第8章相关与回归分析
1886年，高尔登在一篇《家属在身长方面的类似》的论文中，首次提出“相关系数”
统计应用：父代与子代的关系
1875年，Galton利用豌豆试验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服英 国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子（父代）与新长的豌豆种子（子代） 进行比较。
的关系可表示为 y = p x (p 为单价) – 圆的面积(S)与半径之间的关系: S =
R2
相关关系
•
变量间关系不能用函数关系精确表达
•
一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
y
– 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关 系
– 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
x
函数关系可以用数学分析的方法去研究，而相关关系必须借助于统计学中的相关与回归 分析方法。
1885年，达尔文的表弟高尔登（Francis Galton，1822－1911）在英国皇家学会上发表了 关于身长遗传中相关现象的演说，首次赋予“相关”一词以新的涵义
1885年，高尔登在英国皇家学会上发表了关于回归现象的演说，并于1886年发表的《在遗 传的身长中向中等身长的回归》论文中，正式提出回归概念
yt bˆ0+bˆ1x+et
一元线性回归模型的估计
最小二乘法：通过使残差平方和最小来估计回归系数的一种方法。 德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯（Karl Gauss）是最小二乘法（最小平方法）的 创立者，他在1809年出版的《关于太阳圆周曲线的天体运动理论》一书中，首次提出用最小 平方法的原理确定行星轨道。
判定系数
回归直线与各观测数据的接近程度称为回归直线的拟合优度（goodness of fit）。 度量回归直线的拟合优度最常用的指标是判定系数（又称可决系数）。 该指标是建立在对总离差平方和进行分解的基础之上的。
他发现，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。这一现象他称 为“返祖”。
一个总体中在某一时期具有某一极端特征的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性。
第一节 相关关系
函数关系与相关关系 相关关系的类型 相关分析与回归分析 单相关系数 复相关系数和偏相关系数
一、函数关系与相关关系
回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式，它对具有相关关系的变量之间的数量联系 进行测定，确定一个回归方程，根据这个回归方程可以从已知量来推测未知量，从而为估算 和预测提供了一个重要的方法。
二、 一元线性回归模型
描述y 如何依赖于 x 和误差项 的方程称为回归函数。 总体回归函数：
y = b0 + b1 x + b0 和 b1 称为模型的参数 样本回归函数：
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关 系。 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在 一定的范围内变化，这种关系称为不确定性的相关关系。
变量间的关系: 函数关系
y
x
是一一对应的确定关系
记为 y = f (x)， x 称为自变量，y 称为因变量 – 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间
Q et2 (Yt -Yˆt )2 (Yt bˆ1 bˆ2Xt )2
一元线性回归方程的参数估计
b2
nXtYt XtYt nXt2 (Xt)2
b b b
1 Y t/n 2 X t/n Y 2X
一元线性回归模型的检验
拟合优度的评价 判定系数 估计标准误差 显著性检验 F检验 t检验
章相关与回归分析
学习目标
明确什么是相关关系和回归分析。 掌握单相关系数的计算方法和含义。 掌握一元线性回归方程的参数估计方法。 掌握一元线性回归方程的检验方法。 了解多元线性回归方程的参数估计和检验方法。 了解非线性回归方程的参数估计方法。
“相关”的概念最初是由进化论创始人达尔文（Charles Darwin，1809－1882）于1859年 在《物种起源》中提出的
r
n X tY t X t Y t
(n X t2( X t)2(n Y t2( Y t)2)
相关系数r 的特征
r的取值介于－1与1之间。 当r=0时，只是表明两个变量之间不存在线性关系，它并不意味着X与Y之间不存在其他类型 的相关关系。 当r＞0时，X与Y为正相关；当r＜0时，X与Y为负相关。 当r＝1时，称为完全正相关，而r＝－1时，称为完全负相关。
Co(vX,Y)
Va(rX)Va(rY)
总体相关系数的定义式是：
Cov(X,Y)
Var(X)Var(Y)
协方差表示的是两个变量总体误差的方差，这与只表示一个变量误差的方差不同。
C o v ( X ,Y ) E [ ( X E ( X ) ( Y E ( Y ) ]
样本相关系数的定义公式是：
二、相关关系的类型
按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。 按相关的方向可分为正相关和负相关。 按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。
相关关系的类型 相关关系
完全相关
不完全相关
线性相关
非线性相关
不相关
Scatter Diagram （散点图）
复相关系数和偏相关系数
复相关系数反映一个变量Y与其他多个变量X1，X2，…Xk之间的线性相关程度 偏相关系数 反映在X2，…Xk不变的情况下，变量Y与X1之间的线性相关程度
第三节 简单线性回归分析
p回归分析的内容 p回归分析的特点 p相关分析与回归分析的区别与联系
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，但是相关分析不能指出变量间相互关系的 具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况。
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
三、相关分析的主要内容
u判断现象之间有无相关关系 u判断相关关系的表现形式和密切程度
第二节 相关分析的方法
1. 定性分析 2. 相关表 3. 相关图
——散点图
二、相关关系的测定
单相关分析是对两个变量之间的相关程度进行分析。单相关分析所用的指标称为单相关系数 （简称相关系数）。 通常以ρ表示总体的相关系数，以r表示样本的相关系数。
统计应用：父代与子代的关系
1875年，Galton利用豌豆试验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服英 国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子（父代）与新长的豌豆种子（子代） 进行比较。
的关系可表示为 y = p x (p 为单价) – 圆的面积(S)与半径之间的关系: S =
R2
相关关系
•
变量间关系不能用函数关系精确表达
•
一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
y
– 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关 系
– 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
x
函数关系可以用数学分析的方法去研究，而相关关系必须借助于统计学中的相关与回归 分析方法。
1885年，达尔文的表弟高尔登（Francis Galton，1822－1911）在英国皇家学会上发表了 关于身长遗传中相关现象的演说，首次赋予“相关”一词以新的涵义
1885年，高尔登在英国皇家学会上发表了关于回归现象的演说，并于1886年发表的《在遗 传的身长中向中等身长的回归》论文中，正式提出回归概念
yt bˆ0+bˆ1x+et
一元线性回归模型的估计
最小二乘法：通过使残差平方和最小来估计回归系数的一种方法。 德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯（Karl Gauss）是最小二乘法（最小平方法）的 创立者，他在1809年出版的《关于太阳圆周曲线的天体运动理论》一书中，首次提出用最小 平方法的原理确定行星轨道。
判定系数
回归直线与各观测数据的接近程度称为回归直线的拟合优度（goodness of fit）。 度量回归直线的拟合优度最常用的指标是判定系数（又称可决系数）。 该指标是建立在对总离差平方和进行分解的基础之上的。
他发现，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。这一现象他称 为“返祖”。
一个总体中在某一时期具有某一极端特征的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性。
第一节 相关关系
函数关系与相关关系 相关关系的类型 相关分析与回归分析 单相关系数 复相关系数和偏相关系数
一、函数关系与相关关系
回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式，它对具有相关关系的变量之间的数量联系 进行测定，确定一个回归方程，根据这个回归方程可以从已知量来推测未知量，从而为估算 和预测提供了一个重要的方法。
二、 一元线性回归模型
描述y 如何依赖于 x 和误差项 的方程称为回归函数。 总体回归函数：
y = b0 + b1 x + b0 和 b1 称为模型的参数 样本回归函数：
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关 系。 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在 一定的范围内变化，这种关系称为不确定性的相关关系。
变量间的关系: 函数关系
y
x
是一一对应的确定关系
记为 y = f (x)， x 称为自变量，y 称为因变量 – 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间
Q et2 (Yt -Yˆt )2 (Yt bˆ1 bˆ2Xt )2
一元线性回归方程的参数估计
b2
nXtYt XtYt nXt2 (Xt)2
b b b
1 Y t/n 2 X t/n Y 2X
一元线性回归模型的检验
拟合优度的评价 判定系数 估计标准误差 显著性检验 F检验 t检验
章相关与回归分析
学习目标
明确什么是相关关系和回归分析。 掌握单相关系数的计算方法和含义。 掌握一元线性回归方程的参数估计方法。 掌握一元线性回归方程的检验方法。 了解多元线性回归方程的参数估计和检验方法。 了解非线性回归方程的参数估计方法。
“相关”的概念最初是由进化论创始人达尔文（Charles Darwin，1809－1882）于1859年 在《物种起源》中提出的
r
n X tY t X t Y t
(n X t2( X t)2(n Y t2( Y t)2)
相关系数r 的特征
r的取值介于－1与1之间。 当r=0时，只是表明两个变量之间不存在线性关系，它并不意味着X与Y之间不存在其他类型 的相关关系。 当r＞0时，X与Y为正相关；当r＜0时，X与Y为负相关。 当r＝1时，称为完全正相关，而r＝－1时，称为完全负相关。
Co(vX,Y)
Va(rX)Va(rY)
总体相关系数的定义式是：
Cov(X,Y)
Var(X)Var(Y)
协方差表示的是两个变量总体误差的方差，这与只表示一个变量误差的方差不同。
C o v ( X ,Y ) E [ ( X E ( X ) ( Y E ( Y ) ]
样本相关系数的定义公式是：
二、相关关系的类型
按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。 按相关的方向可分为正相关和负相关。 按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。
相关关系的类型 相关关系
完全相关
不完全相关
线性相关
非线性相关
不相关
Scatter Diagram （散点图）
复相关系数和偏相关系数
复相关系数反映一个变量Y与其他多个变量X1，X2，…Xk之间的线性相关程度 偏相关系数 反映在X2，…Xk不变的情况下，变量Y与X1之间的线性相关程度
第三节 简单线性回归分析
p回归分析的内容 p回归分析的特点 p相关分析与回归分析的区别与联系
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，但是相关分析不能指出变量间相互关系的 具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况。
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
三、相关分析的主要内容
u判断现象之间有无相关关系 u判断相关关系的表现形式和密切程度
第二节 相关分析的方法
1. 定性分析 2. 相关表 3. 相关图
——散点图
二、相关关系的测定
单相关分析是对两个变量之间的相关程度进行分析。单相关分析所用的指标称为单相关系数 （简称相关系数）。 通常以ρ表示总体的相关系数，以r表示样本的相关系数。
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统计学 第8章 相关与回归分析
2
-1 1 0 -1 -2 0 1 -2
4
1 1 0 1 4 0 1 4 20
6 * 20 r 1 2 1 0.8788 2 n(n 1) 10 * (10 1)
6 d 2
8.3
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5
一元线性回归
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 利用回归方程进行预测
共计
325
462 77
445 89
707 101
685 137
1043 149
E(Y|X) 65
Y
X=X1时Y 的分布
X=X2时Y 的分布 X=X3时Y 的分布
b0
X=X1时的E(Y)
b0+ b 1X
X=X2时的E(Y) X=X3时的E(Y)
X1=80
X2=100
X3=120
X
总体回归函数
(population regression function)
相关系数的显著性检验
(检验的步骤)
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 利用样本的相关系数对总体相关系数进行 检验 3. 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 4. 检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
n2 计算检验的统计量： tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
2
2
或化简为 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
例 产品产量与单位成本相关系数
产 月 量 份 x 1 2 2 3 3 4 4 3 5 4 6 5 合 21 计 单位 成本 y 73 72 71 73 69 68
第八章 相关分析与回归分析
第8章 回归分析
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19
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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第8章 回归分析
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20
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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第8章 回归分析
下一页
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21
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
41
二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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第8章 回归分析
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10
（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
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③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
41
二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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第8章 回归分析
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10
（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
第8章相关回归分析
※相关关系和函数关系有区别也有联系： 1、实际现象中，函数关系往往通过相关关系表现 出来。 2、在研究相关关系时，常常使用函数关系的形式 来表现，它是相关分析的工具。
（二）相关关系的种类 1、按相关关系涉及的因素多少划分 （1）一元（单）相关：两个因素之间的相关。 （2）多元（复）相关：三个及三个以上因素之间
2、相关系数的计算： （1）基本计算公式（“积差法”公式）
r
2 xy
xy
式中：r 相关系数
自变量x数列的标准差 x
自变量y数列的标准差 y
2 xy
两个变量数列的协方差
由
(x x)2
x
n
y
( y y)2 n
2 xy
(x
x )( y
y)
n
相关系数的基本计算公式可变化为：
r
2xy x y
3、回归分析的种类 （1）按自变量的多少分
①简单（一元）回归：自变量只有一个 。 [例] y = a+bx 一元回归方程
②复（多元）回归：自变量为2个或2个以上。 [例] y=0+ 1x1+ 2x2+…+ nxn
（2）按回归方程式的特征分 ①线性回归：因变量为自变量的线性函数。 [例] y = a+bx 一元线性回归方程※ ②非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。
3、相关系数的特点及应用
（1）相关系数的取值范围为：r 1 1 r 1 （2）当γ为正值时，两变量呈正相关；当γ为负值 时，两变量呈负相关。 （3）相关系数γ的绝对值愈大，表示两变量之间 相关程度愈密切； γ＝﹢1为完全正相关； γ＝﹣1为 完全负相关。 （4）相关系数γ的绝对值愈小，愈接近0，表示两 变量之间相关程度愈低，当 γ＝0时，两变量完全没 有直线相关。
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
第8章相关和回归分析52页PPT
7.2 一元线性回归
7.2.1 标准的一元线性回归模型 7.2.2一元线性回归模型的估计 7.2.3一元线性回归模型的检验 7.2.4一元线性回归模型的预测
云南财经大学统计信息学院
统计学 STATISTICS
一元线性回归模型
1. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方 程称为回归模型
表示
云南财经大学统计信息学院
统计学 STATISTICS
y
离差的分解 (图示)
(xi , yi )
{ } y yˆ
yy
} yˆ y
yˆbˆ0 +bˆ1x
y
x
云南财经大学统计信息学院
统计学 STATISTICS
离差平方和的分解
(三个平方和的关系)
n
n
n
yiy2 y ˆiy2+ yiy ˆ2
云南财经大学统计信息学院
统计学 STATISTICS
相关关系(类型)
• 按相关程度划分：
完全相关、不完全相关和不相关
• 按相关方向划分：
正相关和负相关
• 按相关形式划分：
线性相关和非线性相关
• 按变量多少划分
单相关、复相关和偏相关
• 按相关性质划分
真实相关和虚假相关
云南财经大学统计信息学院
统计学 STATISTICS
1.
总体回归参数 b
和
0
b
是未知的，必须利用样本数
1
据去估计
2.
用样本统计量
bˆ 0
和
bˆ
代替回归方程中的未知参
1
数b 0和 b 1，就得到了估计的回归方程
3.一元线性回归中估计的回归方程为
第八章相关分析与回归分析
x
2 ( x x )
n
、x的标准差 y
2 ( y y )
n
2 2
、y标准差
( x x)( y y ) ( x x)( y y ) 即r 或r n ( x x) ( y y )
x y
《统计基础》
协方差的意义
①、显示x与y是正相关还是负相关 协方差为负，是负相关， 协方差为正，是正相关。 ②、协方差显示x与y相关程度的大小 当相关点在四个象限呈散乱的分布，相关程度很低 当相关点分布在x与y的平均值线上时，表示不相关 当相关点靠近一直线，表示相关关系密切 当相关点全部落在一直线，表示完全相关
二、相关分析和回归分析的区别与联系
《统计基础》
三、简单线性回归方程：
1、简单线性方程式：yc a bx 2、变量y不仅受x的影响，还受其他随机因素的影 响，因此通过相关图，可以直观地发现各个相关点 并不都落在一条直线上，而是在直线上下波动，只 呈现线性相关的趋势。 3、我们试图在相关图的散点中引出一条模拟的回 归直线，以表明两变量x与y的关系，称为估计回归 线，回归方程： yc a bx yc 为y的估计值 a—纵轴截距 b—回归系数,代表自变量增加一个单位时因变量的 平均增加值。
《统计基础》
4、计算a、b值
当实际值y与估计值 yc 的离差平方和为最小值时， 则此直线为最优的理想直线。 即： Q y y 2 y a bx2 最小值
得方程： na b x y .......... ....... a x b x xy
《统计基础》
6、回归分析和相关分析的特点：
回归分析是研究两变量之间的因果关系，所以 必须通过定性分析来确定哪个是自变量，哪个是因 变量。 回归分析是研究两变量具有因果关系的数学形式 回归分析中回归系数有2个（区分自变量、因变量） 相关分析中相关系数有1个（不区分自变量、因变 量）对于回归方程进行预测估计时，只能根据x估 计 yc ，不能根据 yc 估计x
第八章 相关与回归分析
基本概念
统计学上采用回归分析 统计学上采用回归分析 （regression analysis）研究呈 ） 因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变 因果关系的相关变量间的关系。 表示结果的变量称为依变量。 量，表示结果的变量称为依变量。 研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回 研究“一因一果” 归分析称为一元回归分析 一元回归分析； 归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果” 研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回 归分析称为多元回归分析 多元回归分析。 归分析称为多元回归分析。 直线回归分析与 一元回归分析又分为直线回归分析 曲线回归分析两 一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两 多元回归分析又分为多元线性回归分析 多元线性回归分析与 种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性 回归分析两种 两种。 回归分析两种。
ˆ Y = 33.73+0.516X
历史背景
高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更 而是稍矮于其父代水平， 高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均 身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。 身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。 Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”。 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归” 将这种趋向于种族稳定的现象称之 “回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统 回归” 回归 计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数” ”“回归系数 计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计 学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系， 学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研 究儿童年龄与体重的关系等。 究儿童年龄与体重的关系等。
回归分析的任务
回归分析的任务是揭示出呈因果关系的 相关变量间的联系形式，建立它们之间的回 相关变量间的联系形式， 归方程，利用所建立的回归方程，由自变量 归方程，利用所建立的回归方程， （原因）来预测、控制依变量（结果）。 原因）来预测、控制依变量（结果）。
[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT
Q SS U 283 176 . 4 106 . 6 y
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
第8章 直线回归与相关
散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
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若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).