论矩阵的对角化问题论文开题报告
浅谈矩阵的对角化问题(浓缩稿)
浅谈矩阵的对角化问题(浓缩版)学号：0807402069 学生姓名：马莉莹 指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范）摘要：矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵等. 关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换.Abstract: Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix ，real symmetric matrix and hermite matrix. Keywords : diagonalization ，eigenvalue ，eigenvectors ，similarity transformation ，linear transformation.一．矩阵相似对角化的条件由于矩阵的类型和所在数域的不同，其对角化的条件也不同. 1.任意数域上矩阵相似对角化的条件 充要条件设1,,m λλ 为n 阶方阵A 的m 个互异的特征值，且它们的重数分别为1,,m s s ，1,2,,i m = .A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔对于A 的每个特征值i λ,其代数重数等于其几何重数 ⇔()i i r n s λ-=-I A ⇔A的最小多项式无重根⇔1()mii λ=-=∏I A 0⇔对于A 的每个特征值i λ，都有2()()r r λλ-=-I A I A⇔A 的初等因子都是1次的 ⇔A与某个循环矩阵相似充分条件A 有n 个不同特征值⇒A可对角化A的零化多项式无重根⇒A可对角化2.复数域上Hermite 矩阵必可酉相似于对角矩阵.3.实数域上对称矩阵必可正交相似于对角矩阵.二．矩阵对角化的若干方法（一）一般矩阵对角化的方法特征向量法是将矩阵对角化的常规方法，用该方法解决问题时需要求解齐次线性方程组，过程繁琐.下面介绍其它四种将矩阵对角化的方法. 1.矩阵乘积运算法设12,,,s λλλ 是A在数域F 上全部互异的特征值.其重数分别为12,,,s n n n ,且1sii nn ==∑，记i V λ为A 的属于i λ()1,2,,i s = 的特征子空间. 对()i λ-=I A X 0，有：（1）若A 可对角化，则对A 的每一特征值i λ，都有i n 个与之对应的线性无关的特征向量. （2）A 可对角化的充要条件是对于A 的每个特征值i λ,()ii dim V n λ=.采用类比推测，可得定理1.定理1：设12,,,s λλλ 是A 在数域F 上全部互异的特征值，其重数分别为12,,,s n n n ,且1sii nn ==∑，记i W =()1sj j j iλ=≠-∏I A ()1,2,,i s = . 对()()()12s λλλ---= I A I A I A 0，有：（1）若A 可对角化，则矩阵i W 的列向量组中有对应于i λ的i n 个线性无关的特征向量. （2）A 可对角化的充要条件是()i i rank n =W ()1,2,,i s = .定理1表明，要构造可对角化矩阵A 的相似变换矩阵P ,只需对每一特征值i λ，从矩阵乘积()1sj j j i λ=≠-∏I A 中找出i n 个与之对应的线性无关的特征向量，以这样所得的in n=∑个特征向量为列作一个n 阶矩阵即可.例1：设12202120221001⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由2(1)(5)(1)0λλλλ=-+--=I A ，得 11λ=-（二重），25λ=，31λ= ()()()()()123()50λλλ---=----=因为 I A I A I A I A I AI A ，所以A 可对角化.当11λ=-（二重）时：()()()()123584404840448000λλ--⎛⎫ ⎪-=--=-⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭--W I A I A I A I A 取1W 中两个线性无关的特征向量()()12844,04,8,4,0TT=--=--，，，αα. 当25λ=时：()()()()21388808880888000λλ=--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=---W I A I A I A I A 取2W 中的特征向量()38,8,8,0T=α当31λ=时：()()()()312000000000050008λλ=--=--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭W I A I A I A I A 取3W 中的特征向量()40,0,0,8T=-α.令()1234=，，，P αααα，则1(1,1,5,1)diag -=--P A P2.Jordan 标准形法由于复数域C 上任意n 阶矩阵A 都相似于一个Jordan 矩阵J ，所以存在可逆矩阵P ，使得1-=P A P J .如果J 为对角矩阵，则A 可对角化，否则，A 不可对角化.由于矩阵P 可逆，所以存在一系列的初等矩阵12,,,t P P P ，使得12t = P P P P .于是有：1112112t t ---= P P P A P P P J .可对A 先施行一次初等行变换后，接着施行一次相应的初等列变换,我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显然，可对A 施行一系列的相似变换，将A 化为Jordan 形矩阵J .例2：设460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭=A ，求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角矩阵. 解：将A 化为Jordan 标准形3121121346026026011350010010(1)(1)361361001r r r r c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⎪⎪⎪--−−−−−−→−−−−−−→ ⎪⎪⎪+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝=⎝⎭⎭A1221200(2)0102001r r c c -⎛⎫+⨯- ⎪−−−−−−→ ⎪+⨯ ⎪⎝⎭由A 的Jordan 标准形知，矩阵A 可对角化且它的特征值为-2,1,1.上述过程对A 共施行了三次相似变换，且三次初等列变换对应的矩阵分别为：123100100120110,010,010001101001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P所以123120110121⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭P P P P ，且1211--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P A P .3.λ矩阵标准形法引理1：设A 是n 阶方阵，则必能用初等变换将λ-I A 变为对角矩阵：12()()()()n t t t λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T 并且多项式 ()(1,2,,)i t i n λ= 的所有根恰好是A 的所有特征值.定理2：设A 是n 阶方阵，{}12()(),(),()n diag t t t λλλλ= T 是对角形λ矩阵，()λP ，()λQ 是可逆的λ矩阵，且满足()()()()λλλλ-=P I A Q T .如果()()()((),)((),())()TTTTTTλλλλλλλ--−−−−−−−−−−→Q I A P I A I T Q Q I.即对()T λ-I A 作初等行变换和初等列变换，使其变为对角矩阵()λT .I 随着()T λ-I A 行的变化而变为()T λQ .则（1） 若12(),(),()n t t t λλλ 的所有根12,,s λλλ 都在F 内，则12,,s λλλ 就是A 的所有特征值.（2） 对于A 的特征值12,,s λλλ ，设第12,,,m ik k k 行是()i λT 的全部为零的行，则()T i λQ 的第12,,,m ik k k 行即构成iV λ的基.其中iV λ为特征值i λ的特征子空间.（3）A 可对角化⇔,(1,2,)i i i r m i s λ∀== ，此处i r 是i λ的重数.根据定理2即可得到λ矩阵标准形法： (1) 作初等变换：()()()((),)((),())()TTTTTTλλλλλλλ--−−−−−−−−−−→Q I A P I A I T Q Q I设{}12()(),(),,()n diag t t t λλλλ= T ，求出12(),(),,()0n t t t λλλ= 的所有解. (2) 若12(),(),,()0n t t t λλλ= 的解都在F 内，并且对每个解i λ都有()i λT 中零行的数目 等于i λ的重数，则A 可对角化，转（3）；否则A 不可对角化，结束.(3) 对于A 的任一特征值i λ，若()i λT 的第12,,,m i k k k 行都为零，则取出()T i λQ 的第 1k ，2k , ,m ik 行构作:1111((),,(),,(),,())m s m sT TTTk kk s k s λλλλ= T Q Q Q Q则12112(,,,)sm m s m diag λλλ-= T AT I I I .例3：设132132264⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求可逆矩阵T ，使得1-T A T 为对角矩阵. 解：作初等变换：()2112100100100,33601002011222410021T λλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-+-→-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭I A I 按上述方法：（1）记2100002()00λλλλ⎛⎫⎪= ⎪ +⎪⎝⎭-T ，100()112201T λλ⎛⎫⎪=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭Q 则1230,2λλλ===（2）当120λλ==时，(0)T 中零行的数目0=的重数2=-当32λ=时，(2)T 中零行的数目2=的重数1=-.所以A 可对角化.（3）当120λλ==时，()()()1001000,00001120021T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭T Q 取(0)T Q 中与(0)T 中零行所对应的特征向量()11,1,2T=-α，()22,0,1T=-α 当32λ=时，()()()1001002,200011200221T ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭T Q 取(2)T Q 中与(2)T 中零行所对应的特征向量()31,1,2T=--α.令()123121,,101212--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭T ααα，则1002-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭T A T =4. 数字矩阵对角形法若矩阵A 在数域F 上可对角化，则存在F 上的可逆矩阵T ，使得1-=T AT B 为对角矩阵，且B 的主对角线上的元素为A 的全体特征值.由于矩阵T 可逆，所以存在一系列的初等矩阵12,,,s T T T ，使得12s = T T T T .于是：11111112s s s ----- B =TA T =T T T A T T T ，做初等变换：⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B I T . 即对A 施行一系列的初等行变换和初等列变换,使其变为对角矩阵B ，对I 只施行相应的初等列变换变为T .在施行初等变换时,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换，只要保持变换后所得矩阵与A 相似即可.例4：若1111111111111111⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A ，求可逆矩阵T ，使得1-T A T 为对角矩阵.解：作初等变换：200002001111002011110002111111111111444100031110100444001013114440011131444-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪--⎛⎫ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭A I 所以A 可对角化.令1111444311144413114441131444⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭T ，则有120000200002002--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T A T .利用初等变换将矩阵对角化时，我们可以从变换后的最终矩阵中直接读出相似变换矩阵和对角矩阵，大大简化了求解过程.(二）实对称矩阵对角化的方法Schmidt 正交法是将实对称矩阵对角化的基本方法，使用该方法时需要牢记公式且计算量较大.下面我们介绍另外两种方法. 1.直接正交法该方法从向量正交的基本定义出发，直接从特征子空间中求出正交向量，易于理解和掌握，且在特征值出现重根的情况下,计算量也大为减少.例5：设 1333313333133331---⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭A ，求正交矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由3(4)(8)0λλλ-=+-=I A ，得14λ=-（三重），28λ=. 设41234(,,,)T x x x x R =∈X当14λ=-时，解齐次线性方程组(4)--=I A X 0，得1243x x x x =+-.先取一个特征向量1(1,1,0,0)T =α. 设特征向量22222(,,,)T a b c d =α.因2α与1α正交，从而有220a b +=.又因为2222a b d c =+-，所以可得2222a d c =-. 取211(,,0,1)22T =-α.再设特征向量33333(,,,)T a b c d =α.因3α与1α和2α都正交，从而有330a b +=，33311022a b d -+=.又因为3333a b d c =+-，所以可得333a c =-.取3(2,2,6,2)T =---α. 现将1α，2α，3α都单位化：122,,0,022T⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭β，2666,,0,663T ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β，33333,,,6626T⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭β. 当28λ=时,可求得单位特征向量：41111,,,2222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭β.令1234(,,,)=P ββββ，则()14,4,4,8T diag ----P AP =P AP =.2.度量矩阵法对于n 维欧氏空间V ,令1,,n αα是它的一个基，它的度量矩阵()()()()1111,,,,n n n n ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A αααααααα是正定矩阵,于是A 合同于单位矩阵I ，即可求得n 阶可逆矩阵U ，使得T =U AU I .利用U 和V 的基1,,n αα作一个新基:121(,,,)(,,)n n = βββααU .那么，新基的度量矩阵即为：()()()()1111,,,,n Tn n n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=U A U Iββββββββ.所以12,,,n βββ是欧式空间V 的标准正交基.例6：设0111101111011110-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A ，求正交矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由3(1)(3)0λλλ-=-+=I A ，得11λ=（三重），23λ=-. 当11λ=时，解齐次线性方程组()-=I A X 0，得基础解系 1(1,1,0,0)T =α，2(1,0,1,0)T =α，3(1,0,0,1)T =-α当23λ=-时，解齐次线性方程组(3)--=I A X 0，得基础解系4(1,1,1,1)T =--α 则 1234,,,αααα是4R 一组基.记其度量矩阵为B ，那么21101210112004-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭B 对矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭B I 作合同变换：⎛⎫ ⎪⎝⎭B I =2110121011200004100001000010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→1000010000100001263026663003630002102⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.取263026663003630002102⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U ，则有1111T ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭U B U . 利用U 和基1234,,,αααα作新基:12341234(,,,)(,,,)=ββββααααU .则： 122,,0,022T⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭β， 2666,,,0663T⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β. 33333,,,6662T⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β， 41111,,,2222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭β.由于1234,,,ββββ的度量矩阵T =U B U I ，故1234,,,ββββ是4R 的标准正交基.令1234(,,,)=P ββββ，则P 是正交矩阵且1T -P AP =P AP .三.特殊矩阵的对角化 1.幂等矩阵定理3：n 阶幂等矩阵A一定可以对角化，并且A的相似标准形是 0r⎛⎫⎪⎝⎭I ，其中()r rank =A ,r I 是r阶单位矩阵.证明： 因为2=A A ,所以A 有零化多项式2()(1)g λλλλλ=-=-，因为()g λ无重根，所以A可对角化.而A 的特征值只有0和1，所以A 的相似标准形是0r⎛⎫⎪⎝⎭I ,其中()r rank =A .由该定理可以推出幂等矩阵的若干性质： 性质1：幂等矩阵A 的迹等于A 的秩.证明：设A 是数域F 上的一个n 阶幂等矩阵，()r rank =A .如果0r =，则()0()rank tr ==A A .如果r n =，则=A I ．从而()()rank n tr ==A A ．下面设0r n <<.由A 的相似标准形0r⎛⎫⎪⎝⎭I 得： ()((,0))()r rank r tr diag tr ===A I A ．性质2：任意n 阶矩阵A 都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积. 证明：设n 阶方阵A 的秩为r ，则存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得： 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭I PA Q 所以1111100()()0000r r -----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I I A PQ P Q Q Q . 令11--=B P Q ，1000r -⎛⎫=⎪⎝⎭I C Q Q .易知B 为可逆矩阵.因为2=C C ，所以C 为幂等矩阵.即任意n 阶矩阵A 都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.2.幂零矩阵引理2：若()f λ 为A 的特征多项式，()m λ为A 的最小多项式，则()()f m ==A A 0. 引理3：设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .幂零矩阵具有下列性质：性质3：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.证明：（必要性) 若A 为幂零矩阵，则存在正整数k ，使得k =A 0.令0λ为A 的任意一个特征值，则存在≠α0,使得0λ=A αα.由引理3知0k λ为k A 的特征值. 所以存在 ≠β0，使得 0k k λ=A ββ，从而有00k λ=即有00λ=.又由k =A 0，知00kk ==⇒=A A A ，所以 0(1)(1)00k k ⨯-=-=-=-⋅=I A A A . 所以00λ=为A 的特征值.由0λ的任意性知A 的特征值全为0.（充分性）因为A 的特征值全为0, 所以A 的特征多项式为()n f λλλ=-=I A ,由引理2知()n f ==A A 0,所以A 为幂零矩阵.性质4：若A 为幂零矩阵且≠A 0，则A 不可对角化.证明：若A 可对角化，则存在可逆矩阵P ，使得1-=A P DP ，此处D 是n 阶对角形.若A 为 幂零矩阵，则存在正整数k ，使得k =A 0，即： 11()k k k --===A P DP P D P 0，因为1110kk k k k ---=====P D P P D P P P D D D ，所以有： 10,,-====D D 0A P DP 0， 与题设矛盾.3.幂幺矩阵性质5：幂幺矩阵在复数域上可对角化.证明：若A 为幂幺矩阵，则存在正整数k ，使得k =A I ，所以A 有零化多项式()1k g λλ=-. 因为在复数域上，()g λ的根都是k 次单位根，故()g λ无重根，所以A 可对角化.注意：A 在实数域上不一定可对角化！ 例如0110-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，满足4=A I ，即A 为幂幺矩阵，但是2()1f λλλ=-=+I A 在实数域上无根，所以A 在实数域上不可对角化.4.实对称矩阵性质6：实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交.性质7：设λ是实对称矩阵的k 重特征值，则对应于特征值λ，矩阵有k 个线性无关的特征向量. 定理4:设A是一个n n ⨯实对称矩阵.则存在一个正交矩阵P,使得()112,,,Tn diag λλλ-== P AP PAP ,并且i λ是实数，1,2,,i n = .证明：设A的互不相等的特征值为12,,,()s s n λλλ≤ ，并且它们的重数依次为1212,,,()s s r r r r r r n +++= .则对于特征值(1,2,,)i i s λ= ，恰有i r 个线性无关的实特征向量.把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量.由12s r r r n +++= 知，这样的特征向量共可得n 个.由于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交，以它们为列向量作成正交矩阵P ，则：1T -=P AP P AP 为一个实对称矩阵111,,,,,,s s sdiag r r λλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.5.Hermite 矩阵欧氏空间实质上是实数域上的一个内积空间.类似地考虑复数域上的内积空间—酉空间和酉空间上的线性变换.与正交变换和实对称矩阵类似，酉空间中有酉变换与Hermite 矩阵.性质8：设n n C ⨯∈A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值均为实数.证明：设λ为A 的特征值，α为其对应的特征向量，即λ=A αα，那么： (,)(,)(,)(,)(,)(,)λλλλ=====ααααααααααααA A 但(,)0>αα，所以λλ=，即λ为实数.性质9：设n n C ⨯∈A 是Hermite 矩阵，则对应于A 的不同特征值的特征向量必正交. 证明：设,λμ是A的两个不同的特征值，,αβ分别是它们所对应的特征向量，则有λ=A αα，μ=A ββ.(,)(,)(,)(,)(,)(,)λλμμ=====αβαβαβαβαβαβA A ，即()(,)0λμ-=αβ.由于A 的特征值为实数，也即()(,)0λμ-=αβ.又因为λμ≠，所以(,)0=αβ，即,αβ正交.引理4：设n n C ⨯∈A ，则存在一个酉矩阵P ，使得1-P A P 是一个上三角形矩阵.定理5：设n n C ⨯∈A ，并且A是Hermite 矩阵，则存在一个酉矩阵P , 使得()112,,,Hn diag λλλ-== P AP PAP ,并且i λ是实数，1,2,,i n = .证明：由引理4知存在一个酉矩阵P ,使得 ()1H ij n n g -⨯===G P AP P AP 是一个上三角形矩阵.又P 是一个酉矩阵，故G 也是Hermite 矩阵.于是，对任意,,1i j i j n ≤<≤，都有ij ji g g =，这迫使当1,2,,,1,2,,,i n j n i j ==≠ 时，有0ij g =；并且i ii g λ=是实数，1,2,,i n = .因此，Hermite 矩阵必定可以对角化，且它的特征多项式的复数根都是实数.。
矩阵可对角化的充分必要条件论文
学号 **************密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋********二○一二年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYMatrix diagonalization of the necessary and sufficient conditionCollege : MathematicsSubject : Mathematics and Applied MathematicsName : Lian LifengDirected by : Li XudongMay 2012郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。
尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。
对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。
本学位论文的知识产权归属于培养单位。
本人签名 : 日期 :摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。
对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。
本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。
关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化ABSTRACTMatrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given．Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization目录第1章绪论 (1)第2章矩阵可对角化的概念 (2)2.1特征值、特征向量的概念 (2)2.2矩阵可对角化的概念 (2)第3章矩阵可对角化的充分必要条件 (4)3.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)3.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)第4章矩阵可对角化的应用 (9)第5章结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)第1章绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。
浅谈矩阵对角化及其应用(米亚兄) - 天津商业大学商学院【优秀资料】
浅谈矩阵对角化及其应用（米亚兄）- 天津商业大学商学院【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。
众所周知：n维向量空间V中的线性变换δ可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而δ可对角化的充要条件是δ关于V的矩阵A可对角化。
内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。
关键词：矩阵对角化特征多项式特征值特征向量导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。
具体内容：1、矩阵可对角化的条件：1）设δ是n维线性空间的一个线性变换，δ的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是δ有n 个线性无关的特征向量。
2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P−1AP是对角矩阵。
3）设A 是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T，使得T1-AT=∧,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。
可对角化矩阵的基本性质和结论：1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
2）数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。
3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。
4）如果在n 维空间V 中，线性变换δ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即δ有n 个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。
矩阵对角化研究开题报告
矩阵对角化研究开题报告一、选题背景及意义对于一个给定的矩阵，我们可以通过对其进行对角化来得到其特征值和特征向量。
矩阵对角化是线性代数中的重要内容之一，在现代数学及其应用领域中具有广泛的应用。
例如，对角化矩阵在矩阵的指数函数、线性常微分方程组的求解以及优化问题等方面都有着重要的应用。
因此，对角化的研究不仅对于解决数学问题具有必要性，而且也对于实际问题的解决有着重要的意义。
本研究旨在探讨矩阵对角化的一些基本概念和方法，深入研究矩阵对角化的性质，并且应用到一些实际问题的解决中。
二、研究内容和方法1.线性代数基础理论线性代数是研究向量空间及其线性变换的一门基础科学。
本项目将首先复习线性代数的一些基本概念和相关理论，例如行列式、矩阵求逆、特征值与特征向量等内容，并分析这些基本概念与矩阵对角化之间的联系。
2.矩阵对角化的方法对于某个给定的矩阵，我们需要找出它所包含的特征值和对应的特征向量，从而实现矩阵对角化。
本项目将介绍求解矩阵特征值和其所对应的特征向量的方法。
其中，我们会重点讨论幂法、反幂法、QR分解以及雅可比方法等求解特征值和特征向量的常用算法，并在 MATLAB 软件环境下进行数值模拟。
3.矩阵对角化的性质和应用对于对角化后得到的矩阵，我们将会分析它的性质，并探讨矩阵对角化在解决实际问题中的应用。
例如，对角化矩阵在矩阵的指数函数、线性常微分方程组的求解以及优化问题等方面都有着重要的应用。
三、预期目标和成果通过本项目的研究，我们将达到以下目标：1.理解矩阵对角化的基本概念和相关理论。
2.掌握求解矩阵特征值和特征向量的方法，能够利用MATLAB 软件进行数值模拟。
3.深入研究矩阵对角化的性质，探讨其在实际问题中的应用。
4.完成研究报告并撰写相关论文。
5.具备一定的科研能力和团队协作能力。
四、研究计划和进度安排本项目的研究时间为一个学期，具体计划如下：第一周：确定研究课题，分析研究内容和目标，撰写开题报告。
矩阵可对角化的判定条件开题报告
矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。
矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。
如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。
随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。
于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。
它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。
但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。
因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法。
特别给出了解题时方法的选择。
矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。
矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。
矩阵对角化及应用论文
矩阵对角化及应用理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化.矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组AX X λ= (1)存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成,()0E A X λ-= (2)这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式=0E A λ-, (3)即1112121222120n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式．111212122212()||n nA n n nna a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-=---111n n n n a a a λλλ--=++++显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=+++;（ⅱ）12n A λλλ=.若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程=0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ; (3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积1212()()()()i r r r i f λλλλλλλ=---则V 可分解成不变子空间的直和其中i V = {ξ|iri 12-==s V V V V λ⊕⊕⊕（A E ）;ξ∈V}引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若1λ, 2λ,...,K λ 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为1r , 2r ,... k r , 那么 (Ⅰ) 可对角化的充要条件是()i j i jE A r λ≠⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏秩 j=1, 2,.......k(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,()ii jE A λ≠-∏ 的列空间就是A 的属于特征根iλ的特征子子空间.证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使{}11122,,...,k K T AT diag E E E λλλ-=这里右边是分块对角矩阵, j E 为i r 阶单位阵, 于是有()()()11i i i i j i j i j E A T E A T E T AT λλλ--≠≠≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏秩秩秩={}()122,,...,i K K i j E diag E E E λλλλ≠⎛⎫-⎪⎝⎭∏秩=()()(){}12,,...,,i j i j i j Ki j diag E E E λλλλλλ≠⎛⎫---⎪⎝⎭∏秩 =()0,0,...0,,0,0,...,0i j j j i jdiag E r λλ≠⎛⎫⎧⎫-= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∏秩 j=1,2, ......k.反之,若()()ijE A r λ-=∏秩i=1,2,.....k, 反复用引理可得()()()()()22i j i i i ji jE A E A K n n r k n λλ≠≠-≥---≥---∑∑∏秩r 秩 i j i jn r r ≠=-=∑ j=1,2,...,k.这里用到了齐次线性方程组()0i E A X λ-=的解空间的维数不大于i λ的重数不大于j r 这个结论.于是又()()iii j i jE A n r λ≠≠-=-∑∑秩从而()i iA n r λ-=-秩 i=1,2,......k. 这样的矩阵可以对角化.(Ⅱ)设( Ⅰ)式成立,则A 可对角化.故A 的最小多项式为()1kii x λ=-∏从而()10kii E A λ=-=∏ 即 ()()0i ii jE A E A λλ≠--=∏这就是说,列空间包含在i λ的特征子空间中,但是由(1), ()ii jE A λ≠-∏的列空间的维数是n,它正是j r 的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ) 成立.推论: 设A 为实数域F 上的n 阶矩阵,A 的特征根全为F 内,且1λ, 2λ 是A 的全部不同的特征根, 其维数分别为1r , 2r , 若秩()12E A r λ-=,秩()21E A r λ-=,则A 可以对角化,且()E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ 的极大线性无关的特征向量组,2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.例1: 判断A=460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭能否对角化,并求特征向量.解: 易知A 的特征根1λ =-2 , 2λ =1.1E A λ- =660350363--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 和2E A λ- =360360360--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩分别为2与1,故A 可对角化. 又因为可以选取001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭和210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为的列空间的一个基,111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是属于1λ的特征向量.定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.2．实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使1T P AP PAP -=为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到 A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , 1T PAP PAP -=为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值,操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵,对于任一n 维非零列向量x ,称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, 1λ≥2λ≥......≥n λ 为A 的特征值.()()()()11/{0}/{0},,max ,min,,nnx R x R Ax x Ax x x x x x λλ∈∈== 定义2.2 设w 为n 维列向量,且T w w = 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2Tww 称为Householder 阵.引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质: (1) TH H =(2) T TH H HH I == ( H 是正交阵) .引理2.3 设x , y ∈nR , x ≠y , X Y =,则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中()()22/TH I x y x y x y =----定理2.1 设A 是实对称矩阵,λ, x (2X= 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量,则存在P 为一个正交阵,使Px =1e = ()1,0,0 0. 且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为λ,其余元素均为零.证 设A 是实对称矩阵, 1λ≥ 2λ≥ ...≥ n λ为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ 及相应的规范化特征向量1X . 不妨假设‖1X ‖ = 1 ,由引理2.3 ,存在1P 为一个正交阵,使11P X =1e =()1,0,0, 0.且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为1λ , 其余元素均为零. 设111100TP AP A λ⎛⎫=⎪⎝⎭, 为对称阵,故1A 也为对称阵,设2λ 及2X 为1A 最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3 ,存在2Q 为一个正交阵,使()2211,0,0, 0Q x e ==.且212T Q A Q 的第一行和第一列除2λ 外其余元素均为零. 令22100P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,容易验证2P 亦为正交阵, 满足:1121122212200000000T TT P P AP P Q AQ A λλλ⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭依此类推, 存在正交阵1p ,2p , ⋯,1n p -, 使得1n p -...2p 1p 121...T T Tn Ap p p D -=,则T PAP =D,其中 D 为对角阵,令121P P P P n -=,则TPAP D =,P 即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.例2: 设矩阵210210582811A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 1λ≥2λ≥3λ为A 的特征值.按上面的算法进行对角化,求出正交矩阵P 及特征根和特征向量.解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ = 18 ,相应的特征向量为1122,,333Tx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 计算正交矩1p =()()211112/Tp I x e x e x e =----=122333221333212333⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭,满足()1111,0,0T p x e ==且111800090009TP AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,至此已实现对角化. 借此可求得= 2λ=9 , 3λ = - 9. 相应的特征向量分别为2212,,333Tx ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,3221,,333Tx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3．循环矩阵对角化方法的研究在复数域 C 上,形如012110121230........................n n n a a a a a a a a A a a a a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的矩阵,称关于元素列011,,...,n a a a -的循环矩阵.已知n 阶循环矩阵010 (00)01...0 (1)00...0K ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,并令ii K K = (1,2,,)i n =,称121,,,....,n E K K K -为循环矩阵基本列(其中E = n K 为单位矩阵).循环矩阵基本列有如下特点: ①121,,,...,n E K K K -都是循环矩阵;②n i i K K += ,即n i iK K +=;③n 阶循环矩阵K 有n 个特征根: cossinm mx mxi n nλ=+ (0,1,,1)m n =-④关于元素列0121,,,...,n a a a a -的n 阶循环矩阵 A 可用循环矩阵基本列表示为210121...n n A a E a K a K a K --=++++,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵. 循环矩阵的性质性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律.性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵. 性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.n 阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若λ是矩阵A 的特征根,则 f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .考察n 阶循环矩阵K,K 的特征多项式为:()211,(n i njjnj E K ei πλλληη-=-=-=-==∏如果n 阶循环矩阵A 记为()210121...n A n A f K a E a K a K a K --==++++不难求得K 中与特征值j η相应的特征向量,记:()11...j j n x ηη-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ()()22......11j j j j j j j j kx x ηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则由命题3.1得()()()()()jjj j A A Ax f K x f x η==,可以验证()()()()1111000,1,.11,1n n m kmkk k m xxm k mηη---==≠⎧==-=⎨=⎩∑∑.将这n 个两两正交的向量()j x 单位化,可得标准正交基()()()011,,...,n x x x -⎫⎬⎭,令矩阵()()()21011242(1)(1)2(1)(1)(1)111 (1)1...,,...,1..................1...n n n n n n n T x x ηηηηηηηηη-------⎛⎫ ⎪⎪⎫⎪==⎬⎪⎭⎪ ⎪⎝⎭则()()())0111',...n TT x x x --==命题 3.3 任意n 阶循环矩阵()A A f K = 在复数域 C 上都可对角化,即1T AT -=11[(0)(),...,()]n A A A diag f f f ηη-推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是()0iA f η≠(i=0,1,...,n-1).例3:求四阶循环矩阵1234412334122341A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的特征根,并对角化.解: 令23()1234f x x x x =+++ 得 ()()A A f K =,0100001000011000K ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于2i nei πη==, 所以A 的特征根分别为:()()0A f η=10 , ()()1A f η=-2-2i, ()()2A f η=-2, ()()3A f η=-2+2i11111111111211i i T i i ⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪-- ⎪---⎝⎭, 111111*********i i T i i -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭4．特殊矩阵特殊对角化的研究前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使1T AT -为对角形矩阵.定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化,其特征根为1λ,2λ,如果()10n s n n s B I A p I λ⨯⨯-⎛⎫-⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭初等变换P,B 为列满秩矩阵,那么(i) A 的属于1λ 的线性无关的特征向量为P 的n s -个列向量;A 的属于2λ的线性无关的特征向量为B 的s 个列向量.(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆,且有11122......T AT λλλλ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1λ 有n s -个, 2λ有s 个.证 因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B 为列满秩,则()12s B I A λλ==-=秩秩的重数. （i ）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得()())()(1,0n n s I A P B λ⨯--*=，从而()10I A P λ-= 因P 为列满秩矩阵,则P 的n s -个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-= 的基础解系,亦即P 的n s - 个列向量为A 的属于1λ的线性无关的特征向量. 又A 可以对角化,且2λ的重数为s ,则有可逆矩阵Q,使得11122......A Q Q λλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 令1122......D λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则有()()()()111212I A I A I Q DQ I Q DQ λλλλ----=--=()()1112QI D QQ I D Q λλ----=()()112Q I D I D Q λλ--- = 10Q OQ -=由于B 的列向量为1I A λ- 的列空间的基,则B 的s 个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-=的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于2λ的线性无关的特征向量.(ii) 因矩阵A 的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A 的阶数n ,于是, 令 )(,T P B = 即有1T AT D -=例4:令矩阵001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求可逆矩阵T,使得1T AT -为对角形式.解: 方法一,先求A 的特征根()0101010A f λλλλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()()211λλ-+则1λ = 1 (二重) , 2λ = - 1. 可见,此例为定理所述的情况.对矩阵1I A I λ-⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换,即11011000000001011000100101010010001001I A B I P λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,由定理4.1 知,A 的属于2λ = - 1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-;A 的属于1λ = 1 的线性无关的特征向量为()20,1,0Ta = , ()31,0,1Ta =令011100011T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 这与[1 ]的结果一致.方法二 在矩阵()I A λ-中,亦可取21λ=-,这时1011000200201011000100101010010001001I A B I P ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A 的属于1λ=1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-- , ()20,2,0Ta =- ;A 的属于2λ=- 1 的线性无关的特征向量为()21,0,1Ta =-令101020101T --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.5．常规矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域P 上一个n 阶矩阵A 是否存在一个可逆矩阵T ,使得1T AT -为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A 的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式.5.1理论依据为说话方便,我们规定如果数域P 上,对n 阶矩阵存在一个可逆矩T ,使得1T AT -为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P 上可对角化.当可对角化时, 我们说将A 对角化,即指求矩阵T ,使1T AT -为对角形矩阵.若矩阵n 在数域P 上可对角化, 则有P 上可逆矩阵T ,使得1T AT B-=为对角形矩阵.于是B 的主对角线上的元素,即为A 的全体特征值, 并且可表示：12,...S T Q Q Q = 其中i Q 为初等矩阵,i=1,2,...,s,于是,1111112......SS S B QQ Q AQ Q Q ----=,又1i Q -也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系, 即知11Q AQ - , 相当于对A 施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里, 我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显见, 可对A 施行一系列的相似变换化为B .又由, 12...S T EQ Q Q =（E 此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A 化为对角形矩阵B , 且可求得T ：A AB E T ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等列变换. 当A 不可对角化时, 也可经相似变换化简A 后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由111111...S S TQ Q Q E -----=,做如下初等变换则可将A 化为对角形矩阵B,且可求得T 或由B 求A 的特征值, 判定可否对角化：()()A AE B T −−−−−−−→对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等行变换.并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.5.2 应用举例为叙述简便,这里用i r 表示i 第行,i c 表示第i 列,i j r kr +表示用数k 乘第j 行后再加到第i 行上,i j c kc +表示用数k 乘第j 列后再加到第i 列上.例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:(1)511602311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, (2)1111111111111111B ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. 解：（1）由31511`602202r r A +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 13411402002c c C --⎛⎫⎪−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭,知A 与C 相似. 易得,C 的特征值为2,2,2,且2E-C 的秩为2,所以C 不能对角化,从而知A 的特征值为2,2,2且A 不可以对角化.（2）由1,2,3,41111111111112200111120201111200210001000010001000010001000010000i r r i +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2,3,4i c c i -=−−−−−→ 1111,2,3,4,2,3,4441112111222202000200002000200002000210001000110011001010101010011001i i r r i c c i -=+=⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭20000200002000021111444311144413114441131444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭, 知B 可以对角化,B 的特征值为-2,2,2,2.令1111444311144413114441131444T ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭, 则12000020000200002T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭.当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.例6判定1200320000230043A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭可否对角化,若可,则将其对角化. 解法1（教材中的方法）由120032000023043x x xE A x x ---=-- ()()()2461x x x =--+,知A 的特征值为4,6,-1,-1.解 齐次线性方程组()40E A X -=得一基础解系23100⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 齐次线性方程组()60E A X -=得一基础解系00341⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 齐次线性方程组()0E A X --=得一基础解系1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,0011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是可,A 可对角化,且取201031010*******01T ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则140060000100001T AT -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭.解法2由12003200002300431000010000100001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2143,r r r r --−−−−→ 12,3412004400002300661000010000100001c c c c ++-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12000400001300061000110000100011--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123423,57r r r r --−−−−−→2100504003001700061000110000100011⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭214323,57c c c c --−−−−−→100004000010000621005310053001740017-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭知,A 可对角化,且取.21005310053001740017T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11000040000100006T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法,计算技巧的一些探讨,比较传统的计算方法、计算技巧,有一些优越性.计算简便,步骤简单具体,有较强的实用性.参考文献：[1] 张禾瑞 赫炳新 高等代数[M] 第四版 北京 ：高等教育出版社 1998.166－410[3] 毛纲源 线性代数[M] 解题方法与技巧归纳 第二版 华中科技大学出版社 1997,7.213－241. [4] 丘维声 抽象代数[M] 北京 ：高等教育出版社 2003.160－190.[5] 王萼芳 石生明 高等代数[M] 北京 ：高等教育出版社 1987.176－254. [6] 王萼芳 高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.[7] 张爱萍 循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170. [8] 高吉全 矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26. [9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108． [10]张正成 可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.[11]张学元 线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37 [12]向人晶 矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15.[13]靳廷昌有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57.[14]李世余代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No．1.146－148.[15]周立仁矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．致谢本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成.陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神,令我很受触动.同时,在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血.陈老师尽心的指导与严格的监督,促使我最终完成了论文.值此论文完成之际,我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!On the martix diagonatization and application College of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen QiaoyunAbstract:This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.Key words:diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix;eigenvalue; eigenvectors。
矩阵对角化开题报告
五、课题研究的方法、步骤和内容
课题研究的方法：
观察法，经验总结法，比较研究法，文献资料法
课题研究的步骤：
一，在本科教材《高等代数》有关矩阵对角化内容的学习中，加深对矩阵对角化的理解和认识。
二，搜集有关矩阵对角化理论的资料，深入对矩阵对角化的研究。
学院学位分委员会主任签字：
年 月 日
作为一种基本工具，有关对角矩阵的信息大多以公理的形式出现，这也是近代数学公理化的标志之一。但是，对于矩阵可对角的条件，以及矩阵对角化方法的研究还是吸引了国内外一部分学者的目光。矩阵可对角化的条件所创新的方面:
归纳总结概括，矩阵对角化在矩阵计算，利用特征值求行列式，解微分方程方程，向量空间，线性变换，计算n阶行列式，求实递推式的通项等等方面的应用，尤其是在列斯里群体模型中的应用。
4，矩阵对角化在向量空间的应用
5，矩阵对角化在线性变换的应用
6，计算n阶行列式
7，利用矩阵对角化求实递推式的通项
8，矩阵对角化在列斯里群体模型的应用
六、预期成果形式描述
一篇在已有的矩阵对角化理论基础之上的，对其在学科方方面面与涉及其他领域的应用的文章。
七、指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
八、学院学位分委员会意见
山东师范大学
本科毕业论文（设计）开题报告
论文题目：矩阵可对角化的条件及应用
学院名称：数学科学学院
专 业：信息与计算科学
学生姓名：马玉霞
学 号：200900820134
指导教师：周兆杰
2013年1月11日
一、选题的性质应用理论研究
二、选题的目的和意义
闫伟杰_20121014305_矩阵对角化的方法及相关应用
河南科技学院2016届本科毕业论文论文题目：矩阵对角化的方法及相关应用学生姓名：闫伟杰所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学导师姓名：李巧萍完成时间：2016年5月10日摘要在古代，著名的著作《九章算术》中已经有类似于矩阵的运用，虽然没有给出具体的定义但这种思想极大地推动了我国数学的发展，使我国古代数学在数学发展史上占有一席之地。
如今，矩阵作为数学学科中的基础理论,其理论的重要性不言而喻，在实际生活中也是必不可少的工具。
对角矩阵作为较简单的矩阵之一，无论是探索矩阵本身还是实际应用都有很深的研究价值。
考虑到本文的阅读对象，因此在理论上不做过多的推导，而是侧重于介绍三对角矩阵、分块对角矩阵的应用以及矩阵对角化的方法及其应用。
文章通过结合理论与实际来展开阐述，通过讲述追赶法求解三对角方程组、利用矩阵的特征值、特征向量求解矩阵和在工业与环境等方面应用的例子来表明矩阵对角化的重要性。
关键词：对角矩阵,三对角矩阵，矩阵对角化,特征值,特征向量AbstractIn ancient times, there existing similar using of matrix in the famous work,“Nine Chapters On The mathematical Art”although it didn’t give a concrete definition , this kind of thought has greatly promoted the development of mathematics in our nation, which made the ancient mathematics had a place in the history of mathematics development. Nowadays, matrix, as the fundamental theory in mathematics, the importance of the theory is self-evident,and it is also a indispensable tool in actual life.Diagonal matrix,as one of the simple matrix, which has a deep research and practical application value.Considering the reading object of this article, therefor,it has no too much derivation in theory,but focuses on introduction of tridiagonal matrix ,the application of block diagonal matrix and matrix diagonalization method and its application.By combining theory with practice to give discussion, by telling chase-after method to solve tridiagonal equations, based on the matrix eigenvalue and eigenvector of solving matrix and application in industrial and environmental aspects such as examples to show the importance of matrix diagonalization.Keywords：Diagonal matrix, Tridiagonal matrix, Matrix diagonalization,Eigenvalue, Eigenvector目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)1引言 (1)2对角矩阵 (1)2.1 对角矩阵 (1)2.2 对角矩阵运算及性质 (2)2.3 对角矩阵的简单应用 (3)3矩阵对角化的条件与方法 (6)3.1常用的充要条件 (6)3.2最小多项式法 (6)4矩阵对角化方法的应用 (7)4.1矩阵的相关计算 (7)4.2探究矩阵性质 (9)4.3利用矩阵对角化求数列的通项公式 (10)4.4矩阵对角化在其他方面的应用 (13)总结与展望 (15)参考文献 (16)致谢 (17)1引言在中学课程中，我们都已经接触到二元一次方程、三元一次方程的解的问题，并对它们有详细的学习，但是当我们遇到一个未知量比较多，或者未知量的个数大于方程的个数的时候我们似乎就无能为力了。
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[4]张禾瑞．高等代数．北京：高等教育出版社，
[5]吉林大学数学系．数学分析(中册)．
[6]郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化．河南机电高等专科学校学报．
[7]金佑来．矩阵对角化的一个新方法．合肥学院学报．
[8]周立仁．矩阵同时对角化的条件讨论．湖南理工学院学报．
二，几种常用矩阵对角化的讨论
三，可对角化矩阵的应用
重点：几种常见矩阵对角化的讨论
难点：可对角化矩阵的应用
预期目标：通过对易理解的矩阵的对角化问题的具体分析以及相对复杂先行变换的对角化问题的探讨，使我们更轻松的理解并掌握线性变化的对角化问题
三、拟采用的研究方法、步骤
研究方法：文献参考法，研究法，计算法，定性分析法
[9]岳嵘．利用矩阵对角化求数列通项．高等数学研究．
[10]杨胜良．三对角行列式与Chebyshev多项式．大学数学．．
六、指导教师意见
签字：
年
月
日
八、分管院长意见及签字
（办公室盖章）
年
月
日
研究步骤：第一步从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件
第二步几种常用矩阵对角化的讨论
第三步可对角化矩阵的应用
四、研究的总体安排与进度
五、参考文献（不少于10篇）
[1]李世余．代数学的发展和展望．广西大学学报．
[2]北京大学数学系与代数教研室前代数小组编．王萼芳,石生明修订．高等代数（第三版）．北京:高等教育出版社,
数学与统计学院
院
数学与应用数学
专业
学生姓名
XXXX
学号
XXXXX
一、选题的背景、研究现状与意义
背景：矩阵对角化在国内外已有一定的研究，早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算机时，提出了对角矩阵的概念，随着计算机的发展，矩阵对角化的应用前景也变得更为广阔。
研究现状：对角矩阵是一类简单的矩阵，他在许多领域如量子力学，无线电，电子信息工程，计算机等中起着重要的作用，由于通过相似变换，许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩阵等价，而对角矩阵的性质很容易从他自身元素的特点得出，所以对于可对角化矩阵，我们只要研究它的相似标准形即可。
对角矩阵是一类简单的矩阵他在许多领域如量子力学无线电电子信息工程计算机等中起着重要的作用由于通过相似变换许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩阵等价而对角矩阵的性质很容易从他自身元素的特点得出所以对于可对角化矩阵我们只要研究它的相似标准形即研究意义
________本科生毕业论文（设计）开题报告
论文题目
论矩阵的对角化问题
研究意义：矩阵的对角化问题在矩阵理论中扮演着很重要的角色，在很多方面都有其重要作用（例如求方阵的高次幂，利用特征值求行列式的值，由特征值与特征向量反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的值）。
二、拟研究的主要内容、重点、难点和预期目标
主要内容：一，首先从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件