上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含答案
华二附中高二月考数学试卷2020.09一. 填空题1. 直线413y x =-的单位法向量是 2. 已知点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是 3.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是4. 过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为5. 已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =6. 已知等腰三角形的底边所在直线过点(2,1)P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的 直线方程是7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标8. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ，且002y x >+， 则00y x 的取值范围是 9. 已知,αβ∈R ，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线 y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++=10. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线y ax b =+（0a >），将△ABC 分割为面积相等的两部分， 则b 的取值范围是二. 选择题11. 对于直线1:0l ax ay a+-=（0a ≠），下列说法不正确的是（ ） A. 无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变 B. 无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限C. 无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限D. 当a 取不同数值时，可得到一组平行直线12. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点1(,0)3A -处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.3 B. 5C. 3D. 16313. 已知直线:30l x my m -+=上存在点M 满足与(1,0)A -、(1,0)B 两点连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是（ ）A. [6,6]-B. 66(,)(,)-∞-+∞ C. 66(,][,)66-∞-+∞ D. 22[,]22- 14. 设直线系:cos (2)sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（ ）A.（2）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）三. 解答题15. 已知直线l 的方程为210x y -+=.（1）求过点(3,2)A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程.16. 已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=.（1）若11(,)A x y 、22(,)B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若(2,3)M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为35l 的方程.17. 已知直线:120l kx y k -++=，k ∈R .（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.参考答案一. 填空题 1. 43(,)55-或43(,)55- 2. 41[,]32- 3. 5[0,][,)66πππ 4. y x =-或11542y x =-+ 5. 4或1-或16-或23 6. 37y x =-+或1133y x =+ 7. (4,0)-8. 11(,)25-- 9. 0 10. 1(1)22-二. 选择题 11. C 12. A 13. C 14. A三. 解答题15.（1）270x y +-=；（2）1722y x -=+. 16.（1）min 110d =；（2）2(2)3y x =--+，2(2)311y x =--+. 17.（1）证明略，过定点(2,1)-；（2）0k ≥；（3）min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=.。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年第一学期高二期中数学试卷
华二附中高二期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 已知直线l 过点(2,3)P ，它的一个方向向量为(1,5)d =，则直线l 的点方向式方程为2. 若一条直线的斜率(1,1)k ∈-，则该直线的倾斜角的取值范围是3. 若椭圆221y x m +=的焦距是4，则m = 4. 已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是5. 已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为6. 与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有 个7. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，若EF ∥AD ，且 35AE AD AB BC ==，若AB a =，DC b =，则EF 可用a 、b 表示为8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，⋅⋅⋅，12这12 的圆周上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=9. 设实数x 、y 满足约束条件0,4312x y x x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 10. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集 {|A F =}||||FP FMFQ FMFP FQ ⋅⋅=，若对于任意的3m ≥，当12,F F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为二. 选择题11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不同时为零），2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不同时为零），那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A. 与l 重合B. 与l 交于点PC. 过Q 与l 平行D. 过Q 与l 相交13. 已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|4||3|5c a c b -+-=，则||c a +的取值范围是（ ）A. [3,10]B. [3,5]C. [3,4]D. [10,5]14. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294；②9110；③19718；④23233；则n T 的值可能的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三. 解答题15. 设a 、b 是两个不共线的非零向量.（1）记OA a =，OB tb =，1()3OC a b =+，那么实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若||||1a b ==，且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，||a xb -的值最小？16. 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B .（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.17. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，它的上、下顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l 、2l ，它们与椭圆E 分别交于点C 、D 、M 、N ，且四边形CDMN 是菱形；求证：①直线1l 、2l 关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.参考答案一. 填空题 1. 2315x y --= 2. 3[0,)(,)44πππ 3. 5 4.411(,)(0,)(,)333-∞+∞5. 227320x y x y +-++=6. 77. 21211010EF b a =-8. 99. [3,11] 10. 34k ≥二. 选择题 11. B 12. C 13. B 14. A三. 解答题15.（1）12t =；（2）12x =-，min 3||a xb -=.16.（1）22395()(3)243x y x -+=<≤；（2）325{}[,4k ∈±-. 17.（1）证明略；（2）4(,)3d P l =；（3）24S r =.18.（1）22121x y +=；（2）①证明略；②菱形周长的最大值为。
2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期期中数学复习卷(含解析)
2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列说法中正确的有()①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；②平行的两条直线的倾斜角一定相等；③垂直的两直线的斜率之积为−1；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.命题“若则q”是真命题，则p是的A. 充分条件B. 充分非必要条件C. 必要条件D. 必要非充分条件3.若直线经过A(0,4)，B(√3,1)两点，则直线AB的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4.设变量x、y满足约束条件{y≤xx+y≥2y≥3x−6，则目标函数z=3x+y的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 12二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.把圆x2+y2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换为______．6.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(1,m)，若a⃗//b⃗ ，则实数m等于______．7. 2.直线垂直，则直线的方程为_____________8.7.设矩阵，，若，则．9.已知|a⃗|=3，|b⃗ |=5，且a⃗⋅b⃗ =12，则向量a⃗在b⃗ 方向上的正射影的数量为______ ．10.求与直线l1：x−√3y+3=0的夹角为π3，且经过点(3,2√3)的直线l2的直线方程可以是．11.已知三点A(2,−3)，B(4,3)，C(5,k2)在同一直线上，则k=______ ．12. 如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC//AD ，AB ⊥AD ，AB =4，BC =2，AD =4，若P 为CD 的中点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．13. 设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1，x +2y +3z =，则x +y +z =________．14. (1)已知tanθ=2，则sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θ的值为________．(2)已知函数为偶函数，则f(x)=________．(3)已知向量a →=(2,4)，b →=(1,1)，则向量a →在向量b →方向上的投影为________．(4)若函数y =3cos(2x +φ)的图像关于点(π 3,0)对称，则|φ|的最小值为________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 15. 设二阶矩阵A ，B 满足A −1=[1234]，BA =[1001]，求B −1．16. 已知，，．(1)若，求的值；(2)设，若，求、的值．17. 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：每件产品A每件产品B 研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大资金额300万元产品重量(千克)105最大搭载重量110千克预计收益(万元)8060分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示(Ⅰ)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．18. 设函数f(x)=12+1x，正项数列{a n}满足a1=1，a n=f(1an−1)，n∈N∗，且n≥2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1a n a n+1<2．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；不正确，利用直线的倾斜角为90°时，直线不存在斜率．所以①不正确；②平行的两条直线的倾斜角一定相等；正确；③垂直的两直线的斜率之积为−1；反例，一条直线的倾斜角为0°，一条直线的倾斜角为90°，两条直线垂直，但是不满足③，所以③不正确；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．反例斜率不存在时，两条直线也平行，所以④不正确；故选：B．利用反例判断①；直线的倾斜角判断②；直线的垂直关系判断③；直线的平行判断④．本题考查命题的真假的判断，直线的倾斜角与直线的斜率的关系，直线的位置关系的判断，是基础题．2.答案：C解析：解：命题“若则q”是真命题，则q，即￢q p，故p是的必要条件，故选C．3.答案：D解析：解：∵直线经过A(0,4)，B(√3,1)两点，=−√3，∴k AB=1−4√3设直线AB的倾斜角为α(0°≤α<180°)，由tanα=−√3，得α=120°．故选：D．由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题．4.答案：B解析：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=−3x+z，平移直线y=−3x+z，由图象可知当直线y=−3x+z，经过点A时，直线y=−3x+z的截距最小，此时z 最小．由{y =x x +y =2，解得{x =1y =1，即A(1,1)， 此时z 的最小值为z =1×3+1=4，故选：B作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 5.答案：{x =4x′y =y′解析：解：由椭圆x′2+y′216=1变形为：16(x′)2+(y′)2=16，即(4x′)2+(y′)2=16．因此对于圆x 2+y 2=16的方程，令{x =4x′y =y′， 即为把圆x 2+y 2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换． 故答案为：{x =4x′y =y′． 由椭圆x′2+y′216=1变形为：(4x′)2+(y′)2=16.即可得出把圆x 2+y 2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换．本题考查了圆变换为椭圆的伸缩变换，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 6.答案：12解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ，∴2m −1=0，∴m =12． 故答案为：12．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出2m −1=0，解出m 即可．考查向量平行的定义，以及平行向量的坐标关系． 7.答案：3x +2y −1=0．解析：解：∵所求直线方程与直线2x −3y +4=0垂直，∴设方程为3x +2y +c =0，∵直线过点(−1,2)，∴3×(−1)+2×2+c =0，∴c =−1，∴所求直线方程为3x +2y −1=0． 故答案为3x +2y −1=0．8.答案：2。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)
所以
，
所以
，
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
所以 的值不可能取所给的四个数值.
故选：A.
【点睛】思路点睛：
向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【分析】
根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．
【详解】解：因为两圆 ， 是相离的，
所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：
与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即 ；
与两圆都外切的有2个，设切点为 ，则 ，
，
同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：
与圆 外切于圆 内切的圆有2个；与圆 内切于圆 外切的圆有2个；
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线 、 ，它们与椭圆 分别交于点 、 、 、 ，且四边形 是菱形；
①求证：直线 、 关于原点对称；
②求出该菱形周长的最大值.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②菱形周长的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）由已知可得关于 ， ， 的方程组，求得可得 ， 的值，则椭圆方程可求；
【答案】
【解析】
分析】
根据直线的斜率，分斜率为正和斜率为负两种情况考虑，结合倾斜角的范围，分别求解，即可的出结果.
【详解】因为直线的斜率 ，记该直线的倾斜角为 ，
所以当 时， ，因此倾斜角 ，
当 时， ，因此倾斜角 .
故答案为： .
3.若椭圆 的焦距是 ，则 ________
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(教师版)
2020-2021学年上海市华二附中高二上数学10月月考卷 2020.10一、填空题1. 已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可.【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 平面直角坐标系中点（1,2）到直线210x y ++=的距离为_________【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式完成计算即可.【详解】因为点为()1,2，直线为210x y ++=，所以点到直线的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.已知点()00,P x y ，直线0Ax By C ++=，则点P 到直线的距离为：d =.3. 已知直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-，则其点法向式方程为________ 【答案】()()31420x y ---= 【解析】 【分析】根据直线方程的点法向式方程的写法,可直接得点法向式方程.【详解】由点法向式方程的定义, 直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=- 则点法向式方程为:()()31420x y ---= 故答案为:()()31420x y ---=【点睛】本题考查了直线的方程表示形式, 点法向式方程的定义即方程写法,属于基础题. 4. 已知单位向量,a b ，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为__________. 【答案】3π 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算翻法则，先得到()3a b a +⋅，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为,a b 为单位向量，a b ⊥， 所以0a b ⋅=，1==a b ，因此()2331a b a a a b +⋅=+⋅=， 即向量3a b +与a 的夹角为θ，则2231cos 2432331a b aa b aa ab b θ+⋅====++⋅+⨯， 所以3πθ=.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量的数量积运算法则即可，属于基础题型.5. 点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +最小值是____________.【答案】8 【解析】 【分析】22x y +就是(,)P x y 到原点距离的平方，只需求出原点到直线的距离即可.【详解】22xy +就是(,)P x y 到原点距离的平方，(,)P x y 到原点距离的最小值为222d == 22x y+最小值为()2228=，故答案为8.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查了转化思想的应用，属于基础题. 6. 直线l 过原点，且平分ABCD 的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l 的方程是 ．【答案】；【解析】【详解】试题分析：直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点（3，2），所以直线斜率为202303-=-，由斜截式可得直线l 的方程为2y x 3=． 考点：本题主要考查直线方程的求法．点评：注意数形结合，分析图形的特征，探求解题方法．7. 若某直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22则该直线的倾斜角大小为_______. 【答案】15︒和75︒ 【解析】 【分析】先由两平行直线的距离公式得直线1l 与2l 的距离为2d =，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为2，求得该直线与直线1l 所成角30︒，然后结合直线1l 的倾斜角为45︒求解即可.【详解】解：由两平行直线的距离公式可得： 直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=的距离为3122d -==又直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22 即该直线与直线1l 所成角30︒， 又直线1l 的倾斜角为45︒，则该直线的倾斜角大小为15︒和75︒， 故答案：15︒和75︒.【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题. 8. 经过()1,2P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于1P 、2P 两点，且满足123PP PP =，则直线l 的方程为_________. 【答案】241800x y -+= 【解析】 【分析】设()1,P a b ，可得3100a b -+=，由123PP PP =可得4828033a b--⨯+-=，联立方程可得3412,77a b =-=，即可求出直线方程. 【详解】设()1,P a b ，则3100a b -+=（1），()1,2P ，123PP PP =， ()()221,231,2P P a b x y ∴--=--，则2248,33P P a b x y --==代入2l 得4828033a b--⨯+-=（2）， 联立（1）（2）解得3412,77a b =-=， 则12227344117l k -==--，故直线l 的方程为22(1)41y x -=-， 即241800x y -+=. 故答案为：241800x y -+=【点睛】关键点睛：本题考查直线方程的求解，解题的关键是求出()1,P a b 的坐标，通过条件建立其关于,a b 的两个方程3100a b -+=和4828033a b--⨯+-=，解出()1,P a b 即可得出方程. 9.123PP P 是边长为1正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； ()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.10. 在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________.【答案】[]4,4- 【解析】 【分析】先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解.【详解】解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ， 设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点， 则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→=⋅+=，由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-， 过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=， 即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-，故答案为：[]4,4-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 11. 定义：对于实数m 和两定点,M N ，在某图形上恰有()*n n N ∈个不同的点i P ，使得()·1,2,3i i PM PN m i n ==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2,3BC BM DN NA ==，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是__________．【答案】14m =-或26m << 【解析】分析：根据定义，分类讨论P 点在四条边上的不同情况；转化成m 的表达式后，利用二次函数求得m 的范围；分析在四种情况下，哪个符合有4个解，即可得到m 的取值．详解：以AB 为x 轴，AD 为y 轴，A 为原点建立平面直角坐标系．所以(4,2),(0,1)M N ．因为P 点位置不确定，所以分四种情况讨论：当P 点在AB 上时，设(,0)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()4,2,1PM PN t t m ⋅=--=所以()224222m t t t =-+=--根据二次函数的图像可知，当2m =- 时，有1个解 当22m -<≤ 时，有2个解（2）当P 点在BC 上时，设(4,)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()0,24,1PM PN t t m ⋅=---= 所以22323124m t t t =-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 根据二次函数的图像可知，当14m =- 时，有1个解 当124m -<≤ 时，有2个解 当26m << 时，有1个解（3）当P 点在CD 上时，设(,4)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()4,24,3PM PN t t m ⋅=----= 所以()224622m t t t =-+=-+根据二次函数的图像可知，当2m = 时，有1个解 当26m << 时，有2个解（4）当P 点在AD 上时，设(0,)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()4,20,1PM PN t t m ⋅=--= 所以22323124m t t t =-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 根据二次函数的图像可知，当14m =-时，有1个解当124m -<≤ 时，有2个解 当26m << 时，有2个解由（1）可知，当22m -<≤ 时，有2个解．所以当14m =- 时，也有2个解 综上所述，当14m =-或26m <<有4个解，满足“4度契合”． 点睛：本题考查了新定义问题，利用分类讨论思想求得参数取值范围，向量的数量积坐标表示等，分析量、计算量、都很大，需要细致分析才能解决问题，对思维有很高要求，属于难题．12. 已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.【答案】[2,3【解析】 【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()233x y θϕ+=+(其中tan 4ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案.【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==，12OB ⎛=- ⎝⎭，代入OC OA OB x y =+,有(cos ,sin )(,0),22y x θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,∴cos ,sin 22y x θθ-==，∴cos ,sin 33x y θθθ=+=，故()233x y θϕ+=+(其中tan ϕ=),203πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+，而sin ϕ=，2sin 3πϕ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭当2πθϕ+=时，23x y +取最大值2573，当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y +取最小值2， ∴23x y +的取值范围为257[2,]3， 故答案为: 257[2,]3.【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二. 选择题13. 点(),a b 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A. ()1,1b a -- B. ()1,1a b --C. (),a b --D. (),b a --【答案】A 【解析】 【分析】设对称点坐标为(),x y ，由对称点连线与对称轴垂直和对称点连线段中点在对称轴上列出方程组可解得,x y ．【详解】解：点(),a b 关于直线1x y +=对称的点为(),x y ，则1122b ya xa xb y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得： 11x b y a =-⎧⎨=-⎩，故选：A ．【点睛】本题考查点关于直线对称问题．掌握对称的特征是解题关键．即若,P Q 关于直线l 对称 则PQ l ⊥，PQ 的中点在直线l 上．14.在下列四个命题中，正确的共有（ ）①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率； ②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； ④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α． A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.【详解】由于和x 轴垂直的直线的倾斜角为90︒，而此直线没有斜率，故①不正确； 直线的倾斜角的取值范围是[)0,180︒，故②不正确；若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为180k βα=+⨯︒，k Z ∈，且0180β︒≤≤︒，故③不正确；若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率不一定为tan α，如当90α=︒时，tan α不存在，故④不正确． 综上可知，四种说法全部不正确．选A.【点睛】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.15. 设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t 变化时||a tb +的最小值为2,则（ ） A. 若θ确定,则||a 唯一确定 B. 若θ确定,则||b 唯一确定 C. 若||a 确定,则θ唯一确定 D. 若||b 确定,则θ唯一确定【答案】A 【解析】 【分析】画图利用点与直线上的点的距离大小关系,以及向量的加减法性质判定即可. 【详解】如图,记OA a =、AB b =、A H tb =,则OH a tb =+, 当()b a tb ⊥+时,||a tb +取得最小值, 若θ确定,则||a 唯一,||b 不确定,若||a 确定,θ可能有两解（图中OA a =或OA a '=）,若||b 确定,则a 不确定,从而θ也不确定.故选：A ．【点睛】本题主要考查了平面向量的图形表示,需要结合点到直线的距离最值以及平面向量的加法性质分析.属于中档题.16. 在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A. 36B. 6C.32498315【答案】D 【解析】 【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=， 结合同角三角函数的基本关系可求出315sin 16ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，11315,88A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以2211315sin 1cos 116ABC ABC ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪⎝⎭如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ， 因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，315315sin 2AB ABC ⋅∠==则11315,88A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11315,88MA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=-⎪⎝⎭，3153154302082⨯+⨯+⨯=所以273154329,2MA MB MC x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 则2227315432922MA MB MC x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 当32x =时等号成立，所以315432MA MB MC ++≥， 故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.三、 解答题17. 已知点()1,2A 、()5,1B -，且A ，B 两点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程. 【答案】3410x y +-=或34210y +-=或3x =或7320244x y --=. 【解析】 【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L 与点()1,2A 和点()5,1B -两点的连线平行，一类是线L 过两点()1,2A 和点()5,1B -中点，分类解出直线的方程即可.【详解】∵5AB ==，122AB >， ∴A 与B 可能在直线l 的同侧，也可能直线l 过线段AB 中点， ①当直线l 平行直线AB 时：123514AB k --==--，可设直线l 的方程为34y x b =-+2=，解得：214b =或14b =， 故直线l 的方程为：3410x y +-=或34210y +-= ②当直线l 过线段AB 中点时：AB 的中点为13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当直线斜率不存在时：直线l ：3x =，符合题意； 当直线斜率存在时，可设直线l 的方程为()132y k x -=-2=，解得：724k =， 故直线l 的方程为：3x =或7320244x y --=. 综上所述：直线方程为：3410x y +-=或34210y +-=或3x =或7320244x y --=. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力. 18. 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ，则(,2)c a λλλ==，又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±， 故2,4c或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 19. 已知直线1:230l x y -+=及点(2,0)P ． （1）求点P 关于直线1l 对称的点Q 的坐标； （2）求过点P 且与直线1l 夹角为4π的直线2l 的方程． 【答案】（1）(0,4)Q ；（2）360x y --=和320x y +-=． 【解析】 【分析】(1)设()00,Q x y ,再根据直线PQ 与1l 垂直,且,P Q 的中点在直线1l 上列式求解即可. (2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线2l 的斜率,再利用点斜式求解直线2l 的方程即可.【详解】(1) 设()00,Q x y ,因为,P Q 关于直线1l 对称,故0000202302201122x y y x ++⎧-⋅+=⎪⎪⎨-⎪⋅=--⎪⎩ ,即000028024x y y x -+=⎧⎨=-+⎩ ,解得004x y =⎧⎨=⎩,故(0,4)Q .(2)设直线1l 的倾斜角为θ,1tan 2θ=.则直线2l 的倾斜角为4πθ+或4πθ-. 当直线2l 的倾斜角为4πθ+时, 2l 的斜率tan 1tan 341tan πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭,故直线2l 的方程为()032y x -=-,化简得360x y --=.当直线2l 的倾斜角为34πθ+时, 2l 的斜率3tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫+==- ⎪+⎝⎭,故直线2l 的方程为()1023y x -=--,化简得320x y +-=. 所以直线2l 的方程为360x y --=和320x y +-=.【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.20. 一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处. （1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程； （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.【答案】（1）（2）57[,]42（3）77b S b ≤≤=> 【解析】 【分析】（1）求出()1,2C 关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-[]353,57y x x y x =-⎧⇒=∈⎨=-+⎩，则此时()5,2N所以光所走过的路程即C N '=（2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B则75,24 C A C Bk k''==，所以反射光斜率的取值范围是57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）若反射光与直线y x b=-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b bxy x=-+⎧+⇒=⎨=-⎩①当[]33,52bx+=∈，即67b≤≤时，光所走过的最短路程为点C'到直线y x b=-+的距离，所以路程1222bS--==；②当()35,2bx+=∈+∞，即7b>时，光所走过的最短路程为线段C B'，其中()5,5B b-所以()()222513625C B S b b b==-+-=-+'综上：2,672625,7bSb b b⎧≤≤⎪=⎪-+>⎩【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．21. 如图，已知直线1:0l kx y+=和直线2:0(0,0)l kx y b b k++=>≥点O为坐标原点，()4,2P，()4,4Q--，点A、B分别是直线1l、2l上的动点，直线1l和2l之间的距离为3.（1）求直线OP和直线OQ的夹角的余弦值；（2）已知A、B中点为M，若||8PA PB+=，求PA PB⋅的最大值；（3）若0k=，2AB l⊥，求||||||PA AB BQ++的最小值.【答案】（1310；（2）554；（3733.【解析】【分析】（1）根据向量夹角公式先求出cos,||||OP OQOP OQOP OQ⋅<>=⋅，即可得出结果；（2）PA PB ⋅=216MA -，只需求出MA 最小值即可； （3）作P 关于直线32y =-的对称点P '，可得()4,5P '-，作Q 关于3y =-的对称点Q '，可得()4,2Q '--，则可得()()minmin||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+.【详解】（1）根据题意，(4,2)OP =，(4,4)OQ =--，所以310cos ,||||2042OP OQ OP OQ OP OQ ⋅<>===-⋅⨯，直线夹角的范围是090⎡⎤⎣⎦，，故直线OP 和直线OQ 的夹角的余弦值为310； （2）2PA PB PM +=，4PM ∴=，()()PA PB PM MA PM MB ∴⋅=+⋅+ ()2PMPM MA MB MA MB =+⋅++⋅216+=16MA MB MA =⋅-，则当MA 取最小值时，PA PB ⋅取最大，1l 与2l 的距离为3，M 是AB 中点，MA∴的最小值为32，PA PB ∴⋅的最大值为23551624⎛⎫-=⎪⎝⎭.（3）0k =，直线1:0l y =，直线2:30l y +=，如图所示，2AB l ⊥，可知3AB =，故要使||||||PA AB BQ ++的值最小，只需||||PA BQ +的值最小，作P 关于直线32y =-的对称点P '，可得()4,5P '-， 则PA P B '=，故||||||||PA BQ P B BQ '+=+， 作Q 关于3y =-的对称点Q '，可得()4,2Q '--， 则BQ BQ '=，故||||||||PA BQ P B BQ ''+=+， 通过图形观察可得()()minmin||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+,P Q ''==所以||||||PA AB BQ ++3.【点睛】关键点睛：第二问中求最大值的关键是利用柯西不等式建立关系求解；第三问中的关键是利用对称将问题进行转化，关键是作P 关于直线32y =-的对称点P '，作Q 关于3y =-的对称点Q '，化为()()minmin||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+求解.。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知直线l 过点P （2，3），它的一个方向向量为 d⃗ =（1，5），则直线l 的点方向式方程为___ ．2.（填空题，4分）若一条直线的斜率k∈（-1，1），则该直线的倾斜角的取值范围是___ ．3.（填空题，4分）若椭圆x 2+ y 2m =1的焦距是4，则m=___ ．4.（填空题，4分）已知 a ⃗ =（λ，2λ）， b ⃗⃗ =（3λ，2），如果 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围是___ ．5.（填空题，4分）已知三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，则三角形的外接圆方程为___ ．6.（填空题，4分）与两圆（x+2）2+y 2=1，（x-2）2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有___ 个．7.（填空题，4分）在梯形ABCD 中，AD || BC ，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，若EF || AD 且 AE AB = AD BC = 35 ，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示为___ ． 8.（填空题，4分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为 √22的圆周上，从整点i 到整点（i+1）的向量记作 t i t i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 3t 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+t 12t 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．9.（填空题，4分）设实数x ，y 满足约束条件 {x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12，则 x+2y+3x+1 取值范围是___ ． 10.（填空题，4分）已知非零向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，设 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集A={F| FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| }，若对于任意的m≥3，当F 1，F 2∈A 且不在直线PQ 上时，不等式| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤k| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数k 的最小值为___ ． 11.（单选题，4分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x+b 1y+c 1=0，l 2：a 2x+b 2y+c 2=0，那么“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.（单选题，4分）P （x 1，y 1）是直线l ：f （x ，y ）=0上一点，Q （x 2，y 2）是l 外一点，则方程f （x ，y ）=f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）表示的直线（ ）A.与l 重合B.与l 相交于P 点C.过Q 点且与l 平行D.过Q 点且与l 相交13.（单选题，4分）已知 a ⃗⃗⃗⃗、 b ⃗⃗ 均为单位向量，且 a ⃗• b ⃗⃗=0 ．若 |c ⃗−4a ⃗|+|c ⃗−3b⃗⃗|=5 ，则 |c ⃗+a ⃗| 的取值范围是（ ）A. [3， √10]B.[3，5]C.[3，4]D. [√10， 5]14.（单选题，4分）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （n∈N *，n≥2）等分点，沿向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向依次为P 1，P 2，…，P n-1，记T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若给出四个数值： ① 294 ② 9110 ③ 19718 ④ 23233 ，则T n 的值可能的共有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个15.（问答题，8分）设 a ⃗ ， b⃗⃗ 是两个不共线的非零向量． （1）记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ a ⃗ + b⃗⃗ ），那么实数t 为何值时，ABC 三点共线？ （2）若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1且 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角为120°，那么实数x 为何值时，| a ⃗ -x b⃗⃗ |的值最小？16.（问答题，12分）已知过原点的动直线l 与圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0 相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L ：y=k （x-4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A （x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点称Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．（1）求证对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（2）已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，求d（P，l）；（3）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．18.（问答题，12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形．求证：① 直线l1，l2关于原点对称；② 求出该菱形周长的最大值．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知直线l 过点P （2，3），它的一个方向向量为 d⃗ =（1，5），则直线l 的点方向式方程为___ ．【正确答案】：[1] x−21 = y−35 【解析】：由直线的方向量，可得直线的斜率，根据直线的点斜式可得直线l 得方程．【解答】：解：由直线的方向量为 d⃗ =（1，5），可得直线的斜率k=5． 根据直线的点斜式可得，直线l 得方程为：x−21 = y−35． 故答案为：x−21 = y−35 ．【点评】：本题主要考查了利用直线方程的点斜率求解直线方程，属于基础试题．2.（填空题，4分）若一条直线的斜率k∈（-1，1），则该直线的倾斜角的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）【解析】：通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出α的范围．【解答】：解：直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若-1＜k ＜1，所以-1＜tanα＜1，所以α∈[0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）．故答案为：[0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）．【点评】：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．3.（填空题，4分）若椭圆x 2+ y 2m =1的焦距是4，则m=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由椭圆定义可知a ＞c=2，故焦点在y 轴上，可解．【解答】：解：由椭圆定义可知，2c=4，∴c=2，又a＞c，故焦点在y轴上∴m-1=22∴m=5故答案为：5【点评】：本题考查了椭圆的定义，焦点的位置，属于基础题．4.（填空题，4分）已知a⃗ =（λ，2λ），b⃗⃗ =（3λ，2），如果a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，则λ的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] λ＜−43或λ＞0且λ≠13【解析】：由题意可得a⃗•b⃗⃗＞0，去除向量同向的情形即可．【解答】：解：∵ a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，∴ a⃗•b⃗⃗=3λ2+4λ＞0，解得λ＜−43或λ＞0，当2λ=6λ2时两向量共线，解得λ=0或λ= 13，已知当λ= 13时，向量同向，不满足题意，∴λ的取值范围为：λ＜−43或λ＞0且λ≠13故答案为：λ＜−43或λ＞0且λ≠13【点评】：本题考查平面向量的数量积与向量的夹角，属基础题．5.（填空题，4分）已知三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，则三角形的外接圆方程为___ ．【正确答案】：[1]x2+y2-7x+3y+2=0【解析】：先求出三角形三个顶点的坐标，再设三角形外接圆方程为 x2+y2+dx+ey+f=0，把三个顶点坐标代入，求出待定系数，可得三角形外接圆方程．【解答】：解：∵三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，故三角形的三个顶点为（0，-1）、（1，1）、（4，-5），设三角形外接圆方程为 x2+y2+dx+ey+f=0，则 {0+1+0−e +f =01+1+d +e +f =016+25+4d −5e +f =0，求得 {d =−7e =3f =2 ，故三角形外接圆方程为 x 2+y 2-7x+3y+2=0， 故答案为：x 2+y 2-7x+3y+2=0．【点评】：本题主要考查用待定系数法求圆的一般方程，属于中档题．6.（填空题，4分）与两圆（x+2）2+y 2=1，（x-2）2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【解答】：解：因为两圆O 1（x+2）2+y 2=1，O 2（x-2）2+y 2=1是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都外切的有2个，与两圆都内切的有1个，与圆O 1 内切于圆O 2 外切的圆有2个，与圆O 1 外切于圆O 2 内切的圆有2个，共7个，方程分别为：x 2+y 2=9， x2+(y ±2√3)2=9 ， (x +32)2+(y ±√152)2=9 ， (x −32)2+(y ±√152)2=9 ，故答案为：7．【点评】：本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．7.（填空题，4分）在梯形ABCD 中，AD || BC ，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，若EF || AD 且 AE AB = AD BC = 35，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示为___ ． 【正确答案】：[1] 2110b ⃗⃗−2110a ⃗ 【解析】：作出图形，过点A 作DC 的平行线，利用相似，找到线段EG 与线段BH 的等量关系，进而利用向量表示．【解答】：解：过点A 作DC 的平行线交EF 于G ，交BC 于H ，如图所示：因为AD || BC ，EF || BC ，所以AD=GF=CH ，因为 AD BC =35 ，所以BC= 53 AD ，则BH=BC-CH= 53 AD-AD= 23 AD= 23 CH ，所以CH= 32 BH ，因为 AE AB =35 ，而EF || BC ，△AEG∽△ABH ，所以 AE AB =EG BH =35 ，所以EG= 35 BH ，所以EF=EG+GF= 35BH +32BH =2110BH ，又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，所以 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗ ，所以 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2110b ⃗⃗−2110a ⃗ ， 故答案为： 2110b ⃗⃗−2110a ⃗ ．【点评】：本题考查了向量的线性表示，三角形相似，比例线段，属于基础题．8.（填空题，4分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为 √22 的圆周上，从整点i 到整点（i+1）的向量记作 t i t i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 3t 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+t 12t 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] 6√3−9【解析】：把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是 1−√32 ，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】：解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为 1−√32 ，每对向量的夹角为30°， ∴每对向量的数量积为 (1−√32) cos30°= √32(1−√32) ， ∴最后结果为12× √32(1−√32) =6 √3 -9， 故答案为：6 √3 -9．【点评】：本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．9.（填空题，4分）设实数x ，y 满足约束条件 {x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12，则 x+2y+3x+1 取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][3，11]【解析】：根据分式的特点将分式转化为斜率形式，利用数形结合即可得到结论．【解答】：解：设z= x+2y+3x+1 = x+1+2(y+1)x+1 =1+2• y+1x+1 ， 设k= y+1x+1 ，则k 的几何意义为动点P （x ，y ）到定点D （-1，-1）的斜率．即z=1+2k ，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P 位于直线OA 上，斜率k 最小为1，当P 位于B （0，4）时，斜率k 最大为 4+10+1 =5，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即 x+2y+3x+1 的取值范围是[3，11]， 故答案为：[3，11]．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.（填空题，4分）已知非零向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，设 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集A={F| FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| }，若对于任意的m≥3，当F 1，F 2∈A 且不在直线PQ 上时，不等式| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤k| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数k 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 34【解析】：根据条件可得MF 平分∠PFQ ，故而F 到P 、Q 的距离比为m ，求出F 的轨迹，得出F 1F 2的最大值，得出k 关于m 恒成立的式子，利用单调性求出k 的最小值．【解答】：解：∵ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P ，Q ，M 三点共线， ∵ FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，∴cos∠PFM=cos∠MFQ ， ∴FM 为∠PFQ 的角平分线．由 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得： MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = m m+1QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ FP FQ =MP MQ =m ，以PQ 为x 轴，以PQ 的中垂线为y 轴建立平面坐标系，设PQ=2a （a ＞0），F （x ，y ），则（ FP FQ ）2= (x+a )2+y 2(x−a )2+y 2 =m 2，整理得：（x- a(m 2+1)m 2−1 ）2+y 2= 4m 2a 2(m 2−1)2 ，∴F 的轨迹是圆心为（a(m 2+1)m 2−1 ，0），半径为 2ma m 2−1的圆． ∴| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤ 4ma m 2−1 ， ∴ 4ma m 2−1 ≤2ka ，即k≥ 2m m 2−1 =2m−1m 恒成立， 设f （m ）= 2m−1m （m≥3），则f （m ）在[3，+∞）上单调递减，∴f （m ）的最大值为f （3）= 34 ．∴k≥ 34 ．故答案为： 34 ．【点评】：本题考查向量共线定理的运用，考查向量的数量积的几何意义，以及角平分线的性质定理，同时考查函数的单调性的运用，属于难题．11.（单选题，4分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x+b 1y+c 1=0，l 2：a 2x+b 2y+c 2=0，那么“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：两条直线平行时，一定可以得到a 1b 2-a 2b 1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】：解：若“ |a 1b 1a 2b 2| =0则a 1b 2-a 2b 1=0，若a 1c 2-a 2c 1=0，则l 1不平行于l 2， 若“l 1 || l 2”，则a 1b 2-a 2b 1=0，∴ |a 1b 1a 2b 2| =0， 故“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．12.（单选题，4分）P （x 1，y 1）是直线l ：f （x ，y ）=0上一点，Q （x 2，y 2）是l 外一点，则方程f （x ，y ）=f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）表示的直线（ ）A.与l 重合B.与l 相交于P 点C.过Q 点且与l 平行D.过Q 点且与l 相交【正确答案】：C【解析】：由题意有可得 f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）≠0，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【解答】：解：由题意有可得 f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）≠0，则方程f （x ，y ）-f （x 1，y 1）-f （x 2，y 2）=0即f （x ，y ）-f （x 2，y 2）=0，它与直线l ：f （x ，y ）=0的一次项系数相等，但常数项不相等， 故f （x ，y ）-f （x 2，y 2）=0表示过Q 点且与l 平行的直线，故选：C．【点评】：本题考查两直线平行的条件，利用了当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行．13.（单选题，4分）已知a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗均为单位向量，且a⃗• b⃗⃗=0．若|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，则|c⃗+a⃗|的取值范围是（）A. [3， √10]B.[3，5]C.[3，4]D. [√10， 5]【正确答案】：B【解析】：由题意建立平面直角坐标系，得到a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗的坐标，设出c⃗的坐标，代入|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，由其几何意义可得c⃗的终点的轨迹，再由|c⃗+a⃗|的几何意义求得取值范围．【解答】：解：∵ a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗均为单位向量，且a⃗• b⃗⃗=0．∴设a⃗=(1，0)，b⃗⃗=(0，1)，再设c⃗=(x，y)，代入|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，得√(x−4)2+y2+√x2+(y−3)2=5．即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，∴ c⃗的终点轨迹是点（4，0）和（0，3）之间的线段，|c⃗+a⃗| = √(x+1)2+y2，表示M（-1，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（-1，0）到直线3x+4y-12=0的距离．∴ |c⃗+a⃗|min = |−3−12|=3．5最大值为|MA|=5．∴ |c⃗+a⃗|的取值范围是[3，5]．故选：B．【点评】：本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离等，关键是利用坐标法解答，属中档题．14.（单选题，4分）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （n∈N *，n≥2）等分点，沿向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向依次为P 1，P 2，…，P n-1，记T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若给出四个数值： ① 294 ② 9110 ③ 19718 ④ 23233 ，则T n 的值可能的共有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：A【解析】：计算 AP k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AP k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出T n 关于n 的函数，分别令T n 与给出的4个数值相等，根据方程有无大于1的正整数解即可作出判断．【解答】：解： AP k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AP k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +k BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•[ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（k+1） BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]= AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +k （k+1） BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+（2k+1） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1+ k 2+k n 2 - 2k+12n （k=1，2，……，n-1）， ∴T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+ AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（n-1）+12+22+32+⋯+(n−1)2n 2 + 1+2+3+⋯+(n−1)n 2 - 3+5+7+⋯+(2n−1)2n=1- 12n +（n-1）+ (n−1)(2n−1)6n + n−12n - (n+1)(n−1)2n= 5n 2−26n （n∈N *，n≥2）． 令 5n 2−26n = 294 ，即10n 2-87n-4=0，方程无整数解，不合题意，令 5n 2−26n = 9110，即25n 2-273n-10=0，方程无整数解，不合题意， 5n 2−26n = 19718 ，即15n 2-197n-6=0，方程无整数解，不合题意，5n 2−26n = 23233，即55n 2-464n-22=0，方程无整数解，不合题意．故选：A ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查等差数列求和，考查方程根的情况判断，属于中档题．15.（问答题，8分）设 a ⃗ ， b⃗⃗ 是两个不共线的非零向量． （1）记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13（ a ⃗ + b ⃗⃗ ），那么实数t 为何值时，ABC 三点共线？ （2）若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1且 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角为120°，那么实数x 为何值时，| a ⃗ -x b⃗⃗ |的值最小？【正确答案】：【解析】：（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此等式建立起关于λ，t 的方程求出t 的值；（2）由题设条件，可以 |a ⃗−xb⃗⃗| 表示成关于实数x 的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x 的值．【解答】：解：（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)又 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tb ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗+b ⃗⃗) ∴ tb ⃗⃗−a ⃗ = 13λ(a ⃗+b ⃗⃗)−λtb ⃗⃗ ，又 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量 ∴ {t +λt −13λ=013λ=−1 解得 {λ=−3t =12 故存在 t =12 时，A 、B 、C 三点共线（2）∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 且 a ⃗，b ⃗⃗ 两向量的夹角是120°∴ |a ⃗−xb ⃗⃗|2= a ⃗2−2xa ⃗•b ⃗⃗+x 2b ⃗⃗2 =1+x+x 2=（x+ 12 ）2+ 34∴当x=- 12 时， |a ⃗−xb ⃗⃗| 的值最小为 √32【点评】：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想16.（问答题，12分）已知过原点的动直线l 与圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0 相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L ：y=k （x-4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设M （x ，y ），由条件可知C 1M⊥AB ，从而得到 k C 1M •k AB =−1 ，然后求出M 的轨迹，再根据条件求出x 的取值范围；（2）通过联立直线L 与圆C 1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】：解：（1）圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0⇒(x −3)2+y 2=4 ，∴圆心坐标为（3，0），设M （x ，y ），则可知C 1M⊥AB ，∴ k C 1M •k AB =−1⇒y x−3•yx =−1 ，整理可得： (x −32)2+y 2=94， 当动直线与圆相切时，设直线方程：y=kx ，则 {x 2+y 2−6x +5=0y =kx⇒(k 2+1)x 2−6x +5=0 ， ∴ △=36−20(k 2+1)=0⇒k 2=45，∴切点的横坐标为 x =12•6k 2+1=53 ，由圆的性质可得M横坐标的取值范围为(53，3]，所以轨迹方程为(x−32)2+y2= 94，x∈（53，3]．（2）由（1）可得曲线C为圆(x−32)2+y2=94，x∈(53，3]的一部分圆弧EF（不包括E，F），其中E(53，2√53)，F(53，−2√53)，直线L：y=k（x-4）过定点（4，0），① 当直线与圆相切时：d C−l=|52k|√k2+1=32⇒k=±34，② 当直线与圆不相切时，可得k DE=0−2√5 34−53=−2√57，k DF=0−(−2√53)4−53=2√57，数形结合可得：当k∈[−2√57，2√57]时，直线与圆有一个交点，综上所述：k∈[−2√57，2√57]∪{34，−34}时，直线L与曲线C只有一个交点．【点评】：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A （x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点称Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．（1）求证对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（2）已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，求d（P，l）；（3）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用新定义，证明A，B，C三点间的“切比雪夫距离”，满足的不等式即可；（2）设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x，2x-1），可得d（P，Q）=max{|x-3|，|2-2x|}，讨论|x-3|，|2-2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，求得最小值；（3）运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可．【解答】：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），d（A，C）+d（C，B）=max{|x1-x3|，|y1-y3|}+max{|x3-x2|，|y3-y2|}≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2|；同理可得d（A，C）+d（C，B）≥|y1-y2|；所以，d（A，C）+d（C，B）≥max{|x1-x2|，|y1-y2|}=d（A，B）；（2）解：设点Q（x，2x-1）为直线l：2x-y-1=0上一点，则d（P，Q）=max{|x-3|，|2x-2|}；由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤ 53，即有d（P，Q）=|x-3|，当x= 53时，取得最小值43；由|x-3|＜|2-2x|，解得x＞53或x＜-1，即有d（P，Q）=|2x-2|，d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（43，+∞）=（43，+∞），无最值，综上可得，P，Q两点的最小值为43，所以d（P，l）= 43；（3）解：设轨迹上动点为P（x，y），则d（C，P）=max{|x-x0|，|y-y0|}=r，等价于{|x−x0|=r|y−y0|≤|x−x0|，或{|x−x0|≤|y−y0||y−y0|=r；所以点P（x，y）的轨迹是以C（x0，y0）为中心，边长为2r的正方形，所以P点所在的曲线所围成图形的面积为4r2．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题也是易错题．18.（问答题，12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形．求证：① 直线l1，l2关于原点对称；② 求出该菱形周长的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求得可得a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2） ① 设l 1 的方程为y=kx+m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y=kx+m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|CD|与|MN|，由四边形CDMN 是菱形，得|CD|=|MN|，得到 m 12=m 22 ，进一步可得m 1=-m 2，说明直线l 1，l 2关于原点对称；② 由题意可得 {x 3=−x 1y 3=−y 1 且 {x 4=−x 2y 4=−y 2，则 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1，2y 1) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 2，2y 2) ，结合四边形CDMN 是菱形，得 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，由数量积的坐标运算可得 3m 12−2k 2−2=0 ，设菱形CDMN 的周长为l ，得l=4|CD|，整理后利用基本不等式求最值．【解答】：（1）解：由题意可知， {b =ca 2=b 2+c 2a 2=2，得a 2=1，b 2=c 2=1．∴椭圆E 的标准方程为 x 22+y 2=1 ；（2） ① 证明：设l 1 的方程为y=kx+m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y=kx+m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），联立 {y =kx +m 1x 2+2y 2=2，得 (1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2 ， 由△= 16k 2m 12−4(1+2k 2)(2m 12−2) ＞0，得 2k 2+1−m 12 ＞0（*），x 1+x 2=−4km 11+2k 2 ， x 1x 2=2m 12−21+2k 2 ， |CD|= √1+k 2•|x 1−x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2= √1+k 2•√(−4km 11+2k 2)2−4•2m 12−21+2k 2 = √1+k 2•2√2•√1+2k 2−m 121+2k 2； 同理|MN|= √1+k 2•2√2•√1+2k 2−m 221+2k 2， ∵四边形CDMN 是菱形，∴|CD|=|MN|，∴ m 12=m 22 ，又∵m 1≠m 2，∴m 1=-m 2，可得直线l 1，l 2关于原点对称；② ∵椭圆关于原点对称，∴C ，M 关于原点对称，D ，N 关于原点对称，∴ {x 3=−x 1y 3=−y 1 且 {x 4=−x 2y 4=−y 2， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1，2y 1) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 2，2y 2) ， ∵四边形CDMN 是菱形，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即 (1+k 2)x 1x 2+km 1(x 1+x 2)+m 12=0 ，∴ (1+k2)•2m12−21+2k2+km1•(−4km11+2k2)+m12=0，化简得：3m12−2k2−2=0．设菱形CDMN的周长为l，则l=4|CD|= 8√2•√1+2k 2•√2k2+1−m121+2k2 = 8•√33√2+2k2•√1+4k21+2k2≤8√33•12(2+2k2+1+4k2)1+2k2=4√3．当且仅当2+2k2=1+4k2，即k2=12时取等号，此时m12=1，满足（*）．∴菱形周长的最大值为4√3．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。