微分方程的概念
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微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
7.1微分方程的概念
例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率 等于该点的横坐标,求此曲线方程.
初始条件 设曲线方程为 y = y(x), 则 y x,
x2 y xdx c 2
c 1
y | x 0 1
一阶线性 微分方程
x y 1 2
2
通解
特解
一 、 微 分 方 程 的 概 念
如： y
x 1
2 可以确定 y x C 中的C
2
一阶常微方程的初始条件为 y ( x 0 ) y 0 ,其中
x 0 ， y 0 是两个已知数.
y ( x0 ) y0 , 二阶微分方程的初始条件为 . y ( x 0 ) y 0
一 、 微 分 方 程 的 概 念
x 2x y C e C e , y ( 0 ) 0 由初始条件 代入 1 2
得 C1 C2 0 x 2x y C e 2 C e , y ( 0 ) 1 由初始条件 代入 1 2 得 C1 2C2 1.
C1 1 C2 1 于是，满足所给初始条件的特解为
常微分方程. 偏微分方程.
z x y x
y x
dy xy dx
本章内容
一 、 微 分 方 程 的 概 念
例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？
(1) y 4 y 3 y 1
(2) y
d y (4) 2 1 x dx
一 、 微 分 如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。 方 程 (1) y 4 y 3 y 1 的 概 念 (2) y 2 4 y 3 0
(3)dy cos xdx
d y (4) 2 1 x dx
微分方程的基本概念
解 将 y 1( x2 4) 4
y 1 x 2
代入方程 y' ( x 2 4 ) 2xy
恒等式成立 且满足 y( 0 ) 1 所以 y 1 ( x 2 4 ) 是该初值问题的解
4
微分方程 微分方程的解 微分方程的阶 初始条件 积分曲线
通解 特解
1．试说出下列各微分方程的阶数： （1） x( y ')2 3 yy ' x2 0
（2） xy y xe x 0
（3） y 2xyy x 0 （4） ( x y)dx ( x y)dy 0
2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1） y '' y 0
（2） y y2 x2 （3） y' 2 y 0
y 3sin x 4cos x
y 1 x
（1）阻力的大小与下落速度成正比
（2）阻力的大小与下落速度的平方成正比
解 y表示冰雹的速度， y 表示冰雹的下落速度 则
（1）设阻力 f ky(k 0)根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky
（2）设阻力 f k( y)2 (k 0) ( y 0)
根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky2
而 y ex是特解。
【注】 通解满足两个条件：1) 是解；2) 含有任意常数。
定义9.5 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 称为微分方程的初始条件。
一 阶方程的初始条件(或初值条件): y( x0 ) y0 二阶方程的初始条件 y( x0 ) y0 y( x0 ) y0
求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为
(2) ( y 3 5xy)dx ( x y)dy 0
(3) xy''' xy'2 y sin x (4) y'''2 y''3 y'4 y e x
数学中的微分方程及其应用
数学中的微分方程及其应用微分方程是一种具有广泛应用的数学方法，它可以描述很多自然现象和工程问题。
微分方程可以求解出一个函数，它的某个导数与函数本身之间的关系。
微分方程的研究既有理论上的意义，也有实际的应用。
下面，我们将探讨微分方程的概念、分类、求解方法以及一些应用。
微分方程的概念微分方程是描述某个函数与其导数之间关系的方程。
例如，dy/dx=2x+1就是一个微分方程，它表示y的导数等于2x+1。
我们可以通过求解这个微分方程，得到y随x的变化规律。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是只含有一个自变量的微分方程，例如，dy/dx=2x+1就是一个一阶常微分方程。
而偏微分方程则含有多个自变量，例如，z=f(x,y)的偏导数方程∂z/∂x=2x+1就是一个一阶偏微分方程。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法有很多种，常用的方法包括分离变量法、一阶线性微分方程、二阶常系数齐次微分方程等。
下面我们分别介绍这几种方法的基本原理。
（1）分离变量法分离变量法是处理一阶常微分方程中最常用的方法。
它的基本思路是将微分方程的两端分别含有不同的变量，然后分别积分。
例如，dy/dx=2x+1，我们可以将方程两边同时乘以dx，得到dy=(2x+1)dx，然后在两侧分别积分，得到y=x^2+x+C，其中C为积分常数。
（2）一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx+P(x)y=Q(x)，其中P(x)和Q(x)均为已知函数。
我们可以通过积分因子法，将线性微分方程化为可求解的形式。
积分因子是一个函数，可以乘到微分方程两侧，使得方程变为可积的形式。
（3）二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程的一般形式为y''+by'+cy=0，其中b和c都是常数。
通过求解其特征方程r^2+br+c=0的根，我们可以得到方程的通解，通解的一般形式为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中C1和C2为积分常数，r1和r2为特征方程的两个根。
微分方程的概念
引例2 解
一曲线通过点 (1, 2，) 且在该曲线上任意一点 M处(x的, 切y)线的斜率
为 ，求曲2x线方程.
设曲线的方程为 y y(x) ，根据导数的几何意义，可知未知函数
y y(x) 应满足关系式
dy 2x dx
此外，函数 y y还(x应) 满足条件
(1) 微分方程 y( x) x1 2，(2) 初始条件
y 2 y ex 的解.
解
由于 y Ce2x 1 ex
3
则 y 2Ce2x 1 ex , y 4Ce2x 1 ex
3
3
代入微分方程 y 2 y ex 得：
4Ce2x 1 ex 2(2Ce2 x 1 ex ) ex 恒成立.
2
dy dx
y
sin
x
dx dt
2
x2
t3
常微分方程
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间 的关系式.
2、微分方程的阶
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微 分方程的阶.
d x x2 dt
d2 y 2 d y y sin x d x2 d x
⑸ xdy ydx 0
解 ⑴不是微分方程；
⑵不是微分方程；
⑶是1阶微分方程；
⑷是4阶微分方程；
⑸是1阶微分方程.
练习： 试说出下列各微分方程的阶数.
(1) x dy y 1 dx
(2) y2 xy xy 0
(3) x2 y x( y)3 3 0
3
3
所以 y Ce2x 1 ex 是 y 2 y ex 的解.
高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
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第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
微分方程的概念
微分方程的概念
微分方程的概念
微分方程是一种数学方程，它描述包括求解的变量在一个或多个变量的函数的变化是如何受到其他变量的影响的。
微分方程的解决方案可以用来描述物理系统中的变化，并且可以用于计算系统动态的行为。
常见的微分方程可以分为两种：常微分方程和非线性微分方程。
常微分方程由一个变量的导数所组成，它通常被用来描述连续的过程，而非线性微分方程则由多个变量和它们的导数组成，它可以用来描述更加复杂的变化系统。
微分方程的解决方案可以通过求导或积分的方式来计算出来。
求导就是求解变量关于另一个变量的增量变化，而积分则是求解变量关于时间或其他变量的总体变化。
微分方程一般是由求解问题的需求而推导出的，它可以用来描述一个系统或变量的动态行为，并有助于我们理解各种复杂的物理现象。
由于微分方程可以用来模拟物理系统的变化，它也是用来设计和分析各种复杂系统的重要工具。
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方
用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为
程
确定通解中任意常数的条件
的 概
初始条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;
念 如： y 2 可以确定 y x2 C 中的C x 1
一阶常微方程的初始条件为 y(x0 ) y0,其中
x0， y0 是两个已知数.
二阶微分方程的初始条件为
y(x0 ) y(x0 )
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 解：yC 1 exC 2e2x, yC 1ex2C 2e2x, yC 1ex4C 2e2x,
将 y, y, y代入方程 y 3y 2y 0左端，得
C 1 e x 4 C 2 e 2 x 3 ( C 1 e x 2 C 2 e 2 x ) 2 ( C 1 e x C 2 e 2 x ) ( C 1 3 C 1 2 C 1 ) e x ( 4 C 2 6 C 2 2 C 2 ) e 2 x 0
一
、 微分方程解的分类：
微 分
（2）特解：
方
确定了通解中任意常数的解。
程 的
y 2 x 方程中
概 念
y x 2 , y x2 1, 都是方程的特解。
问： y x2 1, y x2 C 两者有关系吗？
若给出：y x 1 2 可以代入得出。
一
、 微分方程解的分类：
微 分 （3）初始条件:
所以， y C1ex +C2 e2x 是微分方程的解．又因为这个解 中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它
是微分方程的通解．
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x( C1,C2为任意常数)
为二阶微分方程 y 3y 2y 0的通解，并求该方程满
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 由初始条件 y(0)0代入 yC 1 exC 2e2x, 得C 1 C 2 0 由初始条件 y(0)1代入 yC 1ex2C 2e2x, 得C 1 2 C 2 1 . 则 C1 1 C2 1 于是，满足所给初始条件的特解为 yexe2x
y0 , y0 .
一
、
微 分 方 程
例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等
于该点的横坐标,求此曲线方程.
初始条件
的 概
设曲线方程为 y = y(x), 则 yx, y|x01
念
yxd
xx2 2
c
一阶线性 微分方程
c 1
x2 y 1
2
通解
特解
一
、
微 分
4. 几何意义:
方 程
通解 积分曲线族 特解 积分曲线
(3)dycosxdx
(4)
d2y dx 2
1
x
一
、
微 （三）. 分类
分
方 分类2:微分方程的阶
程 的
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
概 称为微分方程的阶.
念 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).
一
、
微 分
例2：指出下列微分方程的阶数。
方 程
(5)xdxy2dy0 一阶
的 概
(6)y8y4x41 二阶
念
(7)yey x2
一阶
(8)y3yx2y1 二阶
一
、 微
（三）. 分类
分 方
分类3.线性与非线性方程：
程 当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂 的 (不含乘积)时，微分方程就称为线性微分方程.
微 分 微分方程解的分类：
必须独立
方 （1）通解：
程 的
y
如果解中含有任意常数C,且个数与阶数相同
概 念
n阶方程通解一般形式: yy(x,c1,c2,,cn)
例如： y y 通解 y C e x
y y 0 通解 yC 1sinxC 2cosx
若： yx2 C1 12C2
y x2 C
此解若为通解，只可能是一阶微分方程的通解。
x2 y2 1 x是自变量，y=y(x)
x2y2z2 1 x,y是自变量，z=z(x,y)
一
、
微 （一）.实例
分方 例Βιβλιοθήκη . 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等
程 于该点的横坐标,求此曲线方程.
的 概
设曲线方程为 y = y(x), 则 yx, y|x01
念
yxd
x
x2 2
c
c 1
y x2 1 2
一
、
微
分 如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。
方
程 的
(1)y4y3y1
概
念 (2)y24y30
(3)dycosxdx
(4)
d2y dx 2
1
x
10
一
、
微 分
例2：指出下列微分方程的阶数。
方 程
(1)x2dx2ydy0
一阶
的 概
(2)yy3ex0
二阶
念 (3)dy 2y dx 一阶
100x
(4 )x y 5 y 3 x y c o s2x三阶
第七章 微分方程
§7.1微分方程的概念
x32x10 3 x12 代数方程
x1什么x是方程？
sinxcosx1
超越方程
x1lnx
上述方程的共同点
作为未知而要求的是一个或几个个特定 的值（称为方程的根或解）
体会到方程论对解决实际问题的作用
设未知量
列方程
求解方程
高等数学中方程的推广
作为未知而要求的不再仅是一个或几个 个特定的值，而是一个函数（称为方程 的根或解）
的
概 念
例:验证 x2 y2 c 是 y x 的通解 y
对 x2 y2 c用隐函数求导法得:
y
x y
故 x2 y2 c是方程的解, 且含有一个任意常数.
通解
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x ( C1,C2为任意常数) 为二阶微分方程 y 3y 2y 0的通解，并求该方程满
yy x
y2xy3yex
dy 6 y xy2 dx x
yxyy2
一
、
微 分
(三). 分类
方 分类1:按自变量的个数分
程
的 概
常微分方程.
念
y x
dy xy dx
偏微分方程.
z x y x
本章内容
一
、
微 分
例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？
方
程 的
(1)y4y3y1
概
念 (2)y24y30
一
、 (二). 概念
微 分 1. 微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程.
方 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数
程 的 概
(或微分)之间的关系式.
如上例中的： y x
dy xy dx
z x y x
念 yxy3yex (t2x)dtxdx0
dy2xdx0 (yxy)dxx2dy0
概 否则为非线性微分方程。 念
yxy3yex y2xy3yex
练习：
一
、 微
（四）、主要问题————求方程的解
分 微分方程的解：
方 程
将函数 y=y(x) 代入方程后使方程恒等,则称之.
的 概
如： y 2 x 方程中
念 y x 2 , y x2 1, y x2 C
都是方程的解
一
、 （四）、主要问题————求方程的解