高考数学百大经典例题交集和并集.doc
交集和并集
例 1 已知 M＝ {y|y ＝x 2
＋ 1，x∈ R}， N＝ {y|y ＝－ x
2
＋ 1，x∈ R}则 M∩ N是
[ ]
A．{0 ， 1}
B． {(0 ， 1)}
C． {1}
D．以上均不对
分析先考虑相关函数的值域．
解∵ M＝{y|y ≥ 1} ， N＝ {y|y ≤ 1} ，
∴在数轴上易得M∩N＝ {1} ．选 C．
例 2 已知集合 A＝ {x|x 2＋m x＋ 1＝ 0} ，如果 A ∩ R＝，则实数m的
取值范围是
[ ] A． m＜ 4
B． m＞ 4
C． 0＜ m＜ 4D． 0≤ m ＜4
分析∵A∩R＝，∴ A＝．
所以 x 2＋M x＋1＝ 0无实数根，由
m≥ 0，
＝ ( m) 2－ 4＜ 0，
可得 0≤ m＜ 4．
答选 D．
例 3设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝
[ ] A． {x| － 5≤ x＜ 1}B． {x| －5≤ x≤ 2}
C． {x|x ＜ 1}D． {x|x ≤ 2}
分析画数轴表示
得 A ∪B＝{x|x ≤ 2} ，A∪ B＝ B． (注意 A ≠ B，也可以得到 A ∪ B＝
B)．
答选 D．
说明：集合运算借助数轴是常用技巧．
例 4集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________．
分析 A ∩B 即为两条直线x＋ y＝ 0 与 x－ y＝ 2 的交点集合．
x＋ y＝ 0，x＝1，
解由得
y＝－ 1．
x－ y＝ 2
所以 A∩ B＝ {(1 ，－ 1)} ．
说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．
例 5 下列四个推理：①a∈ (A ∪ B)a∈ A；② a∈ (A ∩ B)a∈ (A
∪B)；
③A B A∪B＝B；④ A∪B＝A A∩B＝B，其中正确的个数为
[ ] A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
分析根据交集、并集的定义，①是错误的推理．
答选 C．
例 6已知全集U＝ R， A＝ {x| － 4≤ x＜2} ， B＝ {x| － 1＜ x
＝________．
号的值．
解观察数轴得， A∩ B＝ {x| － 1＜ x＜2} ， A∩ B∩ (P) ＝ {x|0 ＜ x＜ 2} ．
U
例 7设A＝{x∈R|f(x)＝0}，
B＝ {x ∈ R|g(x) ＝ 0} ，
C＝ {x ∈ R| f(x)
＝ 0} ，全集 U＝ R，那么
g(x)
[ ] A． C＝ A∪ ( U R) B． C＝A∩ ( U B) C．C＝A∪B D． C＝( U A) ∩B
分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
f(x)
C＝ {x ∈ R|＝0}
g(x)
＝{x ∈ R|f(x) ＝ 0 且 g(x) ≠0}
＝ {x ∈ R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A∩(U B) ．
答选 B．
说明：本题把分式的意义与集合相结合．
例 8 集合 A 含有 10 个元素，集合 B 含有 8 个元素，集合 A∩B 含有 3 个元素，则集合 A∪B 有 ________个元素．
分析一种方法，由集合A∩ B 含有 3 个元素知， A，B 仅有 3 个元素相同，根
据集合元素的互异性，集合A∪ B 的元素个数为10＋ 8－ 3＝15．
另一种方法，画图1－ 10 观察可得．
答填 15．
例 9已知全集U＝ {x|x取不大于30 的质数 } ， A， B 是 U 的两个子集，且 A ∩ (U B) ＝{5，13，23}，(U A)∩B＝{11，19，29}，(U A)∩(U B)＝{3，7}求A， B．
分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－ 11 直观地求解．
解∵ U＝{2 ， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29}
用图形表示出A∩(U B) ，(U A)∩B及(U A)∩(U B)得
U(A ∪ B)＝ {3 ， 7} ， A∩ B＝ {2 ， 17} ，所以
A＝ {2 ， 5，13， 17， 23} ，
B＝ {2 ， 11， 17， 19， 29} ．
说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．
例 10设集合A＝{x 2
，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，
求 A ∪B ．
分析
欲求 A ∪ B ，需根据 A ∩ B ＝ {9} 列出关于 x 的方程， 求出 x ，从而确定 A 、
B ，但若将 A 、B 中元素为 9 的情况一起考虑， 头绪太多了， 因此，宜先考虑集合 A ，再将所得值代入检验．
解
由 9∈A 可得 x 2
＝ 9 或 2x － 1＝ 9，解得 x ＝± 3 或 5．
当 x ＝ 3 时， A ＝{9 ， 5，－ 4} ， B ＝ { － 2，－ 2， 9} ， B 中元素违反互异
性，故x ＝ 3 应舍去；
当 x ＝－ 3 时， A ＝ {9 ，－ 7，－ 4} ， B ＝ { －8， 4， 9} ， A ∩ B ＝{9} 满足题意，此时 A ∪ B ＝ { － 7，－ 4，－ 8，4， 9}
当 x ＝ 5 时， A ＝{25 ， 9，－ 4} ， B ＝{0 ，－ 4，9} ，此时 A ∩ B ＝{ － 4， 9} ，这与 A ∩ B ＝ {9} 矛盾．
故 x ＝ 5 应舍去．
从而可得 x ＝－ 3，且 A ∪ B ＝ { － 8，－ 4， 4，－ 7， 9} ．
说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．
例 11
设 A ＝ {x|x 2＋ 4x ＝ 0} ， B ＝ {x|x 2＋ 2(a ＋1)x ＋ a 2
－ 1＝ 0} ，若 A ∩ B
＝ B ，求 a 的值．
分析 由A ∩ B ＝ B ， B A ，而 A ＝{x|x 2 ＋ 4x ＝ 0} ＝ {0 ，－ 4} ，所以
需要对 A 的子集进行分类讨论．
解 假如 B ≠ ，则 B 含有A 的元素．
设 0∈ B ，则 a 2
－ 1＝0，a ＝± 1，当 a ＝－ 1 时， B ＝{0} 符合题意；当 a ＝1 时，
B ＝ {0 ，－ 4} 也符合题意．
设－ 4∈ B ，则 a ＝ 1 或 a ＝ 7，当 a ＝ 7 时， B ＝ { － 4，－ 12} 不符合题意．
假如 B ＝ ，则 x 2 ＋ 2(a ＋1)x ＋ a 2 － 1＝ 0无实数根，此时
＜ 0得 a
＜－ 1．
综上所述， a 的取值范围是 a ≤－ 1 或 a ＝ 1．
说明： B ＝ 这种情形容易被忽视．
例 12 (1998 年全国高考题 ) 设集合 M ＝{x| － 1≤ x ＜ 2} ， N ＝{x|x
－ k ≤ 0} ，若 M ∩ N ≠ ，则 k 的取值范围是
[ ]
A ．( －∞， 2]
B ．[ － 1，
＋∞ )
C ．( －1，＋∞ )
D ． [ －1，2]
分析
分别将集合 M 、 N 用数轴表示，可知： k ≥－ 1 时， M ∩
N ≠ ．
答
选 B ．
例 13(2000 年全国高考题 ) 如图 1－ 12： U 为全集， M、 P、S 是 U 的 3 个子集，则下图中的阴影部分为 ________．
分析利用交集、并集、补集的意义分析．
解阴影部分为： (M∩ P) ∩ (U S) ．
说明：你能否指出M∩ (P ∪ S)是图形上的哪一区域？