【新教材】新人教A版必修一 任意角的三角函数 学案

2019—2020学年新人教A版必修一任意角的三角函数学案

1．角的概念

（1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

（2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝｛β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示,读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.

（2）角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝错误!rad，1 rad＝错误!°。

（3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式:S＝错误!lr＝错误!|α｜·r2。

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，

则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝错误!（x≠0）．

三个三角函数的性质如下表:

4.三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T。

知识拓展

1．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．任意角的三角函数的定义（推广）

设P（x，y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r，则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!(x≠0）．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)

（2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√)

(3)不相等的角终边一定不相同．(×)

（4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α〉1.（√）

题组二教材改编

2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．

答案－错误!二

3．角α的终边经过点Q错误!,则sin α＝,cos α＝.

答案错误!－错误!

4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．

答案错误!

题组三易错自纠

5．(2018·秦皇岛模拟）下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是()

A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋错误!(k∈Z)

答案C

解析与错误!的终边相同的角可以写成2kπ＋错误!(k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．

6．集合错误!中的角所表示的范围（阴影部分)是(）

答案C

解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋错误!≤α≤2nπ＋错误!,此时α表示的范围与错误!≤α≤

π

表示的范围一样；当k＝2n＋1 （n∈Z)时，2nπ＋π＋错误!≤α≤2nπ＋π＋错误!，此时α2

表示的范围与π＋π

4≤α≤π＋错误!表示的范围一样，故选C。

7．(2018·攀枝花质检）已知角α的终边经过点（－4，3),则cos α＝.

答案－错误!

解析cos α＝错误!＝－错误!。

8．（2018·济宁模拟)函数y＝2cos x－1的定义域为．

答案错误!(k∈Z)

解析∵2cos x－1≥0，

∴cos x≥错误!.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），∴x∈错误!（k∈Z）。

题型一角及其表示

1．设集合M＝错误!，N＝

错误!，那么（)

A．M＝N B．M?N

C．N?M D．M∩N＝?

答案B

解析由于M中，x＝错误!·180°＋45°＝k·90°＋45°＝（2k＋1）·45°，2k＋1是奇数；而N 中,x＝错误!·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°，k＋1是整数，因此必有M?N，故选B.

2．若角α是第二象限角，则错误!是（)

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角

答案C

解析∵α是第二象限角,

∴错误!＋2kπ〈α<π＋2kπ，k∈Z，

∴错误!＋kπ〈错误!〈错误!＋kπ，k∈Z。

当k为偶数时，错误!是第一象限角；

当k为奇数时，错误!是第三象限角．

∴错误!是第一或第三象限角．

3．(2017·福州模拟）与－2 015°终边相同的最小正角是．

答案145°

解析与－2 015°角终边相同的角的集合为

{α｜α＝－2 015°＋k·360°，k∈Z},

当k＝6时，α＝－2 015°＋2 160°＝145°。

思维升华（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

(2）确定kα，错误!（k∈N＋）的终边位置的方法

先写出kα或错误!的范围，然后根据k的可能取值确定kα或错误!的终边所在位置．

题型二弧度制

典例(1)(2017·珠海模拟）已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（)

A．2 B．1 C.错误!D．3

答案A

解析设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R,

∴扇形面积S＝错误!lR＝R（2－R)

＝－R2＋2R＝－（R－1)2＋1,

当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．

（2）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．

答案错误!

解析设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为2r，∴圆心角的弧度数是错误!＝错误!.

思维升华应用弧度制解决问题的方法

(1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

跟踪训练(1）（2017·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是．

答案错误!

解析设圆的半径为R，则R·sin 1＝1，

∴R＝错误!，

∴这个圆心角所对弧长为R×2＝错误!。

(2）已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发,P沿着直线l向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是．

答案S1＝S2

解析设运动速度为m,运动时间为t，圆O的半径为r，

则错误!＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP,

∴S1＝错误!tm·r－S扇形AOB，

S2＝错误!tm·r－S扇形AOB，

∴S1＝S2恒成立．

题型三三角函数的概念及应用

命题点1三角函数定义的应用

典例(1）已知点P在角错误!的终边上,且｜OP|＝4，则点P的坐标为（) A．(－2，－2错误!）B。错误!

C．（－23，－2) D.错误!

答案A

解析点P的坐标为错误!，即（－2,－2错误!），故选A。

（2)设θ是第三象限角，且错误!＝－cos 错误!，则错误!是（）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

答案B

解析由θ是第三象限角知,错误!为第二或第四象限角,

∵错误!＝－cos 错误!，∴cos 错误!<0，

综上知，错误!为第二象限角．

命题点2三角函数线的应用

典例函数y＝lg(2sin x－1）＋错误!的定义域为．

答案错误!（k∈Z）

解析

要使原函数有意义，必须有错误!

即错误!如图，在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知，原函数的定义域为错误!(k∈Z)．

思维升华(1）利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值;已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．

（2）利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练（1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2），且cos α≤0，sin α>0。则实数a的取值范围是（）

A．(－2，3] B．（－2，3）

C．[－2，3）D．［－2,3]

答案A

解析∵cos α≤0，sin α〉0,

∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．

∴错误!∴－2〈a≤3.

(2）（2017·石家庄模拟）若－错误!〈α<－错误!，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是（）

A．sin α〈tan α〈cos αB．cos α〈sin α〈tan α

C．sin α

答案C

解析如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM,正切线AT，

观察可知sin α

数形结合思想在三角函数中的应用

典例（1)如图，在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0）,圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C（2，1)时，错误!的坐标为．

（2)（2017·合肥调研）函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为．

思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．

解析(1)如图所示，

过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B。因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，

则∠PCB＝2－错误!，所以PB＝sin错误!＝－cos 2，

CB＝cos错误!＝sin 2，设点P(x P，y P)，

所以x P＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，

所以错误!＝(2－sin 2，1－cos 2）．

(2）因为3－4sin2x＞0，

，

所以sin2x＜3

4

所以－错误!＜sin x＜错误!。

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示),

所以x∈错误!(k∈Z)．

答案(1）(2－sin 2，1－cos 2）

(2)错误!(k∈Z）

1．角－870°的终边所在的象限是（) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案 C

解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限． 2．（2017·石家庄模拟）已知点P 错误!在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为() A.错误!B 。错误! C.错误!D.错误! 答案C

解析 由已知得tan θ＝－错误!,θ在第四象限且θ∈［0，2π)，∴θ＝错误!。 3．（2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4，m ），且sin θ＝35，则m 等于（）

A ．－3

B ．3 C.错误! D ．±3 答案 B

解析 sin θ＝错误!＝错误!，且m 〉0,解得m ＝3。

4．（2018·成都模拟）点P 从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π

3弧长到达Q 点，则Q

点的坐标为 （） A 。错误!B.错误! C 。错误!D.错误! 答案 A

解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标（x ,y ）满足

x＝cos 错误!＝－错误!，y＝sin错误!＝错误!。

5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()

A．2 B．4 C．6 D．8

答案C

解析设扇形的半径为R，则错误!×4×R2＝2，

∴R＝1,弧长l＝4,∴扇形的周长为l＋2R＝6.

6．已知α是第二象限的角,其终边上一点为P（x,5)，且cos α＝错误!x，则tan α等于(）A。错误! B.错误!C．－错误!D．－错误!

答案D

x

＝错误!x且α在第二象限，

解析∵

x2＋5

∴x＝－错误!，∴tan α＝错误!＝－错误!.

7．(2017·怀化模拟）sin 2·cos 3·tan 4的值（）

A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在

答案A

解析∵sin 2〉0,cos 3<0,tan 4〉0，

∴sin 2·cos 3·tan 4〈0.

8．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;

④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同;

⑤若cos θ〈0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案A

解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错；当三角形的内角为90°时，

＝sin 错误!，但错误!其既不是第一象限角,也不是第二象限角，故②错；③正确;由于sin π

6

与错误!的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

9．（2017·鄂州模拟）已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y ），且cos θ＝－错误!,则y ＝. 答案错误!

解析 由已知得θ在第二象限，∴y 〉0， ∴cos θ＝错误!＝－错误!,∴y ＝错误!.

10．已知扇形的圆心角为错误!，面积为错误!，则扇形的弧长等于． 答案错误!

解析 设扇形半径为r ，弧长为l , 则错误! 解得错误!

11．函数y ＝错误!的定义域为． 答案 错误!,k ∈Z

解析 利用三角函数线(如图）,

由sin x ≥错误!,可知

2k π＋π

3

≤x ≤2k π＋错误!π，k ∈Z .

12．满足cos α≤－错误!的角α的集合为． 答案错误!

解析 作直线x ＝－错误!交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分）即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为错误!。

13．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（)

A．若α，β是第一象限的角，则cos α〉cos β

B．若α，β是第二象限的角,则tan α>tan β

C．若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β

D．若α,β是第四象限的角，则tan α〉tan β

答案D

解析如图,当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1,M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sin α>sin β时，tan α>tan β。

14．已知点P（sin α＋cos α，tan α）在第四象限，则在［0,2π]内α的取值范围是．

答案错误!∪错误!

解析由错误!

得－1

又0≤α≤2π,∴π

2<α〈错误!π或错误!π<α<2π.

15．（2017·烟台模拟）若角α的终边与直线y＝3x重合,且sin α〈0，又P(m，n)是角α终边上一点，且｜OP｜＝错误!，则m－n＝.

答案2

解析由已知tan α＝3，∴n＝3m，

又m2＋n2＝10，∴m2＝1.

又sin α<0，∴m＝－1，∴n＝－3.故m－n＝2。

16。如图,在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于B点，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－错误!，求tan α的值；

(2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．

(3）若α∈错误!，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

解(1)根据题意可得B错误!，∴tan α＝±错误!。

(2）若△AOB为等边三角形，

则B错误!或B错误!，

当B错误!时，tan∠AOB＝错误!,∠AOB＝错误!;

当B错误!时,tan∠AOB＝－错误!,∠AOB＝－错误!.

∴与角α终边相同的角β的集合是

错误!。

(3）若α∈错误!，则S扇形＝错误!αr2＝错误!α，

而S△AOB＝错误!×1×1×sin α＝错误!sin α，

故弓形AB的面积S＝错误!α－错误!sin α,α∈错误!。