四川省邻水中学2014_2015学年高二数学下学期期中试题
2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
高二年级期中考试数学试卷（理科）卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 设i 为虚数单位，则31t ＝（ ） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（ ） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x e x 等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数n m x ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。
10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。
2014—2015学年高二下学期期中考试 数学理 Word版含答案
2014—2015学年高二年级下期期中试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。
） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）A.i -B.i C ．－1 D.12、若32A 12n n C =，则n =（ ）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种D ．4种4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( )A.4xB.()44x -C.()41x + D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.()00,0x R f x ∃∈=使A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（ ） A. B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫⎪⎝⎭，， D.447333⎛⎫⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）211124x x <-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21x e x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。
2014-2015年四川省广安市邻水中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
3． （5 分）设 x∈R，则“x＞ ”是“2x2+x﹣1＞0”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 4． （5 分）设函数 f（x）在 x0 可导，则 A．f′（x0） B．﹣2f′（x0） ） B．a，b 全不为 0 C．4f′（x0）
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ＝（ ）
＞x+1” ，则命题 P 是 ．
13． （5 分）函数 f（x）＝lnx﹣2x 的单调递减区间是
n 14． （5 分） 如图所示， a n＝ （ ） ， 把数列{an}的各项排成如下三角形： 记A （s，
t）表示第 s 行第 t 个数，则 A（6，2）＝
．
15． （5 分）在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接 圆面积为 S2，则 ，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 P﹣
10． （5 分）已知函数 f（x）＝x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区 间（﹣1，1）内，则实数 a 的取值范围是（ A． （0，2] B． （0，2） C．[ ） ，2） D．
二、填空题（本题共 5 个，每小题 5 分，共 25 分） 11． （5 分）已知复数 z＝﹣1+i（为虚数单位） ，计算： 12． （5 分）命题 P 的否定是： “对所有正数 x， ＝ ． ．
D．不能确定
5． （5 分） “a2+b2≠0”的含义为（ A．a，b 不全为 0 C．a，b 至少有一个为 0
D．a≠0 且 b＝0，或 b≠0 且 a＝0 ）
6． （5 分）若 a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（ A．aჷ B． ＞ D． ＞ ）
7． （5 分）要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（ A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 C． ﹣1﹣a2b2≤0
2014-2015年四川省广安市邻水中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
4． （5 分）设函数 f（x）在 x0 可导，则 A．f′（x0） B．﹣2f′（x0） C．4f′（x0）
＝（
）
D．不能确定
【解答】解：∵函数 f（x）在 x0 可导， ∴
＝
＝
＝ ＝f′（x0）+3f′（x0）＝4f′（x0） ． 故选：C． 5． （5 分） “a2+b2≠0”的含义为（ A．a，b 不全为 0 C．a，b 至少有一个为 0 ） B．a，b 全不为 0 D．a≠0 且 b＝0，或 b≠0 且 a＝0
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由 2x2+x﹣1＞0，可知 x＜﹣1 或 x＞ ； 所以当“x＞ ”⇒“2x2+x﹣1＞0” ； 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞ ” ． 所以“x＞ ”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选：A．
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B．a2+b2﹣1﹣
≤0
D． （a2﹣1） （b2﹣1）≥0 ）的导数是（ ） ）
8． （5 分）函数 f（x）＝sin2（2x+ A．f′（x）＝2sin（2x+ ）
B．f′（x）＝4sin（2x+
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C．f′（x）＝sin（4x+
）
D．f′（x）＝2sin（4x+
）
9． （5 分） 观察下列各式： a+b＝1， a2+b2＝3， a3+b3＝4， a4+b4＝7， a5+b5＝11， …， 则 a10+b10＝（ A．28 ） B．76 C．123 D．199
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2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题附答案
2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点， 因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （ ）A ．13B ．12C ．2-D ． 3- 3．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若关于x 的方程330x x m -+=在[0, 2]上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[20]-，B ．[02]，C ．[22]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ）A ．101dx x ⎰B ．10p x dx ⎰C ．101()p dx x ⎰D ．10()p xdx n⎰6. 已知函数1ln ()x f x x +=，在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是 （ ）A .( 0,1)B .(23，1) C .( 12，1) D .( 13, 1) 7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．BC .D .8. 平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）Ａ．3a Ｂ．4a Ｃ．3a Ｄ．4a 9. 函数y =x +cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （ ）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） A ．12 B . 10 C . 8 D . 611．曲线y =x 2-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是 （ ）A ． １B .C . ２ D.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则22b a ++ 的取值范围是 （ ） A . (- ∞, -3) B . (- ∞, 12)∪(3,+∞) C .(12，3) D . ( 13,12) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ． 15. 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax (a <0) 在区间（-∞，3a）内单调递减，则a 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()x f xx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:b a>a b.19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围;（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.2014-2015-2学期期中考试参考答案高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 34x -． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x-'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增.∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b ab a>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a>. ∴ abb a >………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045a ==⨯； ………………………3分（2）猜想：1(1)n a n n =+．………………………4分证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1(1)k a k k =+．…………………6分那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分 故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)()2(0)ax F x ax x x x-'∴=-=>（i ）当a >0时，由ax 2-1>0得 x>,由ax 2-1<0得 0x<<.故当a >0时，F (x )的递增区间为)+∞，递减区间为.（ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分 （2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.（i ）当a≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.， （ii ）当a>0时，由（1）可知min 1()11ln F x F a ==-=-11ln2a∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥ 故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立 a 的取值范围是[e ,+∞] ………………………8分（3）等价于方程22ln ()xa x x ϕ==在区间]e 上有两个不等解， ∵242ln 2(12ln )()x x x x x x ϕ-'==()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，∴max 1()x eϕϕ==，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===，min ln 2()2x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21[,)2e………………………12分。
2014-2015学年高二数学下学期期中试题_文
2014—2015学年度下期期中考试高二数学试题（文科）时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则)(B A U 等于（ ） A ．}2{B ．}5{ C．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{2．211i i-+＝（ ）A.iB. i - C .1i + D. 1i -3．命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是（ ）A ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则C ．若0,0022≠+==b a b a 则且D ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则4．下列命题正确的是（ ）A ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行B ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 5．圆1)3()1(22=++-y x 的一条切线方程是（ ） A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y =6．若,x R ∈则4x <成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．33x -<< B ．02x << C ．4x < D ．216x < 7．已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A ．πB ．4πC ．8πD ．9π8．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，直线2a x c =与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．2CD9．(,)Z x yi x y R =+∈，当1Z =时，,x y 满足20y kx k -+=，则k 的取值范围（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．30,3⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．⎡⎣D ．)(0,3⎡⎤⎣⎦10． 定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[]2,0时，f (x ) =x 2-2x ，若x ∈[]4,2-- 时，13()()018f x t t--≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-1］∪(0，3］ B ．(-∞，-3］∪（0，3］ C ．［-1，0) ∪［3，+∞)D ．［-3，0) ∪［3，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）11．在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为 ．12．已知向量(43)a =，，(12)b =-，，那么a 与b 夹角的余弦值为 ．13．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为__________.14．已知A (4，0)、B (2，2)是椭圆192522=+y x 内的点，M 是椭圆上的动点，则｜MA ｜＋｜MB ｜的最大值为 ． 15．函数321()233f x x x x m =-++，则以下四个结论： ①若()y f x =有三个不同的零点，则403m -<<；②m R ∃∈，使得()y f x =的图像与x 轴没有交点； ③m R ∃∈，使得()y f x =的图像关于点(1,1)成中心对称；④m R ∀∈，在()y f x =的图像上都存在四个点A,B,C,D ，使得四边形ABCD 是一个菱形．其中真命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答题应写出必要的文字说明、解答过程或推理步骤）16．（本题12分） 在ABC ∆中，cos 105B C == （1）求sin A ； （2）设BC =求CA CB 值.17．（本题12分） 顶点在原点，焦点在y 轴的抛物线经过点11,4A ⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标； （Ⅱ）求抛物线在点A 处的切线方程．18．（本题12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213*n n S a (n N )=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a n 的前n 项和为n T ，求数列{}n T 的通项公式．19．（本题12分）如图所示，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B —DE —C 的平面角的余弦值．20．（本题满分13分） 已知函数)ln 3(1)(x a xx x f -+-=（0>a ）. BCEDAP（Ⅰ）若1=a ，求)(x f 在(]1,0上的最大值； （Ⅱ）若)1,0(∈x ，求)(x f 的单调区间.21．（本小题满分14分） 设函数sin ()x xf x x+=. （1）判断)(x f 在区间),0(π上的增减性并证明之；（2）若不等式0≤a ≤x x -+-43对]4,3[∈x 恒成立, 求实数a 的取值范围M. （3）设0≤x ≤π，若a M ∈，求证：[](21)sin (1)sin (1)0a x a a x -+--≥.。
高二数学-2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷
高二数学-2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，计70分）1．命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是．2．“a＞1”是“＜1”成立的条件．3．复数z=，则=．4．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=．5．观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为（n∈N*）．6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种．7．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为．8．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为．9．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有种（用数字作答）10．设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β，其中所有正确命题的序号是．11．姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标，则共有种中标情况（用数字作答）．12．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x 1，x2，…x n，总满足：[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），称函数f（x）为D 上的凸函数．现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．13．已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC 上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是．14．已知函数f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0与曲线y=f（x）均不相切，则a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（2015春•江苏校级期中）已知复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2=（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．16．（14分）（2015春•江苏校级期中）是否存在常数a，b 使得2+4+6+…+（2n）=an2+bn对一切n∈N*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由．17．（15分）（2013秋•海陵区校级期末）在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y ﹣3m﹣1=0（m∈R）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．18．（15分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19．（16分）（2014春•姜堰市期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字．（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）20．（16分）（2014•广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f （x）的三条切线，求实数m的取值范围．2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，计70分）1．命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：根据命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0．从而得到答案．解答：解：∵命题“∃x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0故答案为：∀x∈（0，2），x2+2x+2＞0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．属基础题．2．“a＞1”是“＜1”成立的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a＞1，则＜1，即充分性成立，若a=﹣1，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则“a＞1”是“＜1”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3．复数z=，则=1+2i．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的除法，求出复数z的代数形式，即可得到．解答：解：∵复数z====1﹣2i，∴=1+2i，故答案为：1+2i．点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．4．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=8．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的右焦点坐标，再根据抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，即可求p的值．解答：解：双曲线中a2=12，b2=4，∴c2=a2+b2=16，∴c=4∴双曲线的右焦点为（4，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，∴∴p=8故答案为：8点评：本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为1+++…+＞（n∈N *）．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．解答：解：∵3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，∴可猜测：1+++…+＞（n∈N *）．故答案为：1+++…+＞点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有12种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案．解答：解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63﹣8=12种，故答案为：12．点评：本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力，属于基础题．7．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为45°．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角．解答：解：以A为原点，射线AB，AC，AP 分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0），=（﹣，﹣，0）设=（x，y，z）为平面CMN的法向量，∵=（1，﹣1，），=（，﹣1，0），∴∴可得平面CMN的一个法向量=（2，1，﹣2），设直线SN与平面CMN所成角为θ，∵sinθ=|cos＜，＞|=，∴SN与平面CMN所成角为45°．故答案为：45°．点评：本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．8．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为x+y ﹣2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解答：解：y=的导数y'=，y'|x=1=﹣1，而切点的坐标为（1，1），∴曲线y=在在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．9．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有144种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：把B，C看做一个整体，有2种方法；6个元素变成了5个，先在中间的3个位中选一个排上A，有A31=3种方法，其余的4个元素任意排，有A44种不同方法．根据分步计数原理求出所有不同的排法种数．解答：解：由于B，C相邻，把B，C看做一个整体，有2种方法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A31=3种方法．其余的4个元素任意排，有A44种不同方法，故不同的排法有2×3×A44=144种，故答案为：144．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，注意把特殊元素与位置优先排列，属于中档题．10．设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β，其中所有正确命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的定义，可判断①；根据面面平行的判定定理，可判断②；根据面面垂直的性质定理，可判断③；根据空间线面垂直及线面平行的几何特征，可判断④．解答：解：①根据线面垂直的定义：若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故正确；②根据面面平行的判定定理：若m⊂α，n⊂α，m∩n=A，m∥β，n∥β，则α∥β，但m∥n 时，不一定有α∥β，故错误；③根据面面垂直的性质定理：若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，故正确；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β或n⊂β，故错误；故正确的命题的序号是：①③，故答案为：①③点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．11．姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标，则共有150种中标情况（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，则每队至少承包一项工程，此类问题的求解，第一步要将五项工程分为三组，第二步再计算承包的方法，由于五项工程分为三组的分法可能是3，1，1或2，2，1故要分为两类计数．解答：解：若五项工程分为三组，每组的工程数分别为3，1，1，则不同的分法有C53=10种，故不同的承包方案有10A33=60种，若五项工程分为三组，每组的工程数分别为2，2，1，则不同的分法有C 52C32=15种，故不同的承包方案15A33=90种，故总的不同承包方案为60+90=150种．故答案为：150．点评：本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解“五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来”，将问题分为两类计数，在第二类2，2，1分组中由于计数重复了一倍，故应除以2，此是本题中的易错点，疑点，解题时要注意避免重复，这是计数问题中常犯的错误．12．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x 1，x2，…x n，总满足：[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]≤f（），称函数f（x）为D 上的凸函数．现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：根据f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数以及凸函数的定义可得≤f（）=f（），即sinA+sinB+sinC≤3sin ，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值．解答：解：：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），∴≤f（）=f（），即sinA+sinB+sinC≤3sin =，所以sinA+sinB+sinC的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的最值问题．考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力，属于中档题．13．已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC 上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l 的方程是．考点：直线的一般式方程．专题：综合题．分析：因为不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，故取两种特殊情况分别求出相应的P点坐标即可求出直线l的方程，方法是：E和H分别为|AB|和|AC|的中点或三等份点，分别求出E、F、G、H四点的坐标，然后利用相似得到相应的P点、P′点坐标，根据P和P′的坐标写出直线方程即为定直线l的方程．解答：解：①当E、H分别为|AB|和|AC|的中点时，得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c﹣b），而|FO|=﹣，所以|OQ|=|FQ|﹣|OF|=（c﹣b）+=，所以P（，）；②当E、H分别为|AB|和|AC|的三等份点时，得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c﹣b），而|FO|=﹣，所以|OQ|=|FQ|﹣|OF|=（c﹣b）+=，所以P′（，）．则直线PP′的方程为：y﹣=（x﹣），化简得y=﹣x故答案为：y=﹣x点评：此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题，会根据两点坐标写出直线的一般式方程，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0与曲线y=f（x）均不相切，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．解答：解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．点评：本题解题的关键是对“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，同时考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（2015春•江苏校级期中）已知复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2=（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）如果复数a+bi（a，b是实数）那么a=0不b≠0．由此解答；（2）根据点的位置确定，复数的实部和虚部的符号，得到不等式组求之．解答：（1）因为复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i（m∈R）是纯虚数，所以m（m﹣1）=0，且m﹣1≠0，解得m=0；…（7分）（2）因为复数（m∈R）在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解之得﹣1＜m＜1；…（14分）点评：本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）那么a=0不b≠0．16．（14分）（2015春•江苏校级期中）是否存在常数a，b 使得2+4+6+…+（2n）=an2+bn对一切n∈N*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，再令n=1，n=2构造两个方程求出a，b，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．解答：解：取n=1和2，得解得，…（4分）即2+4+6+…+（2n）=n2+n．以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证．…（6分）（2）假设当n=k，k∈N*时等式成立即2+4+6+…+（2k）=k2+k …（8分）那么，当n=k+1 时有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k2+k+（2k+2）…（10分）=（k2+2k+1）+（k+1）=（k+1）2+（k+1）…（12分）就是说，当n=k+1 时等式成立…（13分）根据（1）（2）知，存在，使得任意n∈N*等式都成立…（15分）点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．17．（15分）（2013秋•海陵区校级期末）在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y ﹣3m﹣1=0（m∈R）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程．（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交．（3）由条件利用弦长公式求得圆心M（，）到直线l的距离为d=．再根据据点到直线的距离公式求得m的值，可得直线l的方程．解答：解：（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x=，线段AC的垂直平分线为y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），故圆的半径为|MC|==，故圆的方程为+=．（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y ﹣1=0，由可得，故直线经过定点N（1，1）．由于MN==＜r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，故圆心M（，）到直线l的距离为d==．再根据点到直线的距离公式可得=，求得m=﹣2，或m=，故直线l的方程为y=1，或x=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线过定点问题，直线和圆的位置关系，属于中档题．18．（15分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．19．（16分）（2014春•姜堰市期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字．（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：（1）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能再首位），再排其它三个位值，注意数字可以重复，（2）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能再首位），再排其它四个位值，注意数字不可以重复，（3）利用分类计数原理，比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，然后再分类求出即可．解答：解：（1）能够组成四位数的个数为：5×6×6×6=1080（2）能组成没有重复数字的五位数的个数为：=600；（3）比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，其中：六位数有：；五位数有：=600；四位数有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有；千位是3的分为百位是2、4、5的与百位是1的，百位是2、4、5的有，百位是1的分为十位是4和5两种情况，十位是5的有3种，十位是4的有1种，所以共有600+600+120+36+3+1=1360．答：能组成四位数1080个；没有重复数字的五位数600个；比3142大的数1360个．点评：本题主要考查了分类计数原理，关键如何分类，遵循不重不漏的原则，属于中档题．20．（16分）（2014•广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f （x）的三条切线，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解．解答：解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．（2分）根据题意，得即解得所以f（x）=x3﹣3x．（2）令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减因为f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，所以当x∈[﹣2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．所以c的最小值为4．（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f （x）上，所以可设切点为（x0，y0）．则y0=x03﹣3x0．因为f'（x0）=3x02﹣3，所以切线的斜率为3x02﹣3．则3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解．所以函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点．则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在此区间单调递减；所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：，即，解得﹣6＜m＜2．点评：（1）此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想；（2）此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值；（3）此题重点考查了数学中导数的几何含义，还考查了函数解的个数与相应方程的解的个数的关系．。
2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题word版 含答案
2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（理科）一．填空题（5分×14）1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有▲▲▲个三位数；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于▲▲▲；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第▲▲▲象限；4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为▲▲▲；5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的对角线长为将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为▲▲▲；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝▲▲▲；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得 ▲▲▲2n =；8．计算：234i i i i +++=▲▲▲；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为▲▲▲；10．用数学归纳法证明不等式“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n ”时，由n ＝k 到n＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是▲▲▲；11．二项式252(x展开式中的常数项是▲▲▲；12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为▲▲▲；13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有▲▲▲种；14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有▲▲▲种.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知复数z 满足125()z i i +=.(1)求复数z ，并判断z 是否为方程2450x x -+=的一个根；(2)求复数5z z+的模.16．（14分）已知复数z＝362+--m mm＋imm)152(2--.(1) m取何实数值时，z是实数？(2) m取何实数值时，z是纯虚数？17．（14分）已知关于x的一元二次方程2220x ax b++=，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a=，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n n a a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？20．（16分）已知2*,n nN ≥∈，试用数学归纳法证明：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n .高二数学试题（理科）参考答案1. 602. 223. 二4.236.37. ()13521...n ++++-8.09. 2310. 121+k ＋221+k －11+k (121+k －221+k 也正确) 11.10 12.25 13. 2 880 14. 120 15. (1)5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-， 方程2450x x -+=的根为2i ±，所以复数z 是该方程的一个根； (2)552422z i i z i+=-+=-+，∴5z z +. 16.(1)22150m m --=，解得3m =-或5,而3m =-时，实部没有意义，所以3m =-舍去，可得m=5； (2)226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪--≠⎩，解得2m =-或3.17.设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当a ≥0且b ≥0时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）， 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含5个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=56； （2）因为103,[,]a b =∈，所以当01b ≤≤时，满足a ≥b ，∴P （A ）=13.18.(1)2341212,,a a a ==-=； (2)∵111n na a +=-， ∴211111111111n n n n n n n a a a a a a a ++--====------， ∴()32111111n n n n n n n na a a a a a a a ++-====-------. 即3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)由前面的结论，可得201531a a ==-.19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法. 故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.20.证明：⑴ 当n ＝2时，左边＝1＋31＝34，右边＝25 ∵ (34)2＝916＝4964⨯＞(25)2＝45＝4945⨯ ∴ 不等式成立．⑵ 假设当n ＝k 时，不等式成立．即(1＋31)(1＋51)(1＋71) (1)121-k )＞2112+k 当n ＝k ＋1时，(1＋31)(1＋51)(1＋71)…(1＋121-k )(1＋121+k )＞ 2112+k ·(1＋121+k )＝21(12+k ＋121+k ) 要证21(12+k ＋121+k )＞211)1(2++k需证12+k ＋121+k ＞32+k 即证121+k ＞0 ， ∵ k ∈N *，∴ 121+k ＞0成立 ∴ 当n ＝k ＋1时，不等式成立．由⑴、⑵知，对任意n ∈N *，不等式成立．。
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邻水中学高2016级（高二数学理下）中期考试
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A ．{}1
B ．{{}0)1(|2=-∈y R y
C ．{}1=x
D ．{}01|=-x x
2．i 是虚数单位，复数=++i i
437（ ）
A ．i -1
B ．i +-1
C ．i 2531
2517
+ D ．i 725
717
+-
3．设R x ∈，则“21
>x ”是“0122>-+x x ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设函数)(x f 在0x 处可导，则=--+→t t x f t x f t )
3()(lim 000（ ）
A ．)(0x f '
B ．)(20x f '-
C ．)(40x f '
D ．不确定
5．“022≠+b a ”的含义为（ ）
A ．a 、b 不全为0
B ．a 、b 全不为0
C. a 、b 至少有1个为0
D ．a 不为0且b 为0或b 不为0且a 为0
6．若0>>b a ，则下列不等式总成立的是（ ）
A ．a b b a 11
+>+ B ．11
++>a b a b
C ．b b a a 11+>+
D ．b a
b a b
a >++22
7．要证：012222≤--+b a b a ，只要证明（ ）
A ．01222≤--b a ab
B ．0214
422≤+--+b a b a
C ．012)(222
≤--+b a b a D ．0)1)(1(22≥--b a
8．函数)32(sin )(2π
+=x x f 的导数是（ ）
A ．)32sin(2)(π
+='x x f B ．)32sin(4)(π
+='x x f
C ．)324sin()(π+='x x f
D ．)3
24sin(2)(π+='x x f 9．观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，……
则=+1010b a （ ）
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199 10．已知函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值极点都在区间)1,1(-内，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，2]
B ．（0，2）
C ．)2,3[
D ．)2,3(
二、填空题（本题共5个，每小题5分，共25分）
11．已知复数i z +-=1，则=-⋅z z z
z .
12．命题P 的否定是：“对所有正数x ，1+>x x ”，则命题P 是 . 13．函数x x x f 2ln )(-=的单调递减区间是 .
14．设曲线ax e y =在点（0，1）处的切线与直线0
12=++y x 垂直，则=a .
15.。
有11粒花生，某人可以一口吃1料，或者一口2料，则此
人恰好分8口吃完的吃法的种数为 .
三、解答题（共75分）
16．（12分） ①已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，求k 的值.
②已知4
1322+=n n A A ，求25log n 的值.
17．（12分）①已知复数z 满足i z z 2110
||-=-，求z.
②用数学归纳法证明：)(53*∈+N n n n 能被6整除.
18．由0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数，
①这机关报五位数有多少个？
②共中1各项不相邻的五位数有多少个？
③其中比2015大的五位数有多少个？
19．已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.
①当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；
②求函数)(x f 的极值.
20．已知正三棱柱111C B A ABC -，点D 为AB 的中点，CD D A =1,
①求二面角B CD A --1的余弦值.
②求异面直线1BC 与D A 1所成角的大小;
③设2=AB 异面直线1BC 与D A 1之间的距离.
21．已知函数ax x x x f -+=2ln )(（a 为常数）,
①若1=x 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；
②当20≤<a 时，判断)(x f 的单调性；
③若对任意的)2,1(∈a ，存在]2,1[0∈x ，使不等式a m x f ln )(0>恒成立，求实数a 的取值范围.
邻水中学高2016级（高二下）中期考试
数学答卷（理科）
二、填空题（本题共5个，每小题5分，共25分）
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题（本题共6小题，16、17、18、19题各12分，20题13分，21题14分，共75分） 16．
17． 18． 19．
20．
21．。