第81讲 排列组合-选择合适的数学模型

第81讲 排列组合——寻找合适的模型在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。

但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。

便可巧妙的解决问题一、典型例题：例1：设集合A 由n 个元素构成，即{}12,,,n A a a a =，则A 所有子集的个数为_______ 思路：可将组成子集的过程视为A 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a 开始，有两种选择，同样后面的23,,,n a a a 都有两种选择，所以总数2222n n N =⨯⨯⨯=个个答案：2n例2：已知{}1,2,3,,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A. 460B. 760C. 380D. 190思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况。

,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ，所以一共有2202380C ⋅=种答案：C例3：设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 130思路：因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ≤++++≤，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个。

所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论。

① 五个数中有2个0，则另外3个从1,1-中取，共有方法数为23152N C =⋅② 五个数中有3个0，则另外2个从1,1-中取，共有方法数为32252N C =⋅③ 五个数中有4个0，则另外1个从1,1-中取，共有方法数为4352N C =⋅所以共有23324555222130N C C C =⋅+⋅+⋅=种答案：D例4：设集合{1,2,3,,10}A =，设A 的三元素子集中，三个元素的和分别为12,,,n a a a ，求12n a a a +++的值思路：A 的三元子集共有310C 个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。

所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的1,2,,10各自加在一起，再进行汇总。

则需要统计这310C 个子集中共含有多少个1,2,,10。

以1为例，含1的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有29C 个，所以和为291C ⨯，同理，含2的集合有29C ，其和为292C ⨯……，含10的集合有29C 个，其和为2910C ⨯所以()212912101980n a a a C +++=+++=答案：1980例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。

至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。

从而将问题转化为分组问题。

则222364233390C C C N A A =⋅=（种） 答案：90例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（ ）对异面直线A. 450B. 441C. 432D. 423思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。

所以将问题转化为寻找这10个点中共面四点的情况。

首先4个面上共面的情况共有46460C ⨯=，每条棱与对棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点共面的情况共有4646369C ++=种，所以四点不共面的情况有41069141C -=种，从而异面直线的对数为1413423N =⨯=种答案：D小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化例7：设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）A. 6B. 15C. 20D. 25思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -∉且1k A +∉”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C =种答案：C例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有4204845C =个答案：4845个例9：一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==，则符合这样条件的数列{}n a 有（ ）个A. 30B. 35C. 36D. 40 思路：以11k k a a +-=为入手点可得：11k k a a +=±，即可视为在数轴上，k a 向左或向右移动一个单位即可得到1k a +，则问题转化为从10a =开始，点向左或向右移动，总共9次达到105a =，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。

所以不同的走法共有2936C =种，即构成36种不同的数列答案：36种例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少。

从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C =种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w +++=⇒+++++++=，则1,1,1,1x y z w ++++这四个盒子非空即可。

所以使用挡板法得：313286C =种答案：正整数解有84种，非负整数解有286种二、历年好题精选1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）A ．144种B ．96种C ．48种D ．34种2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 （ ）A. 232B. 252C.472D. 4843、在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ）A. 16个B. 18个C.19个D.21个4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A ．96B ．240C ．48D ．405、某班组织文艺晚会，准备从,A B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：,A B 两个节目至少有一个选中，且,A B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10206、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为（ ）A ．72B ．216C ．320D ．7207、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）A ．48B ．36C ．28D ．128、某宾馆安排A 、B 、C 、D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A 、B 不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种A ．24B ．48C ．96D ．1149、（2014重庆八中一月考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是A ．2539C CB ．25310C C C ．25310A AD ．25410C C 10、（2015，广东文），若集合：(){},,,|04,04,04,,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈ ，(){},,,|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=（ ）A. 50B. 100C. 150D. 20011、（2014，浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对13、（2014，重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．16814、（2014，广东）设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 144D. 16815、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( )A. 484B. 472C. 252D. 23216、集合{}1,2,3,,20S =的4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为1，这样的4元子集T 的个数有_____个习题答案：1、答案：B解析：,B C 相邻则考虑使用整体法，程序A 有要求所以先确定A 的位置，共有2种选法，然后排剩下的元素44A ，再排,B C 间的顺序22A ，所以总数为4242296N A A ==2、答案：C解析：考虑使用间接法，16张卡片任取3张共有316C 种，然后三张卡片同色则不符合要求，共有344C ⋅种，然后若红色卡片有2张则不符合要求，共有21412C C 种，所以不同的取法种数为：33211644124472N C C C C =--=3、答案：A解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是1,3,5或2,3,4，三位数共有332A 个；若有两个重复数字，则数字为2,2,5和1,4,4，三位数有1326C =个；若三个数字相同，则只有333，所以313322119N A C =++=4、答案：A解析：5张票分给4个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共14C 种选择，然后确定给哪两张连号的票，共4种情况，剩下的票分给3人即可。