笔记离散数学

离散数学复习笔记数理逻辑逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化原子命题：不能再分解的命题复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式否定非P 合取P而且Q 析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P 则Q 双条件P当且仅当Q命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式分量：命题公式中的原子命题翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2..对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B原命题等价于它的逆否命题三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2^...^Hn=>C,称C 是一组条件下的有效结论三种方法：真值表法，直接证法，间接证法其他连接词：条件否定，与非，或非规范命题表达式：只含非且或合取范氏：当且仅当具有A1^A2^...^An形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的析取式析取范式：当且仅当具有A1vA2v...vAn形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的合取式一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q一般n个命题变元共有2^n个小项n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式集合论集合：满足一定特征的对象的全体扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员集合表示：列举法，特征法幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集集合的基数：|A|元素的个数无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合序偶：有序的二元数组<x,y>笛卡尔积：称A*B={<x,y>|x属于A且y属于B}二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。

两集合A与B的笛卡尔积的任一子集，称为A到B 的一个关系，若A=B，则称该子集为A上的一个关系关系表示：集合表示法，关系矩阵法，关系图表示法关系性质：自反关系（x属于X，<x,x>属于R），反自反关系（x属于X，<x,x>不属于R）【存在既不反自反也不自反的关系】对称性 x，y属于X，且<x,y>属于R，则<y,x>属于R，反对称关系x属于X，y 属于X，且<x,y>属于R，<y,x>属于R，则x=y【存在既对称又反对称的关系，存在既不对称又不反对称的关系】传递性 x,y,z属于X，且<x,y><y,z>都属于R，则<x,z>属于R复合关系:<x,y>属于R,<y,z>属于S，则<x,z>属于R复合S逆关系: {<y,x>|<x,y>属于R,x属于X,y属于Y}闭包运算：通过往已知关系中添加序偶让它达到某种要求的运算，叫闭包运算覆盖：A为非空集合，S={s1,s2...sm}其中Si属于A，且S的并集为A，则S是A的一个覆盖划分：若对一个覆盖而言，S任意两个子集的交集为空，则称S是A的一个划分注：两划分的交叉划分也是原集合A的一个划分交叉划分是原两划分的加细等价关系：同时具备自反，对称和传递三个性质的关系即等价关系等价类：A上的等价关系R，A中的任意a，x属于A，<x,a>属于R，为元素a生成的R等价类商集：若R是A上的一个等价关系，则称以A的所有等价类为元素的集合为A 关于R的商集，为A/R定理：A上的一个等价关系R确定了A的一个划分A/RA上的一个划分也能确定A上的一个等价关系A上的两个等价关系R1，R2，则成立 A/R1=A/R2等价于 R1=R2A上的等价关系与划分是一一对应的相容关系：给定集合A上的关系r，若r是自反的、对称的、则称r是相容关系最大相容类：设r是集合A上的相容关系，不能真包含在任何其他相容类中的相容类，称作最大相容类在相容关系图中，最大完全多边形的顶点集合，就是最大相容类定理：设r是有限集合A上的相容关系，C是一个相容类，那么必存在一个最大相容类Cr，使得C属于Cr在集合A上给定相容关系r，其最大相容类的集合称作集合A的完全覆盖，记为Cr(A)偏序关系：A上的关系R，同时满足自反，反对称，传递三个性质，则称R为偏序关系链与反链：一个元素构成的子集，既是链，又是反链全序关系：在偏序集A中，如果对任意的x,y属于A，x*y y*x必有一个成立，则称A为全序集合或线序集合，而称关系为全序关系或线序关系极大元，极小元必然存在，极大元，极小元可以不唯一。

若B有最大元，则它们必然唯一良序关系：偏序集A，若B属于A，B中总有最小元，则称A是良序集良序集一定是全序集，有限元素的全序集一定是良序集函数性质：入射（单射） x1和x2不等，函数值不等满射：对任意y属于Y，存在x属于X，使得y为x的函数双射：既是入射又是满射的函数逆函数：若f x->y 的双射,则逆函数是y->x 的双射复合函数： g*f <x,y>属于f <y,z>属于g g在f的左可复合函数令g*f 是个复合函数若g和f是满射，则g*f是满射若g和f是入射，则g*f 是入射，都是双射，g*f是双射图论图的定义：平面上由一些点和连接两点之间的连线构成的图形有向图-每条边都有方向的图，无向图-每条边都没有方向的图，混合图-既有有向边又有无向边的图点边关联，点点（边边）邻接（相邻）结点v的度-v关联的边数（环在算度数时，规定按两次计），所有结点的度数和=边数x2空图：没有边的图，平凡图：一个点的空图，有向图的出入度，奇偶点：度为奇偶数的点图的基本定理1、无向图的度为边数的两倍2、图的奇点个数一定为偶数，若不包含重边，也不含环，则称G为简单图完全图：任两结点之间有且仅有一条边相连的n个结点的图有向完全图：完全图每条边上任意添加一个方向同构：两个图若存在一个映射，点到点，边和边也映射，则两个图同构必要条件：结点数目相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，与同度点相邻的点的度数应对应相同补图：两个图点和边相互补充子图：点和边都属于另一个图的子集，真子图：点或边不全包含路与回路路的长度：路经过的边的次数，路，迹，通路，回路，闭迹，圈定理：n个结点的图当中存在长为l的路，那么G中必存在长度小于等于n-1的路两点连通：两点之间有路相连，连通是等价关系，确定V的一个划分，诱导子图为G的连通分支删除某点和边不连通，但删除这些点或边的子集依然连通，也就是必须要删除的点和边一个点的点割集叫做割点，一条边的边割集叫做割边，也叫做桥，点连通度是最小的点割集数目，边连通度是最小的边割集数目，完全图的连通程度最强，都为N-1欧拉图1、欧拉回路：经过G中每条边一次且仅一次的回路2、欧拉图：含有欧拉回路的图3、欧拉图充要条件：G无孤立点，那么G汉密尔顿图1、汉密尔顿圈：经过图G中每个点一次且仅一次的圈2、汉密尔顿图：含有汉密尔顿圈的图，至今无充分必要条件3、闭包：简单图G是汉密尔顿图等价于它的闭包是也是汉密尔顿图树1、树：连通的无圈回路的无向图2、森林：无圈图3、生成树：作为图G的支撑子图的一棵树，任一连通图都至少有一棵生成树4、带权图：每条边上都带有一个给定权值的图5、最小生成树：边权和最小的生成树，不唯一6、有向树：在不考虑边上方向时为一棵树的有向图7、根树：一棵恰有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1的有向树8、有序树：结点间拥有顺序的根树，任意一棵有序树都可以改写成一棵对应的二叉树9、m叉树，完全m叉树：同二叉树10、通路长度：根树中，从根结点到某个结点的通路经过的边数称为此结点的通路长度11、带权二叉树：每片树叶i都带权值wi的二叉树12、最优二叉树必是完全二叉树代数系统1、n元运算符：A，B为给定的集合，A^n->B为A上的一个n元运算2、代数系统：非空集合A，以及定义在其上的若干运算，就称为一个代数系统，如果一个运算在A上满足封闭性，针对A中的两个元素，运算结果也属于A3、幺元：e*a=a e左幺元 a*e=a 右幺元如果A中同时存在左幺元和右幺元，则必存在幺元4、零元：q*a=q a*q=q 左右零元同时存在左零元和右零元，则存在零元5、逆元：a*b=e b为a的右逆元，b*a=e b为a的左逆元 a*b=b*a=e b为a的逆元半群1、广群：代数系统<A,*>称为广群，若*在A上满足封闭性2、半群：<S,*>为半群，若满足封闭性和可结合性3、子半群：<S,*>是半群，<B,*>是半群，B属于S，称<B,*>是<S,*>的子半群4、独异点：含有幺元的半群称为独异点，设<s,*>是一个独异点，则在它的乘法表中任何两行或任何两列都是不相同的，设<S,*>是一个独异点，在S中任取两个元素a和b，如果a和b都有逆元，那么a*b也必有逆元群与子群1、群：设<G,*>是一个代数系统，*是G上的二元运算，如果*在G上是封闭的并且是可结合性的，存在幺元，每个元素的逆元也存在于G中，称代数系统为一个群2、有限群：设<G，*>是一个群，如果G是一个有限集，则称<G,*>是一个有限集，如果G是一个无限集，则称<G,*>是一个无限群3、子群：<G,*>是一个群，B是G的非空子集，<B,*>也作成一个群，称<B，*>是<G,*>的子群4、群的性质：每个元素的逆元唯一若|G|>1，则G中无零元群中满足消去律子群与原群具有相同的幺元5、非空子集成为子群的两个充分条件-设群<G,*>,B是G的一个非空子集，满足B是有限集，*在B中满足封闭性，则<B,*>必为<G,*>的子群-设<G,*>是一个群，S是G的一个非空子集，如果对S中任何元素a,b，都有a*b 逆属于S，那么<S,*>必为<G,*>的子群阿贝尔群1、定义：<G,*>是一个群，如果群中的运算*还满足交换律，即对任何两个元素x,y属于G，都有x*y=y*x,则称为一个阿贝尔群2、定理：<G,*>是群，那么它是交换群的充要条件是，任意a,b(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)循环群1、定义：<G,*>是一个群，如果群G中存在一个元素a，使得G中任何元素都可以表示成元素a的整数幂，则称<G,*>是一个循环群，元素a称为循环群中的一个生成元2、性质：任何循环群必为阿贝尔群，一般说来，阿贝尔群未必是循环群3、群的元素的阶：设<G,*>是一个群，a是群G中任一个元素，如果有正整数r 存在使得a^r=e成立，对任何小于r的正整数m，a^m=e皆不成立，则称a是一个有限阶元素，并称该元素的阶位r北航离散复习笔记第二章谓词逻辑1、项：用于表达个体的符号串，相当于汉语中的名词2、公式：用于表达命题的符号串，相当于汉语中的句子3、使用符号：个体变元【变元】，个体常元【常元】，函数符号，谓词符号，量词符号，联结词符号，圆括号和逗号4、若公式B是公式A的子串，则称B为A的子公式，每个原子公式仅有的子公式是它自己5、不出现变元的项称为基项，也称为闭项，没有自由变元的公式称为语句，也称为闭公式。