数学期望求
数学期望(二维)
求 随 机 变 量 函 数 Y X 2的 数 学 期 望 .
解 : (法 一 ) 先 求 Y的 分 布 律 为
E(Y )
4
y p
k 1 k k
0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30
(法 二 )
E(Y )
E( X
2)
x p 6
k 1
2 k
k
(2) 2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25
)]
k
1
g
(
x
k
)
pk
（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).
若
广
义
积
分
g(x)
f
(x)dx绝
对
收
敛
，
则
E ( Y ) E [ g ( X )] g ( x ) f ( x ) d x
Note：此定理简单易用！若先求出Y的分布,很多题目要复杂的多．
例 2 设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为
数学期望（二维）
二维随机变量的数学期望
定义1 对 二 维 随 机 变 量 （ X , Y ） , 它 的 数 学 期 望 为
E（X ,Y） E ( X ), E ( Y )
离散型 P { X xi , Y y j } pij ,
E ( X ) x i p i•
xi p ij ,
i1
i1 j1
连续型 （ X ,Y）, f ( x , y )
i, j 1, 2,
哦 E ( Y )
j 1
y j p j
该公式可y p接i 应1 用j 1
直
ij
！j
初三数学下册综合算式专项练习题概率模型求期望运算拓展训练
初三数学下册综合算式专项练习题概率模型求期望运算拓展训练在初三数学下册中，综合算式是一个重要的知识点，其中概率模型求期望运算是一个较为复杂且需要深入理解的概念。
本文将为大家介绍一些综合算式中概率模型求期望运算的拓展练习题，帮助同学们加深对这一知识点的理解。
1. 池塘里有4只红色的鱼和6只蓝色的鱼，现从中随机抽取3只，每只鱼只能抽一次。
求抽到红色鱼的期望值。
解析：首先计算抽到红色鱼的概率，为红色鱼的总数除以总的鱼的数目，即4/10。
然后计算抽到红色鱼的期望值，即每次抽取都抽到红色鱼的概率乘以红色鱼的数量，即(4/10) * 3 = 12/10 = 1.2。
所以，抽到红色鱼的期望值为1.2。
2. 甲、乙、丙、丁四人猜拳，规定胜利者得2分，平局者得1分，失败者得0分。
已知甲、乙、丙胜利的概率都为0.3，而丁胜利的概率为0.1。
求每个人得分的期望值。
解析：甲、乙、丙胜利的概率都为0.3，可以得到他们得分的期望值分别为0.3 * 2 = 0.6。
而丁胜利的概率为0.1，所以他得分的期望值为0.1 * 2 = 0.2。
因此，甲、乙、丙、丁四人得分的期望值分别为0.6，0.6，0.6，0.2。
3. 有一个箱子里有10个白球和15个黑球，先将两个球取出，如果两个球的颜色相同，则再从箱子中随机取出两个球；如果两个球的颜色不同，则将两个球放回箱子中。
求直到取出两个颜色相同的球为止，共取出球的次数的期望值。
解析：首先计算取出两个颜色相同的球的概率。
当第一次取出两个球的颜色相同时，概率为(10/25) * (9/24)。
当第二次取出两个球的颜色相同时，概率为(10/25) * (15/24) * (9/23) * (14/22)。
以此类推，可得到取出两个颜色相同的球的概率为：(10/25) * (9/24) + (10/25) * (15/24) * (9/23) * (14/22) + ...然后计算取出两个颜色相同的球的期望值，即每次取出球的次数乘以对应概率后相加。
数学期望的几种求法
数学期望的几种求法
期望是统计学中的重要概念，又称均值数或期望值。
求数学期望有如下几种方法：
1、求期望的定义：
数学期望是指在定义域出现各可能结果的概率乘以其可能结果的积分的和的称之为期望，用符号Ε(X)表示为：
Ε(X)=Σx·P(x)
其中，Σx表示每一个可能出现的x的值的求和，P(x)表示可能出现的x的概率的和的称之。
2、求期望的性质：
（1）当数学期望中的x取任意值，则期望值保持不变：
Ε(aX+b)=aΕ(X)+b
（2）期望和越大，其中取值越多，则期望值越大：
Ε(X+Y)≥Ε(X)+Ε(Y)
3、求期望的常用公式：
（1）二项分布期望：
二项分布期望公式：Ε(X)=n·P
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（2）二项分布方差：
方差公式：V(X)=n·P·(1-P)
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（3）泊松分布期望：
泊松分布期望公式：Ε(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
（4）泊松分布方差：
方差公式：V(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
求随机变量期望的四种方法
Pபைடு நூலகம்(ξ = 4)
=
1-
5 9
×5 9
= 20, 81
P (ξ = 6) = 1 - 5 × 1 - 5 ×1
9
9
= 16. 81
∴随机变量 ξ的分布列为
ξ
2
4
6
5
20
16
P
9
81
81
故 Eξ = 2 ×5 + 4 ×20 + 6 ×16 = 266.
9
81
81 81
点评 本题不是单独考虑一局 , 而是把
= 2.
由题意可知 η = 2 300 - 100ξ,
∴Eη = 2 300 - 100Eξ
= 2 300 - 200 = 2 100 (元 ) .
说明 本题在求 η的数学期望时 , 就是
根据运算性质利用 Eξ求得 ,简化了计算过程.
三 、将事件分解
随机变量的期望具有性质 E (ξ±η) = Eξ ±Eη(ξ,η独立 ) ,利用该性质可把所求期望分 解为几个易求的相互独立的事件的期望和 , 达到简化解题的效果.
B
3, 2 3
, Eη = np = 3 ×2 3
= 2.
二 、运用期望性质
即利用期望的性质求期望 , 所用到的性 质主要有 : Ec = c, E ( kξ+ b) = kEξ+ b. 其中 ξ为随机变量 , k, b, c为常数.
例 3 某商场为刺激消费 ,拟按以下方案 进行促销 :顾客每消费 500元便得到抽奖券一
由已知得 ξ = 2, 3, 4, 注意到各事件之间 的独立性与互斥性 ,可得
P (ξ = 2) = P (A1B 1 ) + P (A1 A2 )
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
11-1 数学期望
(2). 若( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y) ， 且
∞ −∞ −∞
∫ ∫ g ( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛，
∞ ∞ − ∞ −∞
∞
则：EZ= ∫
∫ g ( x, y) f ( x, y)dxdy 。
例5 设风速 V 在(0,a)上服从均匀分布，又设飞机机 翼受到的正压力 W 是 V 的函数：W = kV 2 ，(k>0)； 求 EW。
N 1 k 所以 EX = ( k + 1 − kq ) = N (1 + − q k ) k k
只要选 k 使 1 + 1/ k − q k < 1，即1/ k < q k ，就可使第 二个方案减少化验次数；当 q 已知时，若选 k 使 f (k ) = 1 + 1/ k − q k 取最小值，就可使化验次数最少。
∞
则 EY= ∫ g ( x) f ( x)dx 。
−∞
∞
−∞
定理 2：
若 ( X , Y ) 是二维随机变量， g ( x, y) 是二元连续函数，
Z = g ( x, y )
(1). 若 ( X , Y ) 的分布律为 P{ X = xi , Y = y j } = Pij ， 且 ∑ g ( xi , y j ) Pij 绝对收敛；则 EZ= ∑ g ( xi , y j ) Pij 。
2, ( x, y ) ∈ A 解： f ( x, y ) = 0, 其它；
∞ ∞ 0 0
0
x
x + y +1= 0
1 EX= ∫ ∫ xf ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ 2dy = − 3 −∞ −∞ −1 −1− x 0 0 1 E(-3X+2Y)= ∫ dx ∫ 2(−3x + 2 y )dy = 3 −1 − x −1 ∞ ∞ 0 0 1 EXY= ∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ x ⋅ 2 ydy = 12 −∞ −∞ −1 −1− x
第十讲(数学期望)
1 y x, x 1 x ，求 W 的 其它
1 )。 XY
4
Eg10：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产 品可获利 m 元，而挤压一件产品导致 n 元的损失，预测销售量 Y 服从指数分布，其概率密
1 y / e , y 0, 0. 度为： f ( y ) 0, y 0,
i i
i
g ( x) P ，其中 p
i
P{ xi }, i 1,2,
2. 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，则 g ( ) 是连续型随机变量 若
g ( x) f ( x)dx <+ ，则称 g () 的数学期望为
学
E E[ g ( )] g ( x) f ( x)dx
教
备课时间： 章节 年 月 §4.1 日 课题
案
第 10 次课 数学期望 3 学时
1、理解数学期望的定义并且掌握它们的计算公式； 2、掌握数学期望的性质，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用数学期望的性质 目的 要求 计算某些随机变量函数的数学期望。 3、熟记 0－1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、 均匀分布和指数分布的数学期望。
k 个人共化验 k 1 次. 试问用哪一种方法可减少化验次数？
Eg6：求泊松分布的数学期望。
3
Eg7：求均匀分布的的数学期望。 三、随机变量函数的数学期望 1. 是离散型随机变量 数学期望为：E =E[ g () ]= 教
g ( ) 是离散型随机变量若 g ( xi ) pi <+ ，则定义 的
4-1数学期望
x 1 x 1
求数学期望。
E( X )
1
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
几个重要的连续型 r.v.的期望 1) 均匀分布 U(a , b) (P83,例3)
1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, b 1 ab E( X ) x dx ; a ba 2
定理 1：一维情形 设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数,
X为离散型 P{ X xk } pk , k 1, 2,
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
X为连续型 概率密度为
f ( x)
g( x ) f ( x )dx
E (Y ) E[ g( X )]
i 1 i 1 n n
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
推广 :
E [ X i ] E ( X i ) (诸Xi相互独立时)
i 1 i 1
n
n
五、数学期望性质的应用
例7 解 若X~b(n,p), 求E(X) (P87,例8) X表示n重贝努利试验中事件A发生的 次数. i=1,2，…，n
盈利额 X 1
（万元）
50 0.15
30
0.6 适销 36 0.6
-- 20
0. 25 滞销 -- 40 0. 3
概率 乙企业:
产品
盈利额 X 2
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数学期望求
数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次
可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值
的大小。
须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许
与每一个结果都不成正比。
期望值就是该变量输入值的平均数。
期望值并不一定涵盖于变
量的输入值子集里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
历史故事
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两
个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢
家可以获得法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由
于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？
用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两
局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就
得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。
可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望
分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。
这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。