线性系统时间最优控制的存在性和唯一性

线性系统时间最优控制的存在性和唯一性
王思江 08070110242
贵州大学 理学院信计
1.内容介绍:
最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。

所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。

对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。

通常称这种控制问题为最优控制问题。

最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性、唯一性和最优控制应满足的必要条件等。

最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金等提出的“最大值原理”。

最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用。

2.问题:
控制系统
000
()()()()(),()(2.1)()ad x t A t x t B t u t t t x t x u U
=+>⎧⎪
=⎨⎪⋅∈⎩
其中01():[,]n n A t t R ⨯⋅→,01():[,]n m B t t R ⨯⋅→.初始状态0x 是n
R 中给定的点.控制区
域U 是m
R 中有界闭集,ad U 表示取值于U 的可积函数全体.
12()((),(),,())T n n x t x t x t x t R =∈ 表示控制系统的状态变量, 12()((),(),,())T m m u t u t u t u t R =∈ 表示控制系统的控制变量.
假定以下基本条件成立：
()[0,;],()[0,;]:[0,)2[0,),()n n n n m
loc loc R A L R B L R L M Hausdorff t M t ρ∞⨯∞⨯⎧⋅∈+∞⋅∈+∞⎪⎪
+∞→⎨⎪∀∈+∞⎪⎩
是关于度量连续的多值函数对是非空紧集. 对于00,[1,)t T p ≤<<+∞∈+∞,记
00[,]{:[,]()}u t T u t T U u =→⋅可测, 00[,+{:[,+()}u t u t U u ∞=∞→⋅））可测, 00[,][0,](,;)p p m u t T u T L t T R = ,
000[,)[,)(,;)p p m loc u t u t L t R +∞=+∞+∞ ,
0000(,;){:[,)()[,],}p m m p loc L t R u t R u L t T T t +∞=+∞→⋅∈∀>.
000(,)[0,)n t x R t t ∀∈+∞⨯≥对以及,能达集00()(;,)t t t x ℜ=ℜ是凸紧的.
假设
{()()}(2.2)t t M t t ≥ℜ≠∅ ,
表示从00(,)t x 到目标()M ⋅是能控的.
定义
00000(())(();,)
inf{(;,,())()}
J u J u t x t t y t t x u M t ⋅=⋅=≥⋅∈,
即00(();,)J u t x ⋅是轨线00(;,,())y t t x u ⋅首次遇到()M ⋅的时间. 规定inf ∅=+∞.
问题(TC):对于00(,)[0,)n t x R ∀∈+∞⨯,假设条件0
{()()}t t M t t ≥ℜ≠∅ 成立.寻找控
制*()[0,)u t u ∈+∞使得
*0000()[0,)
(();,)inf
(();,)u u J u t x J u t x ⋅∈+∞⋅=
⋅（2.3）.
而
*00()[0,)
=
inf
(();,)u u t J u t x ⋅∈+∞⋅—最优时间.
满足（2.3）的控制*()[0,)u u ⋅∈+∞称为最优时间控制.
2.最优控制的存在性和唯一性的证明:
首先,我们叙述以下引理．
引理（3.1） 设L 以及（2.2）成立,则最优时间
*0inf{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .
下面我们不加证明的给出与最优控制的存在性有关的一系列定理.
定理（3.2） 设L 以及（2.2）成立,则问题(TC)至少存在一个时间最优控制*()u ⋅,且
最有时间*
t 满足
*0min{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .
定理（3.3） 设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,*
t 是问题(TC)的最优时间,则
****[()][()]()()M t t M t t ∂∂ℜ=ℜ≠∅ .
定理（3.4） 设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,则最优时间*
t 是以下函数在[0,)
+∞上的最小零点
001()
()inf{max ,(,0)max ,(,)()}t
z M t u U
F t t x z t s B s u ds λλλ=∈∈=〈Φ->+〈Φ>⎰.
进一步,如果
01λ=,满足
*
*
*
*
0000
()
max ,(,0)max ,(,)()0t u U
z M t t x z t s B s u ds λλ∈∈〈Φ->+〈Φ>=⎰, 则最优控制*
()u ⋅满足以下最大值条件
****00max ,(,)(),(,)()()..[0,](3.1)u U
t s B s u t s B s u s a e s t λλ∈〈Φ〉=〈Φ〉∈,
而
***(,())x x t u ≡⋅
满足如下横截条件
()**0,0,()3.2z x z M t λ〈-〉≥∀∈.
其中Φ是方程组
()()()x
t A t x t =
的转移矩阵。

记
**0()(,)[0,]T t t t t t ϕλ=Φ∀∈.
则()t ϕ满足
**
0()()()[0,](3.3)()T t A t t t t t ϕ
ϕϕλ⎧=-∀∈⎪⎨=⎪⎩
. 利用()t ϕ,式(3.1)改写为
**max (),()(),()()..[0,](3.4)u U
t B t u t B t u t a e t t ϕϕ∈〈〉=〈〉∈,
式(3.2)改写为
()***(),0,()3.5t z x z M t ϕ〈-〉≥∀∈.
定理（3.4）(最大值原理） 设L 成立,控制*()u t 是问题(TC)的最优控制,*
t 是问题(TC)
的最优时间,则存在(3.3)的非零解()ϕ⋅,使得最大值条件(3.4)和(3.5)成立.
定理（3.5）(Bang-Bang 原理)设L 以及（2.2）成立,则存在控制**
()[0,]u u t ⋅∈使得
**()..
[0,](3.6)u U a e t t ⋅∈∂∈.
当[0,1]m
U =时,(3.6)意味着
**()0 1...
[0,]u or a e t t ⋅=∈.
以下讨论定常线性系统
00
0()()(),,()(3.7)()x
t Ax t Bu t t t u t U x t x '=+>∈⎧⎨
=⎩ 这里,,n n n m A R B R U ⨯⨯∈∈是m
R 中的有界凸多面体,并且U 与A B 、满足下列条件：对于平行于U 的某一条棱的向量w ,n 个向量
1,,,n Bw ABw A Bw -
是线性无关的.这里U 的棱是指U 的边界面的交线.
定理（3.6） 把系统(3.7)从状态0x 最快转移到状态1x 的最优控制是唯一的.
定理的证明参见[1]
.。