2020年浙江省金华一中高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.不等式|3x-12|≤9的整数解个数是（）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
2.已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（）
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
3.在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）
A. 12
B.
C. 28
D.
4.若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）
A. 1：2：3
B. 1：：2
C. 1：4：9
D. 1：：
5.已知等比数列{a n}的各项均为正，且5a3，a2，3a4成等差数列，则数列{a n}的公比
是（）
A. B. 2 C. D.
6.非零实数x，y满足|x+y|+|xy|=|x+y-xy|的充要条件是（）
A. x+y=0
B. xy＜0
C. （x+y）xy＞0
D. （x+y）xy≤0
7.已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则
的最小值为（）
A. B. C. D. 不存在
8.若钝角三角形ABC的三边长a，8，b（a＜b）成等差数列，则该等差数列的公差d
的取值范围是（）
A. （2，4）
B. （0，4）
C. （2，6）
D. （1，4）
9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=0，且S n≥-5对一切n∈N*恒成立，则此等差
数列{a n}公差d的取值范围是（）
A. （-∞，]
B. [0，]
C. [-，0）
D. [0，]
10.若函数，，，
，在等差数列{a n}中，a1=0，a2019=1，b n=|g k（a n+1）-g k（a n）|
（k=1，2，3，4），用p k表示数列{b n}的前2018项的和，则（）
A. P4＜1=P1=P2＜P3=2
B. P4＜1=P1=P2＜P3＜2
C. P4=1=P1=P2＜P3=2
D. P4＜1=P1＜P2＜P3=2
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.已知过原点的直线l1和l2关于直线y=x对称，若直线l1的斜率为，则直线l2的斜
率为______；倾斜角为______．
12.△ABC中，BC=7，AB=3，且=，则AC=______；∠A=______．
13.若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=______时，{a n}的前n项和
最大；当S n＞0时n的最大值为______．
14.已知正实数x，y满足x+2y=4，则xy的最大值为______，的最大值为
______．
15.已知{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2，2a4=b3，
且存在常数α、β，使得a n=logαb n+β对每一个正整数n都成立，则αβ=______．
16.在△ABC中，若b2=ac，则cos（A-C）+cos B+cos2B的值是______．
17.若正数a，b，c满足a2+b2+c2-ab-bc=1，则c的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.（1）已知函数f（x）=ax2+a-2，若f（x）＜0有解，求实数a的取值范围；
（2）已知f（x）=-x2+4x，当x∈[-1，1]时，若f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足：a2=（b-c）2+（2-）
bc，又sin A sin B=．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S．
20.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，等差数列{b n}中，
b1=2，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上；
（Ⅰ）求a1和a2的值；
（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；
（Ⅲ）设c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．
21.已知函数f（x）=x2+（a-4）x+3-a．
（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（3）若对于任意的a∈（0，4），存在x0∈[0，2]，使得|f（x0）|≥t，求t的取值范围．
22.设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a2a4=64．数列{b n}满足：对任意的
正整数n，都有．
（1）分别求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数n都成立，求实数λ
的取值范围；
（3）已知k∈N*，对于数列{b n}，若在b k与b k+1之间插入a k个2，得到一个新数列{c n}．
设数列{c n}的前m项的和为T m，试问：是否存在正整数m，使得T m=2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原不等式|3x-12|≤9可化为：
-9≤3x-12≤9，
∴1≤x≤7．又x∈Z，
∴x=7．
∴不等式|3x-12|≤9的整数解的个数为：7．
故选：A．
利用绝对值不等式的解法：若|x|＜a（a＞0），则-a＜x＜a．将3x-12看成一个整体，去掉绝对值符号化成整式不等式即可．
本题主要考查了绝对值不等式及其解法，解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号．2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，属于较易题.
利用等差数列的性质可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．
【解析】
解：∵{a n}是等差数列，
∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．
又a2+a3+a10+a11=48，
∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，
由余弦定理可得64=49+9-2×7×3 cos C，
∴cos C=，
∴sin C=，
∴S△ABC==，
故选：D．
已知三条边长利用余弦定理求得cos C=，再利用同角三角函数的基本关系求得
sin C=，代入△ABC的面积公式进行运算．
本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sin C=的值是解题的关键．4.【答案】B
【解析】解：设最小的角为α，则三内角分别为α、2α、3α，再由α+2α+3α=π，可得α=，故三内角的值分别为、、，故由正弦定理可得三角形的对应三边之比为sin：sin：sin=：：1=1：：2，
故选：B．
由三角形的内角和公式求得三角形的三内角的值，再根据正弦定理求得对应的三边之比．
本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理的应用，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则
∵各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，
∴2a2=5a3+3a4，
∴3q2+5q-2=0，
∵q＞0，
∴q=，
故选：C．
利用各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，建立方程，即可求出等比数列{a n}的公比．
本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6.【答案】D
【解析】解：等式两边平方得：
|x+y|2+|xy|2+2|x+y||xy|=（x+y）2-2xy（x+y）+（x+y）2，
即|x+y||xy|=-xy（x+y），
则xy（x+y）≤0，
即|x+y|+|xy|=|x+y-xy|的充要条件是xy（x+y）≤0，
故选：D．
根据绝对值的应用，利用平方法进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用平方法结合绝对值的意义是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵a7=a6+2a5，
∴a5q2=a5q+2a5，
∴q2-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a m，a n使得，
∴a m a n=16a12，
∴q m+n-2=16=24，而q=2，
∴m+n-2=4，
∴m+n=6，
∴的最小值为，
故选：A．
把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．
本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知，a+b=16，且a＜8＜b，
∵三角形为钝角三角形，
,
∴a2+64-b2＜0，
∴a2+64-（16-a）2＜0，
∴a＜6，
∵a+8＞b；
∴a+8＞16-a，
解得a＞4，
∴4＜a＜6，
又d=8-a，
∴2＜d＜4．
故选：A．
根据等差数列与余弦定理，以及三角形两边之和大于第三边，求出a的取值范围，再求公差d的取值范围．
本题考查了解三角形与等差数列的性质应用问题，是中档题．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和，考查了数列的函数特性，训练了利用二次不等式恒成立的条件求解参数的范围，属于中档题，再由关于n的函数对一切n∈N*恒成立列式求得d 的取值范围．
【解答】
解：设等差数列{a n}的首项为a1，
由S10=0，得，
∴．
由S n≥-5，得：
==．
由S n≥-5对一切n∈N*恒成立，
得dn2-10dn+10≥0对一切n∈N*恒成立，
∴d≥0且△≤0，
即100d2-40d≤0．
∴公差d的取值范围是[0，]．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：等差数列{a n}中，a1=0，a2019=1，可知该数列为递增数列，
且a1010=，a505＜，a506＞，
对于g1（x）=2x，该函数在[0，1]上单调递增，于是有g1（a n+1）-g1（a n）＞0，
于是b n=g1（a n+1）-g1（a n），
∴p1=g1（a2019）-g1（a1）=2-1=1，
对于g2（x），该函数在[0，]上递增，在（，1]上递减，
于是P2=g2（a1010）-g2（a1）+g2（a1010）-g2（a2019）=-0+-0=1；
对于g3（x），该函数在[0，]上递减，在（，1]上为常数，
类似有P3=g3（a1）-g3（a1010）=g3（0）-g3（）=3-1=2；
对于g4（x），该函数在[0，]和[，]递增，在[，]和[，1]上递减，
且是以为周期的周期函数，
故只需讨论[0，]的情况，再2倍即可，
仿前可知，P4=2[g4（a505）-g4（a1）+g4（a506）-g4（a1010）]
＜2（sin-sin0+sin-sinπ）=1，
故P4＜1，
综上所述P4＜1=P1=P2＜P3=2，
故选：A．
根等差数列的性质和函数的单调性即可求出P1，P2，P3，P4的范围，问题得以判断．本题考查了等差数列的性质，函数的单调性，绝对值的性质，考查了学生的转化能力和运算能力，属于难题．
11.【答案】30°
【解析】解：如图，过原点的直线
l1和l2关于直线y=x对称，
∴直线l1和直线l的夹角与直线l2和
直线l的夹角相等，直线l的倾斜角
为45°，
∵直线l1的斜率为，∴直线l1的倾
斜角为60°，
∴直线l2的倾斜角为30°，∴直线l2
的斜率为．
故答案为：，30°．
推导出直线l1和直线l的夹角与直线l2和直线l的夹角相等，直线l的倾斜角为45°，直线l1的倾斜角为60°，由此能求出直线l2的倾斜角和直线l2的斜率．
本题考查直线的斜率和倾斜角的求法，考查直线与直线对称、直线的倾斜角、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】5
【解析】解：∵BC=7，AB=3，且=，
由正弦定理可得，=，
∴AC=5，
由余弦定理可得，cos A==，
∵0＜A＜π，
∴．
故答案为：5；
由已知结合正弦定理，可求AC，由余弦定理可得cos A，进而可求A．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
13.【答案】8 15
【解析】解：∵a7+a8+a9=3a8＞0，a7+a10=a8+a9＜0，
∴a8＞0，a9＜0，
∴n=8时，{a n}的前n项和最大；
∵S15==15a8＞0，
S16==8（a8+a9）＜0，
∴当S n＞0时n的最大值为15．
故答案为：8；15．
由等差中项、下标定理结合前n项和公式，可得结论．
本题考查了等差数列的性质及前n项和公式，考查了推理能力，属基础题．
14.【答案】2 3
【解析】解：正实数x，y满足x+2y=4，
则xy=x?（2y）≤=2，
当且仅当x=2y即x=2，y=1时取等号，
∴xy的最大值为2；
∵==3，
故答案为：2；3
由xy=x?（2y）≤可求xy的最大值；由
=可求的最大值．
本题在主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用和定积最大的条件．15.【答案】4
【解析】解：a2=a1+d=2+db2=1×q=q
∵a2=b2
∴q=2+da4=a1+3d=2+3db3=1×q2=q2
∵2a4=b3∴2×（2+3d）=q2=（2+d）2即d2-2d=0
∵公差不为0
∴d=2∴q=4∴
a n=a1+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
b n=a1q n-1=4n-1∵a n=logαb n+β
∴2n=logα4n-1+β=（n-1）logα4+β ①
∵①式对每一个正整数n都成立
∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2
∴αβ=22=4
首先利用等差数列和等比数列的性质以及已知条件求出q=2+d，进而根据2a4=b3，求出d、和q的值，即可求出数列{a n}和{b n}的通项公式，再根据a n=logαb n+β得出
2n=logα4n-1+β=（n-1）logα4+β，令n=1求出β=2，令n=2求出α=2，即可求出结果．
本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题．
16.【答案】1
【解析】【分析】
由正弦定理可知，sin2B=sin A sin C，利用三角形的内角和，两角和与差的三角函数化简cos（A-C）+cos B+cos2B，然后利用二倍角公式化简即可．
本题考查三角函数的化简和正弦定理的运用，解题时要注意公式的合理选用，考查计算能力，属于中档题．
【解答】
解：∵b2=ac，
利用正弦定理可得sin2B=sin A sin C．
∴cos（A-C）+cos B+cos2B=cos（A-C）-cos（A+C）+cos2B
=2sin A sin C+cos2B=2sin2B+（1-2sin2B）=1．
故答案为：1．
17.【答案】
【解析】解：依题意a2-ba+b2+c2-bc-1=0有正数解，
因为对称轴a=＞0，所以△=（-b）2-4（b2+c2-bc-1）≥0，
即3b2-4bc+4c2-4≤0有解，
所以△1=（-4c）2-4×3×（4c2-4）≥0，解得c2≤，
∴c≤，
故答案为：．
因为关于a的一元二次方程有正数解，所以判别式大于等于0得3b2-4bc+4c2-4≥0有解，再次判别式大于等于0可得c≤，解得即可．
本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．
18.【答案】解：（1）函数f（x）=ax2+a-2，若f（x）＜0有解，
则f（x）的最小值f（x）min＜0；
当a≤0时显然成立，
当a＞0时，f（x）min=a-2＜0，
解得a＜2，即0＜a＜2；
综上，实数a的取值范围是a＜2；
（2）f（x）＞a恒成立，即a＜f（x）min，
当x∈[-1，1]时，f（x）=-x2+4x是单调增函数，最小值为f（x）min=f（-1）=-1-4=-5，
所以实数a的取值范围是a＜-5．
【解析】（1）f（x）＜0有解等价于f（x）的最小值f（x）min＜0，
讨论a≤0和a＞0时，分别求出a的取值范围即可；
（2）f（x）＞a恒成立，即a＜f（x）min，求出x∈[-1，1]时f（x）的最小值即可．
本题考查了函数的性质与不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论与等价转化问题，是基础题．
19.【答案】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵，
∴2sin A sin B=1+cos C=1-cos（A+B），
∴cos A cos B+sin A sin B=1即cos（A-B）=1-
∴，，
又∵，
∴
【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查，属于一般题.
（1）由已知整理可得，利用余弦定理可求cos A，即可解得A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos（A-B）=1，可得A，B，C的值，利用三角形面积公式即可得解．
20.【答案】解：（I）∵a n是S n与2的等差中项，∴2a n=S n+2，
当n=1时，2a1=a1+2，解得a1=2；
当n=2时，2a2=a1+a2+2，∴a2=2+2=4．
（II）设等比数列{a n}的公比为q，则==2，
∴=2×2n-1=2n．
∵点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上，
∴b n+1=b n+2，即b n+1-b n=2；
∴b n=2+（n-1）×2=2n．
（III），
∴T n=1?22+2?23+…+n?2n+1，
2T n=1?23+2?24+…+（n-1）?2n+1+n?2n+2，
∴-T n=22+23+…+2n+1-n?2n+2=-n?2n+2=2n+2-4-n?2n+2=（1-n）?2n+2-4，
∴．
【解析】（I）由于a n是S n与2的等差中项，可得2a n=S n+2，分别令n=1，2即可得出a1，a2；
（II）设等比数列{a n}的公比为q，则==2，利用通项公式即可得出；
由于点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上，可得b n+1=b n+2，即b n+1-b n=2，利用等差数列的通项公式就看得出．
（III），利用“错位相减法”即可得出．
本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．
21.【答案】解：（1）：函数f（x）=x2+（a-4）x+3-a的对称轴为x=-，
∵由于已知f（x）在区间[0，1]上不单调，
则0＜-＜1，解得2＜a＜4，
故a的范围为（2，4）；
（2）∵f（0）=3-a，f（1）=0，
当3-a＞0时，即a＜3时，最大值为f（0）=3-a，
当3-a≤0时，即a≥3时，最大值为f（1）=0，
∴
（3）解法一（i）当0＜≤1时，即2≤a＜4时，f（）≤f（x）≤f（2），
|f（2）|=|a-1|=a-1，，
∴
所以|f（x）|max=a-1；
（ii）当时，即0＜a＜2时，|f（0）|=|3-a|=3-a，，
∴，
∴|f（x）|max=3-a，
综上，|f（x）|max=，
故|f（x）|max≥1，所以t≤1，
解法二：|f（x）|=|（x-1）2+（a-2）（x-1）]≤（x-1）2+|（a-2）（x-1）|≤1+|a-2|，
当且仅当x=0时等号成立，
又（1+|a-2|）min=1，
∴t≤1．
【解析】本题考查二次函数的图象和性质的运用，主要考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于难题．
（1）由二次函数f（x）=x2+（a-4）x+3-a的对称轴，并结合条件，即可得到对称轴满足的关系式，解之即得实数a的取值范围；
（2）f（x）max={f（0），f（1）}，比较分类讨论即可求出．
（3）由题意可得对于任意的a∈（0，4），由f（1）=0，可得|f（x）|min=0，||f（x）|max-|f （x）|min|≥t?对任意的a∈（0，4），|f（x）|max≥t（x∈[0，2]），解法一、讨论对称轴和区间[0，2]的关系，可得最大值和最小值，解法二、运用绝对值不等式的性质，可得|f （x）|的最大值，即可得到t的范围．
22.【答案】解：（1）数列{a n}是各项均为正数公比为q的等比数列，a1=2，a2a4=64．则：，
解得：a3=8，
故：q=2，
所以：．
数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有①．所以：
当n≥时，2②，
①-②得：a n b n=n?2n，
所以：b n=n，
由于：a1b1=2，
则：b1=1（首项符合通项），
故：b n=n．
（2），
所以：当λ≤0时，不等式成立．
当λ＞0时，原不等式可化为：，
设t n=，
则：t n＞0，
故：，
所以：=＜1，
所以：数列{a n}单调递减．
则：，
解得：．
（3）由题意知：设b k是数列{c n}中的项为c t，
由题意可知：
t=2+22+…+2k-1+k，
=2k+k-2，
所以：当m=2k+k-2时，，
=，
设，
解得：k＞10，
当k=9时，m=29+9-2=29+7，
所以：，
因为2019-1065=954=2×477，
且29+7+477=996
所以，当m=996时，T m=2019．
【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用数列的单调性求出参数的取值范围．
（3）利用数列的赋值的应用求出m的存在性．进一步求出m的值．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，单调性在数列中的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．