2020高三数学高考《立体几何初步》专题学案：两个平面垂直
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案含解析北师大版必修2
高中数学第一章:6 垂直关系6．1垂直关系的判定考纲定位重难突破1.了解线面垂直、面面垂直的定义．2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义．3.能运用判定定理证明线面、面面垂直.重点：线面垂直、面面垂直的判定．难点：找(作)二面角的平面角．方法：分类讨论思想在垂直关系中的应用.授课提示：对应学生用书第18页[自主梳理]一、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字语言图形表示符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαa∩b＝Al⊥al⊥b⇒l⊥α二面角定义从一条直线出发的这两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面如图，记作：α-AB-β或α-l-β范围 0°≤θ≤180°画法如图：二面角α-l -β 若有①O ∈l ； ②OAα，OB β；③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 就叫作二面角α-l -β的平面角三、平面与平面垂直1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．判定定理文字语言图形表示符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βaα⇒α⊥β1．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( ) A ．l 与平面α内的两条直线垂直 B ．l 与平面α内的无数条直线垂直 C ．l 与平面α内的某一条直线垂直 D ．l 与平面α内的任意一条直线垂直解析：根据线面垂直的定义，可知当l 垂直于α内所有直线时，l ⊥α. 答案：D2．已知直线l ⊥平面β，l 平面α，则( ) A ．α⊥β B ．α∥βC ．α∥β或α⊥βD ．α与β相交但不一定垂直 解析：根据面面垂直的判定定理知α⊥β. 答案：A3．二面角的平面角是指( ) A ．两个平面相交的图形B ．一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D．以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角．答案：D4．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.答案：C5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第19页探究一直线与平面垂直的判定[典例1]如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解析](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.1．利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”： (1)寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直． (2)确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线． (3)判定：根据判定定理得出结论． 2．线面垂直的三种判定方法：(1)用定义：证明l 和平面α内任意一条直线都垂直．(2)用定理：证明l 与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直．(3)用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α.1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC平面ABC，BD平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.探究二平面与平面垂直的判定[典例2]如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E在侧棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PBD.[解析]∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC.又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.1．证明平面与平面垂直，常用两种方法：(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线．(2)证明二面角的平面角是直角．2．用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内寻找垂直于另一个平面的直线．在处理具体问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．2.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别为CD，DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.探究三线面垂直判定的综合应用[典例3]三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，P A⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[解析](1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又P A⊥BC，PO∩P A＝P，∴BC⊥平面P AO.又AO平面P AO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB ⊥平面PCO .又PC 平面PCO ， ∴AB ⊥PC .根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直．本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化．3.如图，在四面体P -ABC 中，△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，P A ＝3，D 为P A 的中点，求二面角D -BC -A 的大小．解析：取BC 的中点E ，连接EA ，ED ，EP (图略)．∵△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，∴BC ⊥AE ，BC ⊥PE ， 又AE ∩PE ＝E ，AE ，PE 平面P AE ，∴BC ⊥平面P AE .而DE 平面P AE ，所以BC ⊥DE ， ∴∠AED 即为二面角D -BC -A 的平面角． 又由条件，知AE ＝PE ＝32AB ＝3，AD ＝12P A ＝32， ∴DE ⊥P A ，∴sin ∠AED ＝AD AE ＝32，显然∠AED 为锐角，∴∠AED ＝60°，即二面角D -BC -A 的大小为60°.对定理理解不透彻致误[典例] 设α，β为不重合的两个平面，给出下列说法： ①若α内的两条相交直线分别平行于平面β，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与平面α垂直的条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面说法中正确的序号是________(写出所有的正确的序号)．[解析] ①平面α内的两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．②平面α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 平行于α，正确．③如图所示，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．④直线l与α垂直的条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误．综上所述，正确说法的序号为①②.[答案]①②[错因与防范]本题易错选③④，错选③是由a⊥l，aα错误得出a垂直于平面β；错选④是忽视了“相交直线”这一前提条件．一些常见的定理要认真领会，抓住关键字或词，一些判断项中往往不是直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错．[随堂训练]对应学生用书第20页1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B2．给出以下说法：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②解析：由二面角的定义，可知①③错误，④正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知②正确，故选B.答案：B3．给出下列说法：①如果直线l与平面α不垂直，那么在α内不存在与l垂直的直线；②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；③与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行；④过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，因为在α内至少可以找到一条直线与l垂直；②正确；③错误，因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平面内；④正确．故正确说法的序号是②④.答案：②④4.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有直线AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，P A平面P AC.∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC5.如图，四边形ABCD是菱形，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：连接AC交BD于点O，连接OE.因为O为AC的中点，E为P A的中点，所以EO是△P AC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.。
高三数学两个平面垂直
语言表述 根据定义．证明两 平面所成的二面角 是直二面角．
判 定 如果一个平面经过
aO
B
a
另一个平面的一条 垂线，那么这两个 平面互相垂直．
性 如果两个平面垂直， 质 那么它们所成二面
A B
a a
，AOB是二 面角a的平面
角，则AOB=90
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糊の身影时,他の心头却突然再次响起了那诡异の声音.白重炙迷茫の四处一扫,却发现四周の人毫无异样.内心不禁震愕起来.这次他没有盘坐在山上,也没有进入入定状态,这声音却是就这样莫名响起…… 本书来自 聘熟 当前 第柒肆2章 没大没不咋大的 "咚,咚,咚！" 声音连绵不绝,响个不 停,频率比以前更快更欢乐了几分,并且听着非常清晰,非常の稳定,没有以往の飘渺,异常の欢乐,异常の亲热,宛如许久没见の亲人重逢一样. "俺叉,没想到离开了几个月,还有这效果?" 白重炙目瞪口呆,因为此刻他几多の清楚,这声音の源头在何方,并且他内心中有种莫名の感觉,此刻他绝对可 以几步登顶.因为声音の源头…就在那五帝山之巅！ "咚,咚,咚！" 声音继续传来,白重炙抬头望着山顶,微微眯起了眼睛.他很清晰の感觉山顶似乎有一样东西在不断の召唤他一样.这感觉是如此の清晰,如此のの明确,甚至有些迫切. "砰！" 就在白重炙愣愣出神の时候,爬 ...... 当前 第柒 肆叁章 赌约 "哧！" 让场中无数强者有些意外の是,风帝部落の强者也全部瞬间神力暴涨,站在了云帝部落の那边,明显准备帮助云帝部落对抗雨帝部落和雷帝部落.看书 并且风帝部落の新任巡察使雅妃,也故意の朝天辰露出一丝暧昧の笑容. 妖帝部落の那些强大妖智却是没有动,这些猿猴妖 智虽然都有了自己の意识和智
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步6垂直关系6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2
6．1 垂直关系的判定1．直线与平面垂直的概念及判定定理(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横(3)直线与平面垂直的判定定理：a平面提示：相交、垂直或在平面内．2．二面角(1)二面角的概念：①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．③二面角的记法：以直线AB 为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角αAB β. (2)二面角的平面角：αβ思考2：二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？ 提示：没关系．3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直：α⊥β平面提示：平行、垂直、斜交．1．已知平面α及α外一直线l ，给出下列命题： ①若l 垂直于α内两条直线，则l ⊥α； ②若l 垂直于α内所有直线，则l ⊥α； ③若l 垂直于α内任意一条直线，则l ⊥α；④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.其中，正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3C [根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．]2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD [∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]3．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中．(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．(1)AB，BC，AC(2)BC[(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，又AP平面PAC，所以BC⊥AP.]4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________．45°[∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，其大小为45°.]【例1】如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.[证明] ∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系．[解] ∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.又由本例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.2．将本例改为：已知四棱锥PABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.[证明] 在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.1．直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①平面内的两条相交直线；②都垂直．2．要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．【例2】如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明] 法一：因为∠BSA ＝∠CSA ＝60°，SA ＝SB ＝SC ，所以△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ，设其值为a ，则△ABC 和△SBC 为共底边BC 的等腰三角形． 取BC 的中点D ，如图所示，连接AD ，SD ，则AD ⊥BC ，SD ⊥BC ， 所以∠ADS 为二面角A BC S 的平面角． 在Rt△BSC 中，因为SB ＝SC ＝a ， 所以SD ＝22a ，BD ＝BC 2＝22a ， 在Rt△ABD 中，AD ＝22a ， 在△ADS 中，因为SD 2＋AD 2＝SA 2，所以∠ADS ＝90°，即二面角A BC S 为直二面角，故平面ABC ⊥平面SBC . 法二：因为SA ＝SB ＝SC ，且∠BSA ＝∠CSA ＝60°， 所以SA ＝AB ＝AC ，所以点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心． 因为△SBC 为直角三角形，所以点A 在△SBC 上的射影D 为斜边BC 的中点， 所以AD ⊥平面SBC .又因为AD 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SBC .证明面面垂直的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.1．如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．求证：平面AEC ⊥平面PDB .[解] ∵AC ⊥BD ，AC ⊥PD ，PD ，BD 为平面PDB 内两条相交直线， ∴AC ⊥平面PDB . 又∵AC 平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PDB .1．如图所示，在三棱锥S ABC 中，△SBC ，△ABC 都是等边三角形，请根据二面角的平面角的定义作出二面角S BC A 的平面角，并说明理由．提示：取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，因为AB ＝AC ，O 是BC 的中点，所以AO ⊥BC .同理可证SO ⊥BC ，所以∠SOA 是二面角S BC A 的平面角．2．在上述问题中，若BC ＝1，SA ＝32，请计算二面角S BC A 的大小． 提示：在△AOB 中，∠AOB ＝90°，∠ABO ＝60°，AB ＝1，所以AO ＝1×sin 60°＝32. 同理可求SO ＝32. 又SA ＝32，所以△SOA 是等边三角形， 所以∠SOA ＝60°，所以二面角S BC A 的大小为60°. 【例3】 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C是圆周上不同于A 、B 的一点，且AB ＝2，PA ＝BC ＝1.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ； (2)求二面角P BC A 的大小． [解] (1)证明：∵A ，B ，C 在⊙O 上， ∴⊙O 所在平面可记为平面ABC ， ∵PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴PA ⊥BC .∵C 在圆周上，且异于A 、B 两点，AB 是⊙O 的直径， ∴BC ⊥AC .又AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又BC 平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC . (2)由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∵PC 平面PAC ， ∴PC ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，∴∠PCA 为二面角P BC A 的平面角．在Rt△PAC 中，PA ＝1，AC ＝3，∠PAC ＝90°，∴tan∠PCA ＝33，∴∠PCA ＝30°， 所以二面角P BC A 的大小是30°.1．本例条件不变，试求二面角C PA B 的大小． [解] ∵PA ⊥平面ABC . ∴PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，∴∠CAB 即为二面角C PA B 的平面角，在Rt△ACB 中，易知AB ＝2，BC ＝1，∴AC ＝3， ∴sin∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝30°，∴二面角C PA B 的大小为30°.2．本例条件不变，试求二面角A PB C 的正弦值．[解] 过A 作AE ⊥PB 于点E ，过E 作EF ⊥PB 交PC 于点F ，连AF ，则∠AEF 即为二面角A PB C 的平面角(图略)．由例题知，BC ⊥平面PAC ，又AF 平面PAC ， ∴AF ⊥BC ，又PB ⊥AE ，PB ⊥EF ， ∴PB ⊥平面AEF ， ∴AF ⊥PB ， 又BC ∩PB ＝B ， ∴AF ⊥平面PBC . ∴△AFE 为直角三角形． 在Rt△PAC 中，PA ＝1，AC ＝ 3. ∴PC ＝2， ∴AF ＝32， 在Rt△PAB 中，PA ＝1，AB ＝2， ∴PB ＝5， ∴AE ＝25.∴在Rt△AFE 中，sin∠AEF ＝AF AE ＝3225＝154.1．求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角→证明→计算．2．要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等．1．直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β. 2．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．3．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．1．思考辨析(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直．( )(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直．( )(4)若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l .( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)×2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥βC [∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.]3．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为________．90°[∵PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角BPAC的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角BPAC的大小为90°.]4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE沿AE、DE折起，使点B与点C重合于点P.求证：平面PED⊥平面PAD.[解] 由矩形ABCD知折起前AB⊥BE，所以折起后AP⊥PE，同理PD⊥PE，因为PD∩PA＝P，所以PE⊥平面PAD，因为PE平面PED，所以平面PED⊥平面PAD.。
高中数学两平面垂直教案
高中数学两平面垂直教案
教学内容：高中数学
教学目标：
1. 理解两平面垂直概念；
2. 掌握两平面垂直的判定方法；
3. 能够应用两平面垂直的性质解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：两平面垂直的判定方法；
难点：应用两平面垂直性质解决实际问题。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学投影仪；
3. 教具：黑板、粉笔、尺子、直角三角尺。
教学流程：
一、引入
通过一个实际问题引入两平面垂直概念，引导学生思考两平面垂直的条件。
二、讲解
1. 通过示意图和几何常识解释两平面垂直的定义；
2. 分别介绍两平面垂直的判定方法：法向量垂直法和两平面交线平行法。
三、练习
1. 给学生几道简单的题目，让他们应用两平面垂直的判定方法来判断两平面是否垂直；
2. 给学生提供应用题，让他们应用两平面垂直性质解决实际问题。
四、拓展
引导学生思考两平面垂直概念在现实生活中的应用，并提出相关问题进行讨论。
五、总结
对本节课所学内容进行总结，强调两平面垂直的重要性和应用价值。
六、作业
布置相关练习题目，巩固学生对两平面垂直概念的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够清楚地理解两平面垂直的概念、掌握两平面垂直的判定方法，并能够灵活应用这些知识解决实际问题。
在教学中，可以通过更多的实例和练习来加深学生的理解，并引导他们思考两平面垂直的应用场景，以提高他们的综合能力。
高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案 北师大版必修2(1)
1陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案 北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。
2020届高三数学复习专题三《立体几何》学案
专题三立体几何第1讲立体几何中的平行与垂直问题一、回归教材：1. (必修2P77习题1改编)设a，b，c表示不同的直线，α表示平面，下列命题中正确的是()A. 若a∥b，a∥α，则b∥αB. 若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC. 若a⊥c，b⊥c，则a∥bD. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b2. (必修2P53习题1改编)给出下列命题，其中错误命题的个数为()①若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；②若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；③若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和直线c共面．A. 1B. 2C. 3D. 43. (必修2P82习题5改编)如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中恒成立的结论是()A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④二、举题故法例1．(1) (2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线(2) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n. 其中正确命题的序号是()A. ①④B. ①②C. ④D. ②③④变式：(1) 已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，其中错误的命题是()A. 若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥bB. 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥bC. 若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD. 若α∥β，a∥α，则a∥β(2) 在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝5，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为________．例2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．(1) 求证：DE∥平面ACC1A1；(2) 求证：AE⊥平面BCC1B1.变式：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AC＝AA1，D是棱AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD；(2) 求证：BC1⊥A1C.例3. (2019·皖南八校三联)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，点M 为PB 的中点，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝PC ＝12AB .(1) 求证：CM ∥平面P AD ； (2) 若四棱锥P －ABCD 的体积为4，求点M 到平面P AD 的距离．变式：(2019·青岛二模)如图，在圆柱W 中，点O 1，O 2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE 是轴截面，点H 在上底面圆周上(异于N ，F )，点G 为下底面圆弧ME 的中点，点H 与点G 在平面MNFE 的同侧，圆柱W 的底面半径为1，高为2.(1) 若平面FNH ⊥平面NHG ，求证：NG ⊥FH ；(2) 若直线O 1H ∥平面FGE ，求点H 到平面FGE 的距离．【巩固提升练习】1. (2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面2. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊥α，则m∥βB. 若m∥α，nα，则m∥nC. 若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥nD. 若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β3. (2019·西安三检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4. (2019·安庆示范中学联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为()A.212 B.26 C.5212 D.5265. 已知直线m，n和平面α，β，且mα，nβ，则“m∥β，n∥α”是“α∥β”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)6. 已知直线a，b表示两条不同的直线，α表示一个平面，有下列几个命题：①若在直线a上存在不同的两点到α的距离相等，则a∥α；②若a⊥b，b∥α，则a⊥α；③若a∥α，b α，则a∥b；④若a与α所成的角和b与α所成的角相等，则a∥b；⑤若a∥b，b⊥α，则a⊥α.其中正确的命题是________．(填序号)7. (2019·中原名校联考)如图，在正四面体ABCD中，E是棱AD上靠近点D的一个三等分点，则异面直线AB和CE所成角的余弦值为________．8. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图(1)).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图(2)是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．9. (2019·莆田二模)如图，在多面体ABCC1B1A1中，四边形BB1C1C为矩形，AB＝BC＝5，CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1，2AA1＝CC1＝AC＝2，E，F分别是A1C1，AC的中点，G是线段BB1上的任一点．(1) 求证：AC⊥EG；(2) 求三棱锥FEA1G的体积．10. (2019·蚌埠一检)如图，在四棱锥P ABCD中，AC与BD交于点O，△ABC为直角三角形，△ACD，△P AB，△PBC均为等边三角形．(1) 求证：PO⊥BD；(2) 求二面角APDC的余弦值．第2讲 立体几何中的计算问题一、回归教材：1. (选修2－1P92练习7)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°2. 2. (选修2－1P118复习题7)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A. 1B. 15C. 35D. 753. (选修2－1P107练习2)如图，60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，则CD 的长为________．4. (选修2－1P105例1)如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则AC 1AB＝________.第1题 第2题 第3题二、举题故法 例1．(2019·宣城二调)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥CB ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，BC ＝12AD ，M 是棱PC 上的点． (1) 求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277，求PM PC的值．例2．(2019·深圳适应性测试)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.(1) 求证：MN⊥PC；(2) 当H为PC的中点，P A＝PC＝3AB，P A与平面ABCD所成的角为60°时，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．例3. (2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1) 求证：MN∥平面C1DE；(2) 求二面角A－MA1－N的正弦值．变式：(2019·长沙一模)如图，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，平面P AC 垂直于圆O 所在的平面，直线PC 与圆O 所在平面所成角为60°，P A ⊥PC .(1) 求证：AP ⊥平面PBC ；(2) 求二面角P －AB －C 的余弦值．例4. (2019·宁德二检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝12CD ＝2，PD ＝PB ＝6，PD ⊥BC . (1) 求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2) 在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为π3？若存在，求CM CP的值；若不存在，请说明理由．【巩固提升练习】1. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥E C.(1) 求证：平面AEC⊥平面AFC；(2) 求直线AE与直线CF所成角的余弦值．2. (2019·郴州二检)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，侧面SBC是边长为2的等边三角形，E为SB的中点．(1) 求证：SD∥平面AEC；(2) 若侧面SBC⊥底面ABCD，求斜线AE与平面SBD所成角的正弦值．3. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．(1) 在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ？并说明理由；(2) 当二面角DFCB 的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．4. (2019·怀化三模)如图，在斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，侧棱A 1A 与底面ABC 所成的角为60°，AA 1＝AB ＝2，底面△ABC 是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，点G 为△ABC 的重心，点E 在BC 1上，且BE ＝13BC 1. (1) 求证：GE ∥平面A 1ABB 1；(2) 求平面B 1GE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．115. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是棱B 1C 1的中点．(1) 求证：AC 1∥平面A 1BD ；（2）若AB ＝AC ＝2 ，BC ＝BB 1＝2，在棱AC 上是否存在点M ，使二面角BA 1DM 的大小为45°？若存在，求出AM AC的值；若不存在，请说明理由．6. (2019·长沙二模)如图，四棱锥P ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，△P AB 和△PBC 是两个边长为2的正三角形，DC ＝4，O 为AC 的中点，E 为PB 的中点．(1) 求证：OE ∥平面PCD ；(2) 在线段DP 上是否存在一点Q ，使直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为23？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．。
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节垂直关系教学案文含解析北师大版
第四节 垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理αα⊥a(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)定理⊥lα∩1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B．]3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ．( ) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4 [∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ， 则△PAB ，△PAC 为直角三角形． 由BC ⊥AC ，且AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC ． 因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．]5．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________．a [如图所示，取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO ，则∠A ′OC 是二面角A ′BD C 的平面角．即∠A ′OC ＝90°，又A ′O ＝CO ＝22a ， ∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a .]►考法1 直线与平面垂直的判定【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． [解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ．因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB 平面ABC ，AC平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP平面POM ，OM平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.►考法2 直线与平面垂直的性质【例2】 (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因为AD平面ABD，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .[证明] (1)在四棱锥P ABCD 中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ．而AE平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ． ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ． 又PD平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD 平面PAD ，∴AB ⊥PD ．又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．[解] (1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC ． 又BA ⊥AD ，且AC平面ACD ，AD平面ACD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE13DC ． 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.(2018·江苏高考)在平行六面体11111111求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．[证明] (1)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．(2)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ． 又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 平面A 1BC ，BC平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【例4】 如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在一点M ，使得AC ⊥BM ，若存在求PMMC的值，并说明理由． [解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高， 又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36. (2)在线段PC 上存在一点M ，使得AC ⊥BM ，此时PM MC ＝13.证明如下：如图，在平面PAC 内，过点M 作MN ∥PA 交AC 于N ，连接BN ，BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ， 所以MN ⊥AC ． 由MN ∥PA 知AN NC ＝PM MC ＝13.所以AN ＝12，在△ABN 中，BN 2＝AB 2＋AN 2－2AB ·AN cos∠BAC ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×12＝34，所以AN 2＋BN 2＝AB 2， 即AC ⊥BN .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM平面MBN .所以AC ⊥BM .DC ＝2AB ＝2，DA ＝ 3.(1)线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出BE CE的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．(2)若PD ＝3，线段PC 上有一点F ，且PC ＝3PF ，求三棱锥A FBD 的体积． [解] (1)存在线段BC 的中点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ，即BE CE＝1.证明如下： 连接DE ，PE ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝1，DA ＝3，∴BD ＝DC ＝2，∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ， ∵DE ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，且PC ＝3PF ，∴点F 到平面ABCD 的距离为23PD ＝233，∴三棱锥A FBD 的体积V A FBD ＝V F ABD ＝13×S △ABD ×233＝13×12×1×3×233＝13.【例5】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图1 图2(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值． [解] (1)证明：在题图1中，连接EC (图略)， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ．即在题图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ．又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由题图1知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P EF B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P EBCF 的侧面积．[解] (1)证明：在Rt△ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB ．∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB ．(2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P EF B 的平面角， ∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直，又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2. 在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H (图略)，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin∠PFC ＝152. ∴四棱锥P EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧︵CD 所在平面垂直，M 是︵CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为︵CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ． 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC 平面PBD ，OP平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°。
2020版高考数学一轮复习第七章立体几何第42讲直线平面垂直的判定及其性质学案20200507216
第42讲直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.2016·全国卷Ⅰ，182016·全国卷Ⅱ，192016·江苏卷，162016·浙江卷，18与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.分值：5～6分1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫__a，b⊂α____a∩b＝O____l⊥a____l⊥b__⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线__平行__⎭⎪⎬⎪⎫__a⊥α____b⊥α__⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条__垂线__，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫__l⊂β____l⊥α__⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫__α⊥β____l⊂β____α∩β＝a____l⊥a__⇒l⊥α1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个．( √)(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交．( ×)(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．( ×)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ×)解析(1)错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有l⊥α.(2)正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直．(3)错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面．(4)错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线．(5)错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的性质定理可知，当α⊥β时，b⊥α.又因为a⊂α，则a⊥b;如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( C)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n，n⊂α且α∥β解析α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A项不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故B项不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β.故C项成立；m⊥n，n⊂α，且α∥β，知m⊥β不成立，故D项不成立，故选C．4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7__对．解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PCD⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD，共有7对．5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC内的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的__外__心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC, PC⊥PA，则点O是△ABC的__垂__心．解析(1)若PA＝PB＝PC，由勾股定理易得OA＝OB＝OC，故O是△ABC的外心；(2)由PA⊥PB，PC⊥PA，得PA⊥平面PBC，则PA⊥BC．又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，则AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．一直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直．【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：直线AE⊥直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.解析(1)证明：由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.二平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【例2】已知三棱柱A1B1C1－ABC的侧棱与底面成60°角，底面是等边三角形，侧面B1C1CB 是菱形且与底面垂直，求证：AC1⊥BC．证明过C1作C1H⊥BC于H，连接AH，又∵侧面B 1C 1CB ⊥底面ABC ， 侧面B 1C 1CB ∩底面ABC ＝BC ， ∴C 1H ⊥底面ABC ．∴侧棱CC 1与底面ABC 所成角， 即为∠C 1CH ＝60°， 在Rt △C 1CH 中，CH ＝12CC 1，又∵CC 1＝BC ，∴CH ＝12BC ，即H 为BC 的中点，∴在等边△ABC 中，AH ⊥BC ，又∵C 1H ⊥BC ，AH ∩C 1H ＝H ，∴BC ⊥平面AC 1H ， 又∵AC 1⊂平面AC 1H ，∴AC 1⊥BC ．三 垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．【例3】 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC ．(1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明：在三棱台ABC －DEF 中，AC ∥DF ，AC ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ，∴DF ∥平面ACE .又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，∴DF ∥a . (2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G .连接GD ， ∴CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC －DEF 中， 由AB ⊥BC 得DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ，得CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF . 又CE ∩DE ＝E ，∴GF ⊥平面CDE . 又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE . 此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE .1．(2018·山东青岛模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( C )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b ，故选C ． 2．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( C )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n解析 ∵α∩β＝l ，∴l ⊂β，∵n ⊥β，∴n ⊥l .3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD, AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°， PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1) CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ．∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ． 又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .4．如图，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点．(1)求证：CD ⊥平面SAD ； (2)求证：PQ ∥平面SCD ；(3)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．解析 (1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ． 又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面SAD ．(2)证明：取SC 的中点R ，连接QR ，DR .由题意知，PD ∥BC 且PD ＝12BC ．在△SBC 中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR ＝12BC ．所以QR ∥PD 且QR ＝PD ， 则四边形PDRQ 为平行四边形， 所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． (3)存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ． 连接PC ，DM 交于点O ，连接PM ，SP ，NM ，ND ，NO ，因为PD ∥CM ，且PD ＝CM ， 所以四边形PMCD 为平行四边形， 所以PO ＝CO .又因为N 为SC 的中点，所以NO ∥SP . 易知SP ⊥AD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ． 因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．易错点 联想不到已学定理错因分析：已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难．【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在BD ，B 1C 上，且MN ⊥BD, MN ⊥B 1C ，求证：MN ∥AC 1.证明 连接A 1D ，A 1B ，AC ， ∵MN ⊥B 1C ，B 1C ∥A 1D ，∴MN ⊥A 1D ． 又∵MN ⊥BD ，BD ∩A 1D ＝D ，∴MN⊥平面A1BD．∵CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD．又∵BD⊥AC，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1.∴BD⊥AC1.同理AC1⊥A1B．又A1B∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD．又∵MN⊥平面A1BD，∴MN∥AC1.【跟踪训练1】如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC．正确结论的个数为( C)A．1 B．2C．3 D．4解析∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又PA⊥面ABC，故PA⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC ⊥面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥面PBC，故AF⊥PB．又AE⊥PB，且AF∩AE＝A，∴PB⊥面AEF，从而EF⊥PB，故①②③正确．若AE⊥BC，则可证AE⊥面PBC，则AE∥AF，这是不可能的，选C．课时达标第42讲[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( D)A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立，故选D．2．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( D)A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则l∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．3．(2018·江西南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( D)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( D)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D．5．(2018·宁夏银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( A)A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A．6．(2018·陕西宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．其中为真命题的是( D)A．①②B．②③C．②④D．①④解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD．④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．二、填空题7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为__②④__.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．解析对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．8．(2018·吉林长春模拟)如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__①②__(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB．解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②取AE 的中点O ，易证NO ⊥AE ，MO ⊥AE .故AE ⊥平面MNO ，又MN ⊂平面MNO ，则AE ⊥MN ，②正确；③∵D ∉平面ABC ，∴N ∉平面ABC ，又A ，B ，M ∈平面ABC ，∴MN 与AB 异面，③错误．9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为__12__.解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又2×22＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12. 三、解答题10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．证明 (1)因为SA ＝SC ，D 是AC 的中点，所以SD ⊥AC ．在Rt △ABC 中，AD ＝BD ，又SA ＝SB ，SD ＝SD ，所以△ADS ≌△BDS ，所以SD ⊥BD ．又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC ．(2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ．由(1)知SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC ．11．(2018·河南郑州模拟)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论．解析 (1)证明：如图，取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE .因为E ，N 分别为A ′B ′和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥BB ′∥AA ′. 又A ′C ′⊂平面AA ′C ′C ，NE ⊄平面AA ′C ′C ，所以NE ∥平面AA ′C ′C ，同理ME ∥平面AA ′C ′C ，又EM ∩EN ＝E ，所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ，因为MN ⊂平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C ．(2)当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN ，证明如下：连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2， 因为三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ，因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2， 解得λ＝2，故当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .12．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D ，E 两点分别是边AB ，AC 的中点，现将△ABC 沿DE 折成直二面角A －DE －B ．(1)求证：平面ADC ⊥平面ABE ；(2)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值．解析 (1)证明：∵D ，E 两点分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ．∵∠B ＝90°，∠ADE ＝90°，∴DE ⊥AD ，DE ⊥BD ，∴∠ADB 为二面角A －DE －B 的平面角，∵∠ADB ＝90°，∴AD ⊥平面BCD ．又∵BE ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BE .又∵BD ＝22，DE ＝12，BC ＝1，即BD DE ＝BC BD， ∴△BDE ∽△CBD ，∴∠EBD ＝∠DCB ，∴∠EBD ＋∠BDC ＝90°，∴BE ⊥DC ．又∵DC ∩AD ＝D ，∴BE ⊥平面ADC ．又∵BE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ADC ．(2)设BE 交CD 于H ，连接AH ，过点D 作DO ⊥AH 于O .∵AD ⊥BE ，BE ⊥DH ，又∵AD ∩DH ＝D ，∴BE ⊥平面ADH .∵DO ⊂平面ADH ，∴BE ⊥DO .又∵DO ⊥AH ，BE ∩AH ＝H ，∴DO ⊥平面ABE ，∴∠DAO 为AD 与平面ABE 所成的角．在Rt △BDE 中，BD ＝22，DE ＝12，∴DH ＝BD ·DE BE ＝66.在Rt△ADH中，tan∠DAO＝DHDA ＝66×2＝33，∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为33.。
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第7课时 两个平面垂直
1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．
3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．
4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．
例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ． 证明：略
变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ； ⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小． 证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB
(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°
例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求： (1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角． 答案：(1) arc sin
57 (2) arc sin 10
3
变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ；
C
A S
D
B
A
S
B
C
（2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． （1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，
∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ． ∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，
∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．
（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角． 设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3． 在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1 ∴cos ∠PEF ＝
14
7
57
2212)7(22=⨯-+ 即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为
14
7
5． 例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又
二面角P －CD －B 为45°．
⑴ 求证：AF ∥平面PEC ；
⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；
⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离． 证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD
(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1
变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
⑴ 证明：AB ⊥平面VAD ；
⑵ 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． （1）证明： 平面VAD ⊥平面ABCD
AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面VAD AB ⊂平面ABCD
AD ＝平面VAD∩平面ABCD
（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ． ∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝2
3
AD ． ∵AB ⊥平面VAD ，∴AB ⊥AE ．
C B
D F
P
A E C
B
A
V
D
又由三垂线定理知BE ⊥VD ． 于是tan ∠AEB ＝
AE AB ＝3
3
2, 即得所求二面角的大小为arc tan
3
3
2 例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；
⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离． 证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形， 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． （2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ， ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ． ∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，
故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，
在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形． ∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23 ∴ tan ∠A 1CD ＝
13
39
21
CD D A ． （3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．
∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．
连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ． ∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ， ∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离．
∵B 1O ＝23 ∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．
变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ． ⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；
⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；
⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论． 答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点
B
A
A 1
B 1
C 1
A
C
B
P
G D
在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．。