2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案
解析(1)设椭圆的焦距为2c，则 ＝ ，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝ .因为4× ×b× b＝2 ，所以b＝1，a＝ ，故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
所以弦长|PQ|＝2 ＝2 .
不妨设点M在直线OB：y＝－ x上方，点N在直线OB：y＝－ x下方，即 x1＋y1>0， x2＋y2<0.
所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1＝ ＝ ＝ ，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2＝ ＝－ .
所以d1＋d2＝
＝ ＝2 .
所以面积S＝ |PQ|·(d1＋d2)＝ ·2 ·2 ＝2 ＝ ⇒m＝±2.
(2)设A ，B ，S(xS，yS)．
因为 － ＝ － ＝ ，所以 ＝2，所以y3－y4＝8，
因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3＋y4＝16，
联立解得y3＝12，y4＝4，所以A(36,12)，B(4,4)．
设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y－12＝k(x－36)，
由 消去x得 －与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|＝ |AB|，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
依题意知，c＝1，e＝ ＝ ，所以a＝ ，b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
A． B．
C．2D．
D解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所以|OF|＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝± x，不妨设A ，B ，所以|AB|＝ ＝4|OF|＝4，所以b＝2a，所以e＝ ＝ ＝ .故选D项．
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c220+=<mx ny mn1()（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221(3)916x y x -=>D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y 两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c22+=mx ny（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p ．经典常规题3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上， 设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+，化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）高频易错题（45分钟）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-= 【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||AHABHBH∠===，故直线l的斜率为．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，1(2,2)P，2P，3(2,3)P-，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于M，N两点且||||ME NE=？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y+=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点，又由22224449a b a b+<+知C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222221211649121abba b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C的方程为2211612x y+=．（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m=+，设11(,)M x y，22(,)N x y．将直线:p y kx m=+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx mx y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．222222644(34)(448)01612k m k m k m∆=-+->⇒+>①，故122834kmx xk-+=+，212244834mx xk-=+，设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k =+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+， 代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3精准预测题【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠， 故轨迹方程为221(3)916x y x -=>． 4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162p PF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴2004y x =，∴0y =，∴0sin 60︒=，020043214x x x =++， ∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =， ∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理
专题强化训练(十九) 解析几何1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，左、右焦点分x 2a 2y 2b 213别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝(O 为坐标原43点)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |，所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝＝，b 2a 83又e ＝＝，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，c a 13故所求椭圆C 的方程为＋＝1.x 29y 28(2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.由Error!得Error!由Error!得Error!所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，所以＝(－2，－3k ＋m )，＝(4,3k ＋m )，F 1M → F 1N → 所以·＝－8＋m 2－9k 2.F 1M → F 1N → 联立Error!得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简得m 2＝9k 2＋8.所以·＝－8＋m 2－9k 2＝0，F 1M → F 1N → 所以⊥，故∠MF 1N ＝.F 1M → F 1N → π2同理可得⊥，∠MF 2N ＝.F 2M → F 2N → π2故∠MF 1N ＝∠MF 2N .2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设＝＋，求证：点N 在定直线上，并求该定MN → MA → MB → 直线的方程．解：解法一：依题意设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，所以y ＝，x 212所以y ′＝，x 6设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝，x 16所以切线l 2的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋y 1.16令x ＝0，则y ＝－x ＋y 1＝－×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，162116所以＝(x 1－m ，y 1＋3)，MA → ＝(－m ，－y 1＋3)，MB → 所以＝＋＝(x 1－2m,6)，MN → MA → MB → 所以＝＋＝(x 1－m,3)．ON → OM → MN → 设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．解法二：设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ①，设l 2的斜率为k ，A，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋x (x 1，112x 21)11221②，联立①②得，x 2＝12，(k (x －x 1)＋112x 21)因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x ＝0，所以k ＝，21x 16所以切线l 2的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋x .1611221令x ＝0，得B 点坐标为，(0，－112x 21)所以＝，MA → (x 1－m ，112x 21＋3)＝，MB → (－m ，－112x 21＋3)所以＝＋＝(x 1－2m,6)，MN → MA → MB → 所以＝＋＝(x 1－m,3)，ON → OM → MN → 所以点N 在定直线y ＝3上．3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：＋＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦x 2a 2y 2b 2点F (，0)．3(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝·，若t 的最MA → MB → 大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则＋x 2a 2y 2b 23x 2a 2＝1，a 2>3.y 2a 2－3又椭圆过点M (－2,1)，∴＋＝1，4a 21a 2－3又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.x 26y 23(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴Error!，则t ＝·＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)MA → MB → ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③，将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·＋(2－k 2－k )·＋k 2＋2k ＋5，2k 2－62k 2＋14k 22k 2＋1∴t ＝，15k 2＋2k －12k 2＋1∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ，则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0，由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根，∴t 1＋t 2＝.1324．[2019·石家庄一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤)的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛2物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．解：(1)由抛物线定义，得|PF |＝x 0＋，p2由题意得：Error!解得Error!所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤)的切线斜率存在，2设切线PA 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2，则圆心M 到切线PA 的距离d ＝＝r ，|2k 1＋2|k 21＋1整理得，(r 2－4)k －8k 1＋r 2－4＝0.21设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2，同理可得(r 2－4)k －8k 2＋r 2－4＝0，2所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝，k 1k 2＝1.8r 2－4设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0，由韦达定理知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，4k 18－4k 1k 1所以y 1＝＝－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2.4－2k 1k 14k 1设点D 的横坐标为x 0，则x 0＝＝＝＝x 1＋x 22y 21＋y 28(4k 2－2)2＋(4k 1－2)282(k ＋k )－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3.212设m ＝k 1＋k 2，则m ＝∈[－4，－2)，8r 2－4所以x 0＝2m 2－2m －3，对称轴m ＝＞－2，所以9＜x 0≤37，即t ∈(9,37]．125．[2019·太原模拟]已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，A ，B 分别是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为.3(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解：(1)由题意，得Error!解得Error!所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)．设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，6m 4＋3m 294＋3m 2∴my 1y 2＝(y 1＋y 2)．32∵直线AM 的方程为y ＝(x ＋2)，y 1x 1＋2直线BN 的方程为y ＝(x －2)，y 2x 2－2∴(x ＋2)＝(x －2)，y 1x 1＋2y 2x 2－2∴＝＝＝3，x ＋2x －2y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1∴x ＝4，∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．6．[2019·北京卷]已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)．设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由Error!得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝x .y 1x 1令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－.x 1y 1同理得点B 的横坐标x B ＝－.x 2y 2设点D (0，n )，则＝，DA → (－x 1y 1，－1－n )＝，DB → (－x 2y 2，－1－n )·＝＋(n ＋1)2＝＋(n ＋1)2DA → DB → x 1x 2y 1y 2x 1x 2(－x 214)(－x 24)＝＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.16x 1x 2令·＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3.DA → DB → 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．7．[2019·洛阳统考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点．(1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，试问：是否为定值？若2|MN |2|FN |为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1)，即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!，得y 2－4ty －4＋4t ＝0，∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)>0，y 1＋y 2＝4t ，∴4t ＝2，即t ＝.12∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)为定值2p ，证明如下．2|MN |2|FN |∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∴焦点F 的坐标为.(p 2，0)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋(t ≠0)，p 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2>0.∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ，∴M .(pt 2＋p 2，pt )∴MN 的方程为y －pt ＝－t .(x －pt 2－p 2)令y ＝0，解得x ＝pt 2＋，N ，3p 2(pt 2＋3p 2，0)∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋－＝pt 2＋p ，3p 2p 2∴＝＝2p .2|MN |2|FN |2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p 8．[2019·浙江卷]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G 的坐标．S 1S 2解：(1)由题意得＝1，p 2即p ＝2.所以，抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x ＝y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－t 2－12t y －4＝0，2(t 2－1)t 故2ty B ＝－4，即y B ＝－，所以B .2t (1t 2，－2t )又由于x G ＝(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －＋y C ＝0，13132t 得C ，G .((1t －t )2，2(1t －t ))(2t 4－2t 2＋23t 2，0)所以，直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而＝＝＝2－.S 1S 212|FG |·|yA |12|QG |·|yC |2t 4－t 2t 4－1t 2－2t 4－1令m ＝t 2－2，则m >0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.S 1S 2m m 2＋4m ＋31m ＋3m ＋412m ·3m ＋432当m ＝即t 2＝＋2时，取得最小值1＋，此时G (2,0)．33S 1S 232。
2020新高考数学(理)二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习：解析几何+考点过关检测二十二+Word版含解析
考点过关检测（二十二）1．(2019·豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1解析：选A 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1.又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选A.2．(2019·菏泽期末)已知等边△AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)上，且△AOB 的面积为93，则p ＝( )A. 3 B ．3 C.32D ．2 3解析：选C 根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设直线OB ：y ＝33x ，与y 2＝2px 联立，解得B (6p,23p )，故|OB |＝43p .因为△AOB 的面积为93，所以34×(43p )2＝93，解得p ＝32.故选C.3．若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0(a >0，b >0)对称，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.43 B.53 C.54D.74解析：选C 圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，满足题意时，直线过圆心，即32a －2b ＝0，∴b a ＝34，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝54.4．(2019·青岛二模)若直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选A 根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.5．(2019·海珠模拟)双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于( )A ．4 B. 3 C ．2 3D ．4 3解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，所以双曲线E 的一个顶点为(2,0)，即a ＝2.又因为离心率e ＝ca ＝c2＝2，所以c ＝4.因此b ＝16－4＝23，虚轴长等于2b ＝43，故选D.6．(2019·唐山一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .又抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋(3)2＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .7．(2019·桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C 设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 24.又因为点F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，所以(OP →·FP →)max＝6.8．(2019·通化三模)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，55B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，455 解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45.因为e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0<e 2≤45，解得0<e ≤255.故选B. 9．(2019·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是________．解析：设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，∴y 1y 2＝－4n ，又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 的方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0)． 答案：(9,0)10．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是________(填序号)．①△ABF 是等边三角形； ②|BF |＝3；③点F 到准线的距离为3； ④抛物线C 的方程为y 2＝6x .解析：∵以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .答案：①③④11．(2019·泉州期末)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立．则双曲线的离心率为________，λ的值为________．解析：由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a，化简得e 2－e －1＝0.∵e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS△IF1F2得，12|PF1|·r＝12|PF2|·r＋λcr，故λ＝|PF1|－|PF2|2c＝ac＝11＋52＝5－12.答案：5＋125－12。
新高考2020版高考数学二轮复习主攻36个必考点解析几何考点过关检测十九文
考点过关检测（十九）1．(2020届高三·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的两点A ，B ，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)．解：(1)由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.①由Δ1＝16－32k >0，解得k <12. 直线n 的方程为y ＝－1kx ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k >0，解得k >0或k <－2.所以k <－2或0<k <12， 故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k . 同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线MQ 的斜率k MQ ＝2k 2k 2－2k－2＝－k k 2＋k －1， 直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k k 2＋k －1＝k MQ ， 所以直线MN 过定点Q (2,0)．2．(2019·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过圆E ：x 2＋y 2＝2上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1)因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b ＝c ，12·2c ·b ＝b 2＝3，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝6，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)圆E 的方程为x 2＋y 2＝2，设O 为坐标原点，①当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝2，A (2，2)，B (2，－2)，所以∠AOB ＝90°，所以以AB 为直径的圆过坐标原点O (0,0)．②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线与相关圆相切，所以d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2＝2，所以m 2＝2＋2k 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， 则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝8(6k 2－m 2＋3)＝8(4k 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(2m 2－6)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－6k 2－61＋2k2＝0， 所以OA →⊥OB →，所以以AB 为直径的圆恒过坐标原点O (0,0)．综合①②可知，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O (0,0)．3．(2019·柳州联考)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (t,4)，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点？并说明理由．解：(1)由题意知抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p 2， ∵P (4，m )到焦点的距离等于点P 到准线的距离，∴4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)把M (t,4)代入抛物线C 的方程，得16＝4t ，∴t ＝4，∴M (4,4)．由题易知直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为x ＝ky ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋n ，y 2＝4x 消去x ，得y 2－4ky －4n ＝0， Δ＝16k 2＋16n >0，①设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4n .∵MD ⊥ME ，∴MD →·ME →＝(x 1－4，y 1－4)·(x 2－4，y 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16＝y 214·y 224－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16 ＝(y 1y 2)216－(y 1＋y 2)2＋3y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋32 ＝n 2－16k 2－12n ＋32－16k ＝0，即n 2－12n ＋32＝16k 2＋16k ，得(n －6)2＝4(2k ＋1)2，∴n －6＝±2(2k ＋1)，得n ＝4k ＋8或n ＝－4k ＋4，当n ＝4k ＋8时，代入①式满足Δ>0，∴直线DE 的方程为x ＝ky ＋4k ＋8＝k (y ＋4)＋8，直线过定点(8，－4)．当n ＝－4k ＋4时，代入①式，当k ≠2时，Δ>0，此时直线DE 的方程为x ＝k (y －4)＋4，直线过定点(4,4)，不合题意，舍去．∴直线过定点(8，－4)． 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程．(2)动直线l ：mx ＋ny ＋13n ＝0(m ，n ∈R )交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在．求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴a ＝2b ，∴x 22b 2＋y 2b 2＝1. 又∵椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，将点P 的坐标代入椭圆方程得b 2＝1，∴a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意动直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13. 当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432； 当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，即两圆相切于点(0,1)，因此，如果所求的点T 存在，只能是(0,1)，下证点T (0,1)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)．当直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：y ＝kx －13. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1消去y 并整理，得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9. 又∵TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，∴TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169＝0. ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)， ∴在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件．。
河南省卢氏一中2020届高考数学二轮专题《解析几何》训练
河南省卢氏一中2020届高考数学二轮《解析几何》专题训练一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2020·北京高考)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案：C2．(2020·北京西城模拟)设向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos2θ等于( )A ．－13B ．－23C.23D.13解析：∵a ∥b ，∴1＝3sin 2θ.即sin 2θ＝13.∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－23＝13.答案：D3．(2020·烟台模拟)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：因为S 3＝2x 2|x ＝3－2x 2|x ＝0＝18， 所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.答案：C4．(2020·南昌二模)一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )[ : ]A.253πB.343π C ．3＋163πD ．12＋163π解析：由三视图知该几何体为一个半球和一个正四棱柱的组合体．体积V ＝V 半球＋V 正四棱柱＝12×43πr 3＋Sh ＝12×43π×23＋2×2×3＝163π＋12. 答案：D5．(2020·合肥模拟)已知双曲线的渐近线是2x －3y ＝0和2x ＋3y ＝0，且过点(6,6)，则双曲线的标准方程是( )A.x 23－y 24＝1B.y 24－x 23＝1C.x 29－y 212＝1D.y 216－x 212＝1 解析：依题意，设所求双曲线方程是(2x －3y )(2x ＋3y )＝m (m ≠0)，即4x 2－3y 2＝m ，则有4×62－3×62＝m ，m ＝36，因此所求双曲线方程是4x 2－3y 2＝36，即x 29－y 212＝1.答案：C6．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33D.36解析：由题意可知，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 212－y 24＝1的渐近线为y ＝±33x ，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×(±3)|3＋9＝1.答案：A7．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.答案：C8．(2020·杭州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：如图，OH ：y ＝b ax ，HF 2：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab (x －c )，解得H (a 2c ，ab c)，所以HF 2的中点为M (a 2＋c 22c ，ab2c)，代入双曲线方程整理得：c 2＝2a 2，所以e ＝ 2. 答案：A9．若函数f (x )＝－1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定解析：由f ′(x )＝－a be ax， ∴k ＝f ′(0)＝－a b.切线l 的方程为y ＋1b ＝－abx .即ax ＋by ＋1＝0，又l 与⊙C 相离． ∴1a 2＋b2>1，点P 与圆心的距离d ＝a 2＋b 2<1.∴点P 在圆内． 答案：B10．(2020·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：容易求得双曲线的渐近线为y ＝±2x ，因线段AB 被C 1三等分，而AB ＝2a ，则第一象限内的等分点的坐标为(a 35，2a 35)，代入椭圆方程得，(a 35)2a 2＋(2a 35)2b 2＝1，又a 2－b 2＝5，故b 2＝12.答案：C二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为____________________．解析：y 2＝4x ，焦点F (1,0)， ∴圆心O (0,1)．O 到4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，则圆半径r 满足r 2＝12＋32＝10，∴圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案：x 2＋(y －1)2＝1012．(2020·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A u u u r ＝52F B u u u u r，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A u u u r ＝(m ＋2，n )，2F B u u u u r＝(c －2，d )．∵1F A u u u r ＝52F B u u u u r ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴c 23＋d 2＝1，(m ＋625)23＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)13．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1P A u u u r ·2PF u u u r的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则1PF u u u r＝(－1－x ，－y )，PF 2―→＝(2－x ，－y )，1P A u u u r ·2PF u u u r ＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图像的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，1P A u u u r ·2PF u u u r取最小值－2.答案：－214．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，切点分别为A 、B ，则点P 到直线AB 的距离为________．解析：如图，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，则CA ⊥AP ，且PC ⊥AB 于H ，故|PH |为点P 到直线AB 的距离．又|PC |＝(2－1)2＋(3－1)2＝5，故切线长|PA |＝|PC |2－r 2＝(5)2－12＝2，在Rt △PAC 中，由射影定理可得|PA |2＝|PH |×|PC |，故|PH |＝|PA |2|PC |＝225＝455.答案：455三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)(2020·福建高考)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与拋物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．[ : ] 从而圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，[ :21世纪教育网]故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. ⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与拋物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与拋物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与拋物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与拋物线C 不相切．16．(本小题满分12分)(2020·北京高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又AC ∩PA ＝A ， 所以BD ⊥平面PAC . (2)设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz 则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，所以PB u u u r＝(1，3，－2)，AC u u u r ＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝PB u u u r ·ACu u ur | PB u u u r ||AC u u u r |＝622×23＝64∴PB 与AC 所成角的余弦值为64. (3)由(2)知BC u u u r＝(－1，3，0)设P (0，－3，t )(t ＞0)，则BP u u u r＝(－1，－3，t )，设平面PBC 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC u u u r ·m ＝0，BP u u u r·m ＝0， 所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t.所以m ＝(3，3，6t)．同理，平面PDC 的一个法向量n ＝(－3，3，6t)．因为平面PBC ⊥平面PDC ， 所以m ·n ＝0，即－6＋36t2＝0.解得t ＝6， 所以PA ＝ 6.17．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两点，已知向量m ＝(x 1b ，y 1a )，n ＝(x 2b ，y 2a )，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值；(3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解：(1)由题意知2b ＝2，b ＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，则a ＝2，c ＝ 3.椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 由m·n ＝0得：x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝(1＋k 24)x 1x 2＋3k 4(x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44(－1k 2＋4)＋3k 4·－23k k 2＋4＋34＝0，[ : ] 解得k ＝± 2.(3)①当直线AB 的斜率不存在时， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 由m·n ＝0，得x 21－y 214＝0，即y 21＝4x 21，又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，所以|x 1|＝22，|y 1|＝2，所以△AOB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1.所以△AOB 的面积为定值．②当直线AB 的斜率存在时：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 24＋x 2＝1得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由x 1x 2＋y 1y 24＝0，得x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4＝0，整理得： 2b 2－k 2＝4，所以S △AOB ＝12·|b |1＋k2|AB |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1，所以△AOB 的面积为定值．18．(本小题满分14分)(2020·淄博模拟)椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为5 2.(1)求此时椭圆G 的方程；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P (0，33)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1)根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分， 故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心．[ : ]故该椭圆中a ＝2b ＝2c ，即椭圆方程可为x 2＋2y 2＝2b 2. 设H (x ，y )为椭圆上一点，则|HN |2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b ≤y ≤b ， 若0<b <3，则y ＝－b 时，|HN |2有最大值b 2＋6b ＋9. 由b 2＋6b ＋9＝50得b ＝－3±52(舍去)， 若b ≥3，当y ＝－3时，|HN |2有最大值2b 2＋18. 由2b 2＋18＝50得b 2＝16， ∴所求椭圆方程为x 232＋y 216＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2132＋y 2116＝1，x 2232＋y2216＝1，两式相减得x 0＋2ky 0＝0.③又直线PQ ⊥直线m ，∴直线PQ 方程为y ＝－1k x ＋33将点Q (x 0，y 0) 代入上式得，y 0＝－1k x 0＋33④由③④得Q (233k ，－33)，而Q 点必在椭圆内部．∴x 2032＋y 2016<1.由此得k 2<472，又k ≠0，∴－942<k <0或0<k <942. 故当k ∈(－942，0)∪(0，942)时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称．。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (3)
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝(1－x1,1－y1)， ＝(x2－1，y2－1)．由 ＝ P 得x2＝3－2x1，将直线与圆的方程联立得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，(*)
所以x1＋x2＝ ，可得x1＝ ，代入(*)式，解得m＝±1，所以直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
②若直线l的斜率不存在，因为直线l经过点(－1,1)，所以直线l的方程为x＝－1，此时A(－1， )，B(－1，－ )，而O ·O ＝(－1， )·(－1，－ )＝－2，不满足 · ＝0.综上可知，存在直线l：x－y＋2＝0满足条件．
因为圆心到原点的距离为 ＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋ )2＝7＋4 ，最小值是(2－ )2＝7－4 .
10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若定点P(1,1)分弦AB所得向量满足A ＝ P ，求此时直线l的方程．
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11．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，则直线l的倾斜角的取值范围是________.
解析圆x2＋y2－4x－4y－10＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为C(2,2)，半径r＝3 .因为在圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，所以圆心到直线的距离小于或等于r－2 ＝ ，由点到直线的距离公式得 ≤ ，所以(2a＋2b)2≤2(a2＋b2)，整理得 2－4 ＋1≤0，解得2－ ≤－ ≤2＋ ，因为直线l：ax＋by＝0的斜率k＝－ ，所以2－ ≤k≤2＋ ，设直线l的倾斜角为α，则2－ ≤tanα≤2＋ ，即tan ≤tanα≤tan ，即tan ≤tanα≤tan .由此可得直线l的倾斜角的取值范围是 .
2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧试题(9)解析几何 Word版含答案
（9）解析几何1、若直线()(213)a x a y ＋＋－＝与直线1230))2((a x a y －＋＋＋＝互相垂直，则a 等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．－22、在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A. B.C. D.3、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．2k ≥或34k ≤B ．324k ≤≤C ．34k ≥D ．2k ≤4、直线l 过点()1,2P -且与以点()3,2M --、()4,0N 为端点的线段恒相交,则l 的斜率取值范围是( )A. 2,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. (]2,00,25⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭C. [)2,5,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D. [)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦5、若直线0)12()1(:=--+-m y m x m l 与曲线()224:2+--=x y C 有公共点，则直线l 的斜率的最小值是（ ） A.5623+ B.41 C. 5623-D.516、椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 与圆222()2+=+b x y c （c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是 （ ）A ．5355<<eB ．315<<eC ．515<<e D ．305<<e7、如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,,P Q M N 则9PN QM +的最小值为（ ）A.36 B ．42 C.49D ．508、若M 是椭圆22194x y +=上任意一点，则点M 到直线2100x y +-=的距离的最小值为( )A. 5B. 10C.10D. 59、过点(0,1)A 作直线l ,与双曲线2219y x -=有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( )A.0B.2C.4D.无数 10、如图,过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ,l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点,令1AF BF λ=,2BC BFλ=,则当3πα=时, 12λλ+的值为( )A.4B.5C.6D.711、过点1(,1)2M 的直线与圆22:(1)4C x y -+=交于A B 、两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线的方程为__ _．12、已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P 点到直线:250l x y +-=的距离的最小值为___________13、已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是____________.14、已知直线l 过点(0,3)M ，l 与抛物线2y x =交于,E F 两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点(0,)P t ，使得PEF △的内心在y 轴上，则实数t =__________．15、已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点()2,1，椭圆2C 的两个焦点分别为12,F F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且3AB =，曲线3C 是以坐标原点O 为圆心，以2OF 为半径的圆. (1)求2C 与3C 的标准方程；(2)若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M,N 两点，求OMN △的面积S 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：D解析：如图,∵()()()1,2,3,2,4,0P M N ---,∴()22231PM k --==---,()022415PN k -==---.由图可知,使直线l 与线段MN 相交的l 的斜率取值范围是[)2,2,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选D.考点:直线的倾斜角和斜率.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A 解析：7答案及解析：答案：B 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：C解析：由题意可知所求直线l 的斜率一定存在,设直线l 的斜率一定存在,设直线方程为1y kx =+由22119y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(9)2100k x kx ---= (*) ①当290k -=,即3k =±时,(*)式只有一解,即方程组只有一解,此时直线l 与双曲线的渐近线平行,有两条符合题意的直线;②当290k -=时,令0∆=,即22440(9)0k k +-=解得10k =±此时直线l 与双曲线相切,符合题意的直线有两条 综上,符合条件的直线有4条10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：2430x y -+= 解析：12答案及解析： 答案：102解析：13答案及解析：答案：33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：14答案及解析： 答案：-3 解析：15答案及解析： 答案：(1)由已知设抛物线1C 的方程为()220x py p =>， 则42p =，解得2p =，即1C 的标准方程为24x y =.则()20,1F ，不妨设椭圆2C 的方程为()222210,0y x a b a b +=>>，由222211y x a by ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2b x a =±，所以223b AB a ==， 又221a b =+，所以2,3a b ==，故2C 的标准方程为22143y x +=.易知21OF =，所以3C 的标准方程为221x y +=.(2)因为直线l 与3C 相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以1122MN S MN =⨯⨯=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得到的OMN △的面积相等. 由221431y x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得263y =±. 不妨设26261,,1,33M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则463MN =， 此时2623MN S ==. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，则211m k -=+，即221m k =+.由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223463120k x kmx m +++-=， 所以 ()()()()222222236434312484348230k m k m k m k ∆=-+-=+-=+>恒成立. 设()(),,,M M N N M x y N x y ，则2226312,3434M N M N km m x x x x k k --+==++. 所以 ()()2222222222222114224823163121231231412343423434MN M NMN S k x x x x k km m k k k k k k k k ==++-+--++⎛⎫=+-⨯=+=⎪++++⎝⎭.令()2344k t t +=≥，则243t k -=， 所以22223212311233t t S t t t--⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭， 令1'm t =，则1'(0,]4m ∈， 易知2''2y m m =--+区间1(0,]4上单调递减，所以 32623S ≤<.综上，OMN △的面积S 的取值范围为326[,)23.解析：。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (2)
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时 间：__________________
一部分专题5第3讲
题型
对应题号
1.圆锥曲线中的定点与定值问题
5,9,10
2.圆锥曲线中的最值与范围问题
1,2,3,4,6,7,8,11
因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以 ＋ ＝1，
所以k1k2＝ ＝ ＝－ .
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以|OP|＝ ·|x1|，
点Q到直线OP的距离d＝ ＝ ＝ ，又因为P，Q在椭圆C上，
所以
所以|x1|＝ ，|x2|＝ ，
所以△OPQ的面积S＝ |OP|·d＝ |x1|· ＝ |x1x2|·|k1－k2|＝ · · ＝3 ＝ .
答案3
8．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
解析不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)．则|AC|＋|BD|＝y1＋x2＝y1＋ .又y1y2＝－p2＝－4.
4．(20xx·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C： ＋ ＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0， ]∪[4，＋∞)
A解析若焦点在x轴上，依题意得0<m<3，且 ≥tan ＝ ，所以0<m<3且m≤1，则0<m≤1；若焦点在y轴上，依题意得m>3，且 ≥tan ＝ ，所以m≥9.综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A项．
2020版高考数学大二轮复习专题 解析几何增分强化练 理
增分强化练一、选择题1．直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－52B.72C.56D.16解析：∵直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，∴3(1－2a )－2＝0，∴a ＝16，故选D. 答案：D2．过点(1，－1)且与直线x －2y ＋1＝0平行的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y ＋1＝12(x－1)，即x －2y －3＝0.故选C. 答案：C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7D.133解析：当m ＝－3时，两条直线分别化为：2y ＝7，x ＋y ＝4，此时两条直线不平行；当m ＝－5时，两条直线分别化为：x －2y ＝10，x ＝4，此时两条直线不平行；当m ≠－3，－5时，两条直线分别化为：y ＝－3＋m 4x ＋5－3m 4，y ＝－25＋m x ＋85＋m ，∵两条直线平行，∴－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.综上可得：m ＝－7.故选A. 答案：A4．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5)D ．(－5,3)解析：根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x －4y －27＝0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为－43，又P (2,1)，则该直线的方程为：y －1＝－43(x －2)即4x ＋3y －11＝0，与已知直线联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －11＝0 ①3x －4y －27＝0 ②①×4＋②×3得25x ＝125，解得x ＝5， 把x ＝5代入①解得y ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－3，所以直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)． 故选A. 答案：A5．圆x 2＋y 2＝8与圆x 2＋y 2＋4x －16＝0的公共弦长为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：两圆方程作差得x ＝2，当x ＝2时，由x 2＋y 2＝8得y 2＝8－4＝4，即y ＝±2， 即两圆的交点坐标为A (2,2)，B (2，－2)， 则|AB |＝2－(－2)＝4， 故选B. 答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心， ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线， ∴其方程为：y ＋2x －1＝1＋22－1， 整理，得3x －y －5＝0. 故选A. 答案：A7．圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝3x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1D. 2解析：圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|(3)2＋1＝32，弦长为2·1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 答案：C8．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则 “k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A. 答案：A9．(2019·青岛模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：直线l 方程为kx －y ＋2k ＝0， 当直线l 与圆C 相切时可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴直线l 与圆C 相交时，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－33，33， ∴所求的概率P ＝23323＝13.故选C. 答案：C10．(2019·威海模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，则b 的值为( )A ．－2或2B ．2或43＋2C ．－2或43＋2D ．－43－2或2解析：由圆(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1，设圆心(2,0)到直线y ＝3x ＋b 的距离为d ，则d ＝|23＋b |3＋1，因为圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，所以d －r ＝3，即|23＋b |3＋1－1＝3，解得b ＝2或b ＝－43－2，故选D.答案：D11．圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝9和C 2：x 2＋(y －2)2＝1，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的点，P 是直线y ＝－1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆C 1关于y ＝－1的对称圆的圆心坐标A (1，－5)，半径为3，圆C 2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P ，C 2，A ，三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC 2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A. 答案：A12．设过点P (－2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的两个交点为A ，B ，若8PA →＝5AB →，则|AB |＝( ) A.855 B.463 C.665D.453解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0x ＝my －2，得(m 2＋1)y 2－(8m ＋2)y ＋13＝0，则y 1＋y 2＝8m ＋2m 2＋1，y 1y 2＝13m 2＋1，又8PA →＝5AB →，所以8(x 1＋2，y 1)＝5(x 2－x 1，y 2－y 1)，故8y 1＝5(y 2－y 1)，即y 2＝135y 1，代入y 1y 2＝13m 2＋1得：y 21＝5m 2＋1，故y 22＝16925×5m 2＋1，又(y 1＋y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，即y 21＋y 22＋2y 1y 2＝19425×5m 2＋1＋26m 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，整理得：m 2－40m ＋76＝0，解得m ＝2或m ＝38，又|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝23m 2＋8m －12m 2＋1，当m ＝2时，|AB |＝855；当m ＝38时，|AB |＝855.综上，|AB |＝855.故选A. 答案：A 二、填空题13．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为________． 解析：∵直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直， ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(a ＋2－2a －3)＝0， ∴(a －1)(a ＋1)＝0， ∴a ＝1或a ＝－1. 答案：±114．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t >0, ∴半径为r ＝|t |＝t ，∵圆C 截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|t －0＋1|2＝t 2－1，∴t 2－2t －3＝0， ∴t ＝3或t ＝－1(舍)， 故t ＝3， ∴(x －3)2＋y 2＝9. 答案：(x －3)2＋y 2＝915．已知圆x 2＋y 2＝9被直线mx ＋y －2m －1＝0所截得弦长为32，则实数m 的值为________． 解析：因为圆x 2＋y 2＝9的圆心是(0,0)，半径为3， 根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322， 所以d ＝|－2m －1|m 2＋1＝322，解得m ＝1或m ＝7.答案：1或716．已知点P (－1,2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________． 解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，由反射的对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，|PQ |＋|QT |＝|P ′T |， ∵圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心坐标为A (3,4)，半径r ＝2， ∴|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52， |AT |＝r ＝2，∴|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3. 答案：4 3增分强化练考点一 圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线l 的倾斜角为π3，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的方程为( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由x 2a 2－y 2b 2＝0可得y ＝±b a x ，即渐近线的方程为y ＝±bax ，又一条渐近线l 的倾斜角为π3， 所以b a ＝tan π3＝ 3.因为双曲线C 的一个焦点(c,0)到l 的距离为3， 所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D.答案：D4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 225＋y 216＝1的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，则|PF 1|·|PF 2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a ＝5，c ＝3，根据椭圆的定义，有|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－|PF 1|，故|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(10－|PF 1|)，由于|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,8]注意到二次函数y ＝x (10－x )的对称轴为x ＝5，故当x ＝2，x ＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16. 答案：16考点二 圆锥曲线的性质1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1 ，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴为2a ＝1 ，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±bax ，A (a,0)，F (c,0)， 则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c， 点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b2＝bcc＝b ， ∴d 1∶d 2＝ab c∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b a ＝c 2－a 2a ＝a a＝1， ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1(a ＞b ＞0)的渐近线方程y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 答案：2 24．(2019·株洲模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若△F 1BD 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________． 解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )． 由题意得△F 1BD 为等腰三角形，且|DF 1|＝|DB |.由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ， 又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ， ∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝|DF 2|sin ∠BF 2O ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝|DF 2|cos ∠BF 2O ＝a 2×c a ＝c 2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.又点D 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，整理得3c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝33. 答案：33考点三 直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A.14B.34C.32D. 3解析：由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ， 不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋1x 24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17 ， 又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B.答案：B2．已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则MN 的最小值为________．解析：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by 2＝2px ⇒4x 2＋(4b －2p )x ＋b 2＝0,则52＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2b －p 22－4×b 42， 又直线l 经过C 的焦点，则－b 2＝p 2，∴b ＝－p ，由此解得p ＝2, 抛物线方程为y 2＝4x ，M (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0，则|MN |2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋4x 0＝(x 0－1)2＋8, 故当x 0＝1时，|MN |min ＝2 2. 答案：2 23．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点G (0,1)作直线l 与曲线交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最大值．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3(a －c )a 2＝b 2＋c21a 2＋94b2＝1，解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k23＋4k2d ＝1k 2＋1，∴S △ABO ＝12×d ×1＋k 2|x 1－x 2|＝26·1＋2k 23＋4k 2， 令 1＋2k 2＝t ，∵k 2≥0，∴t ≥1， ∴S △ABO ＝26t 2t 2＋1＝262t ＋1t，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t≥3，∴S △ABO ≤263，∴△ABO 面积的最大值为263.增分强化练考点一 直线的方程1．直线mx ＋y －m ＋2＝0恒经过定点( ) A ．(1，－1) B ．(1,2) C ．(1，－2)D ．(1,1)解析：直线mx ＋y －m ＋2＝0，化为：m (x －1)＋y ＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．故选C. 答案：C2．(2019·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D.10解析：设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，所以A ′(3,1)．要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A. 答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x －y ＝a ，将A (－2,4)代入得，a ＝－6， ∴此时所求的直线方程为x －y ＋6＝0. 答案：2x ＋y ＝0或 x －y ＋6＝04．平行线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0平行，可得5m ＝126，解得m ＝52，即5x ＋12y ＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d ＝|－10－4|52＋122＝1413. 答案：1413考点二 圆的方程1．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：因为方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0要表示一个圆，所以2＋4m >0 解得：m >－12，故选A.答案：A2．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．1D ．3解析：圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k ＝4. 所以圆的方程为：x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，圆的半径为：12 42＋22－4×(－4)＝3. 故选D.答案：D3．已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3) 2＋(y －4)2＝25解析：由题意可知：O (0,0)，C (6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62＋(－8)2＝10，据此可得圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C.答案：C4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A. 答案：A考点三 直线与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数是( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的圆心(0,2)半径为2，O 1O 2＝12＋22＝5，∵1＜5＜3，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数2.故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)已知直线l ：3x －4y －15＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0(r >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝36 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝16 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝49解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝r 2，设圆心(1,2)到直线l 的距离为d ，则d ＝|3－8－15|5＝4，又|AB |＝6，根据r 2＝32＋42＝25，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.故选A. 答案：A3．(2019·汕头模拟)已知直线l 与圆x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 的坐标为(－1,1)，则直线l 的方程为________．解析：因为圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为C (0,2)，又点P 坐标为(－1,1)， 所以直线CP 的斜率为k CP ＝2－10＋1＝1； 又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点， 所以AB ⊥CP ，故k AB ＝－1，即直线l 的斜率为－1， 因此，直线l 的方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝04．直线2x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＝0y ＝－2x ＋3，整理可得5x 2－10x ＋3＝0，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝(－2x 1＋3)＋(－2x 2＋3)＝－2(x 1＋x 2)＋6＝2， 据此可得M (1,1)，|OM →|＝1＋1＝2，结合平面向量的运算法则有|OA →＋OB →| ＝|2OM →| ＝2 2. 答案：2 2增分强化练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值． 解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1， 又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4， ∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3，②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k2， 由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1kx ，所以|OQ |＝1k2＋1123＋41k 2＝ 1＋k 2123k 2＋4， 所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝6(k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2，(k 2＋1)2k2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值． 解析：(1)依题意F 1(－c,0)， ∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3， ∵e ＝c a ＝32， ∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列，∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3， 即83k21＋4k 2＝3， 解得k 2＝14，故k 1k 2＝14.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p2.由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x . (2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)， 所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋t消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4， 所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时， 不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值． 当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.增分强化练一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(±2,0)B ．(±2，0)C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34x D ．y ＝±64x 解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k，由题意得4＋k 2＝k ＋9k ，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ， 故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( ) A ．x 2－y 22＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B.答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8，故选C. 答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1 (b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.32 B ．2 C.52D ．4解析：以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ， 则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2， 所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2， 又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝ 1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C. 答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点， 连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2. ∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53. ∴椭圆E 的离心率范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，53. 故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B.答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝b ay ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A. 答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)． 答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________． 解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ， 其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点， 综上共有2条直线符合要求． 答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||PA |取得最小值时，直线AP 的方程为________． 解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |PA |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t2＋24≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254， 又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0， 解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95.由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列， 得 (x 1－4)2＋y 21＋ (x 2－4)2＋y 22＝2×95，①点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21 ＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，② 同理可得 (x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围． 解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22， 得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22， 则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立． 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.增分强化练(三十一)考点一 范围、最值问题(2019·大连模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为：y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1.即l ：y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝－1，即M (2k ，－1)，M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝(1＋k 2)[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4， 当k ＝0时，△MAB 面积取得最小值4. 考点二 定点、定值问题(2019·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点M 在C 的长轴上运动，过点M 且斜率大于0的直线l 与C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于N 点．当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当N ，P ，Q ，M 均不重合时，记NP →＝λNQ →，MP →＝μMQ →，若λμ＝1，求证：直线l 的斜率为定值．解析：(1)因为当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2，所以a ＝|PM |＝2，故b c ＝tan π6＝33， 因为a 2＝b 2＋c 2， 因此c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋m (m ≠0)，所以M (m,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m t ，所以k l ＝1t .因为斜率大于0，所以t >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋m t ，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋m t ，由NP →＝λNQ →得，x 1＝λx 2，①同理可得y 1＝μy 2，②①②两式相乘得，x 1y 1＝λμx 2y 2，又λμ＝1，所以x 1y 1＝x 2y 2，所以(ty 1＋m )y 1＝(ty 2＋m )y 2，即t (y 21－y 22)＝m (y 2－y 1)，即(y 2－y 1)[]m ＋t (y 1＋y 2)＝0，由题意k l >0，知y 1－y 2≠0，所以m ＋t (y 1＋y 2)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，依题意，y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，所以m －2t 2mt 2＋4＝0，又m ≠0，所以t 2＝4，因为t >0，故得t ＝2，所以k l ＝1t ＝12，即直线l 的斜率为12.考点三 存在性问题已知抛物线y 2＝4x ，过点P (8，－4)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当P 恰为AB 的中点时，显然x 1≠x 2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝－8，故k AB ＝－12， 则直线l 的方程为y ＝－12x . (2)假设存在定点Q ，设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －8)－4(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝k (x －8)－4，整理得ky 2－4y －32k －16＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－32－16k， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)16＋1(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0， 故(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋16＝0，整理得(y 20－16)k ＋4(y 0－4)＝0，即当y 0＝4时，恒有QA →·QB →＝0，故存在定点Q (4,4)满足题意；当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝8，不妨令A (8,42)，B (8，－42)，Q (4,4)，也满足QA →·QB→＝0，综上所述，存在定点Q (4,4)，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q .。
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专题强化训练(十九) 解析几何1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43(O 为坐标原点)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |，所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83，又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，故所求椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝kx ＋m 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3k ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3k ＋m ，所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0， 化简得m 2＝9k 2＋8.所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 所以F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N ＝π2.同理可得F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2.故∠MF 1N ＝∠MF 2N .2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN →＝MA →＋MB →，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．解：解法一：依题意设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，所以y ＝x 212，所以y ′＝x6，设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝x 16，所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋y 1.令x ＝0，则y ＝－16x 21＋y 1＝－16×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，所以MA →＝(x 1－m ，y 1＋3)， MB →＝(－m ，－y 1＋3)，所以MN →＝MA →＋MB →＝(x 1－2m,6)， 所以ON →＝OM →＋MN →＝(x 1－m,3)． 设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3， 所以点N 在定直线y ＝3上． 解法二：设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ①，设l 2的斜率为k ，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，112x 21，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋112x 21 ②，联立①②得，x 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫k (x －x 1)＋112x 21，因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x 21＝0，所以k ＝x 16，所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋112x 21.令x ＝0，得B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－112x 21，所以MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－m ，112x 21＋3，MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ，－112x 21＋3，所以MN →＝MA →＋MB →＝(x 1－2m,6)， 所以ON →＝OM →＋MN →＝(x 1－m,3)， 所以点N 在定直线y ＝3上．3．[2019·武汉4月调研]已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦点F (3，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1,0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA →·MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值．解：(1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2,1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1y ＝k (x －1)得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0， ∵点N (1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k2 ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1 ②，则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1， ∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.4．[2019·石家庄一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤2)的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．解：(1)由抛物线定义，得|PF |＝x 0＋p2，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝x 0＋p2，2px 0＝4，p ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0＜r ≤2)的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2， 则圆心M 到切线PA 的距离d ＝|2k 1＋2|k 21＋1＝r ， 整理得，(r 2－4)k 21－8k 1＋r 2－4＝0.设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2， 同理可得(r 2－4)k 22－8k 2＋r 2－4＝0，所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝8r 2－4，k 1k 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)＋2，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0，由韦达定理知y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝8－4k 1k 1，所以y 1＝4－2k 1k 1＝4k 1－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2.设点D 的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228＝(4k 2－2)2＋(4k 1－2)28＝2(k 21＋k 22)－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3. 设m ＝k 1＋k 2，则m ＝8r 2－4∈[－4，－2)， 所以x 0＝2m 2－2m －3，对称轴m ＝12＞－2，所以9＜x 0≤37，即t ∈(9,37]．5．[2019·太原模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ，B 分别是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2c ＝6，12×2bc ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)．设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，∴my 1y 2＝32(y 1＋y 2)．∵直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BN 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，∴y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)， ∴x ＋2x －2＝y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)＝my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1＝3， ∴x ＝4，∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．6．[2019·北京卷]已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．7．[2019·洛阳统考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点．(1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，试问：2|MN |2|FN |是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1)，即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t y 2＝4x，得y 2－4ty －4＋4t ＝0，∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)>0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0. (2)2|MN |2|FN |为定值2p ，证明如下．∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2>0.∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －pt 2－p 2.令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫pt 2＋3p 2，0，∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p 2＝pt 2＋p ，∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p . 8．[2019·浙江卷]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标． 解：(1)由题意得p2＝1，即p ＝2.所以，抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－2(t 2－1)ty －4＝0，故2ty B ＝－4，即y B ＝－2t，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又由于x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －2t ＋y C ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0.所以，直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)． 由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而 S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1. 令m ＝t 2－2，则m >0，S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m＋4≥2－12m ·3m＋4＝1＋32.当m ＝3即t 2＝3＋2时，S 1S 2取得最小值1＋32，此时G (2,0)．。