净投资为零的无风险套利组合

’1234’1567189*6 … 671:9:6!1;12*; … ;&
4*5
其中， ’1 是 第 1 种 资 产 的 收 益 率 ， 34’15 是 其 期 望 值 ， 9< 是 公 共因子， 71< 称为因子载荷， !1 是随机误差项。与通常的计量 经济 模 型 一 样 ， 假 设 !1 的 期 望 值 为 = ， 方差是常数， 并且与 各公共因子不相关。 用 >1 表 示 第 1 种 资 产 的 份 额 。 在 4*5 式 两 边 乖 以 >1 相 加， 并记 ?1234’15 得
+
)+)6):-
780%9)#$其中， 9)#$-85)#;#<#$-
表一 !""# $ % $ #& 日未来两周上海综合指数风险系数计算结果
风险系数 日期 指数
+&&& &B0D &B0C &B0A
+0&& &B66 &B60 &B+E
++&& &B:E &B:C &B:@
+6@& &BC+ &BC &BAC
表! 证券 预期收益率 （O ） 因子 * 载荷 因子 J 载荷 比例 五种证券的有关资料
净 投 资 为 零 的 无 风 险 套 利 组 合
&
张 忠 桢 宓 众
美 国 经 济 学 家 !"#$%#& ’()) *+,- 年 提 出 的 套 利 定 价 理论 （./0 ） 是现代金融理论的重要成果之一。在套利定价 理论的讨论中， 许多学者往往 先 给 出 一 两 个 净 投 资 为 零 的 无风险套利组合的例子， 然后 在 无 套 利 机 会 的 条 件 下 推 导 出套利定价模型。套利定价模型建立在一价定理的基础之 上， 即同样一种商品卖不出两种价格。另一重要假设是： 资 产的收益率是若干个因子的线性函数， 即
?12"=6"*71*6 … 6":71:;12*; …， &
接利用以下线性代数的知识得到： 如果齐次线性方程组 #>2=
4J5
在表 P 中以 AJ 入基， 由于其偏差是负数且
这便是有名的套利定价模型。 当 然 ， 套利定价模型也可直
:A>ET U 4L=C-5;- U 4L*CS5;S U 4L=CJ5;Q U 4L*5H2- U 4L*CS5
#*;L#P;L#J 的偏差。
表’ 第二次旋转运算结果 表% 第三次旋转运算结果
#J W QCSJT-
#S PC*SJ+
#Q =C,*SP
#S
#Q #1 #!
W JCSPST JC*P=S
#* L=CQ,*S L=CTQ,* L=CJTQ, LJCPSJ+ #P L=CSJT- L=C*SJ+ L=C,*SP L*C-Q,* AP L=CPJT-V L=C=SJ+ =C=TQ, L=C*T,*
&
>1?1@= 的投资组合。再记 ?24?1; … ;?&5;#24*; … ;*5; 则净投资为零
的无风险最大套利组合是以下线性规划的解：
:A> B2?>
)C"C#>2= 7<>2=;<2*; … ;:
J;P;S;Q5; 初始基本解为 >=24=CT;=C,;=CQ;*;*50。三个等式约束的
系 数 向 量 分 别 记 为 A*;AJ;AP; 它 们 的 偏 差 分 别 为 A*>=2S;AJ>=2
!"#$%&’(%()*)
理
论
新
探
统 计 与 决 策 "##" 年 第 $ 期 （总 第 !%& 期 ）
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一、 套利定价模型
: 7<>2=;<2*; …， LK1$>1$*LK1;12*; …， &
这是一个求最大值的线性规划，下面用一个例子说明计算 细节。 例 !" 某 投 资 者 持 有 三 种 . 、 M、 N 证券的比例分别为 此投资者还对他未持有的证券 R 和 J=O 、 P=O 、 Q=O 。另外， 这五种证券与两个公共因子有关， 详细资料如下 3 感兴趣。 表所示。试利用现有的资产构造一个新的证券组合使预期 收益最大化。
+:&& &BCD &BCA &BC:
71 市场风险系数； 9)#$-1 市场指数大于 #$ 的概率。
现在我们讨论如何根据股票市 场 指 数 的 历 史 样 本 数 据 ，估 计 出 上 面 公 式 中 的 参 数 * 和 !， 在估计出这两个参数之后， 我们就能够 估计出系数 7 。 设 股 指 样 本 个 数 为 =20 ， 依 式 )+-/ 得 参 数
#* W A* *V AJ JCJ AP *CS
#J *S * *C=C+
#P #J *J * =CT * *= *
#P ** * S -CST SC,Q W #*
#J T L*
#P L*
#S S L*
#Q Q L*
J *CJ *CP *CJ
?2"=#6"*76 6":7:
其第 1 个分量为
LS AJ L=C- L*CSV L=CJ L* LJCPJ AP L=CQ L=CS L=C* L=CJ L=CTQ
以 #P 出基， 结果见表 S 。同样在表 S 中以 AP 入基 #J 出 基 结 果见表 Q ， 至此预处理结束。该表最后一列的数字分别是 L
7<>2=;<2*; …， :
的任何解 > 满足 ?>2=; 则 ? 可以表 示 为 #;7*; … ， 7: 的 线 性 组 合。 二、 无风险最大套利组合模型及其计算方法 现 在 设 某 投 资 者 持 有 一 个 投 资 组 合 K24K*; … ， K&5; 其 各 分量非负且和为 * 。 他要在现有资产的基础上进行买卖， 但 不准备卖空。用 >24>*; …， 则最大套利组合 >&50 表示改变量， 是以下线性规划的解：
#* L=C,TJQV L=CSPST LJC=*,S *C=*,S #P L=C=T, L=CTJ-* L*CSJP =CS*P #J L=C*P=S =CJ-=+ L=CQ-+- L=CSP=S
在表 Q 中， 以其入基。 为进行旋 L#* 的偏差是最大正数， 转运算， 将 表 Q 中 的 #* 换 为 L#*; 将 LJC=*,S 换 为 L#* 的 偏 差 将该行的其他数字反号。由于 *C=*,S ，
在股票市场投资活动中，投资 者 正 确 判 断大势是非常重要的，个股的走势往 往 会 受 到大盘走势的影响。在一轮牛市行情中， 几乎 所有的股票都会上涨，只是增长幅度 不 同 而 已； 在一轮熊市行情中， 几乎所有的股票都 会 下跌， 只是下跌幅度不同。质地好的股票， 在 上升行情中， 股价涨幅相对教高， 在下跌行 情 中， 股价下跌的幅度也相对较小。在股市中 ， 如何分析大盘的风险状况，是投资者 面 临 的 股市分析方法可分为基本分析方 法 和 技 术分析方法两大类，可以认为基本分 析 方 法 解决的是股市的投资价值问题，即值 不 值 得 去投资，而技术分析方法解决的是如 何 投 资 的问题， 即买入或卖出的时机问题。股市大盘 的走势除受宏观经济因素影响之外，还 受 国 家政策、 市场供求关系、 国际国内政治经济 形 势等的影响。对股票市场大势的判断， 不能建 立在主观臆断的基础之上，在市场容 量 日 益 扩大的情况下，股票市场的指数也非 机 构 大 户所能完全左右。 本文提出风险分析模型属于技术 分 析 的 范围， 利用该模型， 可以对股票市场的大盘 运 行风险状况加以分析，并对短期的投 资 行 为 提供指导和参考。另外， 需要提及的是， 本文 并没有解决股市的投资价值问题，因 此 模 型 的应用应该和有关基本分析方法结合使用。 风险分析模型的提出 如何将股市的市场风险量化，力 求 给 出 股市大盘指数的风险衡量指标，经过 这 些 工 作之后，市场风险的确定就不是建 立 在 “感 觉” 的基础之上， 也不是建立在 “庄家消息” 的 基础之上， 因为在市场容量日益扩大的今天 ， 实力机构即使想操纵整个股票市场指数， 也 会觉得力不从心。 股票指数分布应服从指数对数分布， 即 即是
F"’&H 上的直交投影为 ?B。则对于任何实数 I 均有 I?B"D=。
则 ? 和 ?B 的内积 ?? @= ， 于是对于任何可行解 >2 如果 ?B#= ，
0 B
I?B，当 I 趋 于 无 穷 大 时 以 上 线 性 规 划 的 目 标 函 数 B2?I?B02
即存 在 无 限 套 利 机 会 。 如 果 ?B2= ， 则?垂 I??B0 趋于无穷大， 直于 D=，即对于任何净投资为零的无风险组合 > ，均有 B2 故不存在套利机会。由于 ?B2= 的必要充分条件是 ? 可 ?>2= ， 表 示 为 #;7*; … ， 即 存 在 实 数 "=;"*; … ， 7: 的 线 性 组 合 ， ":; 使 得
!"#$%&"%’(%
关于
普遍课题。
股市大盘的风险分析模型
"龚哲君
#&1 在 & 时刻股票市场的价格指数； *1 单位时期股票期望收益率； !1 单位时期股票价格波动标准差； ()*/!-1 均值为 */ 标准差为 ! 的正态分布。