最优控制习题及参考答案
最优控制胡寿松版部分习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ，1c ，2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
最优控制第五章习题答案
1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. ）4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
最优控制期末考试题精华版
解：
设拉格朗日乘子为 、 ，根据非线性K-T条件定理：
考虑到约束条件：
分三种情况考虑式(1)~(5)的解：
1．若(5)式等号不成立，则由(2)式有 ，再代入(1)式得 ，这和(4)式矛盾。因此，(4)式等号一定成立。
2．若(6)式等号不成立，则由(3)式有 ，代入(1)式得
由 和(7)式以及(5)式可得： .
3.若(6)式等号成立，则由(5)、(6)式可解得：
及
由(4)式、(1)式可知， 不能取 ，而若取 ，则 就应该为 ，此时(1)式不成立。
综上所述，所求非线性规划有唯一K-T点 ，根据最优条件，最优点必定是K-T点，即 。
七、（10分）用惩罚函数法求下列问题的最优解：
八、（10分）试求 的有效解和弱有效解
一、（10分）用图解法求解：
二、（10分）用单纯形法求解：
三、（10分）求函数 的极值。
四、（15分）用0.618法解下列问题：
，初始区间为 ，
五、（15分）设 ，求在以下各点处的最速下降方向：
， ，
解：函数在某一点处的最速下降方向即为函数在该点方向导数最小的方向
令
由已知条件可得：
所的表达式求出它们的最优解：
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
3－ 6 已知二阶系统方程
?
x1(t)
?
x2(t)
x2(t ) u(t ),
x1 (0) 0
x1(t f )
2
式中
x2 (0) 0, x2 (t f ) 2,
u(t)
1,t f 自由。试求使性能指标 J
1 2
t 0
f
[
x12
(t
)
x
2 2
(t
)
u 2(t)] dt 为极小
的最优控制 u (t ) ，最优轨线 x (t) 以及最优指标 J 。 解：本例为线性定常系统，积分型性能指标， t f 自由，末端
e
*
J
1
1
[ x(t) u(t)]dt
ln
2 (2 e
t
1 )dt
11
t
32 e
e[ (2 e)e ]dt
ln 0.45
0
2
0
2
ln 2
2
2e 2
最优解曲线如下：
3-5 控制系统
x&1 x&2
u1, x1(0) 0, x1(1) 1 ，试求最优控制
x1 u2 , x2 (0), x2 (1) 1
u1* (t) ,
x2
H u1 2u1 H u2 2u2
10
u1 ( t )
， 解得
20
u2 (t)
1 (1 c1)t
2 1 2 c1
c2
，由状态
方程有
x&1(t )
1
(1 2
c1 )t
c2
，
解得
x&2 ( t )
x1(t )
1 c1
现代控制理论习题之线性二次型最优控制
【解】：
系统性能指标的值是
J=
1 T x (0) Px(0) 2
其中 P 是对应 Lyapunov 方程的对称正定解。具体写出这个 Lyapunov 方程，得到
2
第七章
线性二次型最优控制
⎡1 a ⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
由此可得以下的一组方程：
p12 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ p11 ⎢ ⎥−⎢ p 22 ⎥ ⎦ ⎣a − 1⎦ ⎣ p12
2ap12 + a 2 p 22 = −1
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
容易看出该系统是渐近稳定的。 7.3 考虑系统
⎡1 1 ⎤ ⎡1⎤ x(k + 1) = ⎢ x(k ), x(0) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a − 1⎦ ⎣0⎦
其中 −0.25 ≤ a < 0 。我们希望确定参数 a 的一个最优值，使得性能指标 1 ∞ J = ∑ x T (k )Qx(k ) 2 k =0 最小化。其中 Q = I 。
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x
最优控制习题答案
最优控制习题答案1.设系统方程及初始条件为⎩⎨⎧=+-=)()()(2)()(1211t x t x t u t x t x，⎩⎨⎧==0)0(1)(21x t x 。
约束5.1)(≤t u 。
若系统终态)(f t x 自由，利用连续系统极大值原理求)(*t u 性能指标，)3(2x J =取最小值。
解：2.设一阶离散时间系统为)()()1(k u k x k x +=+，初值2)0(=x ，性能指标为∑=+=2022)(21)2(k k u x J ，试用离散系统最小值原理求解最优控制序列：)2(),1(),0(u u u ，使J 取极小值。
解：3.软着落、空对空导弹的拦截问题、防空拦截问题。
解答：4.设离散系统状态方程为)(2.00)(101.01)1(k u k x k x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+，已知边界条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01)0(x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)1(x 。
试用离散系统最小值原理求最优控制序列，使性能指标∑==102)(03.0k k u J 取极小值，并求出最优的曲线序列。
解：属于控制无约束，N 不变，终端固定的离散最优控制问题，构造离散哈密尔顿函数)](2.0)()[1()](1.0)()[1()(03.0)(222112k u k x k k x k x k k u k H ++++++=λλ其中)1(),1(21++k k λλ为给定拉个朗日乘子序列，由伴随方程：)1()()(111+=∂∂=k k x H k λλ，)1()1(1.0)()(2122+++=∂∂=k k k x Hk λλλ得出 ⎩⎨⎧+==+==)2()2(1.0)1(),2()1()1()1(1.0)0(),1()0(2121121211λλλλλλλλλλ，由极值条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∂∂=++=∂∂006.0)(0)1(2.0)(06.0)(222k u H k k u k u Hλ极小)1(310)(2+-=k k u λ可使min )(=k H ，令k=0和k=1的⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)2(310)1(*)1(310)0(*22λλu u ，)(k u 带入状态方程并令k=0和1得到： 5.求泛函dtx x x x J ⎰++=102221211],[ 满足边界条件π===-=)3(,0)0(,0)3(,3)0(2211x x x x 和约束条件36221=+t x 的极值曲线。
最优控制作业
解：不显含 x ，由欧拉方程可得： L y
L c1 ，代入整理可得 y 2 (1 y 2 ) c1 ，进 y
一步得 y
c1 积分整理可得 y 2 c1 ( x c2 )2 ， 再由横截条件：y(0) y0 ， 1 ， y2
(( y )
2)
L L) 0 ， 即为 ( x 9)2 2 y 2 9 ，联立解得。 y xf
(( y )
L L) 0 ， 即为 y x 2 5 ，联立解得。 y xf
第4周 1、求最优轨线及控制规律
11 a、 系统 x x u ， J [u ] u 2 dt ， x(0) 10 ， x(1) 0 ，求最优 x (t ) ， u (t ) 0 2 11 x x2 x (0) 0 b、系统 1 ，J [u ] u 2 dt ， 1 ， 终点约束 x1 (1) x2 (1) 1， 求 x (t ) ， 0 2 x2 u x2 (0) 0
z (c1 2c4 )sin x (c2 2c3 ) cos x c3 x sin x c4 x cos x ，其中 c1 ， c2 ， c3 ， c4 为待
定系数；若给出具体的横截条件即可解得待定系数。 4、试写出最优问题模型 球面两点最短路径问题和定周面积最大问题 解：(1)、设过球面两定点 x0 ( x(t0 ), y(t0 ), z (t0 )) 和 x f ( x(t f ), y(t f ), z(t f )) 的参数 曲线为 x x(t ) ， y y(t ) ， z z (t ) ；球面半径为 R ，则球面两点最短路径问题 可 描 述 为 求 泛 函 J [ x(t ), y(t ), z (t )]
最优控制习题及参考答案
1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫ (x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J =∫1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + Cx * (t )由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t= 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
20 1 0 ∫ ⎩ λ= −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t)dt2取极小值的最优控制 u * (t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT fH = 1u 2 + λ x+ λ u⎧λ = 0 由协态方程： ⎨ 12 1 21 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C ④22由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1 C t 3− 1C t 2+ C t + C ⑤16 122 3 41⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t− 29， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x * (t ) = 5 t 3−t 2 + t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
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64
特征方程： s2 + 2s −1 = 0
s1 = −1+ 2，s2 = −1− 2 于是得： x* (t) = C1es1t + C2es2t
λ*(t)③= −2e2tu①= −2e2t x
λ* (t) = −2e2t (C1s1es1t + C2s2es2t )
x1*
=
−1 14
t3
+
3 7
t2
x2*
=
−
3 14
t2
+
6 7
t
习题 6 已知一阶系统： x(t) = −x(t) + u(t) ， x(0) = 3
（１）试确定最优控制 u*(t) ，使系统在 t f = 2 时转移到 x(2) = 0 ，并使性
能泛函
∫ J = 2 (1+ u2 )dt = min 0
66
（２）如果使系统转移到 x(t f ) = 0 的终端时间 t f 自由，问 u*(t) 应如何确定？
解： H = 1+ u2 + λu − λ x
⎧x = −x +u 列方程： ⎪⎨λ = λ
⎪⎩2u + λ = 0
由协态方程得： λ = C1et
……①
由控制方程：
u
=
−
1 2
C1et
……②
∫ J = 1 tf u2dt 20
要求达到 x(t f ) = 0 ，试求：（1） t f = 5 时的最优控制 u*(t) ；
（2） t f 自由时的最优控制 u*(t) ；
解：本题 f (i )，L(i )，H (i ) 与前同，故有
⎧
⎪⎪⎪λλ12
= =
C1 −C1t
+
C2
⎪⎪ ⎨
x1
⎪
=
1 6
=
1 2
C1t 2
−
C2t
+
C3
……④
由状态方程： x1 = x2
得：
x1 (t )
=
1 6
C1t 3
−
1 2
C2t
2
+
C3t
+
C4
……⑤
63
将
x(0)
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
，
x(3)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
代入④，⑤,
联立解得：
C1
=
10 9
，
C2
=
2
，
C3
=
C4
=
1
由③、④、⑤式得：
u*(t) = 10 t − 2 9
+
1 4
=0
1 4
C1t
f
2
−
1 2 C2t f
+
1 4
=
0
另： H (t f ) = 0
联立解得： C1
=
1 9
，C2
= 0，t f
=3
于是， λ2
=
−
1 9
t
⎧⎨⎩λλ22
= =
1时，t < 0 −1时，t =
9
在 t 从 0 → 3 段， λ2 ≤ 1满足条件。
故， u*
=
−
1 2
λ2
=
1t 18
C1t 3
−
1 2
C2t 2
+
C3t
+
C4
⎪ ⎪ x2 ⎪
=
1 2
C1t 2
− C2t
+
C3
⎪⎩u = C1t − C2
①
由
x(0)
=
⎡2⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⎧C4 = 2
⎪⎪C3 = 1
x(5)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
，得：
⎪⎨125 ⎪6
C1
−
25 2
C2
+ 5C3
+ C4
=
0
⎪ 25 ⎪⎩ 2
C1
−
5C2
最优控制习题及参考答案
习题 1 求通过 x(0) = 1 ， x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：
∫ J = tf (x2 +1)dt t0
解： 由已知条件知： t0 = 0 ， t f = 1 由欧拉方程得： d (2x) = 0 dt x = C1 x = C1t + C2 将 x(0) =1，x(1) = 2 代入，有： C2 = 1，C1 = 1 得极值轨线： x*(t) = t +1
⎪⎩2e2tu + λ = 0 由③得， u = − 1 e−2tλ
2
代入①得，
……① ……② ……③
……④
x = − 1 e−2tλ 2
x = − 1 e−2tλ + e−2tλ 2
将②，③代入，并考虑到 u = x x = − 1 e−2t (−2xe2t ) + e−2t (−2e2t x) 2
⎧⎪C2 ⎪
−
1 4
C1
=
3
⎨⎪C2e−t f ⎪
−
1 4
C1et f
=0
⎪ ⎪⎩
H
(t
f
)
=
0
解得： C1 = 40 − 6 = 0.325
67
u*(t) = −0.162et 习题 7 设系统状态方程及初始条件为
x(t) = u(t) ， x(0) =1
试确定最优控制 u*(t) ，使性能指标
由始端： x(0) = 1 → C2 = 1
由末端： x(t f ) = 0 → −C1t f +1 = 0
……④
考虑到： H (t f
)
=
− ∂ϕ ∂t f
−
∂ψ ∂t f
⋅γ
=
−1
有： 1 u2 + λu = −1 2
1 2
C12
− C12
=
−1 ⇒
C12
=
2
C1 = ± 2
当 C1 = 2 时，代入④
解：
由已知条件得：
A
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
，
B
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
，
Q
=
⎡4 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
， R =1
∵[B
AB]
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
,
∴可控
——最优解存在
由 x(0) = 1，得： C1 + C2 = 1
……⑤
由 λ(t f ) = λ(1) = 0 得： C1s1es1 + C2s2es2 = 0 ……⑥
⑤、⑥联立，可得 C1、C2
求导
代回原方程可得 x* → u*
（略）
习题 5 求使系统： x1 = x2 ， x2 = u
由 初 始 状 态 x1(0) = x2 (0) = 0 出 发 ， 在 t f = 1 时 转 移 到 目 标 集
由
λ (t
f
)
=
∂ϕ ∂x(t f
)
=
⎡2⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⇒ C1 = 1，C2 = e−1
⇒
⎨⎩⎧λλ12
= =
et −1 1
+1
→
在t
>
0的范围内λ1
>
1
故： u* = −1 t ∈[0,1]
若 需 计 算 最 优 轨 线 ， 只 需 把 u* = −1 代 入 状 态 方 程 ， 可 得 ：
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
解：由题意，
f
=
⎡ ⎢⎣
−
x1 + x1
u
⎤ ⎥⎦
，
ϕ = x1 + x2 , L = 0 ， ⇒ H = λ1u − λ1x1 + λ2 x1
由控制方程可得：
u*
=
⎧+1 ⎨⎩ −1
λ1 < 0 λ1 > 0
由协态方程可得：
⎧⎨⎩ λλ12
= =
λ1 0
−
λ2
⇒ λ1 = C2et + C1 ⇒ λ2 = C1
∫ x1(1)
+
x2
(1)
=
1
，并使性能指标
J
=
1 2
1
u2 (t)dt
0
为最小值的最优控制 u*(t) 及相应的最优轨线 x*(t) 。
解： 本题 f (i)，L(i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同→方程同→通解同
⎧λ1 = C1，λ2 = −C1t + C2
有：
⎪
⎪ ⎪
x1
⎨
=
1 6
C1t 3
……⑤
有：
tf
=1 C1
=
1 2
68
当 C1 = − 2 时，代入④
有：
tf
= 1 =− C1
1 2
，不合题意，故有
C1
=
2
习题 8
最优控制 u* = − 2
设系统状态方程及初始条件为
x1(t) = x2 (t) ， x1(0) = 2
x2 (t) = u(t) ， x2 (0) = 1
性能指标为
1
0
1
2
3
4
t
71
习题 10 设二阶系统
x1(t) = −x1(t) + u(t) ， x1(0) = 1
x2 (t) = x1(t) ， x2 (0) = 0