频率稳定判据

第五章频率域方法频率稳定判据（1）

频率稳定判据

两种频率稳定判据：奈奎斯特（Nyquist）稳定判据和对数频率稳定判据。

奈奎斯特判据是利用系统的开环幅相特性曲线判断闭环系统稳定性的一种方法，而对数频率稳定判据是利用系统的开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性，两种方法本质上没有区别。

频率稳定判据是建立在幅角原理的基础上的，因此，下面先介绍有关幅角原理的内容。

设F(s)是复变量s 的单值函数，例如1212()()

()=()()

()()

s z s z F s F s F s s p s p −−=∠−−1

z 2

z 1

p 2

p 0

s

j

s 平面

S

Γ0

F

)

(s F ∠j

F

ΓF 平面

设是s 平面上的一条封闭的轨线，且不经过F(s)的任何一个零点或极点。对

于上的任意一点，通过F(s)的映射，可以在F 平面上确定一个对应的点，称为的象，若沿顺时针移动一周，则对应的象在F 平面上形成一条封闭曲线。

S ΓF ΓS ΓS Γs F s s 12,z z 零点：12,p p 极点：

1

z 2

z 1

p 2

p 0

s

j

s 平面

S

Γ幅角原理

若s 平面上的包围了F(s)的Z 个零点和P 个极点，则当点沿顺时针

移动一周时，在F 平面上闭合曲线逆时针绕原点的圈数R 为P 和Z 之差，即

R=P-Z

若R<0，则表示顺时针方向绕原点的圈数。

S ΓS ΓF Γs 0

F

)

(s F ∠j

F

ΓF 平面

12,z z 零点：12,p p 极点：

（注意不能经过F(s)的任何一个零点和极点）

S Γ

)

(s G )

(s H 闭环121212()()()

()=1()()()()()()

M s N s G s s G s H s N s N s M s M s Φ=

++11()

()()

M s G s N s =

前向22()

()()

M s H s N s =

反向开环1212()()

()()()()

M s M s G s H s N s N s =

辅助函数121212()()()()

()=1+()()()()

N s N s M s M s F s G s H s N s N s +=

辅助函数

1122(),(),(),()M s N s M s N s 均为s 的实系数多项式开环特征多项式

闭环特征多项式=

)(s F F(s)的极点是开环的极点，F(s)的零点是闭环的极点。

辅助函数F(s)建立了开环特征多项式与闭环特征多项式之间的联系。

开环特征多项式

闭环特征多项式=

)(s F 在s 平面内选择一个封闭的轨线，

它由整个虚轴和一个半径为无穷大的半圆构成，它包围整个右半s 平面，并且未经过F(s)的零点和极点。

S ΓF 平面

Re

Im

若在右半s 平面内有函数F(s)的P 个极点和Z 个零点，根据幅角原理可知，当s 沿顺时针移动一周时，F 平面内封闭曲线逆时针包围原点的圈数

R=P-Z

若可以确定Z 的值，就可以确定闭环系统的稳定性；若Z=0，或P=R ，则闭环稳定。s ΓF Γ∞

→r 0

S

Γj

s 平面

s

P 可以根据开环传递函数G(s)H(s)确定，问题是如何确定R?

)

()(1)(s H s G s F +=（1）对于物理系统，G(s)H(s)分母多项式的次数n 大于(或等于)其分子多项式的次数

m ，使得函数F(s)的分子和分母的多项式次数相等，则当在的圆弧段取值时，对应的象是F 平面实轴上的某个固定的点。

S Γs ∞

→r 0

S

Γj

s 平面

s

F 平面

0j

1

(n>m)

F

Γ因此，只需考虑沿虚轴取值的情况（），利用函数就可

以得到在F 平面中的封闭曲线，并确定包围原点的圈数R 。

=j ωs F Γs (j )1(j )(j )F G H ωωω=+

(j )1(j )(j )

F G H ωωω=+F 平面0

j

1

(n>m)

F

ΓGH 平面

-1

j

(n>m)

(j )(j )

G H ωω∞

→r 0

S

Γj

s 平面

s

（2）在F 平面内，曲线包围坐标原点的圈数R ，等于在GH 平面内曲线包围（-1，j0）点的圈数。(）

(j )(j )G H ωωF Γ:ω−∞→+∞R=P-Z, 或Z=P-R ，系统稳定的充分必要条件是：Z=0，即R=P

Nyquist 稳定判据

若系统开环稳定，即P=0，则当开环幅相特性曲线不包围(-1,j0)点时，系统闭环稳定。

若闭环系统不稳定，则闭环在右半s 平面的极点数为

Z=P-R

其中R 为开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若R<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。

闭环系统稳定的充要条件：当频率由变到时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点转过P 圈，P 为开环传递函数位于s 右半平面的极点个数。

ω+∞−∞