常见的八种函数模型
函数模型及其应用-课件PPT
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )A． y＝ 11ຫໍສະໝຸດ 0exB．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
高考中常用函数模型归纳及应用
高考中常用函数模型．．．．归纳及应用 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。
关于方程解的个数问题时常用。
例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。
常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。
有定义域限制时，要考虑区间的端点值。
例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D.471-≤x ≤413- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D三． 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。
很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。
比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。
例3．（1）.若关于x 的方程x 2+ax+a 2-1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2+ax+a 2-1由题意得f(0)= a 2-1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。
函数模型及其应用
函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。
二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。
题型1：一次函数模型因一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当0k >时，函数值的增长特点是直线上升；当0k <时，函数值则是直线下降。
例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。
现销售给A 地10台，B 地8台。
已知从甲地到A 地、B 地的运费分别是400元和800元，从乙地到A 地、B 地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数解析式； （2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的方案和最低运费。
题型2：二次函数模型二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k >。
（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围。
高三数学高考中常用函数模型归纳及应用
○高○考中常用函数模型．．．．归纳及应用 山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。
复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。
高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。
现归纳常用的函数模型及其常见应用如下： 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。
关于方程解的个数问题时常用。
例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。
常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。
有定义域限制时，要考虑区间的端点值。
例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D. 471-≤x ≤413-解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D 三．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。
第二章函数模型及其应用
一、三种增长型函数增长速度的比较
在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y
＝xn(n>0)都是 函数，但它们增的
不同．增随长着速x度的
增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 ，会超过并远快远大
于y＝xn(n>0)的增长速度；而y＝logax(a>1)的增长速度则会
例4．求 3 3 的近似值。（精确度0.1）
解: x=3 3
x3 3
x3 3 0 再利用二分法求近似根
解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不 需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三 天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公 斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料 的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天． ∴每次购买的原材料在x天内的保管费用： y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一 次购买不少于4 800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂 是否可接受此条件？
解：购买一次原材料平均每天支付总费用为 f(x)＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400×0.9＝60x0＋6x ＋534(x≥12)， f′(x)＝－6x020＋6＝6x2－x2600， 当 x≥10 时，函数 f(x)为增函数． f(x)min＝f(12)＝656， 而 714>656，故该厂可接受此条件．
解：(1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. …
高三数学函数模型及其应用1
建立数学模型解应用题是湖南省 高考题的一大特色，且常考常新. 复习时要加强训练，正确建模，并能 根据题意进一步分析求解。
• 1.理解题意，找出数量关系是解应 用题的前提，因此，解题时应认真 阅读题目，深刻理解题意. • 2.建立数学模型，确定解决方法是 解应用题的关键，因此，解题时要 认真梳理题目中的数量关系，选择 适当的方法加以解决.
3.解模:就是用相关的函数知识进行求解，
检验并写出答案.
例2 某租赁公司拥有汽车100辆。当每 辆车的月租金为3000元时，可全部租出。 当每辆车的月租金每增加50元，未租出的 车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要 维护费150元，未租出的车每辆每月需要 维护费50元。(1)当每辆车的月租金定为 3600元，能租出多少辆车？ (2) 当每辆车 的月租金定为多少元时，租赁公司的月收 益最大？最大月收益是多少？
一般而言，有以下8种函数模型：
①一次函数模型； ②反比例函数模型； ⑤对数型函数模型; ⑥幂函数型模型；
③二次函数模型； ④指数型函数模型；
⑦“勾”函数模型； ⑧分段函数模型.
题型一 二次函数模型 题型二 对勾函数模型
例1 某化工厂生产的某种化工产品，当年 产量在150吨至250吨之间，其生产的总成 本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式 1 2 可近似地表示为y= x -30x+4000.问： (1)年产量为多少吨时，每吨的平均成 本最低？并求出最低成本； (2)若每吨平均出厂价为16万元，则年 产量为多少吨时，可获得最大利润？并求 出最大利润.
3.函数的应用问题通常是以下几种 类型：可行性问题、最优解问题(即最大 值或最小值问题，如费用最小，效益最 大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用 函数的性质和数学方法.
常见的八种函数模型
常见的八种函数模型函数模型是数学中非常重要的概念，它描述了数学中一种常见的关系形式。
在数学中，有很多种不同的函数模型，每种模型都有其独特的特点和应用。
下面将介绍常见的八种函数模型。
第一种函数模型是线性函数模型。
线性函数是一种最简单、也是最容易理解的函数模型。
它的特点是函数图像是一条直线。
线性函数的形式为y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数模型常见于经济学中的供求关系、物理学中的速度和位移关系等等。
第二种函数模型是二次函数模型。
二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c 是常数。
二次函数模型常见于物理学中的抛体运动、植物生长的规律等等。
第三种函数模型是指数函数模型。
指数函数的图像呈现出一种逐渐递增或递减的趋势。
指数函数的形式为y=a^x，其中a是常数。
指数函数模型广泛应用于经济学中的复利计算、生物学中的细胞增殖等等。
第四种函数模型是对数函数模型。
对数函数模型与指数函数模型是相互关联的。
对数函数的特点是函数图像呈现出一种逐渐平缓的趋势。
对数函数的形式为y=loga(x)，其中a是常数。
对数函数模型常见于物理学中的声音强度、经济学中的价格弹性等等。
第五种函数模型是三角函数模型。
三角函数模型包括正弦函数、余弦函数和正切函数等等。
三角函数的特点是周期性波动。
三角函数模型常见于物理学中的波动现象、天文学中的周期性运动等等。
第六种函数模型是多项式函数模型。
多项式函数是由一个常数和一系列项相加或相乘得到的函数。
多项式函数的形式为y=a₀+a₁x+a₂x²+...+anxn，其中a₀、a₁、a₂等都是常数。
多项式函数模型常见于经济学中的市场需求曲线、物理学中的力和位移关系等等。
第七种函数模型是有理函数模型。
有理函数是由一个多项式函数除以另一个多项式函数得到的函数。
有理函数的形式为y=(a₀+a₁x+a₂x²+...+anxn)/(b₀+b₁x+b₂x²+...+bmxm)，其中a₀、a₁、a₂等和b₀、b₁、b₂等都是常数。
初二数学模型大全
初二数学模型大全一、线性方程线性方程是初二数学中的重要模型之一，它描述了两个变量之间的线性关系。
线性方程的一般形式为ax + b = 0，其中 a 和 b 是常数，x 是未知数。
解这个方程可以得到x 的值。
在现实生活中，线性方程可以用来解决许多实际问题，例如路程问题、工资问题等。
二、一次函数一次函数是初二数学中的另一个重要模型，它描述了一个变量与另一个变量之间的线性关系。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k 和 b 是常数，x 和y 是变量。
通过改变k 和 b 的值，可以描述不同的函数关系。
在实际生活中，一次函数可以用来描述许多现象，例如速度与时间的关系、价格与数量的关系等。
三、几何图形几何图形是初二数学中的基本模型之一，它可以通过点、线、面等基本元素构成复杂的图形。
在几何图形中，有三角形、四边形、圆形等基本图形，这些图形有各自的性质和定理。
通过研究这些图形的性质和定理，可以解决许多实际问题，例如面积计算、周长计算等。
四、平面直角坐标系平面直角坐标系是初二数学中用来描述平面内点的位置的模型。
在平面直角坐标系中，每个点可以用一对数值表示，即它的横坐标和纵坐标。
平面直角坐标系可以用来研究图形的位置和运动，例如平移、旋转等。
此外，平面直角坐标系也是函数的基础，它可以帮助我们描述变量之间的关系。
五、三角形三角形是初二数学中常见的几何模型之一，它有三条边和三个角。
三角形有许多重要的性质和定理，例如三角形的内角和定理、勾股定理等。
通过研究三角形的性质和定理，可以解决许多实际问题，例如长度测量、角度计算等。
六、勾股定理勾股定理是初二数学中一个重要的几何定理，它描述了直角三角形三边的关系。
勾股定理指出在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
这个定理在现实生活中有许多应用，例如建筑测量、航海等。
七、全等三角形全等三角形是初二数学中描述两个三角形完全相等的模型。
全等三角形有许多的性质和定理，例如SAS全等定理、SSS全等定理等。
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常见的八种函数模型
在计算机科学和数学领域中，函数模型是解决问题和进行分析的
重要工具。
函数模型描述了一种输入与输出之间的关系，通过将输入
映射到输出来实现某种目标。
在现实生活中，我们经常会遇到各种不
同的函数模型。
下面将介绍常见的八种函数模型，并探讨它们在实际
应用中的指导意义。
第一种函数模型是线性函数模型。
线性函数模型是最简单也是最
常见的函数模型之一。
它的表达式可以写成y = ax + b的形式，其中
a和b是常数，x是输入变量，y是输出变量。
线性函数模型描述了一
个直线的关系，它经常用于分析两个变量之间的线性关系，比如身高
和体重之间的关系。
线性函数模型的指导意义是帮助我们理解和预测
变量之间的线性关系，并为实际问题提供解决方案。
第二种函数模型是多项式函数模型。
多项式函数模型是一种常见
的非线性函数模型。
它的表达式可以写成y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n的形式，其中a0, a1, a2, ..., an是常数，x是输入变量，
y是输出变量。
多项式函数模型可以描述各种曲线的形状，它在多个领域有着广泛的应用，比如拟合实验数据、逼近复杂函数等。
多项式函
数模型的指导意义是帮助我们理解和建模复杂的非线性关系，并通过
对曲线的研究来解决实际问题。
第三种函数模型是指数函数模型。
指数函数模型描述了一种指数
增长或指数衰减的关系。
它的表达式可以写成y = a * e^(b * x)的形
式，其中a和b是常数，e是自然对数的底，x是输入变量，y是输出变量。
指数函数模型经常用于分析物种的生长、人口的增长等现象。
指数函数模型的指导意义是帮助我们理解和预测呈指数形式增长或衰减的现象，并为相关问题提供解决方案。
第四种函数模型是对数函数模型。
对数函数模型描述了一种对数增长或对数衰减的关系。
它的表达式可以写成y = a * log(b * x)的形式，其中a和b是常数，log表示以b为底的对数，x是输入变量，y是输出变量。
对数函数模型常用于描述信息传递、信号损失等现象。
对数函数模型的指导意义是帮助我们理解和预测呈对数形式增长或衰减的现象，并为相关问题提供解决方案。
第五种函数模型是三角函数模型。
三角函数模型描述了一种周期性变化的关系。
常见的三角函数包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数的表达式可以写成y = a * sin(b * x)的形式，余弦函数的表达式可以写成y = a * cos(b * x)的形式，其中a和b是常数，x是输入变量，y是输出变量。
三角函数模型在物理学、工程学等领域有着重要的应用，比如描述振动、波动等现象。
三角函数模型的指导意义是帮助我们理解和分析周期性变化的现象，并为实际问题提供解决方案。
第六种函数模型是分段函数模型。
分段函数模型由若干个不同的函数组成，每个函数在不同的区间内起作用。
分段函数模型可以用来描述一些非连续的现象，比如阶梯函数、阻尼振动等。
分段函数模型的指导意义是帮助我们理解和分析非连续的现象，并为实际问题提供解决方案。
第七种函数模型是指示函数模型。
指示函数模型是一种特殊的分
段函数模型，它将输入分为几个不同的区域，并在不同区域内取不同
的数值。
指示函数模型常用于描述二进制变量，并在计算机科学和逻
辑学中有着广泛的应用。
指示函数模型的指导意义是帮助我们理解和
处理二进制变量，并为相关问题提供解决方案。
第八种函数模型是参数化函数模型。
参数化函数模型是一种通过
调整参数来拟合数据的方法。
它可以描述各种复杂的函数关系，并通
过调整参数来使模型与实际数据最拟合。
参数化函数模型在数据分析
和机器学习中有着重要的应用。
参数化函数模型的指导意义是帮助我
们理解和分析实际数据，并通过拟合模型来预测未知的情况。
综上所述，常见的八种函数模型包括线性函数模型、多项式函数
模型、指数函数模型、对数函数模型、三角函数模型、分段函数模型、指示函数模型和参数化函数模型。
这些函数模型在不同领域有着广泛
的应用，它们能够帮助我们理解和分析各种数据和现象，并为实际问
题提供解决方案。