福建省晋江市季延中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
2015-2016年福建省泉州市晋江市季延中学高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）与角﹣终边相同的角是（）A．B．C．D．2．（5分）函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．3．（5分）若tan160°=a，则sin2000°等于（）A．B．C．D．﹣4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A．=﹣+B．=﹣C．=+D．=+5．（5分）已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A．B．﹣C．0D．16．（5分）已知α为第三象限角，且sinα+cosα=2m，sin2α=m2，则m的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣7．（5分）对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．8．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移9．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π10．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2 +，则下列结论正确的是（）A．||=1B．⊥C．•=1D．（4+）⊥12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=．14．（5分）方程4cosx+sin2x+m﹣4=0恒有实数解，则实数m的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，若，则∠C．16．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．则f（x）=．三．解答题（共70分）17．（10分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．18．（10分）已知（1）求与的夹角θ；（2）求．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．20．（12分）已知tan（+x）=﹣．（Ⅰ）求tan2x的值；（Ⅱ）若x是第二象限的角，化简三角式+，并求值．21．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．22．（15分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）与角﹣终边相同的角是（）A．B．C．D．【解答】解：与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，当k=1时，此角等于，故选：C．2．（5分）函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；故选：B．3．（5分）若tan160°=a，则sin2000°等于（）A．B．C．D．﹣【解答】解：tan160°=tan（180°﹣20°）=﹣tan20°=a＜0，得到a＜0，tan20°=﹣a ∴cos20°===，∴sin20°==则sin2000°=sin（11×180°+20°）=﹣sin20°=．故选：B．4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A．=﹣+B．=﹣C．=+D．=+【解答】解：；∴；∴．故选：A．5．（5分）已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A．B．﹣C．0D．1【解答】解：因为f（cosx）=cos2x所以f（sin30°）=f（cos60°）=cos120°=﹣，故选：B．6．（5分）已知α为第三象限角，且sinα+cosα=2m，sin2α=m2，则m的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：把sinα+cosα=2m两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=故选：B．7．（5分）对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，∵|•|=||×||×|cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴|•|≤||||恒成立，A正确；对于B，由三角形的三边关系和向量的几何意义得，|﹣|≥|||﹣|||，∴B 错误；对于C，由向量数量积的定义得（+）2=|+|2，C正确；对于D，由向量数量积的运算得（+）•（﹣）=2﹣2，∴D正确．故选：B．8．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．9．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A．10．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．11．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2 +，则下列结论正确的是（）A．||=1B．⊥C．•=1D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；∵ω＞0∴ω=2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x=，k∈Z，故C错误；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正确．故选：D．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=2．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．14．（5分）方程4cosx+sin2x+m﹣4=0恒有实数解，则实数m的取值范围是[0，8] ．【解答】解：∵m=4﹣4cosx﹣（1﹣cos2x）=（cosx﹣2）2﹣1，当cosx=1时，m min=0，当cosx=﹣1时，m max=（﹣1﹣2）2﹣1=8，∴实数m的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．15．（5分）在△ABC中，若，则∠C60°．【解答】解：由可得tan（A+B）==﹣因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故答案为：60°16．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．则f（x）=sin（x+）．【解答】解：由最大值得A=1，T=2×[3﹣（﹣1）]=8，则=8，解得ω=，所以f（x）=sin（x+φ）；由f（﹣1）=0，得4sin（﹣+φ）=0，又﹣＜φ＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+）．故答案为：sin（x+）．三．解答题（共70分）17．（10分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．18．（10分）已知（1）求与的夹角θ；（2）求．【解答】解（1）∵=61，∴﹣3=61．又=4，||=3，∴64﹣4﹣27=61，∴=﹣6．∴cosθ===﹣．又0≤θ≤π，∴θ=．（2）∵==42+32+2×（﹣6）=13，∴=．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．20．（12分）已知tan（+x）=﹣．（Ⅰ）求tan2x的值；（Ⅱ）若x是第二象限的角，化简三角式+，并求值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式变形得：tan（+x）==﹣，解得：tanx=﹣3，则tan2x===；（Ⅱ）∵x是第二象限的角，∴cosx＜0，∴原式=+=+==﹣，∵tanx=﹣3，∴cos2x==，∵cosx＜0，∴cosx=﹣，∴原式=﹣=2．21．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．【解答】解；（1）函数f（x）=sin cos﹣sin2=sinx﹣（1﹣cosx）=sin（x+）﹣；∴最小正周期为T=2π，令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，则+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴f（x）的减区间为；（2）∵x∈[﹣π，0]，∴，当，即时，f（x）有最小值为﹣1﹣；当，即x=0时，f（x）有最大值为0．22．（15分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【解答】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．。
福建省泉州市晋江市季延中学2014_2015学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)
福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是（）A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对2．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y+2=0，则实数a的值为（）A．B．C．8 D．﹣83．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．4．（5分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1＞06．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣27．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线8．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．9．（5分）空间四边形OABC中，OB=OC，，则cos＜＞的值是（）A．B．C．﹣D．010．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．12．（5分）与双曲线=1有共同的焦点，且离心率e=的双曲线方程为．13．（5分）若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．14．（5分）已知向量在基底{}下的坐标为（2，1，﹣1），则在基底{}下的坐标为．15．（5分）设F1，F2为椭圆的焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是．三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分，写出必要的解题过程）16．（12分）抛物线y2=8x的焦点是F，倾斜角为45°的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，求直线l的方程．17．（12分）判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假，并证明．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求E到平面ACD的距离；（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．（12分）已知P为椭圆=1上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且19．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线3x+6y﹣2=0与M的轨迹相交于A，B两点，求△OAB的面积．20．（13分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且；（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．21．（14分）已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是（）A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用复合命题的真假判定方法即可得出．解答：解：命题p：2是偶数，是真命题；命题q：2是3的约数，是假命题．∴p∨q是真命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判定方法，属于基础题．2．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y+2=0，则实数a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化抛物线的方程为标准方程，可得其准线方程比较已知可得a的方程，解方程可得．解答：解：化抛物线y=ax2的方程为x2=y，可得其准线方程为y=﹣，又抛物线的直线方程为y+2=0，即y=﹣2，故﹣=﹣2，解得a=故选：A点评：本题考查抛物线的准线方程，属基础题．3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：表示向量，只需要用给出的基底，，表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．解答：解：=+=+=+=+（+）=+（+）=．故选：A．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，同时考查了转化的思想，属于基础题．4．（5分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，利用复合命题真值表可判断A的正误；B，利用充分必要条件的概念可判断B的正误；C，搞清楚命题的否定与否命题的概念可判断C的正误；D，明确特称命题的否定既要在量词上否定，又要在结论处否定，可判断D的正误．解答：解：A，由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题，∴选项A错误；B，由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，也可以是x=﹣1，∴选项B成立；C，选项C错在把否命题写成了命题的否定，∴选项C错误；D，选项D错在没有搞清楚特称命题的否定既要在量词上否定，且要在结论处否定（符号应为≤）．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查易混淆的概念的理解与应用，如否命题与命题的否定、特称命题的否定全称命题的关系及复合命题真值表的应用，属于中档题．6．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面的法向量．专题：计算题．分析：根据两平面平行得到两平面的法向量平行，再根据向量平行坐标的关系建立等量关系，求出k即可．解答：解：∵α∥β，∴两平面的法向量平行则（﹣2，﹣4，k）=λ（1，2，﹣2），∴﹣2=λ，k=﹣2λ，∴k=4．故选C点评：本题主要考查了向量语言表述面面的垂直、平行关系，以及平面的法向量，属于基础题．7．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由共面向量基本定理即可得出．解答：解：：由=++，可得=1，又A，B，C不共线，∴P，A，B，C四点共面．故选：B．点评：本题考查了共面向量基本定理，属于基础题．8．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：用空间向量解答．解答：解：∵=+﹣；∴2=（+﹣）2；即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；=1﹣+1﹣﹣+9=5，∴A1C=．故选A．点评：本题考查了空间向量的应用，属于基础题．9．（5分）空间四边形OABC中，OB=OC，，则cos＜＞的值是（）A．B．C．﹣D．0考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：利用OB=OC，以及两个向量的数量积的定义化简cos＜＞的值，解答：解：∵OB=OC，，故选 D．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用．10．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F （l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是2015届高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．考点：四种命题间的逆否关系．专题：阅读型．分析：先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．解答：解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．12．（5分）与双曲线=1有共同的焦点，且离心率e=的双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线=1的焦点坐标，设出双曲线的方程，据题意得到参数c的值，根据双曲线的离心率等于，得到参数a的值，得到双曲线的方程．解答：解：∵双曲线=1的焦点坐标为（﹣4，0）和（4，0），…（1分）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则c=4，…（2分）∵双曲线的离心率等于，即=，∴a=．…（4分）∴b2=c2﹣a2=．…（5分）；故所求双曲线方程为．故答案为：．点评：本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程．解答的关键在于考生对圆锥曲线的基础知识的把握．13．（5分）若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先设P点坐标为（x，y），表示出△PF1F2的面积，要使三角形面积最大，只需|y|取最大，因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，故可求．解答：解：设P点坐标为（x，y），则，显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，所以P点的坐标为（0，±3），所以b=3．∵a2=b2+c2，所以a=5∴椭圆方程为．故答案为点评：本题的考点是椭圆的标准方程，主要考查待定系数法求椭圆的方程，关键是利用△PF1F2的面积取最大值时，只需|y|取最大14．（5分）已知向量在基底{}下的坐标为（2，1，﹣1），则在基底{}下的坐标为（，，﹣1）．考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：设出向量在基底{}下的坐标为（x，y，z），把用基底表示，利用向量相等，求出x、y、z的值即可．解答：解：设向量在基底{}下的坐标为（x，y，z），则=x（+）+y（﹣）+z=（x+y）+（x﹣y）+z，又∵=2+﹣，∴，解得x=，y=，z=﹣1；∴在基底{}下的坐标为（，，﹣1）．故答案为：（，，﹣1）．点评：本题考查了空间向量的基本定理以及坐标表示的应用问题，是基础题目．15．（5分）设F1，F2为椭圆的焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先依据条件求出AF1的长度，由题意知∠AF2F1小于45°，由tan∠AF2F1＜1 建立关于a、c的不等式，转化为关于e的不等式，解此不等式求出离心率e的范围，再结合 0＜e＜1 得到准确的离心率e的范围．解答：解：由题意知∠AF2F1小于45°，故tan∠AF2F1 =＜1，即＜1，b2＜2ac，a2﹣c2＜2ac，e2+2e﹣1＞0，∴e＞﹣1，或 e＜﹣1﹣（舍去）．又 0＜e＜1，故有﹣1＜e＜1，故答案为：﹣1＜e＜1．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单的性质，利用∠AF2F1小于45°，tan∠AF2F1＜1求出e的范围，将此范围与 0＜e＜1取交集．三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分，写出必要的解题过程）16．（12分）抛物线y2=8x的焦点是F，倾斜角为45°的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，求直线l的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AB方程为y=x+b，与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．解答：解：设AB方程为y=x+b，联立，消去y得：x2+（2b﹣8）x+b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8﹣2b，x1•x2=b2．∴|AB|=•|x1﹣x2|=×==8，解得：b=﹣3．∴直线方程为y=x﹣3．即：x﹣y﹣3=0．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假，并证明．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断原命题的真假即可．解答：解：该命题的逆否命题是真命题．证明如下；∵关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，∴△=（2a+1）2﹣4（a2+2）≥0，解得a≥，∴a≥1，原命题正确；∴它的逆否命题也正确的．点评：本题考查了四种命题的应用问题，解题时应根据原命题与它的逆否命题的真假性相同进行解答，是基础题．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求E到平面ACD的距离；（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出异面直线AB与EF的方向向量，代入向量夹角公式，可得异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求出平面ACD的一个法向量=（1，1，1），结合F∈平面ACD，=（﹣2，2，2），可得：E到平面ACD的距离d=；（3）由（2）中平面ACD的一个法向量=（1，1，1），设EF与平面ACD所成角为α．则sinα=cos＜，＞．解答：解：（1）如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．∴A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F（0，2，2），∵=（0，0，﹣4），=（﹣2，2，2），设异面直线AB与EF所成角为θ，则cosθ===，即异面直线AB与EF所成角的余弦值为；（2）设平面ACD的一个法向量=（x，y，1），∵=（4，0，﹣4），=（﹣4，4，0），由，得，故=（1，1，1），∵F∈平面ACD，=（﹣2，2，2），∴E到平面ACD的距离d===；（3）由（2）中平面ACD的一个法向量=（1，1，1），设EF与平面ACD所成角为α．则sinα=cos＜，＞===．点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，点到平面的距离，建立空间坐标系，将空间夹角问题和距离问题转化为向量夹角和向量射影问题是解答的关键．（12分）已知P为椭圆=1上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且19．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线3x+6y﹣2=0与M的轨迹相交于A，B两点，求△OAB的面积．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），P（x0，y0），由，解出P（x0，y0），代入椭圆方程即可得出．（2）直线3x+6y﹣2=0与M的轨迹方程联立解得点A，B坐标，利用三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），由得，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，∴M的轨迹方程为：=1．（2）据已知，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且；（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角．专题：综合题．分析：（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即AM⊥PN；（2）设出平面ABC的一个法向量，表达出sinθ，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正切值；（3）假设存在，利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，研究方程根的情况，即可得到结论．解答：（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，（1）解：∵，∴∴无论λ取何值，AM⊥PN…（4分）（2）解：∵=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．∴s inθ=|cos＜|=而θ∈，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，∴当λ=时，θ取得最大值，此时sinθ=，cosθ=，tanθ=2 …（8分）（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量．则得令x=3，得y=1+2λ，z=2﹣2λ∴∴|cos＜＞|=化简得4λ2+10λ+13=0（*）∵△=100﹣4×4×13=﹣108＜0∴方程（*）无解∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°…（13分）点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，熟练掌握向量夹角公式．21．（14分）已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，由此能求出动点C的轨迹方程．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），由此能求出•的最小值．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，所以PQ=，同理可得：RT=，由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32．解答：解：（1）∵定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2=4y．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），∴=（）•（x2+，y2+1）===﹣=，∵，当且仅法k2=1取等号．∴•≥8+8=16．∴•的最小值是16．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，∴PQ=，设，代入x2=4y，同理可得：RT=，∴S PRQT==8（）≥32．当且仅当k2=1时取等号，∴四边形PRQT的面积存在最小值32．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最小值的求法，考查四边形面积是否有最小值的判断与求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．。
福建省晋江市季延中学高二数学下学期期中试题 文
季延中学2016年春高二期中考试数学(文)试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. 复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是( )A.1=ρB. θρcos =C. θρcos 1-= D. θρcos 1= 3. 直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q>1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 85．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)6．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解7. 曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆 D.射线8．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59.在极坐标系中， 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ, 则ABO ∆为( )A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.直角等腰三角形10．等差数列前n 项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n 的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．1811．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，则这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定12．在ABC ∆中，若,,,AC BC AC b BC a ⊥==则外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得到的正确结论是在四面体S ABC -中，若,,SA SB SC 两两互相垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =( )A ．33332a b c ++ B ．2223a b c ++ C ．2222a b c ++ D ．3abc二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．在同一平面直角坐标系中，由曲线x y tan =变成曲线''tan 32y x =的伸缩变换 .14．观察下列式子1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，则可归纳出____________________________________________ 15．直线()为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是16．曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==ββsec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为_______________三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17．(满分10分) 给出如下列联表患心脏病 患其它病 合 计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 合 计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？ （参考公式：22n ad-bc)k =(+)(+)(+)(+)a b c d a c b d （参考数据：010.0)635.6(2=≥K P ，005.0)879.7(2=≥K P ）18．(满分12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．19．(满分12分)直线l 经过两点P(-1，2)和Q(2，-2)，与双曲线(y-2)2-x 2=1相交于A 、B 两点；(1)根据下问所需写出l 的参数方程； (2)求AB 中点M 与点P 的距离．20.(满分12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛6,3π，半径=1，Q 点在圆C 上运动。
2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
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＝8cosθ． （Ⅰ）求 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|． 18． （12 分）设全集 U＝R，集合 A＝{x|x＞2}，B＝{x|ax﹣1＞0，a∈R}． （1）当 a＝2 时，求 A∩B； （2）若 B⊆A，求实数 a 的取值范围． 19． （12 分）已知函数 f（x）＝e （x ﹣3） ． （1）求曲线 y＝f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求函数 y＝f（x）的极值． 20． （12 分）如图，已知 y＝f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝x ﹣2x （1）求 f（1） ，f（﹣2）的值； （2）求 f（x）的解析式并画出简图； （3）讨论方程 f（x）＝k 的根的情况． （只需写出结果，不要解答过程） ．
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （10 分）极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半
轴为极轴． 已知直线 l 的参数方程为
（t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ
，
） 时， f （x） ＝e +sinx，
x
在（﹣∞，m）上单调递减，
则实数 m 的取值范围是（ A． （﹣2，+∞）
B．[﹣2，+∞）
C． （﹣∞，﹣2）
D． （﹣∞，﹣2]
12． （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x﹣4）＝f（x） ，且在区间[0，2]上 f（x） ＝x，若关于 x 的方程 f（x）＝logax 有三个不同的根，则 a 的范围为（ A． （2，4） B． （2，2 ） C． （ ，2 ） D． （ ） ， ）
【精编】2015-2016年福建省泉州市晋江市季延中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)
2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线3．（5分）设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）A．a2+b2B．2ab C．a D．4．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}5．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．6．（5分）已知x＞1，则函数的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．（5分）在各项都不等于零的等差数列{a n}中，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．98．（5分）等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B．C．±D．以上皆非9．（5分）有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则=．④若x＞y，则x2＜y2．则是真命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．③④10．（5分）双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．411．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．12．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6 D．5二.填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知x是400和1600的等差中项，则x=．14．（4分）不等式的解集为R，则实数m的范围是．15．（4分）已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程．16．（4分）若负数a、b、c满足a+b+c=﹣9，则++的最大值是．三.解答题（17---21题均12分，22题14分共74分）17．（12分）已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是6．（1）求椭圆C的离心率的值；（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．18．（12分）已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．19．（12分）双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．20．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？21．（12分）若{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n是数列{b n}的前n项和，求：使得对所有n∈N*都成立的最大正整数m．22．（14分）已知f（x）=，且满足：a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求证：{}是等差数列．（2）{b n}的前n项和S n=2n﹣1，若T n=++…+，求T n．2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．当x＞0时，一定有x≠0成立，∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线【解答】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确∵不论a取何值，方程C：中没有一次项∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确综上所述，可得B为正确答案故选：B．3．（5分）设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）A．a2+b2B．2ab C．a D．【解答】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一个数为a2+b2故选：A．4．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}【解答】解：不等式﹣x2﹣2x+3≤0，变形为：x2+2x﹣3≥0，因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，可化为：或，解得：x≤﹣3或x≥1，则原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．故选：D．5．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选：D ．6．（5分）已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：∵x ＞1∴x ﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x ﹣1=1时，x=2时取等号“=”故选：B ．7．（5分）在各项都不等于零的等差数列{a n }中，若m ＞1，且a m ﹣1+a m +1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【解答】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1+a m +1=2a m ， 则a m ﹣1+a m +1﹣a m 2=a m （2﹣a m ）=0， 解得：a m =0或a m =2，若a m 等于0，显然（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38不成立，故有a m =2 ∴S 2m ﹣1==（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38，解得m=10． 故选：C ．8．（5分）等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x +9=0的两个根，则a 6=（ ） A ．3B ．C ．±D ．以上皆非【解答】解：∵a 3，a 9是方程3x 2﹣11x +9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，又数列{a n }是等比数列， 则a 62=a 3a 9=3，即a 6=±．故选：C ．9．（5分）有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则=．④若x＞y，则x2＜y2．则是真命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．③④【解答】解：①若=，则，则x=y，即①对；②若lgx有意义，则x＞0，即②对；③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A．10．（5分）双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．4【解答】解：双曲线4x2+ty2﹣4t=0可化为：∴∴双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于故选：C．11．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选：A．12．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6 D．5【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．故选：B．二.填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知x是400和1600的等差中项，则x=1000．【解答】解：∵x是400和1600的等差中项，∴x==1000．故答案为：1000．14．（4分）不等式的解集为R，则实数m的范围是．【解答】解：不等式，x2﹣8x+20＞0恒成立可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，解得：m＜﹣或m＞所以m＜﹣故答案为：15．（4分）已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程+=1．【解答】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，∵圆B经过点A（4，0），∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，∵|AC|=8＜10，∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，∴a=5，b2=a2﹣c2=9，得该椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．（4分）若负数a、b、c满足a+b+c=﹣9，则++的最大值是﹣1．【解答】解：由负数a、b、c，则++=﹣（++）≤﹣3••3=﹣1，当且仅当a=b=c=﹣3，取得最大值﹣1．故答案为：﹣1．三.解答题（17---21题均12分，22题14分共74分）17．（12分）已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是6．（1）求椭圆C的离心率的值；（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．【解答】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；∴c=；∴；即椭圆的离心率是；（2）；∴x=带入椭圆方程得，y=；所以Q（0，）．18．（12分）已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点∴≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1；∵点（a，1）在椭圆内部，∴，命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题即p真q假，则⇒a≥2或a≤﹣2．故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．19．（12分）双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，∴=，∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），∴，化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②联立①②得：k2+1=0无解所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（5分）（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）21．（12分）若{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n是数列{b n}的前n项和，求：使得对所有n∈N*都成立的最大正整数m．【解答】解：（1）由题意知：S n=n2﹣n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，当n=1时，a1=1，适合上式，则a n=3n﹣2；（2）根据题意得：b n===﹣，T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，∴{T n}在n∈N*上是增函数，∴（T n）min=T1=，要使T n＞对所有n∈N*都成立，只需＜，即m＜15，则最大的正整数m为14．22．（14分）已知f（x）=，且满足：a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求证：{}是等差数列．（2）{b n}的前n项和S n=2n﹣1，若T n=++…+，求T n．【解答】解：（1）∵，∴a n=f（a n）=，+1则，∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；（2）由（1）得，=3n﹣2，∵{b n}的前n项和为，∴当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，而b1=S1=1，也满足上式，则b n=2n﹣1，∴==（3n﹣2）2n﹣1，∴=20+4•21+7•22+…+（3n﹣2）2n﹣1，①则2T n=21+4•22+7•23+…+（3n﹣2）2n，②①﹣②得：﹣T n=1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，∴T n=（3n﹣5）2n+5．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
【解答】解：∵数 f（x）=（x﹣3）ex ∴f′（x）=（x﹣2）ex， 根据单调性与不等式的关系可得： （x﹣2）ex＜0，即 x＜2 所以函数 f（x）=（x﹣3）ex 的单调递减区间是（﹣∞，2） 故选：A． 6． （5 分）对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必 有（ ） B．f（﹣3）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（﹣3）＜f（0）
A．
B．
C．
D．
10． （5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位 女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ A．60 B．48 C．42 ） D．36
11． （5 分）已知函数 f（x）=log2（a﹣2x）+x﹣2，若 f（x）存在零点，则实数 a 的取值范围是（ ） B．[1，+∞） D．[4，+∞） ，极大值点 x1∈（0，1） ， 的取值范围是（ C． ） D．
2016-2017 学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（下）期中数 学试卷（理科）
一．选择题（每题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）i 是虚数单位， A．1+2i 2． （5 分）设 A． 3． （5 分）若 y= A． B． ，则 y′=（ ） =（ ） C．1﹣2i 则 C． 等于（ D．﹣1+2i ） D．不存在
6． （5 分）对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必 有（ ） B．f（﹣3）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（﹣3）＜f（0）
A．f（2）＜f（0）＜f（﹣3） C．f（0）＜f（2）＜f（﹣3）
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7． （5 分） 若函数 y= 则α的最小值是（ A．
福建省泉州市晋江市季延中学高二数学下学期期中考试试卷 文
文科数学试卷(必修3，选修1-2，集合与简易逻辑)试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于( ) A ．{}5 B ．{}8,2 C ．{}7,3,1 D ． {}1,3,4,5,6,7,8 2．534+i的共轭复数是( )． A ．34-i B ．3545+i C ．34+i D ．3545-i3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．命题“存在x Z ∈，使220x x m ++≤”的否定是（ ） A ．存在x Z ∈，使220x x m ++> B ．不存在x Z ∈，使220x x m ++> C ．任意x Z ∈，使220x x m ++≤D ．任意x Z ∈，使220x x m ++>5．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )． A ．平均数不变，方差不变 B ．平均数改变，方差改变 C ．平均数不变，方差改变 D ．平均数改变，方差不变 6．已知p ：|2x －3|＞1 ， q ：612-+x x ＞0，则p ⌝是q ⌝的( )． A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是( )A ．6B ．21C ．156D ．231 8．在一次实验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ， 则y 与x 之间的回归直线方程为( )．A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =- 9．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是( )．A ．y bx a e =++是一次函数；B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的；C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响； 这些因素会导致随机误差e 的产生；D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e 的产生。
泉州市晋江市季延中学2015-2016学年高二下学期期中数学(理科)试题 含解析
2015—2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二(下）期中数学试卷（理科）一、选择题(每小题5分，共60分）1．若C n2A22=42，则的值为（）A．6 B．7 C．35 D．202．两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(）A．模型1的相关指数R2为0。
98 B．模型2的相关指数R2为0。
80C．模型3的相关指数R2为0。
50 D．模型4的相关指数R2为0。
253．设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2,σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2,σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 4．“有些指数函数是减函数,y=2x是指数函数，所以y=2x是减函数”上述推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是5．已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ~B（10，0.6）,则Eη,Dη分别是(）A．6和2。
4 B．2和5。
6 C．6和5.6 D．2和2.46．设a∈Z，且0≤a＜13，若1220+a能被13整除，则a=（)A．0 B．1 C．11 D．127．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内,曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（)A．B．C．D．8．设随机变量ξ~N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2)=0。
3，则P（ξ＜2μ+1）=()A．0。
4 B．0。
5 C．0.6 D．0。
79．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为(）A．240 B．300 C．150 D．18010．若X是离散型随机变量，,且x1＜x2，又已知，DX=2,则x1+x2=(）A．或1 B．C．D．11．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可以得到一个新的实数a2,对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3,当a3＞a1,甲获胜，否则乙获胜,若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（）A．（﹣∞，12]B．[24，+∞) C．(12，24）D．（﹣∞,12］∪［24,+∞）12．（5分）（2015春晋江市校级期末）（1+x)n的展开式中，x k的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3，4，…,10克的砝码（每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A．（1+x）（1+x2)（1+x3）…(1+x10）B．（1+x）（1+2x）（1+3x)…（1+10x）C．(1+x）（1+2x2）（1+3x3)…（1+10x10）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...(1+x+x2+ (x10)二、填空题（每小题5分，共20分）13．气象台统计，5月1日晋江市下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风,则P(B｜A）=．14．在未来3天中,某气象台预报天气的准确率为0。
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季延中学2016年春高二年期中考试理科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．若222C A 42n =，则()!3!3!n n -的值为（ ）A ．6B ．7C ．35D ．202． 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )A 、模型1的相关指数2R 为0.98B 、模型2的相关指数2R 为0.80C 、模型3的相关指数2R 为0.50 D 、模型4的相关指数2R 为0.253． 设两个正态分布()()2111,0N μσσ>和()()2222,0N μσσ>的密度曲线如图所示，则有（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>> 4．“有些指数函数是减函数，2xy =是指数函数，所以2xy =是减函数”上述推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是5．已知随机变量8ηξ=-，若ξ～B (10,0.6)，则E η，D η分别是( )A ．6和2.4B ．2和5.6C ．6和5.6D ．2和2.46．设a Z ∈，且013a ≤<，若2012a +能被13整除，则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y =，向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14D ．168．设随机变量()2~,N ξμσ且 ()()120.3P P ξξ<-=>=，则()21P ξμ<+=（ ）A ．0．4B ． 0．5C ． 0．6D ．0．79．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ．240B ．300C ．150D ．180 10．若X 是离散型随机变量，()()1221,33P X x P X x ====，且12x x <，又已知()49E X =，()2D X =，则12x x +=（ ） A ．53 或1 B ．59 C ．179 D ．13911．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a . 对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a . 当13a a >时, 甲获胜, 否则乙获胜. 若甲获胜的概率为43, 则1a 的取值范围是（ ）A ．)24,12( B.(][)+∞⋃∞-,2412, C. )18,12( D. (][)+∞⋃∞-,1812,12．(1)n x +的展开式中，kx 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个方法总数，下列各式的展开式中8x 的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（ ）A 、2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++… B 、(1)(12)(13)(110)x x x x ++++… C 、2310(1)(12)(13)(110)x x x x ++++…D 、2232310(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +++++++++++…… 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．气象台统计，5月1日晋江市下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮风，则(|)P B A =______________ 14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2 天预报准确的概率是 .15．已知(111a dx -=⎰，则612a x x π⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开式中的常数项为__________.16．在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 α， β，则有cos 2 α＋cos 2β＝1类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三个面所成的角分别为 α， β， γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ=________． 三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分，写出必要的解题过程） 17．已知()()()()1022202311101220x x a a x a x a x --=+-+-++- （计算结果可保留指数幂的形式）（1）求13519...a a a a ++++的值 （2）求2a 的值18. 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？19．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。
20．某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和 100名高三年级学生，对这些学生配戴眼镜的度数（简称：近视度数）进行统计，得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下：将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0-100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100-200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200-400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；0.00050.001 ab 0.003（Ⅱ）设0.0024a =，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；（Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量,X Y 分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若EX EY =,求b .21．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI ）的监测数据，结果统计如下：（1）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（2）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为：0,0100,400,100300,2000,300,x y x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．22．已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验. (1)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；(2)现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：混合在一起化验.请问：哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).季延中学2016年春高二年期中考试理科数学试卷参考答案一、选择题1.C2.A3.A4.C5.D6.D7.B8.D9.C 10. C 11.B 12.A 二、填空题 13.3814.0.768 15.-160 16.2 三、解答题17 .解：()102220012201,4,x t t a a t a t a t -=-=++++ 令展开式为（1）10012201001220135191313=0t a a a a t a a a a a a a a =++++==--+-+=∴++++ 令得：令得：（2）()999210C 4410a =⋅-=-⨯18.（1）37210A =； （2）6565553720A A +⨯⨯= （3）3535720A A = （4）43451440A A =19. 解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（1）C A B A B =⋅+⋅()()P C P A B A B =⋅+⋅()()P A B P A B =⋅+⋅()()()()P A P B P A P B=⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5=————————3分（2）D A B =⋅()()P D P A B =⋅()()P A P B =⋅0.50.4=⨯0.2=, ()()10.8P D P D =-=————————————————6分 （3）)8.0,3(~B ξ，故ξ的分布列()300.20.008P ξ=== ,()12310.80.20.096P C ξ==⨯⨯=()22320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=,()330.80.512P ξ===的分布列为所以30.8 2.4E ξ=⨯=——————————12分20. 解：（Ⅰ）设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件A ………………1分则304070()0.7100100P A +=== ………………3分（Ⅱ）设该生近视程度达到中度或中度以上为事件B ………………4分则()10.30.240.46P B =--=………………7分法2：设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件A ………………4分∵0.0024a =,∴(0.000520.0010.00240.003)1001b +⨯+++⨯=,∴0.0026b =, ………………6分 ∴()0.260.10.050.050.46P B =+++=………………7分(Ⅲ) 00.310.420.3301,EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………9分010.32(1000.1)30.12000.8,EY a b b =⨯+⨯+⨯⨯++⨯=+………11分∵EX EY =, ∴2000.81b +=,∴0.001b =. ………………12分 21. 解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如表：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”； （Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则，，所以，故该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为元.22.。