等腰三角形专题训练
专题强化训练01等腰(边)三角形的判定与性质(30题)(原卷版)
专题第01讲等腰（边）三角形的判定与性质一．解答题（共30小题）1．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．2．（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．3．（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．4．（2023春•淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；（2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．5．（2023春•郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点E．（解答过程要求写出每步推导的理由）（1）求∠BDC的度数；（2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC．6．（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的长．解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，∵ED＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AE（）．∴＝∠AEB（）．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB+∠AEC＝180°（），∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（），∴∠AEB＝∠EAC+∠C．∴＝∠EAC．∴＝（）．∴AB＝CE（）．∵AB＝6，BD＝2，∴CE＝6，ED＝2．∴CD＝CE+ED＝6+2＝8．7．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．8．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．9．（2023春•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE ＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F．（1）说明△AEF是等腰三角形的理由；（2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数．10．（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）11．（2022秋•阳谷县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．（1）求证：△OBC是等腰三角形．（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．12．（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．13．（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长．14．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．15．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．（2023春•榆阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：（1）△ADC是等边三角形；（2）点E在线段CD的垂直平分线上．17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC ⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．（1）求证：△ADB是等边三角形．（2）求证：AE⊥DB．18．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．20．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．21．（2022秋•南充期末）如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为ts．（1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？（2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间t；若不能，请说明理由．22．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．（1）求证：△ACD为等边三角形；（2）求∠BAC的度数．23．（2022春•林甸县期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．24．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．25．（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．26．（2021秋•阎良区期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．27．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为60°．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．28．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．29．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．30．（2021秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．。
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(学生版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB ＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____________秒时，PA与△ABC的腰垂直．5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，AB =6．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB 上运动．点P 出发后，连接CP ，以CP 为直角边向右作等腰直角三角形CDP ，使∠DCP =90°，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)△ABC 的AB 边上高为；(2)求BP 的长（用含t 的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP ≌△BCD ；(4)当BP ：BD =1：2时，直接写出t 的值．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D ．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD的值．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，ABBC的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是22，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为35，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：AB=2AF ；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．。
专题训练等腰三角形中的分类讨论
专题复习——等腰三角形中的分类讨论例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。
例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。
例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20 ,则等腰三角形的顶角度数为例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。
（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）LB例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。
则满足△OAB为等腰三角形的有B点共有个例3. P为直线1:32l y x A=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.等腰三角形中的分类讨论练习姓名：日期：指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。
下面就常见题型举例说明如下：一、角不确定时需分类讨论1、若等腰三角形的一个角为40°，则其他两个角分别为若等腰三角形的一个角为100°，则其他两个角分别为二、边不确定时需分类讨论2、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm，则它的周长是等腰三角形周长是20cm，一边长为8cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是20cm，一边长为4cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为三、高不确定时需分类讨论3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为四、其它（1）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长（3）一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长5、已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰三角形，一共可以作个6、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长7、如图，在等边ΔABC所在的平面内求一点P，使ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC都是等腰三角形，你能找到几个这样的点？画图描述他们的位置。
专题训练等腰三角形中的常见证明思路
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
解：(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE. ∵AE 平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠B＝∠C，∴△ABC 是等腰三角形． (2)∵F 是 AC 的中点，∴AF＝CF.
∠CAE＝∠C，
在△AFE 和△CFG 中，AF＝FC， ∠AFE＝∠CFG，
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
类型之三 利用平行线证等腰三角形
5．如图 3－ZT－5，在△ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延 长线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于点 E，交 BC 于点 G，且 AE∥BC.
(1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)若 AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC 的周长．
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
4．如图 3－ZT－4，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的 中点，连接 AE，BE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，AB＝BF.求 证：BE⊥AE.
图 3－ZT－4
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
证明： ∵E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE， ∴△ADE≌△FCE，∴AE＝FE. 又∵AB＝BF，∴BE⊥AE.
又∵CE＝2BC，∴BD＝CE. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACE 中， AB＝AC，BD＝CE， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE， ∴∠ACE＝∠B.
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
类型之二 利用“三线合一”证明两线垂直
3．如图 3－ZT－3 所示，五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝DE， ∠ABC＝∠AED，F 是 CD 的中点．
(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]
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等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证：CE丄BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
专题：等腰三角形的性质与判定(答案)
专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。
专题5.3 一次函数与等腰三角形综合训练(原卷版)
专题5.3 一次函数与等腰三角形综合训练1．（2023春•铜官区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝x+b过点C．（1）求m和b的值；（2）直线y＝x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．①若△ACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2．（2022秋•沭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A （3，0），点B（0，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A 关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标．4．（2022秋•烟台期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求线段CD的长；（3）在x轴上是否存在点P，使△P AB为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2023秋•碑林区校级期中）如图，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为2，点P为y 轴上的一个动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）连接CP，当△ACP与△AOB的面积相等时，求点P的坐标；（3）连接BP，是否存在点P使得△P AB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•克东县校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y 轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）直接写出点C和点D的坐标，S△ACD＝；（3）求直线CD的函数解析式；若点E是直线CD与直线AB的交点，直接写出点E的坐标；（4）在x轴上是否存在一点F，使得以C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直点F的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开州区期末）已知直线L经过点A（﹣2，0），B（0，3）．（1）求直线L的解析式；（2）若在直线L上有一点C，且S△BOC＝6，求点C的坐标；（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023春•潮安区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴交于点B，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）直接写出点B、C的坐标；（2）点M（x，y）是直线y＝x+1图象上一点，设△BCM的面积为S，请求出S关于x 的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可），△BCM的面积为10，并说明理由；（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．9．（2023春•定州市期末）如图，直线y＝2x+m与x轴交于点A（﹣3，0），直线y＝﹣x+n 与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m相交于点D，点A在点B左边．且AB＝6．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求出点E的坐标．10．（2023春•海口期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（m，6）．（1）求m的值及一次函数解析式；（2）若P是线段AC上的一个动点，P不与A、C重合，动点P的横坐标为a，请将△AOP的面积S与a的函数关系式表示出来，并写出a的取值范围．（3）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋•成华区期末）如图，直线y＝﹣与直线y＝x+b交于点A（﹣1，m），直线y＝﹣与x轴交于点B，直线y＝x+b与x轴交于点C．（1）求m和b的值；（2）已知点D在x轴上，且△ABD的面积为4，求直线AD的解析式；（3）在x轴上，是否存在点P，使△P AC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022秋•成都期末）在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线l1与l2交于点E．（1）若点E坐标为（，n）．ⅰ）求m的值；ⅱ）点P在直线l2上，若S△AEP＝3S△BDE，求点P的坐标；（2）点F是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使△CFG为以FC为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．13．（2023秋•和平区校级期中）如图，直线l：y＝3交x、y轴分别为A、B两点，C 点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．（1）点A坐标是，点B的坐标，BC＝．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．14．（2023秋•禅城区校级期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求线段CD的长；（3）点P在x轴上，使△P AB为等腰三角形．直接写出所有满足条件的点P的坐标．15．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．（1）求直线CD的解析式；（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．16．（2023春•增城区期末）如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B．与直线y＝x相交于点A．（1）求A点坐标；（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．17．（2023春•崂山区期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023春•志丹县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x﹣1，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l1与l2交于点E．（1）求点E的坐标；（2）若直线l2上存在点P，使得S△OCP＝6，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧、点E左侧有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M，N，y 轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的所有点Q 的坐标；若不存在；请说明理由．19．（2022秋•和平区校级期末）如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．20．（2023春•济南期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+8分别与x轴、y轴相交于点A、B，OC是∠AOB的角平分线，交直线AB于点C．（1）求点C的坐标；（2）如图2，AH是∠BAO的角平分线，过点B作AH的垂线交AH于点D，交x轴于点E求直线BD的解析式；（3）在x轴上寻找点F使得△ABF为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．21．（2023春•章丘区期中）如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求OC的长；（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．22．（2023•攀枝花模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2⊥l1于点B．已知位于第三象限的点C在直线l2上，且AB＝BC．（1）求点C的坐标；（2）已知点N（﹣，0）在x轴负半轴上，点M是AB上一点，连接MN，MC，则MN+MC 的值最小，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，若x轴上有一点P，使以M，N，P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的P点的坐标．23．（2022秋•新泰市期末）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．（1）求点B和点C的坐标；（2）求直线l2的函数表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2023春•随县期末）如图，直线y＝x﹣3分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线y＝﹣x交直线AB于点C，点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向点A匀速运动．（1）求点C坐标；（2）若△COP是等腰三角形，求点P运动时间；（3）当直线CP平分△OAC的面积时，直线CP与y轴交于点D，求线段CD的长．25．（2023•开发区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．（1）求m，n的值；（2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；（3）直接写出使函数y＝﹣x+n的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围．（4）在x轴上是否存在点P使△P AB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2023春•市中区期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC：y＝﹣x+1与x轴交于点C，与y轴交于点B．（1）求b的值和点A坐标；（2）将线段AB向右平移m个单位（m＞0）得到线段A′B′，连接A′C，B′C，若△A′B′C是等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴上一动点，连接AP，若∠P AB＝45°，直接写出点P坐标．27．（2023•天元区模拟）在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．（1）求直线n的函数表达式；（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．28．（2023春•沅江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．（1）求点D的坐标；（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．29．（2023春•盐湖区校级期中）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C 在y轴上，AC平分∠OAB．（1）求点A、B的坐标；（2）求线段BC的长；（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得△ABD是以AB为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．30．（2022秋•南山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成2：1的两部分，请求点G的坐标；（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．。
等腰三角形专题训练--分类讨论
等腰三角形专题训练---分类讨论一、角的分类1、等腰三角形有一个外角是100°，那么它的的顶角的度数为_______2、在等腰三角形中，有一个角为80°，则另外两个角的度数为．3、等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是 _____4、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个角的度数分别为 ( )A.40°、40°B.100°、20°C.50°、50°D.40°、40°或20°、100°5、等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是二、边的分类1、等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是_________2、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_3、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是4、等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是 _ ____。
三、形状的分类1、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50°，求这个三角形的顶角的度数。
2、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是70°，求这个三角形的顶角的度数。
四、中线分周长的分类1、已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，求等腰三角形的腰长2、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分,求这个三角形的底边长。
3、等腰三角形一腰上的中线为把周长分为6和9两部分，则该等腰三角形腰长为。
4、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，那么这个等腰三角形的腰长是_______．4月29日家庭作业 姓名： 1、已知：如图1-15，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．B 、C 、D 在一条直线上，•说明CE 与AC+CD 相等的理由．2、如图5，三角形ABC 的内角∠ABC 的平分线与外角∠ACG 的平分线交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F 。
等腰三角形的性质专题练习
【典型例题分析】题型一：【例1】△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型二：【例2】等腰三角形的一个内角为80°，则另两个内角的度数为.【例3】（变式）等腰三角形的一个内角为35°，则另两个内角的度数为. 【例4】（变式）等腰三角形的一个内角为90°，则另两个内角的度数为. 【例5】（变式）等腰三角形的一个内角为120°，则另两个内角的度数为. 【例6】（变式）等腰三角形的一个内角为170°，则另两个内角的度数为. 【借题发挥】1.等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角为（）A.50°;B.130°;C.65°;D.50°或65°.2．已知等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求此三角形顶角的度数.题型三：【例7】等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为.【例8】（变式）等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为. 【借题发挥】1.等腰三角形的两边长分别为8cm和17cm，则它的周长为.2.等腰三角形的周长为60cm，且其中一边长为18cm，求此等腰三角形的底边长.【例9】已知：AD既是是△ABC的角平分线、高线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD【借题发挥】1．已知：AD既是△ABC的角平分线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD2．已知：AD既是△ABC的高线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD3．已知：AD既是是△ABC的角平分线又是△ABC的高线.求证△ABC为等腰三角形AB CD【例10】已知：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°.求该等腰三角形的顶角度数.【例11】已知：等腰三角形的顶角为150度，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.【借题发挥】1、已知等腰三角形的底角为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.2、已知等腰三角形的一个内角的度数为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数【例12】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN。
人教版八年级数学上册专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
第十三章 轴对称
专题训练(四) 等腰三角形 问题中的分类讨论思想
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型一 当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为
( )C
A．50°
B．80°
C．50°或80° D．40°或65°
2．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应
∴∠B＝∠C＝21∠DAB＝25°
8．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为差为3 cm的 两部分，求腰长．
解：设腰长为2x，一腰的中线为y，则(2x＋x)－(5＋x)＝3或(5＋x)－ (2x＋x)＝3，解得：x＝4或x＝1，∴2x＝8或2，①三角形ABC三边长为8， 8，5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2，2，5，2＋2 ＜5，不符合三角形三边关系定理；故腰长为8 cm
该为
70°，55°，5西州)一个等腰三角形一边长为 4 cm，另一边长为 5 cm， 那么这个等腰三角形的周长是( C )
A．13 cm B．14 cm C．13 cm 或 14cm D．以上都不对
4．(2016·安顺)实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8＝0，则以 x，y 的值为两 边长的等腰三角形的周长是( B )
9．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，2)，在x轴上确定点P， 使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有( ) A
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或 AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P的个数为( )B A．5个 B．6个 C．4个 D．3个
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等腰三角形专题训练
【例1】等腰三角形一腰上的中线为把周长分为6和9两部分，则该等腰三角形腰长为 。
【例2】等腰三角形两内角的度数之比是1：2，求顶角的度数。
【例3】已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 。
【例4】已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50°，求这个三角形的顶角的度数。
【例5】等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为300，腰长为a ，则其底边的高为 。
【例6】在△ABC 中，AB = AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角是50°，求∠B 的度数。
7．等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm ，那么这个等腰三角形的腰长是_______．
一、选择题
1．等腰三角形有两条边长为5cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ）
A ．19cm
B ．23cm
C ．19cm 或23cm
D ．18cm
2．等腰三角形的顶角是100°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．30°
3．等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是（ ）
A ．30°
B ．100°或40°
C ．40°
D ．80°
4、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（ ）
（A ） 35° （B ）40° （C ）70 ° （D ）110°
5．如图 C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，
若∠A=15°，则∠GEF 的度数是（ ）
A ．75°
B ．90°
C ．105°
E
C
A H F G
二、填空： 第5题 第6题 第7题
6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，则∠A= .
7.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°，
则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ；
若∠BAC=120°，则DAE= .
8.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= .
9、等腰三角形有一个角是70度，则其他两个角的度数是 .
10.等腰三角形的周长是20厘米，有一边长是8厘米， 则其他两边长为 .
11.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8厘米，BC 的垂直平分线DE 交AB 于D ，则CD= .
12.△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=10厘米，则AC= .
14．等腰三角形有一底角的外角为100°，那么它的顶角的度数为________．
8．在△ABC 中，∠A=65°，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上，BD=BE ，CD=CF ，•则∠EDF=_______．
15．已知等腰三角形的一个角为58 0，则它的底角度数_______．
16 Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=22cm ，则AB 的长度是____
17．三角形三内角的度数之比为3∶2∶1，最大边的长是20cm ，则最小边的长是_______cm
E C
18、等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成21㎝和12㎝，则三角形的底边长为
㎝。
三：证明：
1． 已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，
BD 、CE 交于H 。
求证：HB=HC 。
2． 已知：如图：等边△ABC ，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，AD 、BE 交于N
BM ⊥AD 于M ，若AE=CD ，求证：12
MN BN =。
已知：如图：△ABC 中，D 是BC 上一点，P 是AD 上一点，若∠1=∠2，PB=PC 。
求证：AD ⊥BC 。
如下图：等边△ABC ，D 是形外一点，若AD=AC ，则∠BDC=_____________度。
．已知：如图：△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠BAC=120°，AB+BD=DC 。
求：∠C 的度数。