位移计算的一般公式(力学)
YAb/a
1YAc0 bc/a
这是单位荷载法，它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method .
(1)虚力原理所建立的虚功方程，实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位
广义力 P=1 (3)求解时关键是找出虚力状态的静力平衡关系。 (4)实质是用静力平衡法来解几何问题。
.
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
P
P
X
C
C
a
b
(a)
X (b) 待分析力状态
(c)
虚设位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
由外力虚功总和为零，即： XXPC0
将 X/Ca/b代入得:
XbP /a
通常取 1
X
x
单位位移法
.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理， 实质上是实际受力状态的平衡方程：
（2）实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P
W 1 P 2
（3）虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
P
t
.
WPt
21
P2
22
P2
注意：
P1 11
12
（1）两种状态属同一体系； （2）均为可能状态。即
位移应满足变形协调条件；
力状态应满足平衡条件。
（3）位移状态与力状态完全无关；
P1
NP,kQ P,MP
EA GA EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
N E PN A kG Q PQ A M E PM I d x
.
第四章 静定结构的位移计算
4.3 单位荷载法
Unit Load Method
.
1. 位移计算的一般公式
k
iP
P1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
l
l
l
iP 0 ( N Q M ) d x 0 N d u 0 Q d v 0 M d
i
i
i
i
.
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
W（外力虚 V功 （） 内力虚功）
.
对于杆件结构，虚功原理可以表示为：
l
l
l
W 0N 1 d2 u 0Q 1 d2 v 0M 1 d2
i
i
i
上式称为杆件结构的虚功方程。
.
原理的说明
1. 虚功原理存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。因此原理仅是必要性命题。
荷载作用 支座移动 温度变化 制造误差
有内力 无内力 无内力
有变形 无变形 有变形
.
有位移
4. 基本假定
位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即结构的 位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的 位移也随之消失。并应满足如下基本假定：
１. 应力和应变服从虎克定律（线弹性）；
２. 位移是微小位移，即可用结构原尺寸和叠加法计
.
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
.
微段外力:
M
q MdM
N
NdN
Q ds QdQ
微段变形:
拉伸
ds
ds
ds 剪切
V
l
力状态 （虚力状态）
位移状态 （虚位移状态）
12
.
（4）广义力和广义位移
一个力系作的总虚功 W=P× P—广义力; —广义位移
P
WP
M
WM
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M .
B P
W P A PB P( A B ) P
2. 变形体系的虚功原理
（1）刚体体系的虚功原理
的计算； 6. 掌握弹性体的互等定理。
.
1. 结构的位移
A
A
P
AV
A A
AH
计算位移的目的？ 产生位移的原因？
.
变形与位移
线位移 位移
转角位移
绝对位移 广义位移
相对位移
2. 计算位移的目的
(1) 满足刚度要求； (2) 为超静定、动力和稳定计算打基础； (3) 施工要求。
.
3. 产生位移的原因
算其位移（小变形）；
３. 所有约束为理想约束，即约束力不作功（理想约
束）。
叠加原理
.
适用
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理
Principle of Virtual Work for Elastic Body
.
1. 几个概念
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
第四章 静定结构的位移计算
4.1 结构位移的概念
Concept of Structural Displacement
.
本章的基本要求
1. 了解变形体系的虚功原理及其应用； 2. 掌握计算静定结构位移的单位荷载法； 3. 熟练掌握图乘法； 4. 熟练掌握荷载作用下各类静定结构的位移计
算； 5. 掌握结构因支座移动、温度变化引起的位移
2. 原理的证明（参考相关教材）表明: 虚功原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于
任何结构。刚体体系虚功原理是变形为零时的特例。
3. 原理可有两种应用： 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态，
将平衡问题化为几何问题来求解。 虚力原理：实际待分析的位移状态，虚设的力状态，
将位移分析化为平衡问题来求解。
在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中 的力系能满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能 与几何约束相容，则外力虚功之和等于零。
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
.
（2）变形体系的虚功原理
材料力学变形公式：
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
0(N1 2
Q12
M12)ds
i
l
l
l
i
0N1du2 i
0Q . 1dv2 i
0M1d 2
弯曲
变形体的虚功原理：
变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），而 由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形（位 移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作 的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的相应变形 上所作的虚功。
MB 0
(2)虚位移与实际力状态无关，故可设：
x 1
(3)求解时关键是找出虚位移状态的位移关系； (4)实质是用几何法来解静力平衡问题。
.
B. 虚力原理
例：求 A 端支座发生竖向位移 c 时C点的竖向位移 .
A
c
BC
1
A
YA
解：首先构造出相应的虚设力状态。即在拟求位移点（C点） 沿拟求位移方向（竖向）施加单位荷载。
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
理论力学公式
理论力学公式理论力学是物理学中重要的分支之一，它研究的是物质运动的规律以及力对物体运动的影响。
在理论力学中有很多重要的公式，下面将介绍一些较为常用的公式。
1.速度与位移的关系：速度（v）是一个物体在单位时间内所经过的位移（s）的变化率。
速度的公式可以表示为：v = ds/dt其中，v代表速度，s代表位移，t代表时间。
这个公式表明，速度等于位移的导数。
2.加速度和速度的关系：加速度（a）是一个物体在单位时间内速度（v）的变化率。
加速度的公式可以表示为：a = dv/dt其中，a代表加速度，v代表速度，t代表时间。
这个公式表明，加速度等于速度的导数。
3.牛顿第二定律：牛顿第二定律描述了力对物体运动的影响。
牛顿第二定律可以表示为：F = ma其中，F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个公式表明，物体受到的力等于其质量乘以加速度。
4.动能和功的关系：动能（K）是物体运动时所具有的能量。
根据定义，动能等于物体的质量乘以速度的平方的一半，即：K = (1/2)mv^2其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
功（W）则描述了力对物体运动所做的功。
功的公式可以表示为：W = F·s·cosθ其中，W代表功，F代表力，s代表位移，θ代表力在位移方向上与位移的夹角。
这个公式表明，功等于力乘以位移乘以力在位移方向上的投影。
5.势能和力的关系：势能（U）是力学系统中保持的一种能量形式。
势能的公式可以表示为：U = -∫F·ds其中，U代表势能，F代表力，s代表位移。
这个公式表明，势能等于力对位移的负积分。
6.角动量和力矩的关系：角动量（L）是一个物体围绕一些点旋转时所具有的动量。
L=r×p其中，L代表角动量，r代表与旋转点的矢量距离，p代表物体的动量。
这个公式表明，角动量等于与旋转点的矢量距离与动量的叉乘。
力矩（τ）则描述了力对物体旋转的影响。
力矩的公式可以表示为：τ=r×F其中，τ代表力矩，r代表与旋转点的矢量距离，F代表力。
简支梁位移计算公式
简支梁位移计算公式
简支梁的位移计算公式可以通过梁的弯曲理论来推导。
在简支
梁的情况下，当集中力作用于梁上时，梁会发生弯曲变形，导致梁
的位移。
位移计算公式可以通过弯曲理论和梁的几何特征来推导。
首先，我们可以使用弹性力学理论中的梁弯曲方程来描述梁的
位移。
对于简支梁而言，可以使用Euler-Bernoulli梁理论来进行
分析。
根据这个理论，简支梁在受到集中力作用时的最大位移可以
通过以下公式来计算：
δ = (F L^3) / (3 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，F代表作用在梁上的力
的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
这个公式适用于简支梁在受到集中力作用时的情况。
另外，如果梁上分布有均匀载荷，则可以使用不同的公式来计
算梁的位移。
对于简支梁在均匀载荷作用下的位移，可以使用以下
公式：
δ = (5 w L^4) / (384 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，w代表均匀分布载荷的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
需要注意的是，以上提到的公式都是针对简支梁在弹性范围内的情况下推导得出的。
在实际工程中，还需要考虑许多其他因素，例如梁的材料特性、截面形状等，因此在使用这些公式进行位移计算时，需要结合具体情况进行综合考虑。
结构力学-第四章-结构位移计算-2
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
力学中各种公式的计算
力学中各种公式的计算力学是物理学的一个重要分支，研究物体受力的规律及其运动状态。
在力学中，有许多重要的公式用于计算各种物理量。
在本文中，我将为您介绍力学中一些常用的公式，并提供相应的计算方法。
1. 力的公式（F=ma）：力（F）等于物体的质量（m）乘以物体的加速度（a）。
这个公式用于计算物体所受的力。
如果已知物体的质量和加速度，可以通过乘法运算得到物体所受的力。
2. 动能的公式（K=½mv²）：动能（K）等于物体的质量（m）乘以物体的速度的平方（v²）再除以2、这个公式用于计算物体的动能。
如果已知物体的质量和速度，可以通过乘法和除法运算得到物体的动能。
3. 动量的公式（p=mv）：动量（p）等于物体的质量（m）乘以物体的速度（v）。
这个公式用于计算物体的动量。
如果已知物体的质量和速度，可以通过乘法运算得到物体的动量。
4.力与位移的公式（W=Fs）：力（F）等于物体所受的作用力，位移（s）是物体移动的距离。
这个公式用于计算力对物体进行的位移所做的功（W）。
如果已知力和位移，可以通过乘法运算得到功。
5.功率的公式（P=W/t）：功率（P）等于做功（W）的速率。
这个公式用于计算物体的功率。
如果已知做功和时间，可以通过除法运算得到功率。
6.动能定理（W=ΔK）：根据动能定理，当物体受到合力的作用时，物体的动能会发生变化，动能的变化等于合外力（W）对物体所做的功。
这个公式用于计算物体动能的变化。
如果已知外力和动能的变化，可以通过等式计算功。
7. 运动学方程（v=u+at）：当物体的初速度（u）、加速度（a）和时间（t）已知时，可以使用运动学方程计算物体的末速度（v）。
根据公式，最终速度等于初速度加上加速度乘以时间。
8. 自由落体公式（h=½gt²）：自由落体公式用于计算自由落体运动中物体的下落距离（h）。
根据公式，下落距离等于重力加速度（g）的一半乘以时间的平方。
结构力学第五章-2(单位荷载法)
P
N i NPds N i NPl
EA
EA
P
MiM Pds N i NPl
EI
EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 By 和水 平位移 Bx。(EI、EA、GA已知) FP
解：构造虚设的力状态如图示
B
P=1
A
P =1
θ
R
M y R sin
θ
R
MP θ
R
M x R(1 cos )
~
2E 25 G
(h)2 l
E G的取值范围是什么？
G
E
2(1 )
0 0.5
2 EG 3
取：
h l
1 10
， E G 2.5 ，有：
(Ay )N
~
1, 750
(Ay )Q
~
1 500
即：
Ay
5ql 4 (1 1 1 ) 8EI 750 500
(Ay )Q 0.2% , (Ay )N 0.13%
(Ay )M
(Ay )M
因此,对受弯细长杆件,通常略去N、 V的影响。
三、几点讨论（只有荷载作用）：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架：
P
MiM Pds EI
2. 对桁架： 3. 对组合结构：
构；静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切
变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
结构力学5-3结构位移计算的一般公式
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
位移计算的一般公式(力学
曲线运动的位移公式
总结词
曲线运动中，物体的位移是运动轨迹上各点的位置坐标之和。
详细描述
在曲线运动中，物体的位移需要通过对运动轨迹上各点的位置坐标进行积分来计算。具体公式取决于曲线的形状 和运动方式。对于简单的曲线运动，如圆周运动，位移可以通过弧长和角度的函数来描述。对于更复杂的曲线运 动，可能需要使用数值积分方法来计算位移。
位移与速度的关系
总结词
位移与速度的关系是位移计算中的基础关系 ，描述了物体在一段时间内位置的变化与其 平均速度之间的关系。
详细描述
位移（S）是物体运动过程中位置的变化量 ，可以用距离和方向来表示。速度（V）是 描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时 间的比值。在匀速直线运动中，速度保持不 变，位移与速度成正比，即S=V*t，其中t
位移是描述物体位置变化的物理 量，是运动学的基本概念之一。
位移的大小表示物体在空间中移 动的距离，方向表示物体的移动
方向。
位移的物理意义在于描述物体在 空间中的位置变化，是描述物体
运动状态的重要参数之一。
02
CATALOGUE
位移的一般公式
匀速直线运动的位移公式
总结词
匀速直线运动的速度保持不变，因此位移等于速度乘以时间 。
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，因此位移（即物 体移动的距离）可以通过速度与时间的乘积来计算。数学公 式为：$s = v times t$，其中 $s$ 表示位移，$v$ 表示速度 ，$t$ 表示时间。
匀加速直线运动的位移公式
总结词
匀加速直线运动中，物体速度逐渐增加 ，位移等于初速度、末速度、加速度和 时间的函数。
位移计算的一般公 式
目 录
结构力学位移计算
结构力学位移计算结构力学是研究结构在外力作用下产生的应变和变形的学科。
位移计算是结构力学中非常重要的内容之一，通过计算结构的位移可以确定结构的稳定性、刚度和形态等信息。
本文将从基本概念、位移计算的方法和实例等方面进行详细介绍。
一、基本概念1.结构位移：结构在受到外力作用后，发生变形产生的位移称为结构位移。
结构位移是结构变形的主要表征，通过位移计算可以得到结构中各个点的位移量。
2.位移与应变关系：根据材料力学的基本原理，结构的位移与结构中各个点的应变密切相关。
通常使用应变平衡方程来建立位移与应变之间的关系。
3.位移计算方法：位移计算主要分为两类方法，即解析解法和数值解法。
解析解法通过解析求解结构的位移方程，得到精确的位移结果。
数值解法通过离散化结构、建立结构的数值模型，并采用数值算法求解位移方程，得到近似的位移结果。
二、位移计算的方法1.解析解法：解析解法常用于简单结构或具有对称性的结构，通过假设结构的位移形式和边界条件，建立结构的位移方程，然后求解解析解。
2.数值解法：数值解法常用于复杂结构或无法采用解析解法求解的情况。
主要包括有限元法、有限差分法和边界元法等。
这些方法通过将结构离散化成若干个单元，建立数值模型，并采用近似的数值算法求解结构的位移方程。
三、位移计算的实例以简支梁的位移计算为例，介绍位移计算的具体过程。
1.简支梁位移计算的基本假设：（1）结构为理想化的一维结构；（2）结构之间没有弯矩和剪力的连梁或折线等连接形式；（3）结构在垂直于横截面方向上没有刚度差异。
2.简支梁的位移计算步骤：（1）根据梁的边界条件和受力情况，建立梁的位移方程；（2）求解梁的位移方程，得到梁在各个截面上的位移表达式；（3）根据边界条件，确定梁的位移常数；（4）结合位移表达式和位移常数，求解梁在各个截面上的位移。
3.简支梁的位移计算具体公式：（1）若梁在x轴方向上的长度为L，截面x处的位移为y(x)，则梁的位移方程可表示为：d²y/dx²=-M(x)/EI，其中M(x)为梁在x处的弯矩，E为梁的弹性模量，I为梁的截面矩。
结构力学 静定结构的位移计算1
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A