时间最优控制
最优控制的计算方法
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
基于最短时间的稳态直流电动机最优控制
１去 。 ＋Ｋ ， Ｋ１ ５
化简后 的 直流 电动 机拖 动系 统方 框 图见 图 ２ 。
枢 电感 和黏滞 摩擦 ，那 么可 以用 图 １的方框 图来 表示
直流 电动机 拖动 系统 。
图 ２ 化 简 后 的 直 流 电 动 机 拖 动 系统 方 框 图
根 据 电机学 拖动 的 知识有 ：
２ 理论 计算
收 稿 日期 ：２ ０ —７２ ；修 回 日期 ：２ ０— ０１ ０ ６０ —Ｏ ０ ６１ —８
作 者 简介 ：穆 森 （９ １） 女 ， 宁 人 ， 士 研 究 生 。 １８一， 辽 硕
为方 便计 算 ， ： 令 ｚ ＝ ， 。 ｚ 一 ，其 中 为转 速 。则 系 统 的状 态方 程 为 ：
基 于最短 时 间的稳 态直流 电动机最优控制
穆 森 ， 王 忠 庆
（ 北 大 学 ， 山 西 太 原 中
００ ５ ） ３ ０ １
摘 要 ：利用苏联 学者庞特里亚金 的极小值原理 和 Ｂ ｎ — ａ ｇ控制原理 等最优控制知识 ，在直流 电动机拖 动系 ａ ｇＢ ｎ
统 的 电枢 电压 “ｆ 不大 于 额 定 电 压 的 条 件 下 ， 行 理 论 分 析 与 讨 论 ， 出 输 入 电 压 “ ｆ ， 望 直 流 电 动 机 在 （ ） 进 求 （）希 输 入 电 压 “ （ 的 作 用 下 ， 最 短 的 时 间 使 角 速 度 达 到 预定 的 任 意 稳 定 转 速 ， 用 Ｍ Ａ ＡＢ作 图 仿 真 和 检 ‘ｆ ） 用 并 ＴＬ
Ｊ ［（ ）ｆ ＋Ｉ １ ｆ（ ｘ ｕ ＝ ］ｔ。 ＝Ｏｘｔ ，］ ＋ｆ Ａ ＋ｂ－ ｒ ｄ － ， ， ）
ｆ 一・ ｚ ｏ 。 … … … …（ 一 ｏ ２＋ ・ … … … … ２ ｏ ２ ）
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
hjb方程
hjb方程对于一个最优控制问题，HJB方程是连续时间最优控制的充分必要条件。
Hamilton-Jacobi-Bellman方程如何理解HJB方程−∂ V ∂ t ( x ( t ) , t ) = min u ( t ) ∈ U { g ( x( t ) , u ( t ) , t ) + ∂ V ∂ x ( x ( t ) , t ) ⋅ f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) } -\frac{ \partial V }{ \partialt }(x(t),t)=\mathop{\min}_{u(t)\inU}\left\{g(x(t),u(t),t)+\frac{ \partial V }{ \partialx }(x(t),t)\cdot f(x(t),u(t),t) \right\} −∂t∂V(x(t),t)=minu(t)∈U {g(x(t),u(t),t)+∂x∂V(x(t),t)⋅f(x(t),u(t),t)}其中 V V V是值函数， g g g是过程成本， f f f是状态方程公式的理解首先要理解值函数代表什么。
值函数是性能指标（定义在下文）的最优值。
一般性能指标都是由两部分组成，一部分是积分，一部分就是一个和终点有关的值。
比如从A开车去B，那么积分的部分可以是油钱，这取决于你的控制方式和在这段时间的行驶距离。
第二部分就是停止时离终点的距离。
这里的油钱也被称为过程成本。
控制（油门，刹车）用状态方程表示，给定当前位置和控制，就能知道下一时刻的位置在哪里。
这个式子有个隐含条件就是已知全程所用的时间。
那么就是说在给定时间内，每一秒，都对应了应该用什么控制去走多少米。
公式左边对应的是最优值随时间的变动，加负号是因为时间不能返流，满足因果关系。
现在看公式右边，第一项是当前所需要的油钱，第二项的偏导数说的是位置变动会引起最优值变动多少，那么具体移动多少移动到哪里是由状态方程决定的，那么第二项的意思就显而易见了，在当前位置，通过控制，实现移动后，能让最优值改变多少。
最优控制的基本理论及应用
本章在介绍解决最优控制问题3种基本方法(变分 法、极小值原理和动态规划)的基础上，阐述两类典 型最优反馈系统的设计,即线性二次型最优控制和最 小时间控制。
6.2 最优控制问题的提出及数学描述
6.3.2 用变分法求解无约束条件的泛函极值问题
设积分型性能泛函为
Jtt0f L[x(tx)(,t)]d,tt
(6-24)
在区间[t0 ,t f ]上，被积函数 L[x(t),x(t),t]二次连续可微， 轨线x(t)有连续的二阶导数，x(t)Rn ,对x(t)没有任何 约束。要求确定极值轨迹 x *(t) ，使泛函J为极值。
级数 ,则
J()tt0f L x Tη(t) L x Tη (t)R dt
(6-29)
式中,R表示泰勒（Taylor）级数展开式中的高阶项。
如果定义x(t)和 x (t) 的一阶变分为 δ x εη (t),δ x εη (t)
由泛函变分的定义，泛函的一阶变分为
(6-30)
6.2.2 最优控制问题的数学描述
构成最优控制问题必须具备以下几个基本条件：
1.被控系统的数学模型，即动态系统的状态方程
状态方程在最优控制中为等式约束条件。
2.控制变量的约束条件(容许控制)
任何实际物理系统，控制变量总是受约束的，一
般可写成
u(t)U
(6-3)
式中,U表示一个封闭的点集合，称为控制域。此时称 u(t)为容许控制。
1)积分型性能泛函
Jtt0f Lx((t)u,(t),dtt)
2)终值型性能泛函
J[x(tf ),tf]
时间最优控制曲线
时间最优控制曲线
时间最优控制曲线是一种控制策略，旨在最小化完成某项任务所需的时间。
在控制工程中，时间最优控制通常涉及找到一个控制输入，使得系统状态在给定的时间内从初始状态转移到目标状态。
时间最优控制曲线的设计通常涉及以下几个步骤：
1.确定目标函数：目标函数是衡量系统性能的指标，通常是最小化完成某项任务所需的时
间。
2.确定约束条件：约束条件包括系统的状态方程、输入约束和输出约束等。
3.求解最优控制问题：使用适当的优化算法求解最优控制问题，以找到最优的控制输入。
4.验证和实施：验证所找到的最优控制策略在实际系统中的可行性和有效性，并进行必要
的调整和优化。
线性系统时间最优控制的存在性和唯一性
线性系统时间最优控制的存在性和唯一性王思江 08070110242贵州大学 理学院信计1.内容介绍:最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。
所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。
对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。
通常称这种控制问题为最优控制问题。
最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性、唯一性和最优控制应满足的必要条件等。
最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金等提出的“最大值原理”。
最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用。
2.问题:控制系统000()()()()(),()(2.1)()ad x t A t x t B t u t t t x t x u U=+>⎧⎪=⎨⎪⋅∈⎩其中01():[,]n n A t t R ⨯⋅→,01():[,]n m B t t R ⨯⋅→.初始状态0x 是nR 中给定的点.控制区域U 是mR 中有界闭集,ad U 表示取值于U 的可积函数全体.12()((),(),,())T n n x t x t x t x t R =∈ 表示控制系统的状态变量, 12()((),(),,())T m m u t u t u t u t R =∈ 表示控制系统的控制变量.假定以下基本条件成立：()[0,;],()[0,;]:[0,)2[0,),()n n n n mloc loc R A L R B L R L M Hausdorff t M t ρ∞⨯∞⨯⎧⋅∈+∞⋅∈+∞⎪⎪+∞→⎨⎪∀∈+∞⎪⎩是关于度量连续的多值函数对是非空紧集. 对于00,[1,)t T p ≤<<+∞∈+∞,记00[,]{:[,]()}u t T u t T U u =→⋅可测, 00[,+{:[,+()}u t u t U u ∞=∞→⋅））可测, 00[,][0,](,;)p p m u t T u T L t T R = ,000[,)[,)(,;)p p m loc u t u t L t R +∞=+∞+∞ ,0000(,;){:[,)()[,],}p m m p loc L t R u t R u L t T T t +∞=+∞→⋅∈∀>.000(,)[0,)n t x R t t ∀∈+∞⨯≥对以及,能达集00()(;,)t t t x ℜ=ℜ是凸紧的.假设{()()}(2.2)t t M t t ≥ℜ≠∅ ,表示从00(,)t x 到目标()M ⋅是能控的.定义00000(())(();,)inf{(;,,())()}J u J u t x t t y t t x u M t ⋅=⋅=≥⋅∈,即00(();,)J u t x ⋅是轨线00(;,,())y t t x u ⋅首次遇到()M ⋅的时间. 规定inf ∅=+∞.问题(TC):对于00(,)[0,)n t x R ∀∈+∞⨯,假设条件0{()()}t t M t t ≥ℜ≠∅ 成立.寻找控制*()[0,)u t u ∈+∞使得*0000()[0,)(();,)inf(();,)u u J u t x J u t x ⋅∈+∞⋅=⋅（2.3）.而*00()[0,)=inf(();,)u u t J u t x ⋅∈+∞⋅—最优时间.满足（2.3）的控制*()[0,)u u ⋅∈+∞称为最优时间控制.2.最优控制的存在性和唯一性的证明:首先,我们叙述以下引理．引理（3.1） 设L 以及（2.2）成立,则最优时间*0inf{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .下面我们不加证明的给出与最优控制的存在性有关的一系列定理.定理（3.2） 设L 以及（2.2）成立,则问题(TC)至少存在一个时间最优控制*()u ⋅,且最有时间*t 满足*0min{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .定理（3.3） 设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,*t 是问题(TC)的最优时间,则****[()][()]()()M t t M t t ∂∂ℜ=ℜ≠∅ .定理（3.4） 设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,则最优时间*t 是以下函数在[0,)+∞上的最小零点001()()inf{max ,(,0)max ,(,)()}tz M t u UF t t x z t s B s u ds λλλ=∈∈=〈Φ->+〈Φ>⎰.进一步,如果01λ=,满足****0000()max ,(,0)max ,(,)()0t u Uz M t t x z t s B s u ds λλ∈∈〈Φ->+〈Φ>=⎰, 则最优控制*()u ⋅满足以下最大值条件****00max ,(,)(),(,)()()..[0,](3.1)u Ut s B s u t s B s u s a e s t λλ∈〈Φ〉=〈Φ〉∈,而***(,())x x t u ≡⋅满足如下横截条件()**0,0,()3.2z x z M t λ〈-〉≥∀∈.其中Φ是方程组()()()xt A t x t =的转移矩阵。
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其 中x(t ) Rn，u(t ) Rm，f ()和B()的 各 元 对x(t )和t连 续 可 微 ，
g() R p， 其 各 元 对x(t f )和t f 连 续 可 微 ，t f 是 状 态 轨 线 首 次 与 目标集相遇的时刻。
为 统 一 起 见 ， 时 间 最 优控 制 问 题 的 性 能 指 标 取为 积 分 型
为奇异区间。
7
定 理4.4.1 Bang Bang控 制 原 理 设u*(t )是 问 题4.4.1的 时 间 最 优 控 制 ， 且 问题4.4.1是 正 常 的 ， 则最优控制
u*(t ) sgnq(t ) sgn BT ( x(t ),t )(t )
或
u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj ( x(t ),t )(t )
j 1,2, , m; t t0 , t f
因 此 时 间 最 优 控 制 的 各个 分 量u*j (t )都 是 时 间t的 分 段 常 值 函 数 ， 在q j (t )＝0的 诸 点 上 ，u*j (t )由 一 个 边 界 值 切 换到另一个边界值。
8
4.4.2 线 性 定 常 系 统 的 时 间 最优 控 制 问 题 4.4.2 已 知 线 性 定 常 系 统x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是 完 全 能 控 的 ， 求 满 足约 束
u j (t ) 1
设 q(t) BT (x(t),t)(t)
或 q j (t) bTj (x(t),t)(t), j 1,2, , m
其中bj (x(t),t)是矩阵B的第j个列向量，于是(1)式可写为
m
m
T (t)B(x*(t),t)u*(t)
q
j
(t
)u
* j
(t)
min
q j (t)u j (t)
j 1
u j (t ) 1 j 1
j 1,2, , m
3
因各控制分量的约束是相互独立的，于是有
m
T (t)B(x*(t),t)u*(t) min q j (t)u j (t) j 1 u j (t ) 1
4
从 而 得 到u*j (t )与q j (t )的 关 系 ：
4.4 时 间 最 优 控 制
时 间 最 优 控 制 也 称 为 快速 控 制 或 最 速 控 制
4.4.1 一 类 非 线 性 系 统 的 时 间最 优 控 制
问 题4.4.1 min J t f dt,
u j (t ) 1
t0
j 1,2, m
s.t. (1) x(t ) f ( x(t ),t ) B( x(t ),t )u(t ), x(t0 ) x0 (2) g( x(t f ),t f ) 0
),t f
)
2
H (x(t),u(t),(t),t) 1 T (t) f (x(t),t) T (t)B(x(t),t)u(t)
令h(x(t),u(t),(t),t)＝ T (t)B(x(t),t)u(t)
4) 极值条件为：
T (t)B(x*(t),t)u*(t) min T (t)B(x*(t),t)u(t) (1)
5
1，
u*j (t )＝ 1,
u*j (t )
1,
当q j (t) 0
当q j (t) 0
当q j (t) 0
正常情况 奇异情况
6
定 义3.3.1 若 所 有 的 函 数q j (t )，j 1,2, , m, 在 时 间
区 间 t0 , t f 上 只 存 在 有 限 个 零 点 ，则 对 应 的 时 间 最 优
x
x(t )
x(t )
2)边 界 条 件
x(t0 ) x0 g( x(t f ),t f ) 0
(t
f
)
gT
( x(t f x(t f
),t )
f
)
3)1 T (t f
)
f
( x(t f
),t f
) T (t f
)B( x(t f
),t f
)u(t f
)
T
g( x(t f t f
性能指标。
1
H ( x(t ),u(t ), (t ),t ) 1 T (t ) f ( x(t ),t ) T (t )B( x(t ),t )u(t )
1)正 则 方 程
x(t )＝ H f ( x(t ),t ) B( x(t ),t )u(t )
(t )＝ H f T ( x(t ),t ) (t ) B( x(t ),t )u(t )T (t )
(t )＝ H AT (t )
x 2)边 界 条 件 x(0) x0 x(t f ) 0
3) u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj (t )
u j (t ) 1，
j 1,2, m
并 使 系 统 从 已 知 初 态x(0) x0转 移 到 状 态 空 间 原 点 的时间最短。
9
H ( x(t ),u(t ),(t ),t ) 1 T (t )Ax(t ) Bu(t )
1)正 则 方 程 x(t )＝ H Ax(t ) Bu(t )
1，
u*j (t )＝ 1,
u*j (t )
1,
当q j (t) 0 当q j (t) 0 当q j (t) 0
或
u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj ( x(t ),t )(t )
j 1,2, , m; t t0 , t f
控制问题是正常的。
定 义3.3.2 若 对 所 有 的j 1,2, , m, 至 少 存 在 一 个q j (t )
函 数 ， 在 某 一 段 时 间 区间 t1 , t2 t0 , t f 上 取 零 值 ， 则 对 应 的 时 间 最 优 控 制 问题 是 奇 异 的 ， 并 把 区 间t1 , t2 称