2019届高三数学一轮复习导学案江苏专版教师用书：第四章 三角函数、解三角形

第四章 三角函数、解三角形角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }或{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }．[例1] (1)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ，N 之间的关系是________．(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．[解析] (1)法一：由于M ＝xx ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z ,2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ∈Z ，k ＋1是整数，因此必有M N .(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°＜0°，得－765°≤k ×360°＜－45°，解得－765360≤k ＜－45360(k∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1.将k ＝－2，k ＝－1分别代入β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，得β＝－675°或β＝－315°.[答案] (1)M N (2)－675°或－315° [方法技巧]终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．象限角[例2] (1)①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为________．(2)若角α是第二象限角，则α2是________象限角．[解析] (1)－3π4＝5π4－2π＝π4＋π－2π，从而－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．(2)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．[答案] (1)3 (2)第一或第三[方法技巧] 确定αn(n ≥2，n ∈N *)终边位置的方法步骤1.给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是________．解析：由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案：12.[考点二]若α为第一象限角，则β＝k ·180°＋α(k ∈Z )是第________象限角．解析：∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α的终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k ·180°＋α(k ∈Z )是第一或第三象限角．答案：一或三3.[考点一]终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为αα＝k π＋π3，k ∈Z .答案：αα＝k π＋π3，k ∈Z4.[考点一、二]已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断α3是第几象限角．解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z }． 则α3＝k ·120°＋50°，k ∈Z . 若k ＝3n (n ∈Z )，α3是第一象限角；若k ＝3n ＋1(n ∈Z )，α3是第二象限角；若k ＝3n ＋2(n ∈Z )，α3是第四象限角．故α3是第一、第二或第四象限角． 突破点(二) 弧度制及其应用1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．2．弧度制下的有关公式扇形的弧长及面积公式[典例] (1)________． (2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. [解析] (1)设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.(2)设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝122r，得r ＝43(cm)，又α＝2π3，所以l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)．[答案] (1)1或4 (2)833π[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2. 解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．答案：80π2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为lr .将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍． 答案：33．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是________． 解析：设扇形的圆心角为θ，由题知2R ＋R θ＝4R ，得θ＝2，所以S 弓＝S 扇－S 三角形＝12·2R ·R －12R 2·sin 2＝R 2－12R 2·sin 2＝R 2·⎝⎛⎭⎫1－12sin 2. 答案：R 2·⎝⎛⎭⎫1－12sin 2 4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100， 此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．突破点(三) 任意角的三角函数有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT 为正切线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数值的符号判定[例1](1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是第________象限角．(2)sin 2·cos 3·tan 4的符号为________．(填“正”或“负”)[解析](1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)2 rad,3 rad是第二象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，4 rad是第三象限角，所以tan 4＞0，故sin 2·cos 3·tan 4＜0.[答案](1)三(2)负根据三角函数的定义求三角函数值[例2](2)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α和tan α的值．[解析](1)sin α＝－342＋(－3)2＝－35.(2)设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[答案](1)－3 5[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3] (1)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3，则a 的值为________． (2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x 的值为________． [解析] (1)由三角函数的定义得sin α·cos α＝a (－4)2＋a2·－4(－4)2＋a2＝－4a(－4)2＋a 2＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433. (2)由三角函数的定义知tan 420°＝3x ，所以x ＝3tan 420°＝33＝ 3.[答案] (1)－43或－433(2) 3 [方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.若θ是第二象限角，则下列三角函数值能确定为正值的是________．(填序号) ①sin θ2；②cos θ2；③tan θ2；④cos 2θ.解析：由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2＞0.答案：③2.[考点一]已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)的符号是________．(填“正”或“负”) 解析：∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1＜α＜0时，sin α＜0.故sin(sin θ)＜0.答案：负3.[考点二]已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝________.解析：因为P ⎝⎛⎭⎫x ，32在单位圆上，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫322＝1，解得x ＝±12.所以tan α＝±3.答案：±34.[考点二、三]设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析：∵α是第二象限角，∴x ＜0.又由题意知xx 2＋42＝15x ，解得x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43. 答案：－435.[考点三]已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2＜a ≤3.答案：(－2,3]1．若cos α＞0且tan α＜0，则α是第________象限角．解析：由cos α＞0，得α的终边在第一或第四象限或x 轴非负半轴上，又由tan α＜0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．答案：四2．若角α与β的终边关于x 轴对称，则cos(α＋β)＝________.解析：因为角α与β的终边关于x 轴对称．所以β＝2k π－α，k ∈Z ，即α＋β＝2k π，k ∈Z ，所以cos(α＋β)＝1.答案：13．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．解析：设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r .根据题意，由3r ＝αr ，得α＝ 3.答案： 34．(2018·徐州期初测试)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.解析：圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案：15．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角． 解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k∈Z )，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2＜0，所以α2只能是第四象限角． 答案：四[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知sin θ－cos θ＞1，则角θ的终边在第________象限．解析：由已知得(sin θ－cos θ)2＞1，即1－2sin θcos θ＞1，则sin θcos θ＜0.又由sin θ－cos θ＞1知sin θ＞cos θ，所以sin θ＞0＞cos θ，所以角θ的终边在第二象限．答案：二2．若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cosα2cos α2的值为________．解析：由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，sin α2＞0，cos α2＜0，y ＝sin α2sin α2＋－cos α2cos α2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，sin α2＜0，cos α2＞0，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cos α2＝－1＋1＝0. 答案：03．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x ＞0)，则tan α的最小值为________． 解析：tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.答案：24．(2018·扬州中学月考)如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．解析：由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ. 答案：(cos θ，sin θ)5．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则cos 2α＝________. 解析：∵角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，∴⎝⎛⎭⎫122＋(y 0)2＝1，∴y 0＝±32，则cos α＝12，sin α＝±32，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－12.答案：－126．(2018·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．解析：∵⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝⎛⎭⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.答案：11π67．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＜0，2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角． 答案：二8．(2018·连云港月考)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________.解析：(1)由|OP |2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.答案：－329．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r ，如图．则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝π3⎛⎭⎫1＋2332r 2＝7＋439πr 2，S 内切圆＝πr 2，所以S 扇S 内切圆＝7＋439.答案：(7＋43)∶910．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________． 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π4 二、解答题11．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求角α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上；由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，故角α的终边在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(3)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.此时弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .2．同角三角函数基本关系式的应用技巧[例1] (1)(2018·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________. (2)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝________. [解析] (1)原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋ sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角， 所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.(2)因为π2＜2＜π，所以sin 2＞0，cos 2＜0.1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. [答案] (1)0 (2)sin 2－cos 2条件求值[例2] 若tan α＝2，则 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. [解析] (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝1.[答案] (1)－1 (2)1 [方法技巧]同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin 2α2＋cos 2α2＝1，sin 3xcos 3x ＝tan 3x ⎝⎛⎭⎫3x ≠k π＋π2，k ∈Z 都成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由x ∈(－π，0)，知sin x ＜0， 又sin x ＋cos x ＞0，∴cos x ＞0，则sin x －cos x ＜0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.[方法技巧]同角三角函数关系式的方程思想对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2018·如东中学月考)向量a ＝⎝⎛⎭13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：∵a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案：－132.[考点三](2018·无锡质检)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为________．解析：∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.答案：323.[考点二]已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝________.解析：∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3，即sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，即2tan 2α－22tan α＋1＝0，解得tan α＝22. 答案：224.[考点一]sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋1＋…＋144个＋12＝44.5.答案：44.55.[考点二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257.(3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.突破点(二) 三角函数的诱导公式1.也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [典例] (1)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.(3)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. (4)(2018·启东中学月考)已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，则sin x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x 的值为________． [解析] (1)方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (3)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.(4)sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝59. [答案] (1)53 (2)1 (3)－43 (4)59[方法技巧]应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知sin ⎝⎛⎭5π2＋α＝15，那么cos α＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 答案：152．sin 210°cos 120°的值为________．解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－12×⎝⎛⎭⎫－12＝14. 答案：143．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．解析：k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2.则A的值构成的集合为{2，－2}．答案：{2，－2}4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－335．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________. 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45.52．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：23．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝________.解析：由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＝f ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin 5π6.因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0.所以f ⎝⎛⎭⎫23π6＝0＋12＝12. 答案：124．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．sin(－600°)的值为________．解析：sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32.22．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. 解析：由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：－453．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 019)的值为________． 解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 答案：－34．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝________.解析：因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cosα，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2＜α＜0，所以sin α＝－32.答案：－325．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝________. 解析：∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.46．(2018·盐城中学月考)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根，则cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ的值为________． 解析：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.答案：2－27．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝________. 解析：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α.答案：－cos 2α8．若f (α)＝sin[(k ＋1)π＋α]·cos[(k ＋1)π－α]sin (k π－α)·cos (k π＋α)(k ∈Z )，则f (2 019)＝________.解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，原式＝sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋π－α)sin (2n π－α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )， 原式＝sin[(2n ＋2)π＋α]·cos[(2n ＋2)π－α]sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 019)＝－1. 答案：－19．若角θ满足2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，则tan θ的值为________．解析：由2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1.答案：110．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为________．解析：∵sin A ＋cos A ＝15，①①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，则(sin A －cos A )2＝1－2sinA cos A ＝1＋2425＝4925，∵角A 为△ABC 的内角，∴sin A ＞0，又sin A cos A ＝－1225＜0，∴cos A＜0，∴sin A －cos A ＞0，则sin A －cos A ＝75.②由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 答案：－43二、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.[例1] (1)函数y ． (2)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π2－x 2的定义域是________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x ＜2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z . (2)由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．由π2－x 2≥0得－π≤x ≤π，借助于数轴可得该函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－π，－5π6∪⎝⎛⎭⎫－5π6，－π3∪－π3，π6∪⎝⎛⎭⎫π6，2π3∪⎝⎛⎦⎤2π3，π.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)⎣⎡⎭⎫－π，－5π6∪⎝⎛⎭⎫－5π6，－π3∪－π3，π6∪⎝⎛⎭⎫π6，2π3∪⎝⎛⎦⎤2π3，π [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．三角函数的值域(最值)[例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． (2)函数y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6的值域为________． (3)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为________． [解析] (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故该函数的值域为⎣⎡⎦⎤78，2.(3)设t ＝sin x ＋cos x, 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ，sin x cos x ＝t 2－12，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝t 22＋t －12＝12(t ＋1)2－1.当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴该函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2.[答案] (1)2－3 (2)⎣⎡⎦⎤78，2 (3)⎣⎡⎦⎤－1，12＋2 [方法技巧] 三角函数值域或最值的三种求法1.[考点一]函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则cos x －32≥0，即cos x ≥32，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) 2.[考点二]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≤1，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 答案：－223.[考点一]函数y ＝1tan x －1的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为xx ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 4.[考点一]函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 5.[考点二]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. ∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.突破点(二) 三角函数的图象与性质考法(一) [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]； (2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎤－π2，π2. [解] (1)当－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数．当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是k π－π2，k π，k ∈Z .(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是－5π12，π12，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－5π12，⎣⎡⎦⎤π12，π2.[方法技巧]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考法(二) 已知单调区间求参数范围[例2] 已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．[解析] 由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2， 则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. [答案] ⎣⎡⎦⎤12，54[方法技巧] 已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区[例3] (1)函数y (2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．[解析](1)y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝1－cos 2x2＋1＋cos 2x2＝1＋21－cos 22x4＝ 1＋1－cos 4x2， 所以T ＝2π4＝π2.(2)由题意知，1＜π|k |＜2，即|k |＜π＜2|k |.又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.[答案] (1)π2(2)2或3[方法技巧] 三角函数周期的求解方法[例4] (1)函数f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R)是________函数．(填“奇”或“偶”)(2)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.[解析] (1)由题意知，f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x ＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝18(1－cos 4x )，即f (x )＝18(1－cos 4x )，f (－x )＝18(1－cos 4x )＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数．(2)由f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.[答案] (1)偶 (2)3π2[方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性[例5] (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴是________． (2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.[解析] (1)由x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋3π4(k ∈Z )，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4图象的对称轴是x ＝k π＋3π4(k ∈Z )．(2)由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．[答案] (1)x ＝k π＋3π4(k ∈Z ) (2)k π＋π2，k ∈Z [方法技巧]三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x 轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z .能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫25x －π6的最小正周期是________． 解析：由T ＝2π25＝5π，知该函数的最小正周期为5π.答案：5π2.[考点三]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件． 解析：f (x )是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )，充分性不成立；φ＝π2时，f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，为奇函数，必要性成立．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．答案：必要不充分3.[考点四]若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：由题可知，πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以ω＝6k ＋2(k ∈Z )．又ω∈N *，则ωmin ＝2.答案：24.[考点一·考法(二)]已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2在区间⎝⎛⎦⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，则φ的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2在区间⎝⎛⎦⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，又φ－π6＜2x ＋φ≤π3＋φ，所以2×π6＋φ≤π3，且2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ≥－π2，解得－π3≤φ≤0. 答案：⎣⎡⎦⎤－π3，0 5.[考点一、二、三、四](2018·武汉调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2(x ∈R)，下列结论正确的序号是________．①函数f (x )是偶函数； ②函数f (x )的最小正周期为π； ③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数； ④函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以①②正确．由函数y ＝cos x 的单调性知③正确．函数图象的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数，x ≠π4，所以④错误．答案：①②③6.[考点四]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：2或－27.[考点一·考法(一)]函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是________． 解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴只需求y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的减区间即可． ∵y ＝sin x 的减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴令2x －π6∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . ∵x ∈[0，π]，∴x ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，5π6[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数的序号是________．。