2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案
解析(1)设椭圆的焦距为2c，则 ＝ ，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝ .因为4× ×b× b＝2 ，所以b＝1，a＝ ，故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
所以弦长|PQ|＝2 ＝2 .
不妨设点M在直线OB：y＝－ x上方，点N在直线OB：y＝－ x下方，即 x1＋y1>0， x2＋y2<0.
所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1＝ ＝ ＝ ，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2＝ ＝－ .
所以d1＋d2＝
＝ ＝2 .
所以面积S＝ |PQ|·(d1＋d2)＝ ·2 ·2 ＝2 ＝ ⇒m＝±2.
(2)设A ，B ，S(xS，yS)．
因为 － ＝ － ＝ ，所以 ＝2，所以y3－y4＝8，
因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3＋y4＝16，
联立解得y3＝12，y4＝4，所以A(36,12)，B(4,4)．
设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y－12＝k(x－36)，
由 消去x得 －与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|＝ |AB|，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
依题意知，c＝1，e＝ ＝ ，所以a＝ ，b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
A． B．
C．2D．
D解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所以|OF|＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝± x，不妨设A ，B ，所以|AB|＝ ＝4|OF|＝4，所以b＝2a，所以e＝ ＝ ＝ .故选D项．
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c220+=<mx ny mn1()（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221(3)916x y x -=>D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y 两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c22+=mx ny（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p ．经典常规题3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上， 设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+，化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）高频易错题（45分钟）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-= 【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||AHABHBH∠===，故直线l的斜率为．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，1(2,2)P，2P，3(2,3)P-，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于M，N两点且||||ME NE=？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y+=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点，又由22224449a b a b+<+知C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222221211649121abba b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C的方程为2211612x y+=．（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m=+，设11(,)M x y，22(,)N x y．将直线:p y kx m=+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx mx y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．222222644(34)(448)01612k m k m k m∆=-+->⇒+>①，故122834kmx xk-+=+，212244834mx xk-=+，设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k =+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+， 代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3精准预测题【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠， 故轨迹方程为221(3)916x y x -=>． 4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162p PF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴2004y x =，∴0y =，∴0sin 60︒=，020043214x x x =++， ∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =， ∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理
专题强化训练(十九) 解析几何1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，左、右焦点分x 2a 2y 2b 213别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝(O 为坐标原43点)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |，所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝＝，b 2a 83又e ＝＝，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，c a 13故所求椭圆C 的方程为＋＝1.x 29y 28(2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.由Error!得Error!由Error!得Error!所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，所以＝(－2，－3k ＋m )，＝(4,3k ＋m )，F 1M → F 1N → 所以·＝－8＋m 2－9k 2.F 1M → F 1N → 联立Error!得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简得m 2＝9k 2＋8.所以·＝－8＋m 2－9k 2＝0，F 1M → F 1N → 所以⊥，故∠MF 1N ＝.F 1M → F 1N → π2同理可得⊥，∠MF 2N ＝.F 2M → F 2N → π2故∠MF 1N ＝∠MF 2N .2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设＝＋，求证：点N 在定直线上，并求该定MN → MA → MB → 直线的方程．解：解法一：依题意设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，所以y ＝，x 212所以y ′＝，x 6设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝，x 16所以切线l 2的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋y 1.16令x ＝0，则y ＝－x ＋y 1＝－×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，162116所以＝(x 1－m ，y 1＋3)，MA → ＝(－m ，－y 1＋3)，MB → 所以＝＋＝(x 1－2m,6)，MN → MA → MB → 所以＝＋＝(x 1－m,3)．ON → OM → MN → 设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．解法二：设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ①，设l 2的斜率为k ，A，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋x (x 1，112x 21)11221②，联立①②得，x 2＝12，(k (x －x 1)＋112x 21)因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x ＝0，所以k ＝，21x 16所以切线l 2的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋x .1611221令x ＝0，得B 点坐标为，(0，－112x 21)所以＝，MA → (x 1－m ，112x 21＋3)＝，MB → (－m ，－112x 21＋3)所以＝＋＝(x 1－2m,6)，MN → MA → MB → 所以＝＋＝(x 1－m,3)，ON → OM → MN → 所以点N 在定直线y ＝3上．3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：＋＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦x 2a 2y 2b 2点F (，0)．3(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝·，若t 的最MA → MB → 大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则＋x 2a 2y 2b 23x 2a 2＝1，a 2>3.y 2a 2－3又椭圆过点M (－2,1)，∴＋＝1，4a 21a 2－3又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.x 26y 23(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴Error!，则t ＝·＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)MA → MB → ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③，将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·＋(2－k 2－k )·＋k 2＋2k ＋5，2k 2－62k 2＋14k 22k 2＋1∴t ＝，15k 2＋2k －12k 2＋1∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ，则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0，由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根，∴t 1＋t 2＝.1324．[2019·石家庄一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤)的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛2物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．解：(1)由抛物线定义，得|PF |＝x 0＋，p2由题意得：Error!解得Error!所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤)的切线斜率存在，2设切线PA 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2，则圆心M 到切线PA 的距离d ＝＝r ，|2k 1＋2|k 21＋1整理得，(r 2－4)k －8k 1＋r 2－4＝0.21设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2，同理可得(r 2－4)k －8k 2＋r 2－4＝0，2所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝，k 1k 2＝1.8r 2－4设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0，由韦达定理知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，4k 18－4k 1k 1所以y 1＝＝－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2.4－2k 1k 14k 1设点D 的横坐标为x 0，则x 0＝＝＝＝x 1＋x 22y 21＋y 28(4k 2－2)2＋(4k 1－2)282(k ＋k )－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3.212设m ＝k 1＋k 2，则m ＝∈[－4，－2)，8r 2－4所以x 0＝2m 2－2m －3，对称轴m ＝＞－2，所以9＜x 0≤37，即t ∈(9,37]．125．[2019·太原模拟]已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，A ，B 分别是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为.3(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解：(1)由题意，得Error!解得Error!所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)．设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，6m 4＋3m 294＋3m 2∴my 1y 2＝(y 1＋y 2)．32∵直线AM 的方程为y ＝(x ＋2)，y 1x 1＋2直线BN 的方程为y ＝(x －2)，y 2x 2－2∴(x ＋2)＝(x －2)，y 1x 1＋2y 2x 2－2∴＝＝＝3，x ＋2x －2y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1∴x ＝4，∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．6．[2019·北京卷]已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)．设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由Error!得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝x .y 1x 1令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－.x 1y 1同理得点B 的横坐标x B ＝－.x 2y 2设点D (0，n )，则＝，DA → (－x 1y 1，－1－n )＝，DB → (－x 2y 2，－1－n )·＝＋(n ＋1)2＝＋(n ＋1)2DA → DB → x 1x 2y 1y 2x 1x 2(－x 214)(－x 24)＝＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.16x 1x 2令·＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3.DA → DB → 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．7．[2019·洛阳统考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点．(1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，试问：是否为定值？若2|MN |2|FN |为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1)，即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!，得y 2－4ty －4＋4t ＝0，∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)>0，y 1＋y 2＝4t ，∴4t ＝2，即t ＝.12∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)为定值2p ，证明如下．2|MN |2|FN |∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∴焦点F 的坐标为.(p 2，0)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋(t ≠0)，p 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2>0.∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ，∴M .(pt 2＋p 2，pt )∴MN 的方程为y －pt ＝－t .(x －pt 2－p 2)令y ＝0，解得x ＝pt 2＋，N ，3p 2(pt 2＋3p 2，0)∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋－＝pt 2＋p ，3p 2p 2∴＝＝2p .2|MN |2|FN |2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p 8．[2019·浙江卷]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G 的坐标．S 1S 2解：(1)由题意得＝1，p 2即p ＝2.所以，抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x ＝y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－t 2－12t y －4＝0，2(t 2－1)t 故2ty B ＝－4，即y B ＝－，所以B .2t (1t 2，－2t )又由于x G ＝(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －＋y C ＝0，13132t 得C ，G .((1t －t )2，2(1t －t ))(2t 4－2t 2＋23t 2，0)所以，直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而＝＝＝2－.S 1S 212|FG |·|yA |12|QG |·|yC |2t 4－t 2t 4－1t 2－2t 4－1令m ＝t 2－2，则m >0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.S 1S 2m m 2＋4m ＋31m ＋3m ＋412m ·3m ＋432当m ＝即t 2＝＋2时，取得最小值1＋，此时G (2,0)．33S 1S 232。
2020新高考数学(理)二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习：解析几何+考点过关检测二十二+Word版含解析
考点过关检测（二十二）1．(2019·豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1解析：选A 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1.又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选A.2．(2019·菏泽期末)已知等边△AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)上，且△AOB 的面积为93，则p ＝( )A. 3 B ．3 C.32D ．2 3解析：选C 根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设直线OB ：y ＝33x ，与y 2＝2px 联立，解得B (6p,23p )，故|OB |＝43p .因为△AOB 的面积为93，所以34×(43p )2＝93，解得p ＝32.故选C.3．若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0(a >0，b >0)对称，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.43 B.53 C.54D.74解析：选C 圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，满足题意时，直线过圆心，即32a －2b ＝0，∴b a ＝34，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝54.4．(2019·青岛二模)若直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选A 根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.5．(2019·海珠模拟)双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于( )A ．4 B. 3 C ．2 3D ．4 3解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，所以双曲线E 的一个顶点为(2,0)，即a ＝2.又因为离心率e ＝ca ＝c2＝2，所以c ＝4.因此b ＝16－4＝23，虚轴长等于2b ＝43，故选D.6．(2019·唐山一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .又抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋(3)2＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .7．(2019·桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C 设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 24.又因为点F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，所以(OP →·FP →)max＝6.8．(2019·通化三模)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，55B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，455 解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45.因为e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0<e 2≤45，解得0<e ≤255.故选B. 9．(2019·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是________．解析：设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，∴y 1y 2＝－4n ，又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 的方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0)． 答案：(9,0)10．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是________(填序号)．①△ABF 是等边三角形； ②|BF |＝3；③点F 到准线的距离为3； ④抛物线C 的方程为y 2＝6x .解析：∵以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .答案：①③④11．(2019·泉州期末)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立．则双曲线的离心率为________，λ的值为________．解析：由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a，化简得e 2－e －1＝0.∵e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS△IF1F2得，12|PF1|·r＝12|PF2|·r＋λcr，故λ＝|PF1|－|PF2|2c＝ac＝11＋52＝5－12.答案：5＋125－12。
新高考2020版高考数学二轮复习主攻36个必考点解析几何考点过关检测十九文
考点过关检测（十九）1．(2020届高三·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的两点A ，B ，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)．解：(1)由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.①由Δ1＝16－32k >0，解得k <12. 直线n 的方程为y ＝－1kx ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k >0，解得k >0或k <－2.所以k <－2或0<k <12， 故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k . 同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线MQ 的斜率k MQ ＝2k 2k 2－2k－2＝－k k 2＋k －1， 直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k k 2＋k －1＝k MQ ， 所以直线MN 过定点Q (2,0)．2．(2019·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过圆E ：x 2＋y 2＝2上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1)因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b ＝c ，12·2c ·b ＝b 2＝3，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝6，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)圆E 的方程为x 2＋y 2＝2，设O 为坐标原点，①当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝2，A (2，2)，B (2，－2)，所以∠AOB ＝90°，所以以AB 为直径的圆过坐标原点O (0,0)．②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线与相关圆相切，所以d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2＝2，所以m 2＝2＋2k 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， 则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝8(6k 2－m 2＋3)＝8(4k 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(2m 2－6)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－6k 2－61＋2k2＝0， 所以OA →⊥OB →，所以以AB 为直径的圆恒过坐标原点O (0,0)．综合①②可知，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O (0,0)．3．(2019·柳州联考)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (t,4)，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点？并说明理由．解：(1)由题意知抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p 2， ∵P (4，m )到焦点的距离等于点P 到准线的距离，∴4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)把M (t,4)代入抛物线C 的方程，得16＝4t ，∴t ＝4，∴M (4,4)．由题易知直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为x ＝ky ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋n ，y 2＝4x 消去x ，得y 2－4ky －4n ＝0， Δ＝16k 2＋16n >0，①设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4n .∵MD ⊥ME ，∴MD →·ME →＝(x 1－4，y 1－4)·(x 2－4，y 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16＝y 214·y 224－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16 ＝(y 1y 2)216－(y 1＋y 2)2＋3y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋32 ＝n 2－16k 2－12n ＋32－16k ＝0，即n 2－12n ＋32＝16k 2＋16k ，得(n －6)2＝4(2k ＋1)2，∴n －6＝±2(2k ＋1)，得n ＝4k ＋8或n ＝－4k ＋4，当n ＝4k ＋8时，代入①式满足Δ>0，∴直线DE 的方程为x ＝ky ＋4k ＋8＝k (y ＋4)＋8，直线过定点(8，－4)．当n ＝－4k ＋4时，代入①式，当k ≠2时，Δ>0，此时直线DE 的方程为x ＝k (y －4)＋4，直线过定点(4,4)，不合题意，舍去．∴直线过定点(8，－4)． 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程．(2)动直线l ：mx ＋ny ＋13n ＝0(m ，n ∈R )交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在．求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴a ＝2b ，∴x 22b 2＋y 2b 2＝1. 又∵椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，将点P 的坐标代入椭圆方程得b 2＝1，∴a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意动直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13. 当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432； 当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，即两圆相切于点(0,1)，因此，如果所求的点T 存在，只能是(0,1)，下证点T (0,1)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)．当直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：y ＝kx －13. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1消去y 并整理，得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9. 又∵TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，∴TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169＝0. ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)， ∴在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件．。
河南省卢氏一中2020届高考数学二轮专题《解析几何》训练
河南省卢氏一中2020届高考数学二轮《解析几何》专题训练一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2020·北京高考)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案：C2．(2020·北京西城模拟)设向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos2θ等于( )A ．－13B ．－23C.23D.13解析：∵a ∥b ，∴1＝3sin 2θ.即sin 2θ＝13.∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－23＝13.答案：D3．(2020·烟台模拟)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：因为S 3＝2x 2|x ＝3－2x 2|x ＝0＝18， 所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.答案：C4．(2020·南昌二模)一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )[ : ]A.253πB.343π C ．3＋163πD ．12＋163π解析：由三视图知该几何体为一个半球和一个正四棱柱的组合体．体积V ＝V 半球＋V 正四棱柱＝12×43πr 3＋Sh ＝12×43π×23＋2×2×3＝163π＋12. 答案：D5．(2020·合肥模拟)已知双曲线的渐近线是2x －3y ＝0和2x ＋3y ＝0，且过点(6,6)，则双曲线的标准方程是( )A.x 23－y 24＝1B.y 24－x 23＝1C.x 29－y 212＝1D.y 216－x 212＝1 解析：依题意，设所求双曲线方程是(2x －3y )(2x ＋3y )＝m (m ≠0)，即4x 2－3y 2＝m ，则有4×62－3×62＝m ，m ＝36，因此所求双曲线方程是4x 2－3y 2＝36，即x 29－y 212＝1.答案：C6．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33D.36解析：由题意可知，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 212－y 24＝1的渐近线为y ＝±33x ，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×(±3)|3＋9＝1.答案：A7．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.答案：C8．(2020·杭州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：如图，OH ：y ＝b ax ，HF 2：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab (x －c )，解得H (a 2c ，ab c)，所以HF 2的中点为M (a 2＋c 22c ，ab2c)，代入双曲线方程整理得：c 2＝2a 2，所以e ＝ 2. 答案：A9．若函数f (x )＝－1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定解析：由f ′(x )＝－a be ax， ∴k ＝f ′(0)＝－a b.切线l 的方程为y ＋1b ＝－abx .即ax ＋by ＋1＝0，又l 与⊙C 相离． ∴1a 2＋b2>1，点P 与圆心的距离d ＝a 2＋b 2<1.∴点P 在圆内． 答案：B10．(2020·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：容易求得双曲线的渐近线为y ＝±2x ，因线段AB 被C 1三等分，而AB ＝2a ，则第一象限内的等分点的坐标为(a 35，2a 35)，代入椭圆方程得，(a 35)2a 2＋(2a 35)2b 2＝1，又a 2－b 2＝5，故b 2＝12.答案：C二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为____________________．解析：y 2＝4x ，焦点F (1,0)， ∴圆心O (0,1)．O 到4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，则圆半径r 满足r 2＝12＋32＝10，∴圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案：x 2＋(y －1)2＝1012．(2020·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A u u u r ＝52F B u u u u r，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A u u u r ＝(m ＋2，n )，2F B u u u u r＝(c －2，d )．∵1F A u u u r ＝52F B u u u u r ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴c 23＋d 2＝1，(m ＋625)23＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)13．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1P A u u u r ·2PF u u u r的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则1PF u u u r＝(－1－x ，－y )，PF 2―→＝(2－x ，－y )，1P A u u u r ·2PF u u u r ＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图像的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，1P A u u u r ·2PF u u u r取最小值－2.答案：－214．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，切点分别为A 、B ，则点P 到直线AB 的距离为________．解析：如图，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，则CA ⊥AP ，且PC ⊥AB 于H ，故|PH |为点P 到直线AB 的距离．又|PC |＝(2－1)2＋(3－1)2＝5，故切线长|PA |＝|PC |2－r 2＝(5)2－12＝2，在Rt △PAC 中，由射影定理可得|PA |2＝|PH |×|PC |，故|PH |＝|PA |2|PC |＝225＝455.答案：455三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)(2020·福建高考)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与拋物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．[ : ] 从而圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，[ :21世纪教育网]故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. ⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与拋物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与拋物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与拋物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与拋物线C 不相切．16．(本小题满分12分)(2020·北京高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又AC ∩PA ＝A ， 所以BD ⊥平面PAC . (2)设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz 则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，所以PB u u u r＝(1，3，－2)，AC u u u r ＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝PB u u u r ·ACu u ur | PB u u u r ||AC u u u r |＝622×23＝64∴PB 与AC 所成角的余弦值为64. (3)由(2)知BC u u u r＝(－1，3，0)设P (0，－3，t )(t ＞0)，则BP u u u r＝(－1，－3，t )，设平面PBC 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC u u u r ·m ＝0，BP u u u r·m ＝0， 所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t.所以m ＝(3，3，6t)．同理，平面PDC 的一个法向量n ＝(－3，3，6t)．因为平面PBC ⊥平面PDC ， 所以m ·n ＝0，即－6＋36t2＝0.解得t ＝6， 所以PA ＝ 6.17．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两点，已知向量m ＝(x 1b ，y 1a )，n ＝(x 2b ，y 2a )，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值；(3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解：(1)由题意知2b ＝2，b ＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，则a ＝2，c ＝ 3.椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 由m·n ＝0得：x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝(1＋k 24)x 1x 2＋3k 4(x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44(－1k 2＋4)＋3k 4·－23k k 2＋4＋34＝0，[ : ] 解得k ＝± 2.(3)①当直线AB 的斜率不存在时， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 由m·n ＝0，得x 21－y 214＝0，即y 21＝4x 21，又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，所以|x 1|＝22，|y 1|＝2，所以△AOB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1.所以△AOB 的面积为定值．②当直线AB 的斜率存在时：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 24＋x 2＝1得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由x 1x 2＋y 1y 24＝0，得x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4＝0，整理得： 2b 2－k 2＝4，所以S △AOB ＝12·|b |1＋k2|AB |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1，所以△AOB 的面积为定值．18．(本小题满分14分)(2020·淄博模拟)椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为5 2.(1)求此时椭圆G 的方程；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P (0，33)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1)根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分， 故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心．[ : ]故该椭圆中a ＝2b ＝2c ，即椭圆方程可为x 2＋2y 2＝2b 2. 设H (x ，y )为椭圆上一点，则|HN |2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b ≤y ≤b ， 若0<b <3，则y ＝－b 时，|HN |2有最大值b 2＋6b ＋9. 由b 2＋6b ＋9＝50得b ＝－3±52(舍去)， 若b ≥3，当y ＝－3时，|HN |2有最大值2b 2＋18. 由2b 2＋18＝50得b 2＝16， ∴所求椭圆方程为x 232＋y 216＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2132＋y 2116＝1，x 2232＋y2216＝1，两式相减得x 0＋2ky 0＝0.③又直线PQ ⊥直线m ，∴直线PQ 方程为y ＝－1k x ＋33将点Q (x 0，y 0) 代入上式得，y 0＝－1k x 0＋33④由③④得Q (233k ，－33)，而Q 点必在椭圆内部．∴x 2032＋y 2016<1.由此得k 2<472，又k ≠0，∴－942<k <0或0<k <942. 故当k ∈(－942，0)∪(0，942)时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称．。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (3)
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝(1－x1,1－y1)， ＝(x2－1，y2－1)．由 ＝ P 得x2＝3－2x1，将直线与圆的方程联立得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，(*)
所以x1＋x2＝ ，可得x1＝ ，代入(*)式，解得m＝±1，所以直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
②若直线l的斜率不存在，因为直线l经过点(－1,1)，所以直线l的方程为x＝－1，此时A(－1， )，B(－1，－ )，而O ·O ＝(－1， )·(－1，－ )＝－2，不满足 · ＝0.综上可知，存在直线l：x－y＋2＝0满足条件．
因为圆心到原点的距离为 ＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋ )2＝7＋4 ，最小值是(2－ )2＝7－4 .
10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若定点P(1,1)分弦AB所得向量满足A ＝ P ，求此时直线l的方程．
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11．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，则直线l的倾斜角的取值范围是________.
解析圆x2＋y2－4x－4y－10＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为C(2,2)，半径r＝3 .因为在圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，所以圆心到直线的距离小于或等于r－2 ＝ ，由点到直线的距离公式得 ≤ ，所以(2a＋2b)2≤2(a2＋b2)，整理得 2－4 ＋1≤0，解得2－ ≤－ ≤2＋ ，因为直线l：ax＋by＝0的斜率k＝－ ，所以2－ ≤k≤2＋ ，设直线l的倾斜角为α，则2－ ≤tanα≤2＋ ，即tan ≤tanα≤tan ，即tan ≤tanα≤tan .由此可得直线l的倾斜角的取值范围是 .
2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧试题(9)解析几何 Word版含答案
（9）解析几何1、若直线()(213)a x a y ＋＋－＝与直线1230))2((a x a y －＋＋＋＝互相垂直，则a 等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．－22、在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A. B.C. D.3、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．2k ≥或34k ≤B ．324k ≤≤C ．34k ≥D ．2k ≤4、直线l 过点()1,2P -且与以点()3,2M --、()4,0N 为端点的线段恒相交,则l 的斜率取值范围是( )A. 2,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. (]2,00,25⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭C. [)2,5,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D. [)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦5、若直线0)12()1(:=--+-m y m x m l 与曲线()224:2+--=x y C 有公共点，则直线l 的斜率的最小值是（ ） A.5623+ B.41 C. 5623-D.516、椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 与圆222()2+=+b x y c （c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是 （ ）A ．5355<<eB ．315<<eC ．515<<e D ．305<<e7、如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,,P Q M N 则9PN QM +的最小值为（ ）A.36 B ．42 C.49D ．508、若M 是椭圆22194x y +=上任意一点，则点M 到直线2100x y +-=的距离的最小值为( )A. 5B. 10C.10D. 59、过点(0,1)A 作直线l ,与双曲线2219y x -=有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( )A.0B.2C.4D.无数 10、如图,过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ,l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点,令1AF BF λ=,2BC BFλ=,则当3πα=时, 12λλ+的值为( )A.4B.5C.6D.711、过点1(,1)2M 的直线与圆22:(1)4C x y -+=交于A B 、两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线的方程为__ _．12、已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P 点到直线:250l x y +-=的距离的最小值为___________13、已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是____________.14、已知直线l 过点(0,3)M ，l 与抛物线2y x =交于,E F 两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点(0,)P t ，使得PEF △的内心在y 轴上，则实数t =__________．15、已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点()2,1，椭圆2C 的两个焦点分别为12,F F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且3AB =，曲线3C 是以坐标原点O 为圆心，以2OF 为半径的圆. (1)求2C 与3C 的标准方程；(2)若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M,N 两点，求OMN △的面积S 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：D解析：如图,∵()()()1,2,3,2,4,0P M N ---,∴()22231PM k --==---,()022415PN k -==---.由图可知,使直线l 与线段MN 相交的l 的斜率取值范围是[)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选D.考点:直线的倾斜角和斜率.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A 解析：7答案及解析：答案：B 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：C解析：由题意可知所求直线l 的斜率一定存在,设直线l 的斜率一定存在,设直线方程为1y kx =+由22119y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(9)2100k x kx ---= (*) ①当290k -=,即3k =±时,(*)式只有一解,即方程组只有一解,此时直线l 与双曲线的渐近线平行,有两条符合题意的直线;②当290k -=时,令0∆=,即22440(9)0k k +-=解得10k =±此时直线l 与双曲线相切,符合题意的直线有两条 综上,符合条件的直线有4条10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：2430x y -+= 解析：12答案及解析： 答案：102解析：13答案及解析：答案：33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：14答案及解析： 答案：-3 解析：15答案及解析： 答案：(1)由已知设抛物线1C 的方程为()220x py p =>， 则42p =，解得2p =，即1C 的标准方程为24x y =.则()20,1F ，不妨设椭圆2C 的方程为()222210,0y x a b a b +=>>，由222211y x a by ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2b x a =±，所以223b AB a ==， 又221a b =+，所以2,3a b ==，故2C 的标准方程为22143y x +=.易知21OF =，所以3C 的标准方程为221x y +=.(2)因为直线l 与3C 相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以1122MN S MN =⨯⨯=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得到的OMN △的面积相等. 由221431y x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得263y =±. 不妨设26261,,1,33M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则463MN =， 此时2623MN S ==. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，则211m k -=+，即221m k =+.由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223463120k x kmx m +++-=， 所以 ()()()()222222236434312484348230k m k m k m k ∆=-+-=+-=+>恒成立. 设()(),,,M M N N M x y N x y ，则2226312,3434M N M N km m x x x x k k --+==++. 所以 ()()2222222222222114224823163121231231412343423434MN M NMN S k x x x x k km m k k k k k k k k ==++-+--++⎛⎫=+-⨯=+=⎪++++⎝⎭.令()2344k t t +=≥，则243t k -=， 所以22223212311233t t S t t t--⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭， 令1'm t =，则1'(0,]4m ∈， 易知2''2y m m =--+区间1(0,]4上单调递减，所以 32623S ≤<.综上，OMN △的面积S 的取值范围为326[,)23.解析：。
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专题强化训练(十九) 解析几何1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43(O 为坐标原点)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |，所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83，又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，故所求椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝kx ＋m 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3k ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3k ＋m ，所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0， 化简得m 2＝9k 2＋8.所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 所以F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N ＝π2.同理可得F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2.故∠MF 1N ＝∠MF 2N .2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN →＝MA →＋MB →，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．解：解法一：依题意设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，所以y ＝x 212，所以y ′＝x6，设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝x 16，所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋y 1.令x ＝0，则y ＝－16x 21＋y 1＝－16×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，所以MA →＝(x 1－m ，y 1＋3)， MB →＝(－m ，－y 1＋3)，所以MN →＝MA →＋MB →＝(x 1－2m,6)， 所以ON →＝OM →＋MN →＝(x 1－m,3)． 设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3， 所以点N 在定直线y ＝3上． 解法二：设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ①，设l 2的斜率为k ，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，112x 21，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋112x 21 ②，联立①②得，x 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫k (x －x 1)＋112x 21，因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x 21＝0，所以k ＝x 16，所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋112x 21.令x ＝0，得B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－112x 21，所以MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－m ，112x 21＋3，MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ，－112x 21＋3，所以MN →＝MA →＋MB →＝(x 1－2m,6)， 所以ON →＝OM →＋MN →＝(x 1－m,3)， 所以点N 在定直线y ＝3上．3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA →·MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．解：(1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2,1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1y ＝k (x －1)得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0， ∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k2 ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1 ②，则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1， ∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.4．[2019·石家庄一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤2)的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．解：(1)由抛物线定义，得|PF |＝x 0＋p2，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝x 0＋p2，2px 0＝4，p ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤2)的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2， 则圆心M 到切线PA 的距离d ＝|2k 1＋2|k 21＋1＝r ， 整理得，(r 2－4)k 21－8k 1＋r 2－4＝0.设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2， 同理可得(r 2－4)k 22－8k 2＋r 2－4＝0，所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝8r 2－4，k 1k 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)＋2，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0，由韦达定理知y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝8－4k 1k 1，所以y 1＝4－2k 1k 1＝4k 1－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2.设点D 的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228＝(4k 2－2)2＋(4k 1－2)28＝2(k 21＋k 22)－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3. 设m ＝k 1＋k 2，则m ＝8r 2－4∈[－4，－2)， 所以x 0＝2m 2－2m －3，对称轴m ＝12＞－2，所以9＜x 0≤37，即t ∈(9,37]．5．[2019·太原模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ，B 分别是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2c ＝6，12×2bc ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)．设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，∴my 1y 2＝32(y 1＋y 2)．∵直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BN 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，∴y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)， ∴x ＋2x －2＝y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)＝my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1＝3， ∴x ＝4，∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．6．[2019·北京卷]已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．7．[2019·洛阳统考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点．(1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，试问：2|MN |2|FN |是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1)，即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t y 2＝4x，得y 2－4ty －4＋4t ＝0，∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)>0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0. (2)2|MN |2|FN |为定值2p ，证明如下．∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2>0.∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －pt 2－p 2.令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫pt 2＋3p 2，0，∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p 2＝pt 2＋p ，∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p . 8．[2019·浙江卷]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标． 解：(1)由题意得p2＝1，即p ＝2.所以，抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－2(t 2－1)ty －4＝0，故2ty B ＝－4，即y B ＝－2t，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又由于x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －2t ＋y C ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0.所以，直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)． 由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而 S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1. 令m ＝t 2－2，则m >0，S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m＋4≥2－12m ·3m＋4＝1＋32.当m ＝3即t 2＝3＋2时，S 1S 2取得最小值1＋32，此时G (2,0)．。