4.4.4无阻尼振荡二阶系统的时间最优控制
国家开放大学电大《机电控制工程基础》网络课形考任务2作业及答案
国家开放大学电大《机电控制工程基础》网络课形考任务2作业及答案形考任务2一、判断题（共20道，每道2分）题目1时间常数T越大，一阶系统跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差越小。
选择一项：错题目2二阶系统在欠阻尼下阶跃响应表现为等幅振荡的形式。
选择一项：错题目3一阶系统的动态响应速度和其时间常数有关。
选择一项：对题目4两个二阶系统若具有相同的阻尼比，则这两个系统具有大致相同的超调量。
选择一项：错题目5两个二阶系统若具有相同的阻尼比，则这两个系统具有大致相同的超调量。
选择一项：错题目6两个二阶系统具有相同的超调量，则这两个系统具有相同的无阻尼自振荡角频率选择一项：错题目7一阶系统的时间常数越小，其动态响应速度越快。
选择一项：对题目8二阶系统的调节时间和阻尼比及无阻尼自振荡角频率的乘积成反比。
二阶系统的阻尼比越小，振荡性越强。
选择一项：对题目10对于Ⅰ型系统，在单位阶跃输入信号下的稳态误差为零。
选择一项：对题目11劳斯表第一列系数符号改变了两次，说明该系统有两个根在右半s平面。
选择一项：对题目12如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
选择一项：对题目13在计算中劳斯表的某一行各元素均为零,说明特征方程有关于原点对称的根。
选择一项：对题目140型系统在阶跃输入作用下存在稳态误差,常称有差系统。
选择一项：对题目150型系统不能跟踪斜坡输入，Ⅰ型系统可跟踪，但存在误差，Ⅱ型及以上在斜坡输入下的稳态误差为零。
选择一项：对题目16二阶系统在零阻尼下，其极点位于S平面的右半平面。
二阶欠阻尼系统，其阻尼比越大，系统的平稳性越好。
选择一项：对题目18系统的稳态误差和其稳定性一样，均取决于系统自身的结构与参数。
选择一项：错题目19两个二阶系统具有相同的超调量，则这两个系统具有相同的无阻尼自振荡角频率。
选择一项：错题目20当固定，增加时，二阶欠阻尼系统单位阶跃响应的调节时间将减小。
二阶系统的时间响应及动态性能
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
（3-9）
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为
C(s)
= Φ (s)R(s)
=
s2
+
ω
2 n
2ξωn s
+
ω
2 n
1 s
=
1 s
−
(s
s+ + ξω n )2
2ξω n + (1 − ξ
2
)ω
2 n
= 1−
s + ξωn
−ξ
1−ξ 2ωn
s (s + ξωn )2 + (1− ξ 2 )ωn2
s2 + 1 s + K = (s + 1 )2 = s2 + 2 s + 1 = 0
TT
T1
T1
T12
比较系数得
⎩⎨⎧KT1
= =
2T = T T12
2 × 0.1 = 0.2 = 0.1 0.22 =
2.5
查图 3-7，可得系统调节时间 ts = 4.75T1 = 0.95 s，满足系统要求。
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
性。
66
例 3-3 某系统闭环传递函数 Φ(s) =
16
，计算系统的动态性能指标。
自动控制原理期末试卷与答案
⾃动控制原理期末试卷与答案⾃动控制原理1⼀、单项选择题（每⼩题1分，共20分）1. 系统和输⼊已知，求输出并对动态特性进⾏研究，称为（ c ）A.系统综合B.系统辨识C.系统分析D.系统设计2. 惯性环节和积分环节的频率特性在（ d ）上相等。
A.幅频特性的斜率B.最⼩幅值C.相位变化率D.穿越频率3. 通过测量输出量，产⽣⼀个与输出信号存在确定函数⽐例关系值的元件称为（ d ）A.⽐较元件B.给定元件C.反馈元件D.放⼤元件4. ω从0变化到+∞时，延迟环节频率特性极坐标图为（a ）A.圆B.半圆C.椭圆D.双曲线5. 当忽略电动机的电枢电感后，以电动机的转速为输出变量，电枢电压为输⼊变量时，电动机可看作⼀个（ d ）A.⽐例环节B.微分环节C.积分环节D.惯性环节6. 若系统的开环传递函数为2)(5 10+s s ，则它的开环增益为（c ） A.1 B.2 C.5 D.107. ⼆阶系统的传递函数52 5)(2++=s s s G ，则该系统是（b ） A.临界阻尼系统 B.⽋阻尼系统 C.过阻尼系统 D.零阻尼系统8. 若保持⼆阶系统的ζ不变，提⾼ωn ，则可以（b ）A.提⾼上升时间和峰值时间B.减少上升时间和峰值时间C.提⾼上升时间和调整时间D.减少上升时间和超调量9. ⼀阶微分环节Ts s G +=1)(，当频率T1=ω时，则相频特性)(ωj G ∠为（ a ） A.45°B.-45°C.90°D.-90°10.最⼩相位系统的开环增益越⼤，其（ d ）A.振荡次数越多B.稳定裕量越⼤C.相位变化越⼩D.稳态误差越⼩11.设系统的特征⽅程为()0516178234=++++=s s s s s D ，则此系统（）A.稳定B.临界稳定C.不稳定D.稳定性不确定。
12.某单位反馈系统的开环传递函数为：())5)(1(++=s s s k s G ，当k =（）时，闭环系统临界稳定。
二阶系统的最优控制
二阶系统的最优控制Ξ肖 滨(海军潜艇学院 青岛 266071) 摘 要 应用最优控制理论验证了二阶系统最优控制为典型的Bang 2Bang 控制,通过理论推导得出了其相轨迹,并讨论了二阶系统最优控制的实现。
关键词 最优控制 二阶系统 Bang 2Bang 控制The Opti m al Con trol of Second -Order SystemX iao B in(N avy S ub m arine A cad e m y ,Q ing d ao ,266071) ABSTRACT T h is paper demo strated that the op ti m al contro l of second 2o rder system is the typ ical Bang 2Bang contro l by app lying the Op ti m al Contro l T heo ry .T he state track about th is contro l m ethod is obtained also by using theo ry inference ,and how to realize the op ti m al contro l of second 2o rder system is discussed deep ly at last .KEY WOR D S op ti m al contro l ,second 2o rder system ,Bang 2Bang contro l在雷达声纳等控制系统中,都涉及到目标自动搜索及跟踪问题,而其控制一般都采用闭环自动控制和调整实现,对于二阶系统而言,如何获得最优控制,使系统动态性能达到最快速的跟踪控制效果,一直是人们所关注的问题。
二阶系统的传递函数为 H (S )=k mS (S T m +1)(1)采用图1所示的闭环控制后,其传递函数为H (S )=K m T mS 2+S T m +K m T m (2)图2是二阶闭环系统阶跃响应曲线,可以看出:当系统阻尼太大时,系统响应时间长;而当系统阻尼太小时,输出超调量又太大。
二阶系统的时间响应
例题1
图 a) 所示机械系统，当在质量块 M 上施加 f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如 图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘 性阻尼系数C的值。
1 X i ( s) s
欠阻尼（0<<1）状态
xo (t ) 1 e nt 1 2 sin(d t ), t 0
其中， d n 1 2
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
> 1：
e xo (t ) 2 2 1
n
2 1 nt
2 1 nt e
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
2 n X o ( s) G( s) X i ( s) 2 s( s 2 2 n s n )
p1, 2 n n 2 1
系统包含两类瞬态衰减分量：
2 exp n n 1 t
欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1
具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
xo (t ) 1 cosnt, t 0
xo(t) 2
1
特点 频率为n的等 幅振荡。 t
0
负阻尼（<0）状态
-1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。
< -1：输出表达式与过阻尼状态相同。 xo(t)
0 -1<<0 特点：振荡发散 t 0 xo(t)
<-1 特点：单调发散
100 90 二阶系统Mp — 图 xo (t p ) xo () 80 Mp 100% 70 xo () 60 Mp50 2 40 e 1 100% 30 20 10 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2
机械工程控制基础智慧树知到期末考试章节课后题库2024年湖北工程学院
机械工程控制基础智慧树知到期末考试答案章节题库2024年湖北工程学院1.二阶无阻尼系统的时间响应不为（）答案:单调上升曲线###衰减振荡曲线###指数上升曲线2.Ⅰ型系统的速度静差系数不等于（）答案:0###∞###时间常数3.传递函数不与系统（）答案:干扰信号有关###输入信号有关###输出信号有关4.传递函数的零点和极点均在复平面的左侧的系统不为（）答案:有差系统###无差系统###非最小相位系统5.本质非线性系统在工作点附近存在（）等严重非线性性质情况。
答案:折线###跳跃###非单值关系###不连续直线6.过阻尼的二阶系统与临界阻尼的二阶系统比较，其响应速度不正确的是（）答案:过阻尼的反比于临界阻尼的###过阻尼的大于临界阻尼的###过阻尼的等于临界阻尼的7.一阶系统不是（）答案:不稳定系统###Ⅱ型系统###非最小相位系统8.临界阻尼二阶系统的单位阶跃稳态响应不为（）答案:等幅衰减曲线###零###单调上升曲线9.线性控制系统的频率响应是系统对输入不正确的是（）答案:脉冲信号的稳态响应###斜坡信号的稳态响应###阶跃信号的稳态响应10.当输入量发生突变时，惯性环节的输出量不能突变，不能按（）答案:斜坡曲线变化###正弦曲线变化###加速度曲线变化11.欠阻尼二阶系统是（）答案:稳定系统12.闭环系统稳定的充分必要条件是其开环极坐标曲线逆时针围绕点（－1，j0）的圈数等于落在S平面右半平面的（）答案:开环极点数13.单位斜坡信号的拉氏变换为（）答案:14.微分环节的频率特性是（）答案:15.控制系统的误差是（）答案:期望输出与实际输出之差16.闭环控制系统的时域性能指标是（）答案:最大超调量17.欠阻尼二阶系统的输出信号振幅的衰减速度取决于（）答案:18.把系统从一个稳态过渡到新的稳态的偏差称为系统的（）答案:稳态误差19.要使自动调速系统实现无静差，则在扰动量作用点的前向通路中应含有（）答案:积分环节20.欠阻尼二阶系统的单位阶跃稳态响应为（）答案:常数21.随动系统要求系统的输出信号能跟随（）答案:输入信号的变化22.线性定常系统输出响应的等幅振荡频率为，则系统存在的极点有（）答案:23.若二阶系统的阻尼比和固有频率分别为和，则其共轭复数极点的实部为（）答案:24.零型系统跟踪阶跃信号的稳态误差为（）答案:常数25.闭环系统稳定的充要条件是系统开环对数幅频特性过零时，对应的相频特性（）答案:26.通过动态调节达到稳定后，被控量与期望值一致的控制系统为（）。
控制基础填空题线性控制系统最重要...
控制基础填空题(每空1分，共20分)1. 线性控制系统最重要的特性是可以应用___叠加__原理，而非线性控制系统则不能。
2．反馈控制系统是根据输入量和__反馈量__的偏差进行调节的控制系统。
3．在单位斜坡输入信号作用下，0型系统的稳态误差e ss =__∞___。
4．当且仅当闭环控制系统特征方程的所有根的实部都是__负数__时，系统是稳定的。
5.方框图中环节的基本连接方式有串联连接、并联连接和__反馈 _连接。
6．线性定常系统的传递函数，是在_ 初始条件为零___时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比。
7．函数te -at 的拉氏变换为2)(1a s +。
8．线性定常系统在正弦信号输入时，稳态输出与输入的相位移随频率而变化的函数关系称为__相频特性__。
9．积分环节的对数幅频特性曲线是一条直线，直线的斜率为__－20__dB ／dec 。
10．二阶系统的阻尼比ξ为 _ 0_ 时，响应曲线为等幅振荡。
11．在单位斜坡输入信号作用下，Ⅱ型系统的稳态误差e ss =__0__。
12．0型系统对数幅频特性低频段渐近线的斜率为___0___dB/dec ，高度为20lgKp 。
13．单位斜坡函数t 的拉氏变换为21s 。
14. 根据系统输入量变化的规律，控制系统可分为__恒值__控制系统、___随动___ 控制系统和程序控制系统。
15. 对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、__快速性__和准确性。
16. 系统的传递函数完全由系统的结构和参数决定，与__输入量、扰动量__的形式无关。
17. 决定二阶系统动态性能的两个重要参数是阻尼系数ξ和_无阻尼自然振荡频率w n 。
18. 设系统的频率特性Ｇ(j ω)=R(ω)+jI(ω),则幅频特性|G(jω)|=)()(22w I w R +。
19. 分析稳态误差时，将系统分为0型系统、I 型系统、II 型系统…，这是按开环传递函数的__积分__环节数来分类的。
二阶系统的性能指标
一、二阶系统传递函数的标准形式二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：2222)()(nn ns s s R s C ωξωω++=式中,ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率.所以,二阶系统的特征方程为：022=++n n s s ωξω由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11ξωξω-±-=n n j s随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。
二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）令)(1)(t t r =，则有ss R 1)(=，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2222222)()(1))((2112)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s ss s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅-+++-=-++++-=⋅++=式中，21ξωω-=n d 为有阻尼自振频率对上式进行反拉氏变换，得：)sin(11)sin 1(cos 1sin cos 1)(22ϕωξωξξωωωξωωξωξωξωξω+--=-+-=⋅--=----t e t t e t e t e t c d t d d t d td n d t n nnn式中，ξξϕ21-=arctg由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程,)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。
其衰减速度取决于ϕ角的定义n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：2122ξωπωπ-==n dd T三、二阶系统的性能指标1．上升时间tr ：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。
根据定义，当r t t =时，1)(=r t c 。
即 0sin 1cos 2=-+r d r d t t ωξξω或 nn r d t tg ξωξωω21-=，)(ϕπω-=tg t tg r d所以,上升时间为：21ξωϕπ--=n r t2．峰值时间tp:过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。
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协态方程与 x ( t )、u( t )无 关 ， 若 令 1 (0)＝c1， 2 (0)＝c2， 则 协态方程的解为
1 ( t )＝c1 cos t c2 si nt 2 ( t )＝ c1 si nt c2 cos t D si n ( t )
其 中D与是 与c1、c 2 有 关 的 常 数 。 由 哈 密 函 顿数的性质 1 1 ( t ) x 2 ( t ) 2 ( t )u( t ) 2 ( t ) x1 ( t )＝0 可 知c1、c2 不 同 时 为 零 。 再 由 极 值 条 件 u* ( t ) sgn 2 ( t )得
1
应用极小值原理，最优 解的必要条件为： 1 (t ) x2 1 ）正则方程 x 2 (t ) x1 u x (t )＝ 1 (t )＝ 2 H 2 (t ) x1 H 1 (t ) x2
其中H ( x, u, ) 1 1 (t ) x2 (t ) 2 (t )u (t ) 2 (t ) x1 (t ) 2）边界条件 3）极值条件 即 x1 (0) x10，x2 (0) x20 x1 (t f ) 0，x2 (t f ) 0 H ( x* (t ), u * (t )， (t )) min H ( x* (t ), u (t )， (t ))
9
二、最优轨线的倒数二 第段及倒数第二条 开关曲线
10
最优轨线的倒数第二最 段多为半圆。 r1表 示 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达r0的 状 态 集 合 。
2 r1 x1 , x 2 : x1 3 x 2 1，x 2 0 2
11
r1表 示 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达r0的 状 态 集 合 。
2 r1 x1 , x 2 : x1 3 x 2 1，x 2 0 2
1 R 表示借助于 u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 达 r0
14
综上所述，问题 4.4.7的 时 间 最 优 控 制 可 表 为 示 1, u 1,
*
对( x1 , x 2 ) R r 对( x1 , x 2 ) R r
15
达rj 1的 状 态 集 合 。
j R（ u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 j 1, 2, )表 示 借 助 于
达rj 1的 状 态 集 合 。 可 见R 是 开 关 曲 线 r上 方 所 有 状 态 的 集 合 而 ，R 是 开 关 曲 线 r 下方所有状态的集合
u* ( t ) sgnD si n ( t )
3
由u* ( t )与2 ( t )随 时 间 变 化 的 图 形 ， 见 可u* ( t )具 有 如下特点： （ 1 ） u* ( t )切 换 次 数 的 上 限 值 不 确 能定 ， 因 此 无 法 确 定 候 选 的 最 优 控 制列 序。 （ 2 ） 除首尾两段外， u ( t )在 其 边 界 值 上 的 持 续 时 间 为， 在 首 尾 两 段 的 持 续 间 时小 于 或 等 于 。
*
4
u( t ) 1， 状态方程的解为 x1 ( t )＝ x10 u cos t x20 sint u x2 ( t )＝ x10 u sint x20 cos t 上 面 两 式 两 边 平 方 后相 再加 ， 可 得 状 态 轨 迹程 方
x1 (t ) u2 x 2 (t )＝ x10 u2 x 2
的状态集合。
1 R 为开关曲线 r0、r0、r1与 以( 1,0)为 圆 心 ， 3为 半 径
的下半圆所界定的区内 域的所有点的集合。 r1 是 倒 数 第 二 条 控 制 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。 因此倒数第二条开关线 曲 为r1或r1。
12
三、推广到一般情况 令rj，j 0,1,2, , 表 示 以 ( 2 j 1,0)为 圆 心 的 单 位 圆 的 下 圆 半。 令rj，j 0,1,2, , 表 示 以 ( ( 2 j 1),0)为 圆 心 的 单 位 圆 的 上 圆 半。 rj 是 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达 rj 1的 状 态 集 合 。 rj 是 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达 rj 1的 状 态 集 合 。 问 题4.4.7的 开 关 曲 线 定 义 为 ： j j r r r r r j 0 j 0 其 中r rj 表 示 所 有 从 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。
1 R 表示借助于 u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 达 r0
的状态集合。
1 R 为开关曲线 r1、r0、r0与 以( 1,0)为 圆 心 ， 3为 半 径
的上半圆所界定的区内 域的所有点的集合。 r1 是 倒 数 第 二 条 控 制 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。
r
x , x : x
1 2
2 1 x ，x 2 1 2 1 2
0
8
r0 是 控 制 最 后 一 次 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。 r0 是 控 制 最 后 一 次 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。 最后一条开关曲线为 r0或r0。
4.4.4 无 阻 尼 振 荡 二 阶 系 统 时 的间 最 优 控 制 1 x 2，x 2 x1 u， 求 满 足 问 题4.4.7 已知受控系统 x 约 束 u( t ) 1的 最 优 控 制 规 律 u* ( t )， 使 系 统 由 任 意 初 态 x10 , x 20 转 移 到 状 态 空 间 原 点 时 的间 最 短 。 系统的特征值为纯虚数 应用定理 4.4.1 ～4.4.6， 可 知 系 统 是 正 常 的 时 ，间 最 优 控 制 存 在 ， 且 唯 一是 ，Bang Bang控 制 。
u ( t )V
u * (t ) sgn 2 (t )
4) H ( x* (t ), u * (t )， (t )) H ( x* (t *f ), u * (t *f )， (t *f )) 0 即 1 1 (t ) x2 (t ) 2 (t )u (t ) 2 (t ) x1 (t ) 1 1 (t f ) x2 (t f ) 2 (t f )u (t f ) 2 (t f ) x1 (t f ) 0
2
20
r2
5
状 态 轨 迹 为 两 族 同 心， 圆系 统 沿 状 态 轨 迹 按 顺 时 针 方 向 等 速 运 动转 ，一 周 的 时 间 为 2。
6
一、最优轨线的最后段 一及最后一条 开关曲线
7最 优 轨 线 的 来自 后 一 段定 必 是r0或r0的 一 部 分 。
2 r x1 , x 2 : x1 1 x 2 1，x 2 0 0 0 2
j 0
r rj 表 示 所 有 从 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。
j 0
13
再 令R Rj
j 1
R Rj，
j 1 j 其 中R（ u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 j 1,2, )表 示 借 助 于