时间最优控制
合集下载
最优控制的计算方法
5
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
基于最短时间的稳态直流电动机最优控制
１去 。 ＋Ｋ ， Ｋ１ ５
化简后 的 直流 电动 机拖 动系 统方 框 图见 图 ２ 。
枢 电感 和黏滞 摩擦 ，那 么可 以用 图 １的方框 图来 表示
直流 电动机 拖动 系统 。
图 ２ 化 简 后 的 直 流 电 动 机 拖 动 系统 方 框 图
根 据 电机学 拖动 的 知识有 ：
２ 理论 计算
收 稿 日期 ：２ ０ —７２ ；修 回 日期 ：２ ０— ０１ ０ ６０ —Ｏ ０ ６１ —８
作 者 简介 ：穆 森 （９ １） 女 ， 宁 人 ， 士 研 究 生 。 １８一， 辽 硕
为方 便计 算 ， ： 令 ｚ ＝ ， 。 ｚ 一 ，其 中 为转 速 。则 系 统 的状 态方 程 为 ：
基 于最短 时 间的稳 态直流 电动机最优控制
穆 森 ， 王 忠 庆
（ 北 大 学 ， 山 西 太 原 中
００ ５ ） ３ ０ １
摘 要 ：利用苏联 学者庞特里亚金 的极小值原理 和 Ｂ ｎ — ａ ｇ控制原理 等最优控制知识 ，在直流 电动机拖 动系 ａ ｇＢ ｎ
统 的 电枢 电压 “ｆ 不大 于 额 定 电 压 的 条 件 下 ， 行 理 论 分 析 与 讨 论 ， 出 输 入 电 压 “ ｆ ， 望 直 流 电 动 机 在 （ ） 进 求 （）希 输 入 电 压 “ （ 的 作 用 下 ， 最 短 的 时 间 使 角 速 度 达 到 预定 的 任 意 稳 定 转 速 ， 用 Ｍ Ａ ＡＢ作 图 仿 真 和 检 ‘ｆ ） 用 并 ＴＬ
Ｊ ［（ ）ｆ ＋Ｉ １ ｆ（ ｘ ｕ ＝ ］ｔ。 ＝Ｏｘｔ ，］ ＋ｆ Ａ ＋ｂ－ ｒ ｄ － ， ， ）
ｆ 一・ ｚ ｏ 。 … … … …（ 一 ｏ ２＋ ・ … … … … ２ ｏ ２ ）
时间最优控制
**
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
最优控制-极大值原理
近似算法
针对极大值原理的求解过程，开 发了一系列近似算法，如梯度法、 牛顿法等，提高了求解效率。
鲁棒性分析
将极大值原理应用于鲁棒性分析， 研究系统在不确定性因素下的最 优控制策略，增强了系统的抗干 扰能力。
极大值原理在工程领域的应用
航空航天控制
在航空航天领域，利用极大值原理进行最优 控制设计，实现无人机、卫星等的高精度姿 态调整和轨道优化。
03
极大值原理还可以应用于经济 学、生物学等领域，为这些领 域的研究提供新的思路和方法 。
02
最优控制理论概述
最优控制问题定义
01
确定一个控制输入，使得某个给定的性能指标达到 最优。
02
性能指标通常由系统状态和控制输入的函数来描述。
03
目标是在满足系统约束的条件下，找到最优的控制 策略。
最优控制问题的分类
1 2
确定型
已知系统的动态模型和控制约束，求最优控制输 入。
随机型
考虑系统的不确定性，如随机干扰、参数不确定 性等。
3
鲁棒型
考虑系统模型的不确定性，设计鲁棒控制策略。
最优控制问题通过求解优化问题得到最优解的解析表达式。
数值法
02
通过迭代或搜索方法找到最优解。
极大值原理
03
基于动态规划的方法，通过求解一系列的子问题来找到最优解。
03
极大值原理
极大值原理的概述
极大值原理是现代控制理论中的基本原理之一，它为解决最 优控制问题提供了一种有效的方法。该原理基于动态系统的 状态和性能之间的关系，通过寻求系统状态的最大或最小变 化，来达到最优的控制效果。
在最优控制问题中，极大值原理关注的是在给定的初始和终 端状态约束下，如何选择控制输入使得某个性能指标达到最 优。它适用于连续和离散时间系统，以及线性或非线性系统 。
5 最优控制-极小值原理
* j
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理解析
3
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
时间最优控制
其 中x(t ) Rn，u(t ) Rm，f ()和B()的 各 元 对x(t )和t连 续 可 微 ，
g() R p， 其 各 元 对x(t f )和t f 连 续 可 微 ，t f 是 状 态 轨 线 首 次 与 目标集相遇的时刻。
为 统 一 起 见 ， 时 间 最 优控 制 问 题 的 性 能 指 标 取为 积 分 型
为奇异区间。
7
定 理4.4.1 Bang Bang控 制 原 理 设u*(t )是 问 题4.4.1的 时 间 最 优 控 制 ， 且 问题4.4.1是 正 常 的 ， 则最优控制
u*(t ) sgnq(t ) sgn BT ( x(t ),t )(t )
或
u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj ( x(t ),t )(t )
j 1,2, , m; t t0 , t f
因 此 时 间 最 优 控 制 的 各个 分 量u*j (t )都 是 时 间t的 分 段 常 值 函 数 ， 在q j (t )＝0的 诸 点 上 ，u*j (t )由 一 个 边 界 值 切 换到另一个边界值。
8
4.4.2 线 性 定 常 系 统 的 时 间 最优 控 制 问 题 4.4.2 已 知 线 性 定 常 系 统x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是 完 全 能 控 的 ， 求 满 足约 束
u j (t ) 1
设 q(t) BT (x(t),t)(t)
或 q j (t) bTj (x(t),t)(t), j 1,2, , m
其中bj (x(t),t)是矩阵B的第j个列向量，于是(1)式可写为
m
m
T (t)B(x*(t),t)u*(t)
最优控制问题的变分方法
最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特 征值均为实数，时间最优控制 u *(t)存在，其分量
为 uj *(t) 。令 t j 表示uj *(t )的切换时刻，则 uj *(t )
在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维 数）
定理5
当系统正常是，存在最优解的必要条件为：
① 正则方程 式中哈密•*(t)顿 函xH数* 为AT *(t)
使 x(t系f)=统0的从时已间知最状短态，x(性0)=能x指0转标移为到J状态空间0tf 原dt点
在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1
令 B[b1 ,b2 ,...bm ]
式中 bi ห้องสมุดไป่ตู้ n ,i 1,2,...m . ，当且仅当m个矩阵
Gj
[bj
,Abj
,A 2bj
,
A
n
b 1 j
定理表明，每个控制分量uj *(t) 恰好在自己的
两个边界值之间来回切换，满足gj(t) 0,的各
个点正好是切换点。这是一种继电型控制或 开关控制，故有邦-邦控制之称。
线性定常系统的时间最优控制
•
设线性定常系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u(t)： uj(t) 1(j 1,2, m )
一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题
已知受控系统的状态方程为： • x(t ) f(x(t),t ) B(x(t ),t )u(t)
寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t),
uj(t) 1,j 1,2,...r 使系统从初始状态x(t0 ) x 0 出发， 在末态时刻tj( 0) ，首次达到目标集g[x(tf ),tf ] 0
],j
1,2, m
中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。
定理2
当且仅当
rankGj rank[bj ,Abj ,A2bj , An 1bj ] n,j 1,2, m
式中bi R n，, 上述问题是正常的。 定理3
若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最 优控制必定唯一。
定理4 有限切换（开关次数）定理
•
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
H(x ,,u ) 1 T(t )[Ax(t ) Bu(t )]
② 边界条件
x(0) x 0 ,x(tf ) 0
③
极小值条件
ui*(t )
sgnbiT (t)
1,biT (t)0,(i 1,2,...m ) 1,biT (t)0,(i 1,2,...m )
若A有全部实特征值，则 uj *(t )的切换次数为N≦n-1. ④ H函数变化率
H
(t
*
f
)
0
燃料最优控制
在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能
量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。
若消以 耗非 的负 的量 燃料(t总) 表量示为F燃料的瞬tf 时(消t耗)d率t ，,仅则考控虑制如过下程形中式所
u j*(t )
sgn[gj(t)]
1.g j(t) 1,g j(t)
0
0
在最优轨线末端，哈密顿函数应满足
H *(tf* )
g T
g tf
由以上条件知：若g j(t) 0,, 则可以运用极小值原理 确定uj *(t，) 此时称为正常情况。若 g j(t ) 0, uj *(t不) 确定，可取满足约束条件的 uj(t) 1任意值，
其中g是p维向量函数,
且使 J
tf dt
t0
tf
t0
最小值的最优控制u(t).
上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：
H [x(t ),u(t ),(t ),t] 1 T(t )A[x(t ),t] B[x(t ),t]u(t )
规范方程、边界及横截条件分别为:
.
x(t )
H
f(x(t ),t ) B(x(t ),t )u(t )
极小值原理的应用：时间，燃 料最优控制问题
目录
一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结
时间最优控制
时间最优控制问题，是可以运用极小值求 解的一个常见的工程实际问题。如果把系统 由初始状态转移到目标集的时间作为性能指 标，则使转移时间为最短的控制称为最短时 间控制，亦称最速控制。
此时称为奇异情况。
2.正常和奇异控制问题
设在区间[t0 ,tf ]内，存在时间可数集合，
tj t1j .t2j ,... [t0,tf ],j 1,2,...m
使有
gj(t) bjT(x * ,t)(t)
在时间最优控制是正常的
0,t tj
非零，t
t j
,j
1,2,...,
在区间 [t0 ,tf，]至少存在一个子区间，[t1,t2] [t0 ,tf ]
(t )
H x
f
T
[x(t x(t
),t
)
]
(t
)
B[x(t ),t]u(t
x(t )
)
(t
)
x(t0 ) x 0 ,g(x(T ),T ) 0
(T )
g T x(T
)
极值条件为： 1 T(t)f[x *(t),t] T(t)B[x *(t),t]u *(t)
min 1 T(t )f[x *(t ),t] T(t )B[x *(t ),t]u *(t ) uj 1
使得对所有t [t1,t2]，至少有一个函数
g j(t) bjT(x * ,t)(t) 0
则时间最优控制是奇异的，称 [t1,t2 ]为奇异区间。
3.Bang-Bang控制原理
设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 (t )
是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最
优控制为： u *(t ) sgn BT x *(t ),t *(t )
的关系：(t)
m
0
cj uj(t ),cj
0
j 1
式中 uj *(t )是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系
可得 u *(t) sgn[B T(x * ,t)(t)] 式中 sgn(*) 为符号函数，令
B(x ,t ) [b1(x ,t ),b2(x ,t )....,bm(x ,t )],j 1.2....m gj (t ) bjT (x,t )(t ),j 1,2,...m
则最优控制分量应取
为 uj *(t) 。令 t j 表示uj *(t )的切换时刻，则 uj *(t )
在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维 数）
定理5
当系统正常是，存在最优解的必要条件为：
① 正则方程 式中哈密•*(t)顿 函xH数* 为AT *(t)
使 x(t系f)=统0的从时已间知最状短态，x(性0)=能x指0转标移为到J状态空间0tf 原dt点
在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1
令 B[b1 ,b2 ,...bm ]
式中 bi ห้องสมุดไป่ตู้ n ,i 1,2,...m . ，当且仅当m个矩阵
Gj
[bj
,Abj
,A 2bj
,
A
n
b 1 j
定理表明，每个控制分量uj *(t) 恰好在自己的
两个边界值之间来回切换，满足gj(t) 0,的各
个点正好是切换点。这是一种继电型控制或 开关控制，故有邦-邦控制之称。
线性定常系统的时间最优控制
•
设线性定常系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u(t)： uj(t) 1(j 1,2, m )
一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题
已知受控系统的状态方程为： • x(t ) f(x(t),t ) B(x(t ),t )u(t)
寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t),
uj(t) 1,j 1,2,...r 使系统从初始状态x(t0 ) x 0 出发， 在末态时刻tj( 0) ，首次达到目标集g[x(tf ),tf ] 0
],j
1,2, m
中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。
定理2
当且仅当
rankGj rank[bj ,Abj ,A2bj , An 1bj ] n,j 1,2, m
式中bi R n，, 上述问题是正常的。 定理3
若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最 优控制必定唯一。
定理4 有限切换（开关次数）定理
•
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
H(x ,,u ) 1 T(t )[Ax(t ) Bu(t )]
② 边界条件
x(0) x 0 ,x(tf ) 0
③
极小值条件
ui*(t )
sgnbiT (t)
1,biT (t)0,(i 1,2,...m ) 1,biT (t)0,(i 1,2,...m )
若A有全部实特征值，则 uj *(t )的切换次数为N≦n-1. ④ H函数变化率
H
(t
*
f
)
0
燃料最优控制
在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能
量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。
若消以 耗非 的负 的量 燃料(t总) 表量示为F燃料的瞬tf 时(消t耗)d率t ，,仅则考控虑制如过下程形中式所
u j*(t )
sgn[gj(t)]
1.g j(t) 1,g j(t)
0
0
在最优轨线末端，哈密顿函数应满足
H *(tf* )
g T
g tf
由以上条件知：若g j(t) 0,, 则可以运用极小值原理 确定uj *(t，) 此时称为正常情况。若 g j(t ) 0, uj *(t不) 确定，可取满足约束条件的 uj(t) 1任意值，
其中g是p维向量函数,
且使 J
tf dt
t0
tf
t0
最小值的最优控制u(t).
上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：
H [x(t ),u(t ),(t ),t] 1 T(t )A[x(t ),t] B[x(t ),t]u(t )
规范方程、边界及横截条件分别为:
.
x(t )
H
f(x(t ),t ) B(x(t ),t )u(t )
极小值原理的应用：时间，燃 料最优控制问题
目录
一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结
时间最优控制
时间最优控制问题，是可以运用极小值求 解的一个常见的工程实际问题。如果把系统 由初始状态转移到目标集的时间作为性能指 标，则使转移时间为最短的控制称为最短时 间控制，亦称最速控制。
此时称为奇异情况。
2.正常和奇异控制问题
设在区间[t0 ,tf ]内，存在时间可数集合，
tj t1j .t2j ,... [t0,tf ],j 1,2,...m
使有
gj(t) bjT(x * ,t)(t)
在时间最优控制是正常的
0,t tj
非零，t
t j
,j
1,2,...,
在区间 [t0 ,tf，]至少存在一个子区间，[t1,t2] [t0 ,tf ]
(t )
H x
f
T
[x(t x(t
),t
)
]
(t
)
B[x(t ),t]u(t
x(t )
)
(t
)
x(t0 ) x 0 ,g(x(T ),T ) 0
(T )
g T x(T
)
极值条件为： 1 T(t)f[x *(t),t] T(t)B[x *(t),t]u *(t)
min 1 T(t )f[x *(t ),t] T(t )B[x *(t ),t]u *(t ) uj 1
使得对所有t [t1,t2]，至少有一个函数
g j(t) bjT(x * ,t)(t) 0
则时间最优控制是奇异的，称 [t1,t2 ]为奇异区间。
3.Bang-Bang控制原理
设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 (t )
是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最
优控制为： u *(t ) sgn BT x *(t ),t *(t )
的关系：(t)
m
0
cj uj(t ),cj
0
j 1
式中 uj *(t )是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系
可得 u *(t) sgn[B T(x * ,t)(t)] 式中 sgn(*) 为符号函数，令
B(x ,t ) [b1(x ,t ),b2(x ,t )....,bm(x ,t )],j 1.2....m gj (t ) bjT (x,t )(t ),j 1,2,...m
则最优控制分量应取