列为递增数列，{}n a 又公差，所以， ，，则可求出，3d <35a =47a =59a =1a 1,d 2==.21n a n ∴=-(2)，()()()182111322n n n b a a n n n n +===-+⋅+++，1111111111113243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111212n n =+--++311212n n =--++.32n T ∴<19．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，ABCD ABMN //AN BM ，，2AB AN ==4BM =CN =(1)证明：平面；AN ⊥ABCD (2)在线段上是否存在一点，使得平面，平面CM E EBN BNM 若存在求出的值，若不存在，请说明理由.CEEM 【答案】(1)证明见解析；(2)12【分析】（1）证得和，结合线面垂直的判定定理即可得出结论；BC AN ⊥AB AN ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.【详解】(1)，，2AB AN ==4BM =CN =四边形是梯形，四边形是正方形，ABMN ABCD 故，，BC AB ⊥2BC =又平面平面，且平面平面，ABCD ⊥ABMN ABCD ABMN AB =平面，且平面，，BC ∴⊥ABMN AN ⊂ABMN BC AN ∴⊥，222BC BN CN +=BN =，，AB AN ∴⊥BC AB B ∴⋂=平面,AN ∴⊥ABCD (2)如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，B ,,BA BM BC ,,x y z 则，，，(2,2,0)N (0,4,0)M (0,0,2)C 设，则，CEtCM =(0,4,22)E t t -，，(2,2,0)BN = (0,4,22)BE t t =-设平面的一个法向量为，EBN 1(,,)n x y z = 故平面的一个法向量为，2204(22)0x y ty t z +=⎧⎨+-=⎩EBN 1(1,1,2)n t t t =-- 易得平面的一个法向量为BNM 2(0,0,1)n =由题意得1212||||||n nn n⋅=，解得23210t t+-=13t=故，13CECM=12CEEM=20．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费90120x<≤者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率. (1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；100x=(2)在（1）的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；()E X(3)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？()E Y【答案】(1)0.9(2)分布列见详解，() 3.6E X=(3)当该纪念品的销售价格定为110元时，达到最大值．()E Y21M【分析】（1）由调查表直接可得；（2）由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；（3）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．100,110,120x =()E Y 【详解】(1)时，消费者购买该纪念品的概率100x =900.9100P ==(2)由题意，，，(4,0.9)X B 44()0.9(10.9)i i iP X i C -==-0,1,2,3,4i =，同理，，，41(0)0.110000P X ===9(1)2500P X ==243(2)5000P X ==729(3)2500P X ==，6561(4)10000P X ==的分布列为：X X01234P1100009250024350007292500656110000.()40.9 3.6E X =⨯=(3)由（2）知时，（时等号成立），90100x <≤90()(80)18100E Y M x M =⨯⨯-≤100x =时，（时等号成立），100110x <≤70()(80)21100E Y M x M=⨯⨯-≤110x =时，（时等号成立），110120x <≤20()(80)8100E Y M x M=⨯⨯-≤120x =，因此最大，此时．0M >()E Y =21M 110x =所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y 的数学期望达到最大值．()E Y 21M21．已知定点，圆:，为圆上的动点，线段的垂)PQ (2216x y+=N Q NP 直平分线和半径相交于点．NQ M (1)求点的轨迹的方程；M Γ(2)直线:与曲线相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点l x ky n =+ΓC （2，0），求面积的最大值.ABC 【答案】(1)2214x y +=(2)1625【分析】（1）利用定义法求轨迹方程；（2）用“设而不求法”表示出整理化简可得，解得:0CA CB ⋅= ()()5620n n --=，或，由直线不过点，得到，判断出直线恒过点65n =2n =x ky n =+()2,0C 65n =l .表示出，设，利用单调性求出6,05⎛⎫⎪⎝⎭ABCS=211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭最大值，即可得到的面积的最大值.ABC 【详解】(1)因为为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点，N Q NP NQ M 所以由线段垂直平分线的性质可得：，所以MP MN=4MQ MP MQ MN PQ +=+=>=故点M 的轨迹是以P 、Q 为焦点的椭圆.其中a =2，c =∴，222431b a c =-=-=故点M 的轨迹的方程为．Γ2214x y +=(2)由题意，设，，()11,A x y ()22,B x y 联立，整理可得:，2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224240k y kny n +++-=所以，()()22222244441616640k n k n k n ∆=-+-=-+>，12224kny y k +=-+212244n y y k -=+因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以.AB ()2,0C 0CA CB ⋅=由，，()112,CA x y =-()222,CB x y =-则.()()1212220x x y y --+=将，11x ky n =+22x ky n=+代入上式并整理得()()()()2212121220k y yk n y y n ++-++-=则()()()()22222214222044k nk n n n k k +---++-=++化简可得，解得:，或，()()5620n n --=65n =2n =因为直线不过点，x ky n =+()2,0C所以，故，所以直线恒过点.2n ≠65n =l 6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭故1212ABC S DC y y =-△16225⎛=- ⎝==设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭则上单调递增，ABC S =10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当时，，14t =1625ABC S ==所以的面积的最大值为ABC 1625【点睛】（1）待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求法 ”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.22．已知函数.1()ln f x x a x x =-+(1)讨论的单调性；()f x (2)若函数有两个极值点、且，求证：.1x 2x 12x x <2222ln a x x <-【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而a 确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得()f x 2a >()0f x '=到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，12,x x 210x ax -+=构造新函数证得结果.【详解】(1)解： 的定义域为，.()f x ()0,∞+()222111a x ax f x x x x -+'=--+=-设，2()1g x x ax =-+当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数，0a ()0>g x ()0f x '<()f x (0,)+∞当时，判别式，0a >24a ∆=-①当时，，即，即恒成立，当且仅当，时02a < 0∆ ()0g x ()0f x ' 2a =1x =，此时函数在上是减函数，()0f x '=()f x (0,)+∞②若，令得，2a >()0g x =x x ，，的变化如下表：x ()'f x ()f x综上当时，在上单调递减，2a ()f x (0,)+∞当时，在和，上单调递减，2a >)∞+在上单调递增．(2)解：由（1）知，存在两个极值点当且仅当.()f x 2a >由于的两个极值点满足，因为，则，()f x 12,x x 210x ax -+=12x x <1201x x <<<，，则121=x x 12x x a +=211x x =要证，即，2222ln a x x <-1222222221112ln 2l l n 2l ln nln n x x x x x x x x x x x +----+==<-即证，1212ln ln x x x x ->-则，111111ln ln x x x x ->-即，11111ln ln x x x x +>-即证在上恒成立，11112ln x x x >-(0,1)设，，其中，1()2ln h x x x x =-+(01)x <<()10h =所以，则在上单调递减，222222121(1)()10x x x h x x x x x -+-'=--=-=-<()h x (0,1)，即，()()10h x h ∴>=12ln 0x x x -+>故，，则成立．12ln x x x >-()0,1x ∈2222ln a x x <-。
广东省广州二高2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷
广东省广州二高2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）1. ( 5分) 设集合，集合，则（）．A. B. C. D.2. ( 5分) 已知正方形ABCD的边长为2，为的中点，则（）．A. -2B. -4C. 4D. 23. ( 5分) 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，复平面内对应的点在（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. ( 5分) 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（）．A.B.C.D.5. ( 2分) 在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（）A. 1B.C. 3D. 76. ( 5分) 若，则（）．A. 0B. 35C. 70D. -707. ( 5分) 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）．A. B. C. D.8. ( 5分) 已知函数有两个极值点、，则的最大值为（）．A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9. ( 5分) 已知空间中不同直线、和不同平面、，下列命题中是真命题的是（）．A. 若、互为异面直线，，，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则10. ( 5分) 已知向量，，则下列命题正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若取得最大值时，则D. 的最大值为11. ( 2分) 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（）A. B. C. D.12. ( 5分) 如图，在正方体中，点为的中点，点为上的动点，给出下列说法，其电正确的有（）．A. 可能与平面平行B. 与所成的最大角为C. 与一定垂直D. 与所成的最大角的正切值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13. ( 5分) 设复数满足，复数的共轭复数记为，则________．14. ( 5分) 设，则的最小值为________.15. ( 5分) 已知数列的前项和，则数列的前10项和为________．16. ( 5分) 已知双曲线的左焦点为，为双曲线上一点，与双曲线的渐近线平行，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）17. ( 10分) 某市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗．这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图）．（1）试估计这批树苗高度的众数，中位数；（2）现按分层抽样方法．从高度在的树苗中任取6株树苗．从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在的概率．18. ( 12分) 已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个．①函数f（x）的最大值是2；②函数f（x）的图象可由函数左右平移得到；③函数f（x）的对称中心与f（x）的对称轴之间的最短距离是．（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；（2）已知的内角A、B、C所对的边分别为、、，满足，点为的中点，且，求的值．19. ( 12分) 已知正项数列满足，，等比数列满足：，．（1）证明数列是等差数列，并求数列，的通项公式；（2）设，求．20. ( 12分) 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．21. ( 12分) 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为、，右焦点为，为椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点．22. ( 12分) 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．答案解析部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：由1≤2x≤8得0≤x≤3，则B={x|0≤x≤3}，则A∩B={0,1,2}.故答案选：B【分析】由解指数不等式求得B，再根据交集的定义直接求A∩B即可.2.【答案】B【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意知，以B为原点，BC，BA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0,1），E（1,0），C（2,0），D（2,2），则,则.故答案选：B【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，再向量数量积的坐标表示直接求解即可.3.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义，三角函数值的符号【解析】【解答】解：由题意得e4i=cos4+isin4，表示的点为（cos4，sin4），因为4是第三象限角，所以cos4<0，sin4<0，所以点（cos4，sin4）在第三象限.故答案为：C.【分析】根据欧拉公式，结合象限角的符号规律直接判断即可.4.【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式，组合及组合数公式【解析】【解答】解：从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，共有种情况，又任取的2个顶点取自同一片“风叶”共有，故由古典概型可知所求概率故答案为：A【分析】由古典概型的定义直接求解即可.5.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】由可知圆心，半径为，因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，所以直线：上有且只有一个点，使得，即，所以圆心到直线的距离为，所以，解得或（舍）.故答案为：C【分析】求得圆C的圆心和半径，由正方形的性质可得，由题意可得圆心到直线的距离为，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．6.【答案】A【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得(x+1)7=[（x+2）-1]7，则其展开式的通项公式为，令7-r=3，即r=4，得，则，令7-r=4，即r=3，得，则，则0，故答案为：A【分析】本题主要考查二项式定理，由通项公式，并赋值直接求解即可.7.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由f（-x）=(-x)2+(-x)sin(-x)=x2+xsinx=f（x），所以函数f（x）是偶函数，故B错误，又f'(x)=2x+sinx+xcosx=(2+cosx)x+sinx，当x>1时，2+cosx∈[1,3]，(2+cosx)x>1，sinx∈[-1,1]，则f'(x)>0恒成立，当x∈时，sinx>0，cosx>0，x>0，则f'(x)>0恒成立，因为，所以f'(x)>0在（0,1）恒成立，综上所述，f'(x)>0在（0,+∞）恒成立，所以f（x）在（0,+∞）上单调递增，所以A对.故答案为：A【分析】利用函数的奇偶性可排除A，再利用导数研究函数的单调性即可判断.8.【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】由题意，函数，可得函数的定义域为，且，设，因为函数有两个极值点、，即在内有两个不等的实数根、，可得，解得，又因为、，可得，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为．故选D．【分析】函数f(x)有两个极值点，等价于f'(x)=0有两个不等的实数根，再等价转化为g(x)=0有两个不等的实数根，从而求得a的范围，以及x1+x2与x1x2，从而求得的最大值.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9.【答案】A,C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：对于A，若m,n互为异面直线，m//α，n//α，设m//m'，n//n'，，则m'//β，n'//β，则α//β，故A正确；对于B，若，，，则或α//β，故B错误；对于C，若，，所以存在使得m//m'，所以n//m'，则n⊥m，故C正确；对于D，若，，，则或，故D错误.故答案为：AC.【分析】本题考查空间线面间，面面间的关系，根据面面平行的判定可判断A，根据面面平行与面面垂直的判定可判断B，根据线线垂直的判定可判断C，根据线面的关系可判断D10.【答案】A,C,D【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】解：对于A，若，则2sinα-cosα=0，则2sinα=cosα，所以，故A正确；对于B，若，则sinα-2cosα=0，则sinα=2cosα，所以，故B错误；对于C，，其中tanθ=2，f(a)取得最大值时，，此时，则，所以C正确；对于D，由C得当时，，所以D正确.故答案为：ACD【分析】根据平行向量的坐标表示可判断A，根据垂直向量的坐标表示可判断B，根据向量的数量积，结合正弦函数的值域可判断C，根据向量的模，结合选项C的结论可判断D.11.【答案】B,C【考点】归纳推理【解析】【解答】对于A，，，，所以不为常数，A不正确；对于B，由并项求和法知：，，，B符合题意；对于C，，，，所以，C符合题意；对于D，，，，所以不为常数，D不符合题意；故答案为：BC.【分析】利用题中的新定义，对选项进行逐一判断，即可得出答案。