高中数学函数单调性的判定和证明方法

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商： ,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ①)(x f 与)(x f +C 单调性相同。

（C 为常数）②当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时， )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性。

③当)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性。

④当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。

⑤当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。

⑥设)(x f y =,D x ∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1-f，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增（减）函数。

例4.判断5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性。

解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞，由简单函数的单调性知在此定义域内323log ,,x x x 均为增函数，因为021>+x ,012>+x由性质⑤可得)1(221++x x 也是增函数；由单调函数的性质④知x x x 23log ++为增函数， 再由性质①知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数。

例5.设函数)0()(>>++=b a b x ax x f ，判断)(x f 在其定义域上的单调性。

解:函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b .先判断)(x f 在),(+∞-b 内的单调性，由题可把bx ax x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(，又0>>b a 故0>-b a 由性质③可得b x +1为减函数；由性质②可得bx b a +-为减函数；再由性质①可得bx ba x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数。

同理可判断)(x f 在),(b --∞内也是减函数。

故函数bx ax x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数。

（三） 、图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例6.求函数的单调区间。

解：在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为.（四）、同增异减法（复合函数法）.定理1：若函数)(u f y =在U 内单调，)g(x u =在X 内单调，且集合{u ︳)g(x u =，X x ∈}U ⊂（1）若)(u f y =是增函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是增（减）函数。

（2）若)(u f y =是减函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是减（增）函数。

归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情形可列表如下：显然对于大于2次的复合函数此法也成立。

推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成其中有K m ≤个减函数：① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=； ② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==。

判断复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤： ⑴合理地分解成两个基本初等函数)(),(x g u u f y ==； ⑵分别解出两个基本初等函数的定义域； ⑶分别确定单调区间；⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则)]([x g f y =为增函数，若为一增一减，则)]([x g f y =为减函数（同增异减）；⑸求出相应区间的交集，既是复合函数)]([x g f y =的单调区间。

以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。

利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。

例7.求)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）的单调区间。

解：由题可得函数)253(log )(2-+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数2532-+=x x u 符合而成。

由题知函数)(x f 的定义域是),31()2,(+∞--∞Y 。

内函数2532-+=x x u 在),31(+∞内为增函数，在)2,(--∞内为减函数。

①若1>a ，外函数u y a log =为增函数，由同增异减法则，故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数。

③ 若10<<a ，外函数u y a log =为减函数，由同增异减法则，故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数。

例8. 求函数的单调区间解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知是外层函数的单调增区间； 令，解得的取值范围为；由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间； 根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。

例9. 求函数的单调区间.解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知和都是外层函数的单调减区间； 令，解得的取值范围为；结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

综上可知，原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.（五）、含参数函数的单调性问题.例10.设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.） 解：由题意得原函数的定义域为 ， 当上为减函数； 当上为增函数。

（六） 、抽象函数的单调性.抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题。

常采用的方法有： ① 定义法.通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与0（或者1）比较大小关系来判断其函数单调性。

通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。

例11.已知函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+，且当0>m 时，0)(>m f ，试讨论函数)(x f 的单调性。

此题多种方法解答如下：凑差法：根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出”“)()(21x f x f -”的形式，然后比较)()(21x f x f -与0的大小关系。

解：由题得)()()(n f m f n m f =-+，令m x n m x =+=21,，且21x x >，021>-=x x n又由题意当0>m 时，0)(>m f 0)()()(21>=-⇒n f x f x f ， 所以函数)(x f 为增函数。

添项法 ：采用加减添项或乘除添项，以达到判断“)()(12x f x f -”与0大小关系的目的。

解:任取2121,,x x R x x <∈，则012>-x x ，)()(12x f x f -)(])[(1112x f x x x f -+-=由题意函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+， 且当0>m 时，0)(>m f 0)()()(1212>-=-⇒x x f x f x f ，所以函数)(x f 为增函数。

增量法 ：由单调性的定义出发，任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x ,然后联系题目提取的信息给出解答。

解：任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x 由题意函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+，)()()()()(1112δδf x f x f x f x f =-+=-⇒，又由题当0>m 时，0)(>m f )0(0)()()(12>>=-⇒δδf x f x f ，所以函数)(x f 为增函数。