2020年中考数学复习题：因式分解 (41)
2020年中考数学一轮复习-方程与不等式专题-一元二次方程专项训练之一元二次方程的解法-因式分解法 含解析
一元二次方程的解法专题复习训练-因式分解法一．选择题（共10小题）1．下列方程能用因式分解法解有( ) ①2x x =②2104x x -+=③2230x x --=④2(32)16x += A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．方程220x x +=的根是( ) A ．120x x ==B ．122x x ==-C ．10x =，22x =-D ．10x =，22x =3．方程(23)(2)0x x -+=的解是( ) A ．32x =-B ．2x =C ．12x =-，232x =D ．12x =，232x =- 4．一元二次方程(32)6(32)x x x +=+的解是( ) A ．6x =B ．23x =-C ．16x =，223x =-D ．16x =-，223x =5．已知202(23)33x x x x +-=-+，则x 的值为( ) A ．2B ．1-或2-C ．1或2D ．16．方程5(312)10(312)x x x -=-的解是( ) A ．2x =B ．2x =-C ．12x =，24x =D ．12x =-，24x =7．方程2(2)0x m x m x m ++--=的解为( ) A ．11x m =-，2x m =- B ．11x m =-，2x m =C ．11x m =-，2x m =-D ．11x m =-，2x m =8．已知实数a ，b 同时满足22110a b +-=，2550a b --=，则b 的值是( ) A ．1B ．1，6-C ．1-D ．6-9．若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程2560x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是( ) A ．13B ．16C ．12或13D ．11或1610．已知关于x 的方程20x px q -+=的两个根是11x =，22x =-．则二次三项式2x px q -+可以分解为( )A ．(1)(2)x x -+B ．(1)(2)x x --C ．(1)(2)x x +-D ．(1)(2)x x ++二．填空题（共8小题）11．方程(5)2x x x -=的根是 ．12．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是 ． 13．解一元二次方程(21)(3)0x x -+= ． 14．方程(5)(6)6x x x -+=+的根是 ．15．已知一元二次方程220x bx c ++=的两根为12x =-，23x =．那么多项式22x bx c ++可因式分解为 ．16．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※2b a ab =-，例如，5※2355310=-⨯=．若(1)x +※(2)6x -=，则x 的值为 ．17．一元二次方程24120x x --=的两根分别是一次函数y kx b =+在x 轴上的横坐标和y 轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是 ．18．定义[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]1=，[ 1.4]2-=-，[3]3-=-，函数的图象如图所示，则方程21[]2x x =的解为 ．三．解答题（共10小题） 19．解方程：2(3)721x x -=-．20．解下列方程：2(34)0x x x +-=21．解方程：2(3)3(3)x x x -=-22．解方程：2(2)3(2)2x x -=---23．已知等腰三角形底边长为5，腰长是方程2680x x -+=的一个根，求这个等腰三角形的腰长．24．学校李老师布置了两道解方程的作业题： 选用合适的方法解方程：（1）(1)2x x x +=；（2）(1)(3)7x x +-= 以下是王萌同学的作业：请你帮王萌检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．25．基本事实：“若0ab =，则0a =或0b =”．一元二次方程220x x --=可通过因式分解化为(2)(1)0x x -+=，由基本事实得20x -=或10x +=，即方程的解为2x =或1x =-． （1）试利用上述基本事实，解方程：220:x x -= （2）解方程：1(1)(2)04x x +++=．26．解方程22(3)3x x -=-时，小明的解答过程如下： 解：原方程可化为22(3)3x x -=-， 方程两边同时除以(3)x -，得2(3)1x -=， 解这个方程，得72x =， 小明的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．27．回答下面的例题： 解方程：2||20x x --=．解：（1）当0x …时，原方程化为220x x --=，解得12x =，21x =-（不合题意，舍去）．（2）当0x <时，原方程化为220x x +-=，解得12x =-，21x =（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是12x =，22x =-．请参照例题解方程2|4|80x x +--=．28．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解一元二次方程238(2)0x x x --=⋯第一步3820x x --=⋯第二步 520x --=⋯第三步 52x -=⋯第四步25x =-⋯第五步（1）小明的解法从第 步开始出现错误；此题的正确结果是 ． （2）用因式分解法解方程：(21)3(21)x x x -=-．一元二次方程的解法-因式分解法参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程能用因式分解法解有( ) ①2x x =②2104x x -+=③2230x x --=④2(32)16x += A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①移项得20x x -=，方程左边因式分解得，(1)0x x -= ②方程左边因式分解得21()02x -=③整理得2230x x -+=，此式应用求根公式法解方程④移项2(32)160x +-=，左边因式分解得(324)(324)0x x +++-=．故选C ． 2．方程220x x +=的根是( ) A ．120x x ==B ．122x x ==-C ．10x =，22x =-D ．10x =，22x =【解答】解：220x x +=， (2)0x x +=， 0x =，20x +=，10x =，22x =-，故选：C ．3．方程(23)(2)0x x -+=的解是( ) A ．32x =-B ．2x =C ．12x =-，232x =D ．12x =，232x =- 【解答】解：(23)(2)0x x -+=， 20x +=，230x -=，12x =-，232x =， 故选：C ．4．一元二次方程(32)6(32)x x x +=+的解是( ) A ．6x = B ．23x =-C ．16x =，223x =-D ．16x =-，223x =【解答】解：(32)6(32)x x x +=+，6x ∴=或23x =-，故选：C ．5．已知202(23)33x x x x +-=-+，则x 的值为( ) A ．2B ．1-或2-C ．1或2D ．1【解答】解：根据题意得2331x x -+=， 整理得2320x x -+=， (2)(1)0x x --=， 20x -=或10x -=，解得12x =，21x =， 而2230x x +-≠， 所以2x =． 故选：A ．6．方程5(312)10(312)x x x -=-的解是( ) A ．2x =B ．2x =-C ．12x =，24x =D ．12x =-，24x =【解答】解：5(312)10(312)x x x -=-， 5(312)10(312)0x x x ---=， (312)(510)0x x --=， 5100x -=，3120x -=，12x =，24x =，故选：C ．7．方程2(2)0x m x m x m ++--=的解为( ) A ．11x m =-，2x m =- B ．11x m =-，2x m =C ．11x m =-，2x m =-D ．11x m =-，2x m =【解答】解：原方程可变形为：2220x xm m x m ++--=2(21)(1)0x m x m m +-+-=11x m ∴=-，2x m =-故选：A ．8．已知实数a ，b 同时满足22110a b +-=，2550a b --=，则b 的值是( ) A ．1B ．1，6-C ．1-D ．6-【解答】解：22110a b +-=，① 2550a b --=，② ∴①-②得2560b b +-=，(6)(1)0b b +-=， 16b ∴=-，21b =．当6b =-时，225a =-，方程无实数根，不合题意，舍去． 1b ∴=．故选：A ．9．若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程2560x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是( ) A ．13 B ．16C ．12或13D ．11或16【解答】解：2560x x -+=，(3)(2)0x x ∴--=，解得：13x =，22x =，三角形的两边长分别是4和6， 当3x =时，346+>，能组成三角形； 当2x =时，246+=，不能组成三角形． ∴这个三角形的第三边长是3， ∴这个三角形的周长为：46313++=故选：A ．10．已知关于x 的方程20x px q -+=的两个根是11x =，22x =-．则二次三项式2x px q -+可以分解为( )A ．(1)(2)x x -+B ．(1)(2)x x --C ．(1)(2)x x +-D ．(1)(2)x x ++【解答】解：关于x 的方程20x px q -+=的两个根是11x =，22x =-，即(1)(2)0x x -+=， 则二次三项式2x px q -+可以分解为(1)(2)x x -+的形式．答案选A ． 二．填空题（共8小题）11．方程(5)2x x x -=的根是 10x =，27x = ．【解答】解：将方程(5)2x x x -=整理成一般式得：270x x -=， 则(7)0x x -=， 0x ∴=或70x -=，解得：10x =，27x =， 故答案为：10x =，27x =．12．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是 12x =，21x = ． 【解答】解：(2)2x x x -=-， (2)(2)0x x x ---=， (2)(1)0x x --=， 20x -=，10x -=，12x =，21x =，故答案为：12x =，21x =．13．解一元二次方程(21)(3)0x x -+= 12x =，23=- ． 【解答】解：210x -=或30x +=， 所以112x =，23x =-． 故答案为112x =，23x =-． 14．方程(5)(6)6x x x -+=+的根是 16x =-，26x = ． 【解答】解：(5)(6)6x x x -+=+， (5)(6)(6)0x x x -+-+=， (6)(51)0x x +--=，60x +=，510x --=，16x =-，26x =，故答案为：16x =-，26x =．15．已知一元二次方程220x bx c ++=的两根为12x =-，23x =．那么多项式22x bx c ++可因式分解为 2(2)(3)x x +-【解答】解：一元二次方程220x bx c ++=的两根为12x =-，23x =．222(2)(3)x bx c x x ∴++=+-故答案为2(2)(3)x x +-．16．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※2b a ab =-，例如，5※2355310=-⨯=．若(1)x +※(2)6x -=，则x 的值为 1 ．【解答】解：由题意得，2(1)(1)(2)6x x x +-+-=， 整理得，336x +=， 解得，1x =， 故答案为：1．17．一元二次方程24120x x --=的两根分别是一次函数y kx b =+在x 轴上的横坐标和y 轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是 6 ．【解答】解：解方程24120x x --=得：6x =或2-，一元二次方程24120x x --=的两根分别是一次函数y kx b =+在x 轴上的横坐标和y 轴上的纵坐标，∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是16|2|62⨯⨯-=，故答案为：6．18．定义[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]1=，[ 1.4]2-=-，[3]3-=-，函数的图象如图所示，则方程21[]2x x =【解答】解：当12x <…时，2112x =，解得1x =，2x =；当01x <…时，2102x =，解得0x =；当10x -<…时，2112x =-，方程没有实数解；当21x -<-…时，2122x =-，方程没有实数解；所以方程21[]2x x =的解为0故答案为：0． 三．解答题（共10小题） 19．解方程：2(3)721x x -=-． 【解答】解：2(3)7(3)0x x ---=， (3)(10)0x x ∴--=，则30x -=或100x -=， 解得：13x =，210x =．20．解下列方程：2(34)0x x x +-= 【解答】解：2(34)0x x x +-=，22340x x x ∴+-=， 2440x x -=， 4(1)0x x ∴-=，则40x =或10x -=， 解得10x =，21x =．21．解方程：2(3)3(3)x x x -=-。
2020年中考数学第一轮复习 第四节 因式分解 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第一章 数与式第四节 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式 整式的积 【注意：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【注意：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【注意：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】 三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【注意：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【中考真题考点例析】考点一：因式分解的概念A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x +2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2. （2019山东东营）因式分解：x(x-3)-x+3= ．对应练习2－1．（2019年济南）分解因式：244m m -+=_____．（ ） （ ）对应练习2－2．（2019年莱芜）分解因式：a 3﹣4ab 2= ．考点三：因式分解的应用例1. 答案：6，1对应练习1－1． 答案：D考点二：因式分解例2. 答案：B对应练习2－1． 答案：2(2)m -对应练习2－2． 答案：a （a+2b ）（a ﹣2b ）考点三：因式分解的应用例3. 答案：4对应练习3－1． 答案：18【聚焦中考真题】一、选择题：1．（2019年山东临沂）将a 3b －ab 进行因式分解，正确的是（ ）A ．a(a 2b －b)B ．ab(a －1)2C ．ab(a+1)(a －1)D ．ab(a 2－1)2．（2019潍坊）下列因式分解正确的是（ ）A ．3ax 2－6ax=3(ax 2－2ax)B ．x 2+y 2=(－x+y)(－x －y)C ．a 2+2ab －4b 2=(a+2b)2D ．－ax 2+2ax －a=－a(x －1)23.（南昌）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2-xy+x=x （x -y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a -b ）2C ．x 2-2x+4=（x -1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x -3）4．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+95．（佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）6．（恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）2二、填空题：7.（2019年威海）分解因式:2x 2－2x ＋＝ .8．（2019年淄博）分解因式：=++x x x 6523 ．A ．3x -6x=x （3x-6）B ．-a +b =（b+a ）（b-a ）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）233．（内江）若m-n=6，且m-n=2，则m+n= ．参考答案一、选择题：1-5 CDBDC 6 C二、填空题：6.答案：()221 12x-7.答案：()()32++xxx8.答案：m(x+y)(x-y)9.答案：m(m-5)10.答案：B11.答案：2)2 (-ba12.答案：x(2-x)(2+x)13. 答案：5(x+2)(x -2)14. 答案：m(m+2)(m -2)15. 答案：b(a+2b)(a -2b)17. 答案：-91(3x+1)(3x -1)16. 答案：3(a+2b)(a -2b)17. 答案：2x(x -2)18. 答案：2m(m+2)(m -2)19. 答案：2（a+2b ）(a -2b)20. 答案：22）（-x21. 答案：a(b+1)(b -1)22. 答案：(x -1)23. 答案：a(a -2)24. 答案：x(x+y)25. 答案：(a+3)(a -3)26. 答案：x -227. 答案：(x+y)(x -y)28. 答案：(x+3y)(x -3y)29. 答案：a(m+2n)(m -2n)30. 答案：))((22x y x y y x -+ 31. 答案：332. 答案：2433. 答案：x(x+1)(x -1)34. 答案：-31。
2020年中考数学因式分解专项训练题(含答案解析)
初中数学因式分解专项训练题一．选择题（共17小题）1．（2015•江都市模拟）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣42．（2015春•龙岗区期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6 3．（2015•临沂）多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）24．（2015春•安丘市校级期中）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（）A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn25．（2015春•安乡县校级期中）3m（a﹣b）﹣9n（b﹣a）的公因式是（）A．3（a﹣b）B．m+n C．3（a+b）D．3m﹣9n6．（2015春•江华县期末）（﹣2）100+（﹣2）101的结果是（）A．2100 B．﹣2100C．﹣2 D．27．（2015•河北模拟）已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．18．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2） D．a n（﹣a3+a n）9．（2015春•杭州期末）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣410．（2015春•陕西校级月考）把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）11．（2016•安徽模拟）分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）12．（2015•广东模拟）下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（）A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2C．2x2+4xy+y2D．x2﹣y2+2xy 13．（2015•合肥校级模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B．（a2﹣2a+1）2C．（a﹣1）4D．（a+1）2（a﹣1）214．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）15．（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）16．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2 D．3（x+y）（x+y﹣3）217．（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a （x+6）（x﹣2）二．填空题（共3小题）18．（2013•株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=，n=．19．（2013•怀化）分解因式：x2﹣3x+2=．20．（2013•潍坊）分解因式：（a+2）（a﹣2）+3a=．三．解答题（共10小题）21．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．22．（2006•梅州）因式分解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．23．（2005•乌兰察布）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．24．因式分解：7a2+ab﹣21a﹣3b．25．分解因式：x2﹣y2﹣2y﹣1．26．（2007秋•南汇区期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24．27．（2009秋•北京校级期末）在实数范围内分解因式：x4﹣4．28．（2014秋•邹城市校级期末）在实数范围内分解因式：（1）2x2﹣3（2）4x4﹣9．29．（2013•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．30．（2015秋•简阳市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．初中数学因式分解专项训练题参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．（2015•江都市模拟）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【解答】解：A、右边不是积的形式，故A错误；B、右边不是积的形式，故B错误；C、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），故C正确．D、是整式的乘法，不是因式分解．故选：C．【点评】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2．（2015春•龙岗区期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得2x2+bx+c=2（x﹣3）（x+1）=2x2﹣4x﹣6．b=﹣4，c=﹣6，故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．3．（2015•临沂）多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2【考点】公因式．【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m=m（x﹣1）（x+1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．4．（2015春•安丘市校级期中）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（）A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn2【考点】公因式．【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以它的公因式是5m2n．故选C．【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．5．（2015春•安乡县校级期中）3m（a﹣b）﹣9n（b﹣a）的公因式是（）A．3（a﹣b）B．m+n C．3（a+b）D．3m﹣9n【考点】公因式．【分析】根据公因式是每个项都有的因式，可得答案．【解答】解：3m（a﹣b）﹣9n（b﹣a）=3（a﹣b）（m+3n），公因式是3（a﹣b）．故选：A．【点评】本题考查了公因式，公因式是每个项都有的因式．6．（2015春•江华县期末）（﹣2）100+（﹣2）101的结果是（）A．2100 B．﹣2100C．﹣2 D．2【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式（﹣2）100，进而得出即可．【解答】解：（﹣2）100+（﹣2）101=（﹣2）100×（1﹣2）=﹣2100．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用，正确得出公因式是解题关键．7．（2015•河北模拟）已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．1【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出即可．【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2） D．a n（﹣a3+a n）【考点】因式分解-提公因式法．【分析】根据提公因式法，可得答案．【解答】解：a n﹣a3n+a n+2=a n（1﹣a2n+a2），故选：C．【点评】本题考查了因式分解，利用同底数幂的乘法是解题关键．9．（2015春•杭州期末）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【专题】计算题．【分析】根据题意列出关系式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出m﹣n的值．【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2）（2x﹣2）=（x+m）（2x+n），可得m=2，n=﹣2，则m﹣n=2﹣（﹣2）=2+2=4，故选C【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10．（2015春•陕西校级月考）把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【考点】因式分解-提公因式法．【分析】根据互为相反数的两数的平方相等，把（y﹣x）2写成（x﹣y）2，然后提取公因式（x﹣y），整理即可．【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．故选B．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，转化为相同底数是求解的关键．11．（2016•安徽模拟）分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：（2x+3）2﹣x2=（2x+3﹣x）（2x+3+x）=（x+3）（3x+3）=3（x+3）（x+1）．故选：D．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．12．（2015•广东模拟）下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（）A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2C．2x2+4xy+y2D．x2﹣y2+2xy【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题．【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可做出判断．【解答】解：4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2．故选B【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（2015•合肥校级模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B．（a2﹣2a+1）2C．（a﹣1）4D．（a+1）2（a﹣1）2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：（a2+1）2﹣4a2=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）=（a﹣1）2（a+1）2．故选：D．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．14．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．15．（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3=﹣x（x2﹣4xy+4y2）=﹣x（x﹣2y）2，故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．16．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2 D．3（x+y）（x+y﹣3）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：3（x+y）3﹣27（x+y）=3（x+y）[（x+y）2﹣9]=3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）．故选A【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a （x+6）（x﹣2）【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：ax2﹣4ax﹣12a=a（x2﹣4x﹣12）=a（x﹣6）（x+2）．故答案为：a（x﹣6）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．二．填空题（共3小题）18．（2013•株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=6，n= 1．【考点】因式分解的意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．【解答】解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n∴，∴，故答案为：6，1．【点评】本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．19．（2013•怀化）分解因式：x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】把2分解成（﹣1）×（﹣2），再根据十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．20．（2013•潍坊）分解因式：（a+2）（a﹣2）+3a=（a﹣1）（a+4）．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】首先利用平方差公式计算，进而利用因式分解法分解因式即可．【解答】解：（a+2）（a﹣2）+3a=a2+3a﹣4=（a﹣1）（a+4）．故答案为：（a﹣1）（a+4）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和公式的应用是本题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．22．（2006•梅州）因式分解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式（y2﹣1），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式．【解答】解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1），=（y2﹣1）（x2+2x+1），=（y2﹣1）（x+1）2，=（y+1）（y﹣1）（x+1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．23．（2005•乌兰察布）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．【考点】因式分解-分组分解法．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．将a2﹣2ab+b2作为一组，先用完全平方公式，再用平方差公式解答．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2，=a2﹣2ab+b2﹣c2，=（a2﹣2ab+b2）﹣c2，=（a﹣b）2﹣c2，=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项完全符合完全平方公式，应考虑前三项为一组．24．因式分解：7a2+ab﹣21a﹣3b．【考点】因式分解-分组分解法．【分析】首先将第一、三项组合，再将第二、四项组合，进而提取公因式得出即可．【解答】解：7a2+ab﹣21a﹣3b=（7a2﹣21a）+（ab﹣3b）=7a（a﹣3）+b（a﹣3）=（7a+b）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．25．分解因式：x2﹣y2﹣2y﹣1．【考点】因式分解-分组分解法．【分析】将后三项组合利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．26．（2007秋•南汇区期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】首先将x2﹣2x看作整体再利用十字相乘法分解因式，注意需要两次利用十字相乘法分解因式，分解因式必须彻底．【解答】解：原式=（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x﹣8），=（x﹣3）（x+1）（x﹣4）（x+2）．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．27．（2009秋•北京校级期末）在实数范围内分解因式：x4﹣4．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】实数包括有理数和无理数，先运用平方差公式得出（x2+2）（x2﹣2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．【解答】解：原式=（x2+2）（x2﹣2），=（x2+2）（x+）（x﹣）．【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．28．（2014秋•邹城市校级期末）在实数范围内分解因式：（1）2x2﹣3（2）4x4﹣9．【考点】实数范围内分解因式．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先利用平方差公式分解因式，进而再次结合平方差公式分解得出即可．【解答】解：（1）2x2﹣3=（x﹣）（x+）；（2）4x4﹣9=（2x2+3）（2x2﹣3）=（2x2+3）（x﹣）（x+）．【点评】此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．29．（2013•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．【考点】因式分解的应用．【分析】由a+b=2，ab=﹣3，可得a2+b2=10，因为（a2+b2）ab=a3b+ab3，所以a3b+ab3=﹣30．【解答】解：∵a+b=2，∴（a+b）2=4，∴a2+2ab+b2=4，又∵ab=﹣3，∴a2﹣6+b2=4∴a2+b2=10，∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．【点评】本题为代数式求值题，主要考查整体思想，是一道比较基础的题目，要认真掌握，并确保得分．30．（2015秋•简阳市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；等边三角形的判定．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a﹣b=0且b﹣c=0即a=b=c，故该三角形是等边三角形．【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．。
2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用
2023年中考数学高频考点训练——因式分解的应用一、综合题1．阅读下列材料：①关于x 的方程2310(0)x x x -+=≠方程两边同时乘以1x 得：1x 30x -+=，即1x 3x +=，故222221111x x 2x x 2x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+=++ ⎪⎝⎭，所以222211x x 2327x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭．②()()3322a b a b a ab b +=+-+；()()3322a b a b a ab b -=-++．根据以上材料，解答下列问题：（1）2410(0)x x x -+=≠，则1x x +=；221x x +=；441x x +=；（2）22720x x -+=，求331x x +的值．2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为、；（2）你得到的因式分解等式是：；（3）观察图2，可以发现代数式2a 2+5ab+2b 2可以因式分解为；（4）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为（a+b ）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：；②已知a+b ＝5，ab ＝2，利用上面的规律求a 3+b 3的值．3．如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且m>n ，(以上长度单位：cm)（1）观察图形，可以发现代数式2m 2＋5mn ＋2n 2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm 2，四个正方形的面积和为58cm 2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．4．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x -+可分解为(1)()x x a -+，则a =；（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =；（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值．5．解答下列问题：（1）一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是．（2）求证：当n 为正整数时，()()222121n n +--能被8整除．6．回答下列问题：（1）填空：22211(x x x x +=+-21(x x =-+；（2）填空：若15a a +=，则221a a +=；（3）若2310a a -+=，0a ≠，求221a a +的值.7．已知8x y +=，6xy =.求：（1）22x y xy +的值；（2）22x y +的值.8．解下列各题：（1）分解因式：()()263a b a b -+-；（2）利用因式分解简便计算：224959909595-⨯+．9．下面是多项式x 3+y 3因式分解的部分过程，．解：原式＝x 3+x 2y ﹣x 2y +y 3（第一步）＝（x 3+x 2y ）﹣（x 2y ﹣y 3）（第二步）＝x 2（x +y ）﹣y （x 2﹣y 2）（第三步）＝x 2（x +y ）﹣y （x +y ）（x ﹣y ）（第四步）＝．阅读以上解题过程，解答下列问题：（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有．（至少写出两种方法）（2）在横线继续完成对本题的因式分解．（3）请你尝试用以上方法对多项式8x 3﹣1进行因式分解．10．已知4a b +=，2225a b +=.求下列各式的值.（1）ab ；（2）32231a a b ab b ++++.11．阅读图中的材料：利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x 2﹣2xy+y 2﹣4；（2）已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2﹣ab ﹣ac+bc ＝0，判断△ABC 的形状并说明理由．12．已知x+y=3，xy=54，求下列各式的值：（1）（x 2-2）（y 2-2）；（2）x 2y-xy 2.13．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式.类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为()b b a <的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -.类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为.（5）已知4a b -=，2ab =，求33a b -的值.14．n 是正整数．（1）请用n 表示两个连续的奇数为、．（2）这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．15．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a ，()b a b >满足2253a b +=，14ab =，求：①a b +的值；②44a b -的值.16．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112….（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值.（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数.17．阅读：因为（x+3）（x-2）=x 2+x-6，说明x 2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x 2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：（1）多项式A 有一个因式为x+m （m 为常数），当x=，A=0；（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x 2+kx-14，求k 的值；（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x 3+ax 2-7x+b ，试求a ，b 的值．18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.2(1)(1)(1)(1)[1x x x x x x x +++++=+++23(1)](1)(1)(1).x x x x x +=++=+（1）上述分解因式的方法是，共应用了次（2）若分解2(1)(1)(1)x x x x x +++++++ 2001(1)x x +，则需应用上述方法次.结果是.（3）分解因式：2(1)(1)(1)x x x x x +++++++ (1)(n x x n +为正整数).19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C ：①若要拼出一个面积为（3a+b ）（a+2b ）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a 2+7ab+2b 2，并利用你画的图形面积对6a 2+7ab+2b 2进行因式分解.20．对任意一个四位正整数数m ，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m 为“重九数”，如：1827、3663.将“重九数”m 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n ，如：m ＝2718，则n ＝1827，记D （m ，n ）＝m+n.（1）请写出两个四位“重九数”：，.（2）求证：对于任意一个四位“重九数”m ，其D （m ，n ）可被101整除.（3）对于任意一个四位“重九数”m ，记f （m ，n ）＝D(m,n)101，当f （m ，n ）是一个完全平方数时，且满足m ＞n ，求满足条件的m 的值.21．如图①是由边长为a 的大正方形纸片剪去一个边长为b 的小正方形后余下的图形.我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）.（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是.①a 2＋ab ＝a （a+b ）②a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2③a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知4x 2－9y 2＝12，2x ＋3y ＝4，求2x －3y 的值；②计算22222111111-1-1-1-1-2345100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a 厘米的大正方形，2块是边长都为b 厘米的小正方形，5块是长为a 厘米，宽为b 厘米的相同的小长方形，且a ＞b ．（1）观察图形，可以发现代数式2a 2+5ab +2b 2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）4；14；194（2）解：∵22720x x -+=，∴172x x +=，2221141()24x x x x +=+-=，3232111741259(1)(1)248x x x x x x +=+-+=⨯-=．【解析】【解答】解：（1）∵2410x x -+=，∴14x x +=，222111()216214x x x x x x +=+-⋅=-=，4222422111()2194x x x x x x +=+-⋅=；故答案为：4；14；194；【分析】(1)模仿例题利用完全平方公式即可求解；(2)模仿例题利用完全平方公式和立方和公式即可求解。
专题3因式分解(共41题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)
专题3因式分解（共41题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．2．（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（2021·贵州铜仁市·中考真题）下列等式正确的是（ ）A ．3tan452-+︒=-B ．()5510x xy x y ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭C ．()2222a b a ab b -=++D ．()()33x y xy xy x y x y -=+- 【答案】D【分析】依据绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，逐项计算即可．【详解】 A. 3tan45314-+︒=+=，不符合题意B. ()55555105y y y x xy x y x ⎛⎫÷=⨯⎪= ⎝⎭，不符合题意 C. ()2222a b a ab b -=-+，不符合题意D. ()()3322()x y xy xy x y xy x y x y -=-=+-，符合题意 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，解决本题的关键是牢记公式与定义．4．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题5．（2021·四川成都市·中考真题）因式分解：24x -=__________．【答案】(x+2)(x-2)【详解】解：24x -=222x -=(2)(2)x x +-；故答案为(2)(2)x x +-6．（2021·云南中考真题）分解因式：34x x -=______．【答案】x （x +2）（x ﹣2）．【详解】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．7．（2021·山东临沂市·中考真题）分解因式：2a 3﹣8a=________．【答案】2a （a+2）（a ﹣2）【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，()()()222a 8a 2a a 4=2a a+2a 2-=--．8．（2021·广西柳州市·中考真题）因式分21x -= ．【答案】(1)(1)x x +-．【详解】原式=(1)(1)x x +-．故答案为(1)(1)x x +-．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解．9．（2021·浙江宁波市·中考真题）分解因式：23x x -=_____________．【答案】x(x -3)【详解】直接提公因式x 即可，即原式=x (x -3).10．（2021·江苏宿迁市·中考真题）分解因式：2ab a -=______．【答案】a （b +1）（b ﹣1）．【详解】解：原式=2(1)a b -=a （b +1）（b ﹣1），故答案为a （b +1）（b ﹣1）．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）分解因式：24m -=_____．【答案】(2)(2)m m +-【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】24(2)(2)m m m -=+-，故填(2)(2)m m +-【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.12．（2021·江苏盐城市·中考真题）分解因式：a 2+2a +1＝_____．【答案】（a +1）2【分析】直接利用完全平方公式分解.【详解】a 2+2a +1＝（a +1）2．故答案为()21+a .【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.13．（2021·吉林长春市·中考真题）分解因式：22a a +=_____．【答案】22(2)a a a a +=+【分析】直接提公因式法：观察原式22a a +，找到公因式a ，提出即可得出答案．【详解】 22(2)a a a a +=+．【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．14．（2021·江苏连云港市·中考真题）分解因式：2961x x ++=____．【答案】（3x ＋1）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（3x ＋1）2，故答案为：（3x ＋1）2【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2021·江苏苏州市·中考真题）因式分解221x x -+=______．【答案】()21x -【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：221x x -+=（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．16．（2021·浙江台州市·中考真题）因式分解：xy -y 2＝_____．【答案】y (x -y )【分析】根据提取公因式法，即可分解因式．【详解】解：原式= y (x -y )，故答案是：y (x -y )．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．17．（2021·江西中考真题）因式分解：224x y -=______．【答案】(2)(2)x y x y +-【分析】直接利用平方差公式分解即可．【详解】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．故答案为：(2)(2)x y x y +-．【点睛】本题考查了分解因式－公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．18．（2021·甘肃武威市·中考真题）因式分解：242m m -=___________．【答案】()22m m -【分析】先确定242m m -的公因式为2m ，再利用提公因式分解因式即可得到答案．【详解】解：()24222.m m m m -=- 故答案为：()22m m -【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的确定是解题的关键．19．（2021·湖北黄石市·中考真题）分解因式：322a a a -+=______．【答案】()21a a -．【分析】观察所给多项式有公因式a ，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式()221a a a =-+， ()21a a =-，故答案为：()21a a -．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．20．（2021·四川泸州市·）分解因式：244m -=___________．【答案】()()411m m +-．【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()224441411m m m m -=-=+-． 故答案为：()()411m m +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．21．（2021·四川乐山市·中考真题）因式分解：249a -=________．【答案】(23)(23)a a -+【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解．【详解】解：22249(2)3a a -=-＝(23)(23)a a -+．故答案为：(23)(23)a a -+．【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．22．（2021·江苏无锡市·中考真题）分解因式：328x x -=_________．【答案】2x （x +2）（x -2）【分析】先提取公因式2x ，再利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式=2x （x 2-4）=2x （x +2）（x -2）；故答案为：2x （x +2）（x -2）．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式．23．（2021·广西来宾市·中考真题）分解因式：224a b -=______．【答案】()()22a b a b +-【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：224a b -=()222a b -=()()22a b a b +-．故答案为()()22a b a b +-．【点睛】本题考查了因式分解．熟练掌握平方差公式是解题的关键．24．（2021·浙江绍兴市·中考真题）分解因式：221x x ++= ___________ ．【答案】2(1)x +【分析】根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：221x x ++=2(1)x +故答案为：2(1)x +．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键． 25．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分解因式：2a ax -=__________．【答案】()()11a x x +-【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()22111a ax a x a x x -=-=+-；故答案为()()11a x x +-．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．26．（2021·山东菏泽市·中考真题）因式分解：322a a a -+-=______．【答案】2(1)a a --【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可【详解】∴322a a a -+-=-a 22)1(a a -+=2(1)a a --故答案为: 2(1)a a --．【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 27．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知2,33xy x y =-=，则322321218x y x y xy -+=_________．【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∴2,33xy x y =-=，∴原式=()222322336xy x y -=⨯⨯=，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 28．（2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：22021x x -=______．【答案】(2021)x x -【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得． 【详解】解：22021(2021)x x x x -=-， 故答案为：(2021)x x -． 【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题关键． 29．（2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：264x xy -=__________． 【答案】()232x x y - 【分析】直接提出公因式2x 即可完成因式分解． 【详解】解：()264232x xy x x y -=-;故答案为：()232x x y -． 【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是找到它们的公因式，提出公因式后再检查分解是否彻底即可，本题为基础题，考查了学生对基础知识的掌握与运用． 30．（2021·陕西中考真题）分解因式：3269x x x ++=______． 【答案】()23x x + 【分析】题目中每项都含有x ，提取公因式x ；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】()322269(69)3x x x x x x x x ++=+++=故答案为()23x x +． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．31．（2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解：221x x ++=______． 【答案】()21x +． 【详解】解：()22211x x x ++=+．故答案为：()21x +． 【点睛】此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 32．（2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：23xy x -=______． 【答案】()()x y x y x -+ 【分析】提公因式与平方差公式相结合解题． 【详解】解：2322()()()xy x x y x x y x y x -=-=-+， 故答案为：()()x y x y x -+． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键． 33．（2021·四川眉山市·中考真题）分解因式：3x y xy -=______． 【答案】()()11xy x x +- 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy ，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：()()()32111x y xy xy x xy x x -=-=+-；故答案为：()()11xy x x +-． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 34．（2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：239a ab -=__________． 【答案】()33a a b - 【分析】利用提取公因式法因式分解即可 【详解】解：()23933a ab a a b -=-故答案为: ()33a a b - 【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键 35．（2021·北京中考真题）分解因式：2255x y -=______________． 【答案】()()5x y x y +- 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：()()()22225555x y x y x y x y -=-=+-；故答案为()()5x y x y +-． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 36．（2021·浙江温州市·中考真题）分解因式：2218m -=______． 【答案】()()233m m +- 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：2218m -=2（m 2-9） =2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 37．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）在实数范围内分解因式：22ab a -=_________．【答案】(a b b ．【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式得出即可． 【详解】 解：22ab a - =2(2)a b -=(a b b故答案为：(a b b ．【点睛】此题主要考查了利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．三、解答题38．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）先因式分解，再计算求值：328x x -，其中3x =． 【答案】()()222+-x x x ，30 【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x 的值即可． 【详解】解：()()()322824222x x x x x x x -=-=+-，当3x =时，原式235130=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．39．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）（1）计算：()201 3.144cos4512π-⎛⎫-+-+︒- ⎪⎝⎭．（2）因式分解：3312xy xy -+．【答案】（1）6（2）3(2)(2)xy y y -+- 【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式4141)2=++⨯-411=++6=+（2）解：原式23(4)xy y =--3(2)(2)xy y y =-+-【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．40．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4 【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xy x y -，代入计算即可． 【详解】解：∴2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-，∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．41．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”． 例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M 有1224，1221，5624，5616． 【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A 个位及十位上的数，同时也可以用来表示B ．然后整理出：()()()P M G M Q M =，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M ．【详解】 解：（1）168不是“合和数”，621是“合和数”． 1681214=⨯，2410+≠，168∴不是“合和数”，6212327=⨯，十位数字相同，且个位数字3710+=， 621∴是“合和数”．（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n （m ，n 为自然数，且39m ≤≤，19n ≤≤）， 则10,1010A m n B m n =+=+-．∴()10210,()()(10)210P M m n m n m Q M m n m n n =+++-=+=+-+-=-． ∴()()21054()2105P M m m G M k Q M n n ++====--（k 是整数）．39m ≤≤，8514m ∴≤+≤，k 是整数，58m ∴+=或512m +=，∴当58m +=时，5851m n +=⎧⎨-=⎩或5852m n +=⎧⎨-=⎩， 36341224M ∴=⨯=或3733=1221M =⨯．∴当512m +=时，51251m n +=⎧⎨-=⎩或51253m n +=⎧⎨-=⎩， 76745623M ∴=⨯=或78725616M =⨯=．综上，满足条件的M 有1224，1221，5624，5616． 【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．。
中考数学专题复习题：整式的乘法与因式分解
中考数学专题复习题：整式的乘法与因式分解一、单项选择题（共10小题）1．下列算式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．(2x +y )(2y −x )B ．(x +y )+(y −x )C ．(3a −b )(−3a +b )D ．(−m +n )(−m −n )2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．1x 2−1=(1x +1)(1x −1)B ．(a +b)2=a 2+2ab +b 2C ．x 2−x −2=(x +1)(x −2)D ．ax −ay −a =a(x −y)−1 3．下列运算正确的是（ ）A ．a 2⋅a 4=a 8B ．210+(−2)10=211C ．(−1−3a)2=1−6a +9a 2D ．(−3x 2y)3=−9x 6y 3 4．若4x 2－mx ＋9是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．4C ．12D ．±125．如果a −b =2，那么代数式a 3−2a 2b +ab 2−4a 的值是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．26．如图：把长和宽分别为a 和b 的四个完全相同的小长方形(a >b )拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）A ．(a +b )2=a 2−2ab +b 2B ．a 2−b 2=(a +b )(a −b )C ．(a −b )2=a 2−2ab +b 2D ．(a +b )2−(a −b )2=4ab 7．计算(35)2023×(−53)2024的结果等于（ ） A ．53 B ．35 C ．−35 D ．−53 8．若x 3y m−1⋅(x m+n y 2n+2)=x 9y 9，则3m −4n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的个位数字为（ ）A．1B．3C．7D．910．设有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为a+3b的长方形，则需要C类纸片的张数为（）A．11B．10C．9D．8二、填空题（共6小题）11．计算：(x+2)(x−8)=________．12．分解因式：m2(x－2)+(2－x) =________．13．已知多项式4x2+1与一个单项式的和是一个完全平方式，那么加上的单项式可能是________（写出一个即可）14．如果a-b=3，ab=7，那么a2b-ab2=________．15．若(x−a)(x2−3x+1)的展开式化简后不含x2项，则常数a的值是________．16．如下所示，(a+b)n与相应的杨辉三角中的一行数相对应．由以上规律可知：(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你写出下列式子的结果：(a+b)6=________．三、解答题（共8小题）17．分解因式：（1）a3b−ab；（2）(m+n)2−4m(m+n)+4m2．18．计算：（1）(−4xy3)(−18xy)−(12xy2)2（2）[(ab+1)(ab−2)−2a2b2+2]÷(−ab)19．先化简，再求值[(2a+b)2−(a−b)(3a−b)−2a]÷(−12a)，a=−1,b=12．20．老师布置了这样一道作业题：“(2x2−1)(3x+2)−x(6x2+4x−3)，要求先化简再求值，其中x=2022”某同学把x=2022错抄成x=202，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？21．计算：（1）已知a m=3，a n=4，求a2m+n的值．（2）已知10a=2.5，100b=4，求3a+6b−2的值．22．阅读材料，回答问题．已知a>0，b>0，若a3=2，b4=3，则a，b的大小关系是a_______b（填“＜”或“＞”）．解：因为a3=2，b4=3，所以a12=(a3)4=24=16，b12=(b4)3=33=27，由于16<27，所以a12<b12.因为a>0，b>0，所以a<b．（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质（）A．同底数幂的乘法B．同底数幂的除法C．幂的乘方D．积的乘方（2）已知a m=2，a n=3，利用材料中的逆向思维分别求a m+n和a2m的值．23．如图，某小区有一块长为(2a+4b)米，宽为(2a−b)米的长方形地块，角上有四个边长为(a−b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的代数式表示绿化的总面积；（2）物业找来某团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费200元，求完成此项绿化任务所需的费用．（用含a、b的代数式表示）24．解答下列问题：（1）如图①，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开，分成四个全等的小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．结合图形，直接写出（m＋n）2，（m−n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（2）若a−b=8，ab=6，求(a+b)2的值；（3）若a+2a =7，求（a−2a）2的值．。
中考数学总复习《因式分解》练习题附带答案
中考数学总复习《因式分解》练习题附带答案一、单选题1．下列因式分解正确的是（）A．x2−4x+4=(x−4)2B．4x2+2x+1=(2x+1)2C．9－6(m－n)+(n－m) 2 =(3－m+n) 2D．x4−y4=(x2+y2)(x2−y2)2．把(a−b)+m(b−a)提取公因式(a−b)后，则另一个因式是（）A．1−m B．1+m C．m D．−m 3．已知a﹣b=3，b+c=﹣5，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（）A．-15B．-2C．-6D．6 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a3b=3a2•2ab B．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4C．2x2+4x﹣3=2x（x+2）﹣3D．ax﹣ay=a（x﹣y）5．下列分解因式正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x﹣y）B．m2﹣2m+1=（m-1）2C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16D．x3﹣x=x（x2﹣1）6．分解因式x2y−y3结果正确的是（）.A．y(x+y)2B．y(x−y)2C．y(x2−y2)D．y（x+y）（x﹣y）7．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．(x+2)(x−2)=x2−4B．x2+4x−2=x(x+4)−2 C．x2−4=(x+2)(x−2)D．x2−4+3x=(x+2)(x−2)+ 3x8．有下列各式：①x2−6x+9；②25a2+10a−1；③x2−4x+4；④a2+a+ 1.其中能用完全平方公式因式分解的个数为（）4A．1B．2C．3D．4 9．多项式3x3﹣12x2的公因式是（）A．x B．x2C．3x D．3x2 10．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）A．a（x+y）＝ax+ayB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．x2﹣4x+4＝（x﹣4）2D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x11．﹣m（m+x）（x﹣n）+mn（m﹣x）（n﹣x）的公因式是（）A．﹣m B．m（n﹣x）C．m（m﹣x）D．（m+x）（x﹣n）12．计算：1252﹣50×125+252=（）A．100 B．150C．10000D．22500二、填空题13．因式分解：x2+2xy+y2−1=．14．分解因式：a3−81ab2=．15．在实数范围内分解因式：x2y﹣3y=16．多项式2a2b3+6ab2的公因式是．17．分解因式：12x2-x+ 12=。
中考数学专题复习之因式分解综合题训练
中考数学专题复习之因式分解综合题训练1．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．2．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k＝1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．3．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcd(a＞c)，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记T(M)=ba+dc．例如：6237是“平方差数”，因为62﹣32＝27，所以6237是“平方差数”；此时T（6237）＝26+73＝99．又如：5135不是“平方差数”，因为52﹣32＝16≠15，所以5135不是“平方差数”．（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若M=abcd是“平方差数”，且T（M）比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．4．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．5．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）=P(M)F(M)，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，∴6342是“整和差数”．又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）=98不为整数，∴4261不是“整和差数”．（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．6．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“博雅数”．定义：对于三位自然数N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“博雅数”．例如：415是“博雅数”，因为4，1，5都不为0，且4×2+1+5＝14，14能被7整除；412不是“博雅数”，因为4×2+1+2＝11，11不能被7整除．（1）判断513，427是否是“博雅数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由．7．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．8．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．9．（1）阅读材料：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数“，a，b为x的一个平方差分解．例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；②试证明10不是雪松数；（2）若a，b正整数，且ab+a+b＝68，求ab的值．10．探究题：（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝；x2﹣4x+4＝；4x2﹣20x+25＝；（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为；（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．11．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．12．阅读材料：，上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：（1）因式分解：x2+2x﹣3；（2）求多项式x2+6x﹣10的最小值；（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．13．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．14．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x 2﹣2xy +y 2﹣4＝（x 2﹣2xy +y 2）﹣4＝（x ﹣y ）2﹣22＝（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y +2）． ②拆项法：例如：x 2+2x ﹣3＝x 2+2x +1﹣4＝（x +1）2﹣22＝（x +1﹣2）（x +1+2）＝（x ﹣1）（x +3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x 2+4x ﹣y 2+1；②（拆项法）x 2﹣6x +8；（2）已知：a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a 2+b 2+c 2﹣4a ﹣4b ﹣6c +17＝0，求△ABC 的周长．15．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax 2+bx +c （a ≠0）的多项式变形为a （x +m ）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax 2+bx +c （a ≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x 2+4x ﹣5＝x 2+4x +（42）2﹣（42）2﹣5＝（x +2）2﹣9＝（x +2+3）（x +2﹣3）＝（x +5）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：x 2+2x ﹣8；（2）求多项式x 2+4x ﹣3的最小值；（3）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，求△ABC 的周长．16．如果一个自然数M 能分解成A ×B ，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A ×B 的过程称为“全美分解”，例如：∵2838＝43×66，4+6＝10，3+6＝9，∴2838是“十全九美数“；∵391＝23×17，2+1≠10，∴391不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M是“十全九美数“，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为S（M）；将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为T（M）．当S(M)T(M)能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M．17．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．。
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2020年中考数学复习题：因式分解
1．对于任意一个四位数m，如果把它的前两位数字和后两位数字调换，则称得到的数为m 的调换数，把m与其调换数之差记为D（m），例如6352的调换数为5263，D（6352）＝6352﹣5263＝1089．
（1）求证：对于任意一个四位数m，D（m）都能被99整除．
（2）我们把D（m）与99的商记为F（m），例如F（6352）＝＝11．若有两数a，b，其中a＝1000x+355，b＝1702+10y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），那么当F（a）+F（b）+17＝0时，求F（a）•F（b）的最大值．
【分析】（1）设m的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，D（m）＝（1000a+100b+10c+d）﹣（1000c+100d+10a+b）＝990a+99b﹣990c﹣99d＝99（10a+b ﹣10c﹣d），即D（m）都能被99整除；
（2）由已知可得：（1000x+355﹣5503﹣10x）+（1702+10y﹣1000y﹣217）+17×99＝0，化简后得到x﹣y＝2，
再由x、y的取值范围可以确定a＝3355，4355，5355，6355，7355，8355，9355；b＝1712，1722，1732，1742，1752，1762，1772；再分别求出F（a）＝﹣22，﹣12，﹣2，8，18，28，38；F（b）＝5，﹣5，﹣15，﹣25，﹣35，﹣45，﹣45；计算即可求解．
【解答】解：（1）设m的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，∴m＝1000a+100b+10c+d，
∴m的调换数是1000c+100d+10a+b，
∴D（m）＝（1000a+100b+10c+d）﹣（1000c+100d+10a+b）＝990a+99b﹣990c﹣99d＝99（10a+b﹣10c﹣d），
∴D（m）都能被99整除；
（2）∵F（a）+F（b）+17＝0，
∴（1000x+355﹣5503﹣10x）+（1702+10y﹣1000y﹣217）+17×99＝0，
∴990x﹣990y＝1980，
∴x﹣y＝2，
∵1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数，
∴a＝3355，4355，5355，6355，7355，8355，9355；b＝1712，1722，1732，1742，1752，1762，1772；
∴F（a）＝﹣22，﹣12，﹣2，8，18，28，38；
F（b）＝5，﹣5，﹣15，﹣25，﹣35，﹣45，﹣45；
∴F（a）•F（b）的最大值为60．
【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．。