用导数求切线方程及应用.
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又(0，b)在切线上， ∴b＝1，
∴a＝1.
故选 A.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.1.3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3.已知曲线 y＝2x ＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点 坐标为________.
2
2
本 专 题 栏 目 开 关
f x ＋ Δ x － f x 0 0 2 解析 设点 P(x0,2x0 ＋4x0)， 则 f′(x0)＝Δlim Δx x→0 2Δx ＋4x0·Δx＋4Δx ＝ lim ＝ 4 x ＋ 4 ， 0 Δx Δx→0 令 4x0＋4＝16 得 x0＝3，
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入 点斜式方程即可．
例1．已经曲线C： y x x 2 和点 A(1,2)。求曲线C在点A处的切线方程？
3
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以 解决． 例2 与直线
2 x y 4 的平行的抛物线 0
∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
(2)点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0)
由(1)知，y′| x x ＝2x0，
0
∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
由 P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0) ①
即 2x－y－1＝0，
当切点为(5,25)时， 切线的斜率为 k2＝2x0＝10， 此时切线方程为 y－25＝10(x－5)，
本 专 题 栏 目 开 关
即 10x－y－25＝0. 2 综上所述，过点 P(3,5)且与曲线 y＝x 相切的直线方程为 2x
－y－1＝0 或 10x－y－25＝0.
小结 求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出 曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲 线过某点的切线方程，要先求出切点坐标.
y x2
的切线方程是
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用
法加以
解决，即设切线方程为
y 2x b
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先 设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线 程．
y x3 2 x上的点
(1 ， 1)的切线方
3.1.3
例 2 已知曲线 y＝x ，求： (1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)曲线过点 P(3,5)的切线方程.
2
本 专 题 栏 目 开 关
解 (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′| x x
0
x0＋Δx2－x02 ＝ lim Δx Δx→0
2 2 2
x0 ＋2x0·Δx＋Δx －x0 ∴ y ′ | ＝ 2. ＝ x 1 ＝ lim ＝ 2 x ， 0 Δx Δx→0
＝ lim (4x＋2Δx)＝4x. →
(1)设切点为(x0，y0)，
则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5).
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3.1.3
(2)由于点 P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为 A(x0，y0)， 则切线的斜率 k＝4x0，
故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0).
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法 来求解．
例4. 求过点 直线方程．
(2， 0) 且与曲线
1 y 相切的 x
练习 已知函数
，过点 y x 3x
3
A(0， 16) 作曲线
y f ( x的切线，求此切线方程． )
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3.1.3
跟踪训练 2 已知曲线 y＝2x －7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.
Δy 解 y′＝ lim Δx→0 Δx
Δx 0
2
本 专 题 栏 目 开 关
[2x＋Δx2－7]－2x2－7 ＝ lim Δx Δx→0
即 k＝8.
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3.1.3
2.若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1 ＝0，则 A.a＝1，b＝1 C.a＝1，b＝－1
2
( B.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1
A
)
本 专 题 栏 目 开 关
解析 由题意，知 k＝y′|x＝0
0＋Δx ＋a0＋Δx＋b－b ＝ lim ＝ 1 ， Δx Δx→0
本 专 题 栏 目 开 关
再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x 上得 y0＝x0
联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5.
2
2
②
从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，
切线的斜率为 k1＝2x0＝2， 此时切线方程为 y－1＝2(x－1)，
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3.1.3
2 2 将 P(3,9)及 y0＝2x0 －7 代入上式，得 9－(2x0 －7)＝4x0(3－x0).
本 专 题 栏 目 开 关
解得 x0＝2 或 x0＝4， 所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为 8x－y－15＝0 和 16x－y－39＝0.
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3.1.3
知识回顾：
导数的几何意义：
函数f ( x)在x x0处的导数f ( x0 )就是:
'
曲线y f ( x)在点（ P x0 , f ( x0 ))处的切线PT的斜率。 即k f ( x0 ), 在点P处的切线方程为
'
y y0 f ( x0 )( x x0 )
四种常见的类型及解法．
∴P(3,30).
答案 (3,30)
1.已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2,8)， 则点 A 处的切线斜率 为 A.4 B.16 C.8 D.2
f2＋Δx－f2 解析 f′(2)＝ lim Δx Δx→0
22＋Δx2－8 ＝ lim ＝ lim (8＋2Δx)＝8， Δx Δx→0 Δx→0
(
C
)
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∴a＝1.
故选 A.
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3.已知曲线 y＝2x ＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点 坐标为________.
2
2
本 专 题 栏 目 开 关
f x ＋ Δ x － f x 0 0 2 解析 设点 P(x0,2x0 ＋4x0)， 则 f′(x0)＝Δlim Δx x→0 2Δx ＋4x0·Δx＋4Δx ＝ lim ＝ 4 x ＋ 4 ， 0 Δx Δx→0 令 4x0＋4＝16 得 x0＝3，
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入 点斜式方程即可．
例1．已经曲线C： y x x 2 和点 A(1,2)。求曲线C在点A处的切线方程？
3
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以 解决． 例2 与直线
2 x y 4 的平行的抛物线 0
∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
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(2)点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0)
由(1)知，y′| x x ＝2x0，
0
∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
由 P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0) ①
即 2x－y－1＝0，
当切点为(5,25)时， 切线的斜率为 k2＝2x0＝10， 此时切线方程为 y－25＝10(x－5)，
本 专 题 栏 目 开 关
即 10x－y－25＝0. 2 综上所述，过点 P(3,5)且与曲线 y＝x 相切的直线方程为 2x
－y－1＝0 或 10x－y－25＝0.
小结 求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出 曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲 线过某点的切线方程，要先求出切点坐标.
y x2
的切线方程是
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用
法加以
解决，即设切线方程为
y 2x b
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先 设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线 程．
y x3 2 x上的点
(1 ， 1)的切线方
3.1.3
例 2 已知曲线 y＝x ，求： (1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)曲线过点 P(3,5)的切线方程.
2
本 专 题 栏 目 开 关
解 (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′| x x
0
x0＋Δx2－x02 ＝ lim Δx Δx→0
2 2 2
x0 ＋2x0·Δx＋Δx －x0 ∴ y ′ | ＝ 2. ＝ x 1 ＝ lim ＝ 2 x ， 0 Δx Δx→0
＝ lim (4x＋2Δx)＝4x. →
(1)设切点为(x0，y0)，
则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5).
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(2)由于点 P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为 A(x0，y0)， 则切线的斜率 k＝4x0，
故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0).
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法 来求解．
例4. 求过点 直线方程．
(2， 0) 且与曲线
1 y 相切的 x
练习 已知函数
，过点 y x 3x
3
A(0， 16) 作曲线
y f ( x的切线，求此切线方程． )
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跟踪训练 2 已知曲线 y＝2x －7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.
Δy 解 y′＝ lim Δx→0 Δx
Δx 0
2
本 专 题 栏 目 开 关
[2x＋Δx2－7]－2x2－7 ＝ lim Δx Δx→0
即 k＝8.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.1.3
2.若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1 ＝0，则 A.a＝1，b＝1 C.a＝1，b＝－1
2
( B.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1
A
)
本 专 题 栏 目 开 关
解析 由题意，知 k＝y′|x＝0
0＋Δx ＋a0＋Δx＋b－b ＝ lim ＝ 1 ， Δx Δx→0
本 专 题 栏 目 开 关
再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x 上得 y0＝x0
联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5.
2
2
②
从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时，
切线的斜率为 k1＝2x0＝2， 此时切线方程为 y－1＝2(x－1)，
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2 2 将 P(3,9)及 y0＝2x0 －7 代入上式，得 9－(2x0 －7)＝4x0(3－x0).
本 专 题 栏 目 开 关
解得 x0＝2 或 x0＝4， 所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为 8x－y－15＝0 和 16x－y－39＝0.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.1.3
知识回顾：
导数的几何意义：
函数f ( x)在x x0处的导数f ( x0 )就是:
'
曲线y f ( x)在点（ P x0 , f ( x0 ))处的切线PT的斜率。 即k f ( x0 ), 在点P处的切线方程为
'
y y0 f ( x0 )( x x0 )
四种常见的类型及解法．
∴P(3,30).
答案 (3,30)
1.已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2,8)， 则点 A 处的切线斜率 为 A.4 B.16 C.8 D.2
f2＋Δx－f2 解析 f′(2)＝ lim Δx Δx→0
22＋Δx2－8 ＝ lim ＝ lim (8＋2Δx)＝8， Δx Δx→0 Δx→0
(
C
)
本 专 题 栏 目 开 关