时间最优控制
输入饱和的双积分系统的复合时间最优控制
输入饱和的双积分系统的复合时间最优控制张义超;黄晨;陆浩然;孙戎【摘要】针对典型的有输入饱和的双积分环节或系统的时间最优控制问题,建立了双积分环节的传递函数和状态空间方程两种数学模型,设计双积分环节的闭环时间最优控制律;对时间最优控制在系统存在干扰和不确定性存在条件下出现的振颤现象进行分析;基于对振颤问题的分析,提出一种对时间最优控制的改进,即一种复合控制方法,当输入作用时,系统先由时间最优控制律控制,当误差达到预定值限,控制律由时间最优控制律切换到另一种线性控制律.采用了比例微分控制律,来解决时间最优控制的振颤问题,响应时间达到最优,并解决振颤问题.%To the issue of time optimal control of double integrating systems with input saturation,the transferring function model and state-space model of double integrating systems are established,and the time optimal controller (TOC) is designed.Unfortunately,it is well known that the classical TOC is not robust with respect to the system uncertainties and measurementnoises.Thus,we,in the paper,study the chatter problem by simulation and introduces a nonlinear composite control,method,i.e.,a combination of time optimal control (TOC) and PID control,for double integrating systems with input saturation.The TOC part is designed to enable the time optimization.In order to solve the drawback of TOC,when the error is small to a certain level,it will switch to the PD part to overcome the chatter problem caused by the TOC.Finally,the simulation results,approximate time optimization and fair robustness demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.【期刊名称】《计算机测量与控制》【年(卷),期】2017(025)004【总页数】4页(P51-53,57)【关键词】双积分环节;时间最优控制;振颤;复合控制【作者】张义超;黄晨;陆浩然;孙戎【作者单位】北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076【正文语种】中文【中图分类】TP273我们周围的很多实际系统，都可以看作双积分系统，并且具有显著的非线性。
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制极小值原理
t
t cet 1
1 ce 1 0 c e
t e1t 1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
ts 1 0 控制的切换时间： ts 0.307
控制的切换点处
ts e
0 t 1
又
(t ) 1 e t 1 0
于是有
u (t ) 1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
u (t )
协 态 变 量 与 控 制 变 量 的 关 系 图
，
(t ) x(t ) 1 x x(0) 1
x (t ) 2e 1
协态方程
极值必要条件
H (t ) (t ) 1 x H (t ) 0 u
(1) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
二.自由末端的极小值原理
定理3-1：对应如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束 的最优控制问题 min J (u ) [ x(t f )]
对于最优解和最优末端时刻最优轨线存在非零的n维向量函数第3章极小值原理及其应用31连续系统的极小值原理满足边界条件哈密顿函数相对最优控制为极小值哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数固定时最小值原理只是最优控制所满足的必要条件
第三章 极小值原理及应用
3.1 连续系统的极小值原理 3.2 离散系统的极小值原理 3.3 时间最优控制 3.4 燃料最优控制 3.5 时间-燃料最优控制 小 结
u 受约束。 解：定常系统、积分型t f 固定，末端自由， 取哈密顿函数
H x u x u x1 1 u
最优控制理论及其应用
最优控制理论及其应用最优控制理论是现代控制理论中的一种重要分支，它的主要研究内容是在一定约束条件下，确定一个系统的最优控制策略，使得系统能够在最短时间或最小代价内达到所要求的状态或性能指标。
最优控制理论的发展和应用，在许多领域中都发挥着极为重要的作用，特别是在工业自动化、航空航天、经济管理、生态环保等方面，都有广泛的应用。
最优控制理论的基本思想是，通过建立数学模型，将实际系统抽象为一种数学形式，而后再在此基础上，建立最优控制问题的数学模型，并采用数学方法对问题进行求解。
但是，对于实际系统的复杂性，很难将所有的因素都纳入到数学模型中，同时，由于各种因素的交互作用，数学模型的求解也是一项十分复杂的任务。
因此，在最优控制理论的应用中，还需要依赖于模拟实验、仿真计算以及其他工程手段进行辅助。
最优控制理论的应用之一是自动驾驶车辆技术。
随着人工智能、物联网等技术的发展，自动驾驶车辆已经成为一个备受关注的热点。
而最优控制理论在自动驾驶车辆技术中的应用，主要是通过建立数学模型，优化车辆的控制策略，实现车辆在各种不同路况下的自主行驶。
例如，在车辆在高速公路上行驶时，为了保障安全，必须让车辆保持一定的速度，并在有必要时进行刹车操作。
此时，最优控制理论可以通过建立车辆的数学模型，并考虑各种因素的交互作用，建立车辆的最优控制策略，使车辆能够在最短时间内安全驶入某个车道或进行紧急停车等操作。
另一个应用最优控制理论的领域是空间控制技术。
在空间探索和利用中，最优控制理论起着至关重要的作用。
例如，在卫星控制中，需要通过最优控制技术来调节其轨道、高度、速度等参数，保证卫星能够在指定区域内工作，并实现卫星的长期稳定运行。
此外，在飞行器着陆时，也需要最优控制技术对飞行器的姿态、速度等参数进行调整，以确保飞行器能够安全着陆。
除了上述两个应用领域外，最优控制理论还广泛应用于经济管理、金融领域、天气预报等方面。
例如，在股票投资中，可以利用最优控制理论进行投资组合的优化，最大化收益，并降低投资风险；在天气预报中，也可以通过最优控制技术优化气象模型，提高预测的准确度，为国家农业、水利等领域的决策提供科学依据。
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
最优控制——最大值原理
最优控制——最大值原理最优控制问题是数学中的一个重要问题，研究如何在给定约束条件下使一个系统达到最优状态。
在数学的最优控制理论中，最大值原理是一种重要的工具和方法，被广泛应用于很多最优控制问题的求解中。
本文将详细介绍最优控制中的最大值原理及其应用。
最大值原理也称为哈密顿-雅可比-贝尔曼方程(hamilton-jacobi-bellman equation)，它是最优控制问题的一个基本性质。
最大值原理给出了在给定约束条件下系统状态的最优演化方程。
最大值原理的基本形式是哈密顿－雅可比－贝尔曼方程。
对于一个给定的最优控制问题，假设系统的演化满足一个偏微分方程，此方程将由状态变量、控制变量、时间变量以及一个哈密顿函数构成，具体形式如下：∂V/∂t + min(u) {H(x,u,t)+ ∇V⋅f(x,u,t)} = 0其中，V(x,t)是值函数(value function)，表示从状态x在时间t开始时，系统必须选择的最佳控制来最大化性能指标的期望值。
f(x,u,t)是状态方程(state equation)，描述系统状态的演化。
H(x,u,t)是哈密顿函数(Hamiltonian)，是一个将值函数、控制变量和状态方程综合起来的函数，它的作用是描述系统的动力学性质。
最大值原理的关键在于通过逐步迭代的方式求解值函数V(x,t)，找到使系统达到最优状态的最佳控制变量。
这一过程通常称为最优控制问题的动态规划(dynamic programming)。
最大值原理的主要应用涉及很多不同领域，例如经济学、工程学、生物学等。
在经济学中，最大值原理被广泛应用于决策理论、资产定价、宏观经济模型等领域。
在工程学中，最大值原理常用于控制系统设计、路径规划、优化问题等。
在生物学中，最大值原理被用于神经科学、生态学、生物系统动力学建模等。
最大值原理的应用还包括优化问题、最短路径问题、最优控制问题、反问题等。
它不仅可以用于求解连续问题，也可以用于离散问题。
最短时间和最少燃料控制
(3 17) （由两个积分环节构成）
定义u(t)=f(t)/m , 则（3-16）式变为： y(t) u(t) (3 18)
取状态变量 x1(t) y(t), x2 (t) y(t) 则有 xx12((tt))xu2((tt))
(3 19)
矩阵形式为：
x(t)
0 0
1 0
x(t)
10u(t
)
(3 20)
第3章 最短时间和最少燃料的最优控制
3.1 非线性系统旳最短时间控制问题
最短时间控制问题旳提法：
设受控系统状态方程为
x(t) f [x(t),t] B[x(t),t]u(t)
(3 1)
给定终端约束条件为
x(t0 ) x0
[x(t f ),t f ] 0 (3 2)
谋求m维有界闭集中旳最优控制u*(t)，满足不等式约束
[x(t f ),t f ] 0 (3 2)
谋求m维有界闭集中旳最优控制u*(t)，满足不等式约束
u j (t) 1 ( j 1,2,..., m) (3 3) 使系统从已知初始状态 x(t0 ) 转移到目的集中某一状态 x(t f ) 时，如
下目的泛函取极小值，其中 t f 未知
J[u(t)]
x1 (t ) x2 (t)
x2 (t) u(t)
(1) (2)
(1) dx1 x2 x2 , 1 (2) dx2 u(t)
dx1 x2dx2
x1
2
x2 2
c
(3 26)
为抛物线
第3章 最短时间和最少燃料的最优控制
{(x1,
x2 ) :
x1
1 2
x22 ,
x2
0}
x2
自适应控制和最优控制的基本原理和应用
自适应控制和最优控制的基本原理和应用在现代控制理论中，自适应控制和最优控制是两个重要的概念。
自适应控制是指根据被控对象的运动情况及其参数变化，调整控制器的参数，使得被控对象满足预先设定的控制性能要求。
最优控制是指在满足控制性能的基础上，使控制器的能耗最小，系统响应最快。
自适应控制和最优控制的基本原理是以被控对象的数学模型为基础。
对于自适应控制，需要对被控对象进行建模，以确定控制器参数的调整方向。
对于最优控制，需要对被控对象的数学模型进行优化，以找到最优的控制方案。
在自适应控制中，最常用的方法是模型参考自适应控制。
这种方法通过建立一个参考模型，将被控对象的运动与参考模型的运动进行比较，然后根据比较结果调整控制器的参数。
这种方法的优点是简单易懂，容易实现。
不过，这种方法要求被控对象的数学模型必须非常精确，否则会导致控制器参数调整不准确。
另一种常用的自适应控制方法是基于模糊逻辑的自适应控制。
该方法通过将控制器的参数用模糊集合形式表示，以适应被控对象模型的不确定性。
这种方法虽然参数调整方向不如模型参考自适应控制精确，但是可以适应更广泛的控制情况。
最优控制中，最常用的方法是线性二次型控制（LQR）。
这种方法通过对被控对象的数学模型进行优化，确定最优的控制器参数，以使系统的能耗最小。
该方法的优点是在满足控制性能的前提下，能够有效降低系统的能耗，提高系统的效率。
最优控制还可以用于求解动态优化问题。
在这种情况下，被控对象的状态会随时间变化，需要在每个时刻对控制器参数进行优化，以获得最优的控制方案。
这种方法可以应用于许多领域，包括经济系统、交通运输、动力系统等。
自适应控制和最优控制都有广泛的应用。
例如，在机械加工、机器人控制、电力系统等领域中，自适应控制可以有效提高系统的稳定性和控制性能。
而在航空航天、汽车控制、自动驾驶等领域中，最优控制可以降低系统的能耗，提高系统的效率。
总的来说，自适应控制和最优控制是现代控制理论中非常重要的概念，它们的应用范围广泛，可以有效地提高系统的效率和控制性能。
最优控制的计算方法
可得
3、将 代入协态方程，且由边界条件 从t=1倒向积分可得 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指标函数随迭代变化很小为止。 由 ，得
图b 最优状态的求解
图a 用梯度法寻找最优控制 右图表示了控制和状态的初始值和第一次迭代值，可以看到第一次迭代 就几乎收敛到最优值， 与最优值还有差异，而且一般说来愈接近最优值收敛愈慢。
K=1时时，控制量为
所以，这个例子只要两步迭代即可得到最优解。一般说来，共轭梯度法比梯度法收敛快，但接近最优解后收敛性仍是较慢的。一个补救办法是重新启动，即找出几个共轭梯度方向 后，令 ，再重新迭代，寻找共轭梯度方向。
可以证明 ，即为最优控制。这只要证明
2、共轭梯度法
*
用共轭梯度法寻找最优控制时是沿着所谓共轭梯度向量的方向进行的。为了说明共轭梯度的意义，我们先从求函数极值问题的共轭梯度法开始，再推广到求泛函极值问题。
(1) 求函数极值的共轭梯度法
其中，
C为常数， Q为正定阵。
要求寻找X使F(X)取极值。
设F(X)是定义在Rn空间中的二次指标函数
直接法的特点是，在每一步迭代中，U(t)不一定要满足H 取极小的必要条件，而是逐步改善它，在迭代终了使它满足这个必要条件，而且，积分状态方程是从t0到tf ，积分协态方程是从tf到t0，这样就避免了去寻找缺少的协态初值(t0)的困难。常用的直接法有梯度法，二阶梯度法，共轭梯度法。
间接法的特点是，在每一步迭代中都要满足H取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协态方程，两种方程的积分都从从t0到tf或从tf到t0 。常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。