11讲 最优控制-极小值-总结及习题讲解
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最优控制习题及参考问题详解
标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
11 最优控制1
J F[ x(t ), u (t ), t ]dt
t0 tf
这是一种积分型泛函，在变分法中这类 问题称为拉格朗日问题。
（2）终值型性能指标
J [ x(t f ), t f ]
在变分法中称为迈耶尔问题。
（3）复合型性能指标。
J [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt
最优控制问题提法
最优控制的问题就是：从所有可供选择 的容许控制中寻找一个最优控制 u (t ) 使状态由x(t 0 )经过一定时间转移到目标集 S，并且沿此轨线转移时，使相应的性能 指标达到极值。
*
任何一个最优控制问题均应包 含以下内容
系统数学模型 边界条件与目标集 容许控制 性能指标
t0
tf
举例
已知人造地球卫星姿态控制系统的状态方程 为 (t ) 0 1 x(t ) 0u (t ) x 0 0 1
1 2 2 性能泛函取为 J 2 0 u (t )dt
边界条件
1 x(0) 1
0 x(2) 0
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
J ( x) F [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
t * ( t f ) f
t0 t* f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
t0 tf
这是一种积分型泛函，在变分法中这类 问题称为拉格朗日问题。
（2）终值型性能指标
J [ x(t f ), t f ]
在变分法中称为迈耶尔问题。
（3）复合型性能指标。
J [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt
最优控制问题提法
最优控制的问题就是：从所有可供选择 的容许控制中寻找一个最优控制 u (t ) 使状态由x(t 0 )经过一定时间转移到目标集 S，并且沿此轨线转移时，使相应的性能 指标达到极值。
*
任何一个最优控制问题均应包 含以下内容
系统数学模型 边界条件与目标集 容许控制 性能指标
t0
tf
举例
已知人造地球卫星姿态控制系统的状态方程 为 (t ) 0 1 x(t ) 0u (t ) x 0 0 1
1 2 2 性能泛函取为 J 2 0 u (t )dt
边界条件
1 x(0) 1
0 x(2) 0
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
J ( x) F [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
t * ( t f ) f
t0 t* f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
第七章极小值原理与典型最优控_...
31
在某些情况下，S矩阵的某些元素大到足 以引起计算上的困难，在此情况下，用 逆Riccati方程求解。 令
P(t ) P (t ) I
P(t ) P 1 (t ) P(t ) P 1 (t ) 0
1
（11）
（12）
32
则逆Riccati方程为
P 1 (t ) A(t ) P 1 (t ) P 1 (t ) AT (t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) P 1 (t )Q(t ) P 1 (t ) 1 P (t f ) S 1
H x
11
也可以写成
H[ x(t ), u(t ), (t ), t ] min H[ x(t ), v(t ), (t ), t ],
H x f ( x, u , t )
H x
v
12
满足边界条件
x(t 0 ) x 0
33
•最优反馈控制结构
R (t ) B(t )
1
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
P(t)
34
•P(t)的计算
由
将Riccati方程写成差分格式
P (t t ) P (t ) t[ P (t ) A(t ) AT (t ) P (t ) P (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) P (t ) Q (t )
J min
J min 0, 且t0为任意
P(t ) 0
37
•无限时间调节器问题
1 T J [ x (t )Q (t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt Min 2 t0 u (t ) x(t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ) s.t. x(t0 ) x0
最优控制极小值原理
④在最优轨线末端哈密顿函数应满足
H
[
x*
(t
* f
),
(t*f
),
u*
(t*f
),
t
* f
]
[
x*
(t
* f
t f
),
t*f
]
⑤沿最优轨线哈密顿函数变化率
H[x*(t),(t),u*(t),t] H[x*(t f ),(t f ),u*(t f ),t f ]
tf t
H(x,,u, )d
定理3－2与定理3－1的区别：P61
当 t f自由时
H (x*(tt*f ),u*(tt*f ), (tt*f )) 0
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。 但对于线性系统
x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
，
a11(t) L
A(t)
M
O
an1(t) L
a1n (t)
g
H
x(t)
g
(t)
H
x
式中哈密顿函数 H (x, u, λ) L(x, u) λT (t)f (x, u)
② x(t) 及 (t) 满足边界条件
x(t0 ) x0
(t f ) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
③哈密顿函数相对最优控制为极小值
H[x*(t), (t),u*(t)] min H[x*(t), (t),u(t)] u(t )
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
2、积分型性能指标问题
定理3-3：
min J (u) tf L[x(t),u(t)]dt
11讲 最优控制-极小值-总结及习题讲解
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16
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
17
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
极小值原理与变分法求最优控制的比较
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18
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
33
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
月面软着陆问题
h
v g
月球
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34
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
35
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
时间-燃料最优控制
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7
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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8
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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9
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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5 最优控制-极小值原理
* j
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
哈工大现代控制理论基础第十一章 最优控制
11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船 靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 ， 使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。 要求设计推力函数 ，使得发动机燃料消耗最少。
月球
[解]
设飞船的质量为 ， 其高度和垂直速度分别为 和 ，月球的重力加速度为常数 ，飞船的自身 质量及所带燃料分别为 和 。
其中， 目标集 可表示为 性能指标 可表示为 其中 和 为连续可导的标量函数。
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设
为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 与之相对应， 则称 为这类
哈工大现代控制理论基 础第十一章 最优控制
2020年4月24日星期五
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
证明略
泛函变分的规则 泛函的变分是一种线性映射， 满足下列性质：
1 2 3 4
最优控制最小值原理
4
2-1 连续系统的最小值原理
问题 2-1 设系统的状态方程是
x f [x(t),u(t),t]
(2-1)
其中 f 是 n 维连续可微的向量函数；状态 x(t) Rn，其初态已
知是
x(t0 ) x0
终态应满足边界条件
(2-2)
[x(t f ),t f ] 0 其中 是 r 维连续可微的向量函数，r n；
tf t0
{L(x,
w,t)
T[
f
(x,
w,t)
x]
T[g(x,
w,t)
z2]}dt
(2-8)
的极值。
为 简 便 计 ， 令
H(x,,w ,t)L(x,w ,t)Tf(x,w ,t)
(2-9)
(x,x,w,w ,z,z,,,t) H(x,,w ,t)TxT[g(x,w ,t)z2]
(2-10)
8
于 是 (2-8)式 可 写 成
J(u) [x(tf)t,f]vT[x(tf)t,f]
tt0f (x,x ,w ,w ,z,z,,,t)dt
(2-11)
现 在 求 广 义 性 能 指 标 (2-11)的 一 阶 变 分 ：
JJtfJxJwJz
(2-12)
式 中 Jtf， Jx， Jw， Jz分 别 是 由 于tf ， x ， w和z的 微 变
tf t0
(x,x,w,w ,z,z,,,t)d
=0
分步积分
J w
t f
t0
(wT
w
w T
w )dt
wT
(t
)
w
t
t
f
t f wT t0
d dt
w
dt
2-1 连续系统的最小值原理
问题 2-1 设系统的状态方程是
x f [x(t),u(t),t]
(2-1)
其中 f 是 n 维连续可微的向量函数；状态 x(t) Rn，其初态已
知是
x(t0 ) x0
终态应满足边界条件
(2-2)
[x(t f ),t f ] 0 其中 是 r 维连续可微的向量函数，r n；
tf t0
{L(x,
w,t)
T[
f
(x,
w,t)
x]
T[g(x,
w,t)
z2]}dt
(2-8)
的极值。
为 简 便 计 ， 令
H(x,,w ,t)L(x,w ,t)Tf(x,w ,t)
(2-9)
(x,x,w,w ,z,z,,,t) H(x,,w ,t)TxT[g(x,w ,t)z2]
(2-10)
8
于 是 (2-8)式 可 写 成
J(u) [x(tf)t,f]vT[x(tf)t,f]
tt0f (x,x ,w ,w ,z,z,,,t)dt
(2-11)
现 在 求 广 义 性 能 指 标 (2-11)的 一 阶 变 分 ：
JJtfJxJwJz
(2-12)
式 中 Jtf， Jx， Jw， Jz分 别 是 由 于tf ， x ， w和z的 微 变
tf t0
(x,x,w,w ,z,z,,,t)d
=0
分步积分
J w
t f
t0
(wT
w
w T
w )dt
wT
(t
)
w
t
t
f
t f wT t0
d dt
w
dt
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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28
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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29
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
给定时间内燃料消耗为最少的控制问题
连续系统的极小值原理 •引例 •连续定常系统极小值原理 •极小值原理与变分法求最优控制的比较 •极小值原理求解最优控制的步骤 •连续时变系统的极小值原理
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3
最优控制——极小值原理 本章内容回顾
离散系统的极小值原理 •离散系统 •离散系统的欧拉方程 •离散极小值原理 •离散极小值原理与连续极小值原理的比较 •离散系统最优控制问题的数值计算
能量最优控制
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39
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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40
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的室
41
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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7
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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8
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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9
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
42
思考题
3.1 火箭最大射程问题
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43
思考题
3.2 电梯最速上升最优控制
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44
思考题
3.3 简谐振动系统的时间最优控制
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45
肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
36
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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37
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
sgn 2 , u 0 0,
2 1 2 1
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38
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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4
最优控制——极小值原理 本章内容回顾
几类典型最优控制
•时间最短 •燃料最少 •能量最小 •时间-燃料最优控制
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5
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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6
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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10
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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11
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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12
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 本章内容回顾
连续系统的极小值原理 离散系统的极小值原理 几类典型最优控制
•时间最短 •燃料最少 •能量最小 •时间-燃料最优控制
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 2
最优控制——极小值原理 本章内容回顾
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
月面软着陆问题
h
v g
月球
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
时间-燃料最优控制
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
极小值原理与变分法求最优控制的比较
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
对于标量系统的最优控制
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续时变系统极小值原理
连续时变系统的极小值原理
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续时变系统极小值原理
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30
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续时变系统极小值原理
H (t ) x
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22
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续时变系统极小值原理
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23
最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续时变系统极小值原理
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24
最优控制——极小值原理 3.3 离散系统极小值原理
离离散系系统极小小值原原理
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
线性定常系统时间最优控制问题的提法
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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