2018-文科高考数学推理与证明
数学
M单元推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
8．M1[2016·北京卷] 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
8．B[解析] 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1，2，3，5，6，7号，符合题意；
若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若a≤59，则同时进入两决赛的有1，3，4，5，6，7号，符合题意．
综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．
16．M1[2016·全国卷Ⅱ] 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
16．1和3[解析] 由题意可知丙不拿2和3.
若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；
若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．
故甲的卡片上的数字是1和3.
12．M1[2016·山东卷] 观察下列等式：
（sin π
3）
－2＋（sin
2π
3）
－2＝
4
3×1×2；
（sin π
5）
－2＋（sin
2π
5）
－2＋（sin
3π
5）
－2＋（sin
4π
5）
－2＝
4
3×2×3；
（sin π
7）
－2＋（sin
2π
7）
－2＋（sin
3π
7）
－2＋…＋（sin
6π
7）
－2＝
4
3×3×4；
（sin π
9）
－2＋（sin
2π
9）
－2＋（sin
3π
9）
－2＋…＋（sin
8π
9）
－2＝
4
3×4×5；
……
照此规律，
（sin
π
2n＋1
）－2＋（sin
2π
2n＋1
）－2＋（sin
3π
2n＋1
）－2＋…＋（sin
2nπ
2n＋1
）－2＝________．
12.4
3n (n ＋1) [解析] 第一个等式中，1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×
2n ＋1＋12＝4
3n (n ＋1)．
M 2 直接证明与间接证明 M 3 数学归纳法 M4 单元综合
2．[2016·吉林油田高级中学三模]给出如下等式组：
s 1＝1， s 2＝2＋3＝5， s 3＝4＋5＋6＝15， s 4＝7＋8＋9＋10＝34， s 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
…… 某学生根据上表猜测S 2n －1＝(2n －1)(an 2
＋bn ＋c )，则a －b ＋c ＝________．
2．5 [解析] 由题意得?????a ＋b ＋c ＝1，3（4a ＋2b ＋c ）＝15，5（9a ＋3b ＋c ）＝65，解得????
?a ＝2，
b ＝－2，
c ＝1，
故a －b ＋c ＝5.
3．[2016·东北三省四市模拟]在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一名得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．假定在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．
3．丙 [解析] 若甲得优秀，则丙说的是假话，乙说的是假话，甲说的是假话，三人说的都是假话，不符题意；若乙得优秀，则丙说的是真话，乙说的是真话，甲说的是真话，三人说的都是真话，不符题意；若丙得优秀，则丙说的是真话，乙说的是假话，甲说的是真话，两人说的是真话，一人说的是假话，符合题意．
4．[2016·河北武邑中学一检]埃及数学家发现了一个独特现象：除2
3
用一个单独的符号表
示以外，其他形如2
n
(n ＝5，7，9…)的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数)和的形式，
例如25＝13＋115.我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人1
2，不够，
每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115，故我们可以得出形如2n
(n
＝5，7，9，11…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，…，按此规律2
11
＝__________．
4.16＋166 [解析] 假定有2个面包，要平均分给11人，如果每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，这样每人分得16＋166.