自 由 网 平 差

自由网平差

班级：测绘0911 学号：姓名：日期：

一、实验分析

（1）实验的目的

1.熟悉广义逆的概念和计算

当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解

NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）

2.了解秩亏自由网平差的原理和方法

秩亏自由网平差的原理:

误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1

平差原则：

V T PV=min，X T X=min

法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl

因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有

X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl,

单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B))

X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。由误差方程式，顾及

Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T

秩亏自由网平差的方法:

第一步：求得误差方程：V=BX-l

第二步：组成法方程:NX=B T Pl

第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-

第四步：计算X=Nm-B T l

第五步：平差结果的计算

第六步：X的协因数计算Q XX=N+

3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理

在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。以网中所有点的高程或坐标作为未知数，可将其分为稳定的和不稳定的坐标未知数两类。设它们的近似值分别

为X20和X10，则可列出误差方程为V=BX-l=（B1 B2）

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2

1

X

X

-l，求出X1和X2即是对应

的参数求解的过程，最后求出协因数阵即可。

4.完成对书中例子的验算（例4-4、4-5、4-6）

5.完成自由网拟稳平差程序设计，并用书中例4-9数据进行验证

（2）实验要求

独立完成书中相关示例的验证

能够在EXCEL中完成参数的推导和假设假设验证

每个小组需一起合作完成自由网拟稳平差程序设计

书写实验报告

（3）实验过程的剖析

在4-4实验中:求解A+，先根据A阵求解N=A T A;求出NN,(NN)-,再求N+=N(NN)-N(NN)-N；

最后即可以得出A+=N+A T;依次按照公式就可以得到广义逆的解

在4-5实验中，第一步：求得误差方程：V=BX-l 第二步：组成法方程:NX=B T Pl

第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)- 第四步：计算X=Nm-B T l第五步：平差结果的计算第六步：X的协因数计算Q XX=N+

在4-6实验中，与4-5实验类似，在求解误差方程的过程中，将B矩阵进行切分，从而得到B1和B2，X1和X2；计算N矩阵，计算M=N22-N21N11-1N12;计算αT=B2T-N21N11-1B1T 计算MM,(MM)-以及M m-=M(MM)-,α=M m-αT,β=N11-1(B1T-N12α)，计算X2，X1和X0+X, X2=αl，X1=βl，X即可以求解出，从而可以求解得到V，最后即可以求解出Q XX

在4-9实验中，先根据已知的数据得到V的表达式，再进行秩亏自由网平差，

δX = N(NN)-B T PΔhΔh，再求解QδXδX=N(NN)-N(NN)-N，而σ0^2=V T PV/(n-R(B))

二、实验的步骤

实验一

实验二

实验三

实验四

三、实验的结论分析

在这几个实验中，秩亏自由网平差与拟稳平差计算出的V 都是一样的，与最小范数求解一致，因为都是在VTPV=min 的情况下求解的，包括在经典测量中，V 得出的结论都是一样的，而X 的计算结果是不同的，因为在计算秩亏方程中采用的X 的范围不一样，自然得出的解也是不同的。

四、实验心得体会

五、源程序（带注释）