向量法求线面角,二面角

利用空间向量解立体几何问题1、线面垂直

别解：本题还可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行

11.（2009安徽卷理）

如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I ）求二面角B －A F －D 的大小；

（向量法）以A 为坐标原点，BD 、AC 、AE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）

设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z =，则由1100n AB n AF ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩得2

02220

x y y z ⎧-

+=⎪⎨⎪+=⎩

令1z =，得2

1

x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，1(2,1,1)n =--

同理，可求得平面ADF 的法向量2(2,1,1)n =-。

由120n n ⋅=知，平面ABF 与平面ADF 垂直， 二面角B-AF-D 的大小等于

2

π

。

14.（2009江西卷文）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，

2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 解：方法（一）：

A

P

M

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，

所以 PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠

tan tan PD

PNM PCD DC

∠=∠==

所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离.

因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD

中点，DM =，则O 点到平面ABM

。

方法二： （1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，

(0,4,0)D ，(0,2,2)M ，

设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n AB n AM ⊥⊥可得：20

220x y z =⎧⎨+=⎩

，令1z =-，

则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α

，则2sin 3

PC n PC n

α

⋅=

=

， 所求角的大小为. （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n

⋅=

=

25.（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥S ABCD -中

，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =

，

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。（同理18） （Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则

)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，

)2,2,0(-=SC ，由题得

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>=

⎩⎪⎨⎧

-=-=++-⋅--)

2(22212)2(2)2(22

2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12

,12,2(),12,12,

0(λ

λλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故o AB MB AB MB 60cos ||||⋅=•，即

2

2)12()12(214λ

λλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ， 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则

⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0011AS n MA n 且⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0

012AB n MA n ，即⎪⎩⎪⎨

⎧=+-=--022*******z x z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧

==--02022222y z y x 分别令221=

=x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即

)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，