高中数学_线性规划知识复习
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
高二线性规划知识点
高二线性规划知识点线性规划是运筹学中的一种常见方法，被广泛应用于解决各种实际问题。
它的基本思想是通过数学模型来描述问题，然后利用线性规划算法寻找最优解。
在高二数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将对高二线性规划的相关概念、模型和解题步骤进行详细介绍。
一、线性规划的基本概念线性规划是在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最优值问题。
它有以下基本要素：1. 目标函数：线性规划的目标是要优化一个线性函数，通常是最小化或最大化该函数的值。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：线性规划中的决策变量是需要确定的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 非负约束：线性规划中的决策变量通常要求非负，即变量的取值不能为负数。
二、线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，通常采用标准型或者松弛型的形式。
1. 标准型：标准型是指目标函数最大化，约束条件为等式的线性规划问题。
其数学模型如下：max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，aᵢₙ是约束条件中的系数，bᵢ是约束条件的常数项，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量。
2. 松弛型：松弛型是指将不等式约束条件转化为等式约束条件的线性规划问题。
其数学模型如下：max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0三、线性规划的解题步骤求解线性规划问题的一般步骤如下：1. 建立数学模型：将实际问题转化为线性规划的数学模型，并确定目标函数和约束条件。
高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结
高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结2018年高考数学第二轮复习线性规划知识点总结简单线性规划问题是高考的热点之一，也是历年高考的必修内容。
它主要以填空题的形式考查X最优解的X值问题的解。
高考命题主要集中在以下几个方面的线性规划知识点：(1)常规的线性规划问题，即线性约束下求X值的问题；(2)结合函数、平面向量等知识的X值问题；(3)求解非线性约束下的X值问题；(4)考察线性规划在解决现实生活和生产实践中的应用。
第一个(2)(3)(4)点往往是命题的xx点。
【例1】让函数f()=？3?罪恶？因为。
其中角的顶点与坐标原点重合，开始边与X轴的非负半轴重合，结束边经过该点？P(x，y)？0呢？(1)如果点p的坐标是12，32，求f()的值；(2)如果点P(x，y)是平面区域：xyy1，y1。
在最后一个移动点上，尝试确定角度的取值范围，求函数f()的小值和大值。
分析第一个问题(1)，我们只需要用到三角函数的定义。
在问题(2)中，只要先画出平面面积，然后根据画出的平面面积确定角度的范围，再转化为求f()=a？罪恶？b？因为。
类型函数的x值。
解(1)可以从点p的坐标和三角函数的定义得到？罪恶？=32,因为。
=12。
所以f()=3？罪恶？因为。
=?332 12=2。
(2)做一个如图所示的平面区域(即三角形区域ABC)，其中a (1，0)，b (1，1)，C(0，1)？所以0？2,F()=又是3？罪恶？因为。
=2?罪恶？6,然后呢。
2?3,所以呢。
2，那是=？3，f()得到x的值，x的值等于2；什么时候？6，即当=0时，f()取x的小值，x的小值等于1。
评论本题X的亮点在于将线性规划中的基本内容平面区域有机合成，以解题的形式对三角函数进行求值，这在过去几年中是很少见的。
高中数学_线性规划知识复习
高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划基础
（3）、以此表为基础，请求出最优生产方案。
4．根据单纯形表判断解的类型。
（1）
Cj
0
0
0
0
-1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
10
1
1
1
0
0
-1
x5
20
0
-1
-2
-1
1
Zj
0
1
2
1
-1
Cj-Zj
0
-1
-2
-1
0
其中x5为人工变量，目标为max Z。
（2）
Cj
三．简答题
1．针对不同形式的约束（≥，=，≤）简述初始基本可行解的选取方法。
2．简述如何在单纯型表上判别问题是否具有唯一解、无穷多解、无界解或无可行解。
3．简述若标准型变为求目标函数最小，则用单纯形法计算时，如何判别问题已取得最优解。
四、解答题
1．找出下列线性规划问题的一组可行解和基本可行解。
（1）max Z = 40x1+45x2+24x3（2）min Z =x1-2x2+x3-3x4
15
20
25/ 3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
20
x2
20
0
1
-1/3
1
-2/3
15
x1
20
1
0
1
-1
1
Zj
15
20
25/3
5
高中数学线性规划知识总结+练习
（一） 知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。
当B <0时, 表示直线下方区域； 表示直线的上方区域。
2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。
z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。
首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。
2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。
4。
最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。
二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】 画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。
2.区域弧长、面积问题【例2】 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】 若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。
初学讲义之高中数学二十五线性规划
初学讲义之高中数学二十五线性规划一、直线分割平面1.1 直线的两边学习线性规划前，先要补充学习一块坐标几何的内容如上图所示，中间的黑色线直线的函数为：y=x，写成方程为x-y=0由于直线是向两头无限延伸的，可以认为它把整个平面分为3个部分：直线本身(黑)、左(红)、右(蓝)可以叫左右，也可以叫上下，都一样。
其实平面上任何一条直线都可以把平面分成这三部分。
现在我们简单了解一下两边的情况。
1.2 直线的平移在学习一次函数时，已经学过函数的平移，这里直接用结论对直线y=x，如果把它变成y=(x-a)，就是向右平移a个单位（若a＜0就是向左）如果把它变成y=x+b，就是向上平移b个单位（若b＜0就是向下）对上面的两个平移，如果我们令a=-b，那么平移后得到的函数是相同的，都是y=x+b也就是说当a=-b时，向右平移a和向上平移b的结果是相同的现在具体令a=-b=2，我们来分别平移：如上图，黑色直线为y=x，红色直线为y=x-2首先按照向右平移，也就是橙色的箭头，变成y=(x-2)原来的(0,0)就被平移到了(2,0)，类似的，直线上的其他点(x_{0},y_{0})都平移到了 (x_{0}+2,y_{0})再来向上（下）平移，也就是粉色的箭头，变成y=x+(-2)原来的(0,0)就被平移到了(0,-2)，类似的，直线上的其他点(x_{0},y_{0})都平移到了 (x_{0},y_{0}-2)虽然翻译的方向不同，但结果是一样的。
上面是用一次函数表示直线，下面用方程来表现会更加直观：原直线：x-y=0新直线：x-y-a=0当a＞0时，直线向右（或下）平移当a＜0时，直线向左（或上）平移直线向右（或下）前进的过程中，扫过了全部的半个平面直线向左（或上）前进的过程中，扫过了全部的另外半个平面1.3 确定在哪边我们对新直线方程x-y-a=0变个形：a=x-y也就是说，直线右边（或下边）的所有点，都是a＞0的，也就是x-y＞0直线左边（或上边）的所有点，都是a＜0的，也就是x-y＜0因此直线x-y=0将平面分为3个部分，这3部分的点分别满足：x-y=0x-y＞0x-y＜0分别对应直线上（黑色），直线右边或下边（蓝色），直线左边或上边（红色）对任何直线都是如此1.4 举例再举2个其他的例子：例1：2x+3y-6=0它也把直线分为3个部分为了找到对应关系，随便代入某个点即可，比如在直线左侧的最简单的（0,0）：2*0+3*0-6=-6＜0因此对该直线，符合2x+3y-6＜0的点在左侧（或下侧），符合2x+3y-6＞0的点在右侧（或上侧）例2：-2x+3y+6=0代入在左侧的（0,0）：-2*0+3*0+6=6＞0因此对该直线，符合-2x+3y+6＞0的点在左侧（或上侧），符合-2x+3y+6＜0的点在右侧（或右侧）要注意的是从上面两个例子可以看出：1、对每条直线，“＞和＜“与“右还是左（下还是上）”的对应关系需要单独确定2、“上下”和“左右”通常也没有对应关系，只是为了方便的叫法1.5 围出一个多边形现在我们在一个坐标系内同时画上上面三条直线：x-y=0（红）2x+3y-6=0（绿）-2x+3y+6=0（蓝）这三条直线把平面分为好几个部分（懒得数了），中间围出一个三角形（阴影部分）那么这个阴影部分该如何表示呢？很简单，随便取个点，分别代入3条边试出不等号即可为方便运算，就取（2,0）吧，0越多越好，整数越多越好：代入x-y：2-0=2＞0代入2x+3y-6：2*2+3*0-6=-2＜0代入-2x+3y+6：-2*2+3*0+6=2＞0因此阴影部分的点可以用下面这个不等式组来表示：x-y＞02x+3y-6＜0-2x+3y+6＞0（此处左边应有大括号{，由于输入法原因无法实现）1.5.2 再加条直线再加条直线看看：x-y=0（红）2x+3y-6=0（绿）-2x+3y+6=0（蓝）x+y+2=0（黄）这下围出了四边形，也有三角形，和其他开放的图形如果想要知道此时阴影部分四边形点的特征，再加上第四条黄色的直线的不等式即可：还是代入(2,0)：2+0+2=4＞0因此中间阴影四边形中点的坐标符合：x-y＞02x+3y-6＜0-2x+3y+6＞0x+y+2＞0如果您想包含边界，只需将大于号和小于号更改为大于或等于号和小于或等于号。
高一线性规划问题知识点
高一线性规划问题知识点在高中数学课程中，线性规划是一个非常重要的概念。
线性规划是运筹学的一个分支，旨在通过确定一组变量的取值，使得一个线性目标函数在一系列线性约束条件下达到最大或最小值。
它在实际生活中有很多应用，比如生产计划、资源分配等。
一、线性规划的基本概念线性规划的目标是找到使得目标函数取得最大或最小值的一组变量取值。
目标函数通常是一个线性函数，即它的各项之间不存在乘法关系。
约束条件也是一组线性不等式或等式，它们定义了变量取值的限制条件。
二、线性规划的解法方法解决线性规划问题的方法有很多，但其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是通过逐步改进当前解，逐渐接近最优解的过程。
具体来说，单纯形法的基本思想是找到一个基础可行解，然后在基础可行解的基础上不断寻找更优解。
这个过程通过计算目标函数在可行解的基础上的变化量来完成。
三、线性规划的矩阵表示在线性规划中，我们可以用矩阵来表示目标函数和约束条件。
设目标函数为 f(x)，约束条件为 AX=b，其中 x 是一个 m 维列向量，A 是一个 m × n 的矩阵，b 是一个 m 维列向量。
这样，线性规划问题可以表示为：min/max f(x)subject to AX=bx≥0四、线性规划问题的求解步骤解决线性规划问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数和约束条件；2. 将目标函数和约束条件转化为矩阵表示；3. 通过单纯形法求解线性规划问题；4. 分析最优解。
五、线性规划问题的实际应用线性规划问题在实际生活中有着广泛的应用。
比如，在生产计划中，我们可以通过线性规划来确定产量和资源的最优配置，从而实现生产成本的最小化或产品质量的最大化。
在运输领域，线性规划可以帮助我们确定货物的最优配送方案，以减少运输成本。
此外，线性规划还可以应用于金融、市场营销、决策分析等领域。
六、线性规划问题的拓展线性规划问题的应用不仅限于线性目标函数和约束条件。
有时候，目标函数和约束条件可能是非线性的。
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高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：①线性约束条件： ②线性目标函数：③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：典型例题一--------画区域1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解：直线AB 的斜率为：1)3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ．ABC ∆的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）．所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+->++>+-022,062,03y x y x y x 表示．说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ． 依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．3设0≥x ，0≥y ，0≥z ；z y x p 23++-=，z y x q 42+-=，1=++z y x ，用图表示出点),(q p 的范围．分析：题目中的p ，q 与x ，y ，z 是线性关系．可借助于x ，y ，z 的范围确定),(q p 的范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=--,1,42,23z y x q z y x p z y x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=-+=),345(271),3514(271),68(271q p z p q y p q x0 A B C x y (2,4)(1,2)-(1,0)（图1） 由0≥x ，0≥y ，0≥z 得⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--,0543,01453,086q p q p q p 画出不等式组所示平面区域如图所示．说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x ，y ，z 的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出x ，y ，z ，从而求出p ，q 所满足的不等式组找出),(q p 的范围．4、已知x,y,a,b 满足条件：0,0,0,0≥≥≥≥b a y x ,2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）试画出（y x ,）的存在的范围； （2）求y x 32+的最大值。
典型例题二------画区域，求面积例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ；不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ．在平面直角坐标系内作出四条射线：)1(-≥=x x y AB ：，)1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图，由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形． 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23． 典型例题三------求最值 一、与直线的截距有关的最值问题 z Ax By C =++1.如图1所示，已知ABC 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：①z x y =+在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC 处有最小值 1 ；②z x y =-在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 处有最小值3-2若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值． 分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点A 时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． 0 A B C xy (2,4)(1,2)-(1,0)6x y +=1x y +=（ 图2 ） 0 A B C xy (2,4)(1,2)-(1,0)1x y -=3x y -=-0 A B C x y (2,4)(1,2)-(1,0)（图1） ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z注：z Ax By =+可化为A z y x B B =-+表示与直线A y x B =-平行的一组平行线，其中z B为截距，特别注意：斜率范围及截距符号。
即注意平移直线的倾斜度和平移方向。
变式：设x,y 满足约束条件分别求：(1)z=6x+10y ，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y ，的最大值，最小值。
二、与直线的斜率有关的最值问题00y y z x x -=-表示定点P （x 0,y 0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率. 例2 设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC ，00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点， 即A 点．∴312P ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为32． 3.如图1所示，已知ABC 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是1y z x -=或231y z x +=+，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得min z 和max z ？三、与距离有关的最值问题2222220000()()()()z z x x y y z x x y y x y Ax By C =-+-=-+-=++++或或（配方）的结构表示定点Q （x 0,y 0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。