导数及偏导数的计算
偏导数与方向导数的计算与应用
偏导数与方向导数的计算与应用导数是微分学中的重要概念，它不仅可以对函数进行切线的斜率计算，还可以对多元函数进行求导运算。
在多元函数中，偏导数和方向导数是导数的两种常见形式。
本文将介绍偏导数和方向导数的计算方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、偏导数的计算方法偏导数是多元函数在某个指定变量上的导数。
它的计算方法与普通函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于二元函数f(x, y)，要计算其对x的偏导数∂f/∂x，可以视y为常数，将f(x, y)作为只与x有关的函数进行求导。
同样地，计算其对y的偏导数∂f/∂y时，将x视为常数进行求导。
对于多元函数而言，偏导数可以存在多个，每个偏导数都表示函数在不同变量上的变化率。
通过偏导数的计算，可以得到函数在各个方向上的斜率信息，进而分析函数对各个变量的依赖程度。
二、方向导数的计算方法方向导数是多元函数在某个指定方向上的导数。
它表示函数在该方向上的变化率。
设函数为f(x, y, z)，要计算在点P(x0, y0, z0)处沿着向量u=(a, b, c)的方向导数，可以按照以下步骤进行计算。
1. 求出点P的梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
2. 计算向量u与梯度向量的内积，即求出u与∇f的点积：u·∇f =a(∂f/∂x) + b(∂f/∂y) + c(∂f/∂z)。
3. 将点积的结果与向量u的模长相乘，得到方向导数的值：Duf = u·∇f × ||u||，其中||u||表示向量u的模长。
通过计算方向导数，我们可以研究函数在某个特定方向上的变化情况。
方向导数的大小和正负表明了函数增长或减少的趋势，对于优化问题和梯度下降算法等有重要应用价值。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在数学和物理学中有广泛的应用，以下是其中的几个典型例子：1. 函数极值的判定：通过计算偏导数，可以找到多元函数的极值点。
多元函数的偏导数与方向导数
多元函数的偏导数与方向导数在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
对于多元函数，我们可以研究其导数和方向导数来揭示函数的性质和变化规律。
本文将介绍多元函数的偏导数和方向导数的概念及其计算方法，并通过具体的例子进行解析。
一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi（i=1, 2, ..., n），表示在其他自变量保持不变的条件下，函数对第i个自变量的变化率。
注意，偏导数只关心某一变量的变化对函数的影响，而其他变量视为常数。
计算多元函数的偏导数时，可以按照每个自变量单独求导的方式进行，即将其他自变量视为常数进行计算。
最终的偏导数结果是一个函数，而不是一个具体的数值。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数方向导数是多元函数在给定方向上的变化率。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，在点(x0, y0, ..., zn)沿着向量u=(u1, u2, ..., un)的方向上的方向导数可以表示为∂f/∂u = ∇f · u，其中∇f表示函数f的梯度（即所有偏导数的向量），u表示单位向量。
计算函数沿给定方向的方向导数时，首先需要计算函数的梯度∇f，然后再与给定方向向量u进行点乘，得到方向导数的值。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处沿着向量u=（2, 1）的方向上的方向导数可以表示为∂f(u)/∂u = ∇f(1, 2) · (2, 1) = 10。
三、应用实例下面我们通过实例来进一步理解偏导数和方向导数在多元函数中的应用。
例1：考虑函数f(x, y) = x^3 + 3xy^2，求其在点(1, 2)处的偏导数和沿着向量u=(1, 2)的方向导数。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
多元函数的偏导数与方向导数计算
多元函数的偏导数与方向导数计算在多元函数中，偏导数与方向导数是常用的求导工具，可以帮助我们研究函数在不同方向上的变化率和导数值。
本文将介绍计算多元函数的偏导数和方向导数的方法和公式，并通过实例进行说明。
一、多元函数的偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数表示在各个自变量上的变化率。
1. 一阶偏导数对于二元函数 $z = f(x, y)$，其一阶偏导数表示对每个自变量的偏导数值。
分别记作 $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$ 和 $\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$，计算方法如下：$$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}}{{\Delta x}}$$$$\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = \lim_{{\Delta y \to 0}} \frac{{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}}{{\Delta y}}$$2. 高阶偏导数如果一阶偏导数存在，我们还可以继续求解二阶、三阶乃至更高阶的偏导数。
对于二阶偏导数，我们可以通过对一阶偏导数再次求导得到，记作 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}$、$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}}$ 和 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}}$。
计算方法如下：$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\right)$$$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}} =\frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)$$$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}} = \frac{{\partial}}{{\partial y}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)$$二、多元函数的方向导数方向导数表示函数在某个方向上的变化率，是由函数的梯度（gradient）来表示的。
导数及偏导数的计算
偏导数在优化问题中的应用
总结词
偏导数可以用于求解约束优化问题，通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的点，可以确定最优解 。
详细描述
在约束优化问题中，如果目标函数具有多个变量，则可以通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的 点，从而确定最优解。偏导数的应用在多变量函数优化问题中具有广泛的应用价值。
THANKS.
导数在极值问题中的应用
总结词
导数可以用于求解函数的极值，通过求导数并找到导 数为零的点，然后分析该点附近的函数值变化情况， 可以确定函数的极值。
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且该点附近左侧 导数大于零、右侧导数小于零，则该点为函数的极大 值点；反之，则为极小值点。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以求解函数的极值。
幂函数求导法则
总结词
幂函数求导的常用方法。
详细描述
幂函数求导法则指出，对于幂函数$f(x) = x^n$，其导数为$f'(x) = nx^{n-1}$。此外， 对于复合幂函数，如$f(x) = (g(x))^n$，其导
数可以通过链式法则和幂函数求导法则进行 计算。
偏导数的定义与性质
03
偏导数的定义
复合函数求导法则
总结词
通过复合函数的导数计算方法。
详细描述
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。对于复合函数$f(g(x))$，其导数为 $f'(g(x)) cdot g'(x)$，其中$f'(g(x))$表示函数$f$关于$g(x)$的导数，$g'(x)$表示函
数$g$关于$x$的导数。
链式法则
导数的计算方法
02
定义法
总结词
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式1.偏导数：偏导数是多元函数在其中一点上对其中一个自变量的导数，可以通过对该自变量求导来得到。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，只需要将其他自变量视为常数。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则对第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
具体的计算公式如下：- 对于常数函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = C，则对任何xi，偏导数都是0。
- 对于一次多项式函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2+ ... + anx_n，则对任何xi，∂f/∂xi = ai。
- 对于乘积函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = g(x1, x2, ...,xn)h(x1, x2, ..., xn)，则对任何xi，有∂f/∂xi = h(x1, x2, ..., xn) * (∂g/∂xi) + g(x1, x2, ..., xn) * (∂h/∂xi)。
2.全微分：全微分是多元函数在其中一点上沿所有自变量变化时的变化率，由偏导数组成的线性函数。
全微分的符号为df。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
3.链式法则：链式法则是多元函数求导中经常使用的方法，用于计算复合函数的导数。
假设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算。
具体公式如下：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)4.高阶偏导数：高阶偏导数指的是对多元函数的偏导数再次求导的过程。
对于二阶偏导数，可以通过对一级偏导数再次求导得到。
具体的计算方法为，先计算一级偏导数，然后对一级偏导数再次求导。
记二阶偏导数为∂²f/∂x²，则有∂²f/∂x²=∂/∂x(∂f/∂x)5.性质：多元函数的偏导数遵循以下性质：-对自变量求偏导，得到的结果是一个函数。
导数和偏导公式
导数和偏导公式
导数公式：
在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
给定函数f(x)，其导数可以表示为：
$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
其中，h是一个无限小的偏移量，表示x点处的邻域。
上式表示的是函数f(x)在x处的即时变化率。
偏导公式：
在多元函数中，偏导数是描述函数变化率的概念。
偏导数指的是当函数f(x1,x2,...,xn)在其中一个自变量上发生微小变化时，其因变量的变化率。
如果将x1固定，仅考虑x2，x3，...，xn的变化，那么f对x1的偏导数即为：
$\frac{\partial f}{\partial x_1}=\lim\limits_{h\rightarrow
0}\frac{f(x_1+h,x_2,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{h}$
类似地，如果将其他变量固定，仅考虑某一个变量的变化，那么偏导数的计算方法也相同。
在多元函数中，偏导数可以表示为梯度向量的分量，即：
$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})$。
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例3.10 求下列函数的偏导数: y y z x 1. z1 arctg ( ) 2. 2
解: 输入命令:
x
syms x y; diff(atan(y/x)) 得结果: ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2). 输入命令: diff(atan(y/x)， y). 得结果: ans=1/x/(1+y^2/x^2). 输入命令: diff(x^y， x). 得结果: ans=x^y*y/x.
得结果: a= [1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)， 4^sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x)]. dy1_dx=a(1). dy1_dx=1/2/(x^22*x+5)^(1/2)*(2*x-2). dy2_dx=a(2). dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x). dy3_dx=a(3). dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4). dy4_dx=a(4). dy4_dx=1/x/log(x). 注: 由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的， a(i)表示向量a的第i个分量.
得结果: 可知
ans=１． f’(0)=1.
导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例3.2 画出 f(x)=ex 在 x=0 处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势. 解: 在曲线 y=ex上另取一点M (h, eh),则PM的方程
y 1 eh 1 eh 1 , 即 y x 1 x0 h0 h
例4 求符号矩阵的逆、行列式及特征值和特征向 量。
解：输入命令 syms a b c d A=[a,b;c,d]; njz=inv(A) hls=det(A) [tzxl,tzz]=eig(A); tzxl’ diag(tzz) 执行结果：
njz = [ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)] [ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)] hls = a*d-b*c ans = [ -conj((1/2*d-1/2*a-1/2*(d^2-2*a*d+ a^2+4*b*c)^(1/2))/c), 1] [ -conj((1/2*d-1/2*a+1/2*(d^2-2*a*d+ a^2+4*b*c)^(1/2))/c), 1] ans = 1/2*d+1/2*a+1/2*(d^2-2*a*d+a^2+ 4*b*c)^(1/2) 1/2*d+1/2*a-1/2*(d^2-2*a*d+a^2+ 4*b*c)^运算功能，符号 运算工具箱（Symbolic Math Toolbox）则扩充了Matlab这方面的 功能。 这个工具箱在Matlab安装的 Toolbox/Symbolic子文件夹下。
符号变量与符号表达式
新的数据类型----符号变量
1. 用sym函数来定义一个符号或符号表达式
3.用findsym来确认符号表达式中的符号
例：
4. 表达式化简
Matlab提供的对符号表达式化简的函数有：
simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对 表达式进行综合化简，并显示化简过程。
例1 .(1)执行下面命令：
f=sym(‘cos(x)^2-sin(x)^2’); f=simple(f)
2 z 2 z 2 z , 2, 2 x y xy
２．导数概念. 导数是函数的变化率，几何意义是曲线在 一点处的切线斜率. 点导数是一个极限值.
例3.1 设 f(x)=ex，用定义计算f’(0). 解： f(x)在某一点的导数定义为极限：
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
我们记 h=△x，输入命令： syms h； limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)
例3。simple和simplify的区别。
>> syms x >> f=cos(x)^2+sin(x)^2 ; >> simple(f) simplify: convert(tan): 1 (1-tan(1/2*x)^2)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2 radsimp: +4*tan(1/2*x)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2 cos(x)^2+sin(x)^2 collect(x): combine(trig): cos(x)^2+sin(x)^2 1 mwcos2sin: factor: 1 cos(x)^2+sin(x)^2 ans = expand: 1 cos(x)^2+sin(x)^2 >> simplify(f) combine: ans = 1 1 convert(exp): (1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x))^2-1/4*(exp(i*x)-1/exp(i*x))^2 convert(sincos): cos(x)^2+sin(x)^2
例 1. 2. 3. 4.
3.7 求下列函数的导数.
y1 x 2 2 x 5 y2 cos x 2 2cos 2 x y3 4sin x
y4 ln ln x
解: 输入命令: syms x; a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)， cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))， log(log(x))]).
求导数和偏导数
matlab求导命令diff调用格式:
diff(函数 f(x))，求 f(x) 的一阶导数 f’(x) ；
diff(函数 f(x), n), 求 f(x) 的n阶导数 f(n)(x)(n 是具体整数)； diff(函数 f(x,y),变量名 x)，求 f(x,y) 对x的偏导 数 f ；
执行结果为：
f=cos(2*x)
(2)执行下面命令：
g=sym(‘x^3+3*x^2+3*x+1’); g=simple(g) 执行结果为： g=(x+1)^3
例2 验证三角公式：sin(x-y)=sinxcosycosxsiny. 解：输入命令： syms x y; f=simple(sin(x)*cos(y)cos(x)*sin(y)) 执行结果为： f=sin(x-y)
例3.5 求y=(x2+2x)20的导数. 解: 输入命令 syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20) 得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2)
注意输入 2x 时应为2*x.
例3.6 求y=xx的导数. 解: 输入命令: syms x; dy_dx=diff(x^x). 得结果: dy_dx =x^x*(log(x)+1). 利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的 导数.
５．求高阶导数或高阶偏导数.
例3.11 设 f (x)=x2e2x,求 f (20)(x).
解: 输入指令: syms x; diff(x^2*exp(2*x)，x，20). 得结果: ans = 99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp( 2*x+1)048576*x^2*exp(2*x)
例3.12 设
z=x6-3y4+2x2y2
,求
解:输入命令: syms x y; diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2) 可得到 2 z x 2 : ans=30*x^4+4*y^2. 将命令中最后一个x换为y得 2 z y 2 : ans=-36*y^2+4*x^2. 输入命令: diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2， x)，y) 可得 2 z xy : ans=8*x*y
sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(‘a’) 建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变 量a进行各种运算。
2. syms函数定义多个符号
syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 … varn 函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上 加字符分界符(‘’)，变量间用空格而不要用逗 号分隔。
x
diff(函数 f(x,y),变量名 x,n)，求 f(x,y) 对x的n阶 n 偏导数 f n
x
matlab求雅可比矩阵命令jacobian， 调用格式:
jacobian([函数 f(x,y,z)；函数 g(x,y,z)； 函数
g(x,y,z)]， [x,y,z])给出矩阵:
f x g x h x f y g y h y f z g z h z
作出 y=ex 在x=0 处的切线 y=x+1 plot(x，x+1，’r’)
从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越 接近曲线的割线．
３．求一元函数的导数. y=f(x) 的一阶导数;
例3.3 求 y=sin(x)/x 的导数.
解: 打开matlab指令窗，输入指令: syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x). 得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2. matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线 及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用 dy_dx表示 yx
syms t a; dx_dt=diff(a*(t-sin(t)),t)； dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))； dy_dx=dy_dt/dx_dt. 得结果: dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).