浅谈齐二次分式函数的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题
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二次函数在闭区间上的最值问题
作者：宋验兵
来源：《新课程·教研版》2011年第14期
摘要：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间［p，q］上的最值问题实质是利用函
数的单调性，就对称轴与区间的“定”“动”关系，分类解析
关键词：定轴定区间；定轴动区间；动轴定区间；动轴动区间
二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间［p，q］上的最值问题是二次函数的重要题
型之一，求解的关键是判断对称轴和区间的位置关系，其实质是利用函数的单调性。
现就对称轴与区间的“定”“动”关系，分类解析如下：
一、定轴定区间
例1.已知函数f（x）=2x2+x-3，求f（x）在［-1，2］上的最值。
二次函数在闭区间上的最值 (经典)
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次函数在闭区间上的最值精品文档8页
二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。
设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。
分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。
2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。
当a<0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。
例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。
分子分母都是二次式的分式函数的极值问题
分子分母都是二次式的分式函数的极值问题
像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法"
(核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值)
具体方法如下:设y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2)
分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边,然后以m为主元进行整理,得:(5y-9)m^2+(6y-6)m+(2y-1)=0
因为该函数的值域存在,即y存在,故这个方程的判别式△>=0
即△=(6y-6)^2-4(5y-9)(2y-1)>=0
整理得:y(y-5)<=0
故0<=y<=5
所以该式的最大值为5
(如果分母有可能为0,那么就先将分母可能为0的情况讨论一下)
注:如果是(ax^2+bx+c)/(dx+e)型的,令t=dx+e,求得x=(t-e)/d,代入分子
然后化成At+B(1/t)+C的形式,若A,B同号,则根据基本不等式求解;若A,B异号,则根据单调性求解.
(dx+e)/(ax^2+bx+e)型的同上,化到分母上做就行了
做最值问题,关键要选择方法.常用的就三个:函数,方程,不等式
函数大概70%,方程20%,不等式10%.三者要会互相转化,是做好最值题的关键。
高考高频考点2二次型分式函数求最值
第2讲 二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−， 整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠， 注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++， 易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥， 所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤， 当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。
高一数学二次函数在闭区间上的最值
高一数学：二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类:
（一）正向型
正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形:
（1）轴定,区间定;
（2）轴定,区间变;
（3）轴变,区间定;
（4）轴变,区间变.
1：轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”.
2：轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.
3：轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
4：轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”.
（二）逆向型
逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值.。
二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。