【必考题】高中必修二数学下期末模拟试题附答案

【必考题】高中必修二数学下期末模拟试题附答案

一、选择题

1．如图，在ABC ?中，已知5AB =，6AC =，1

2

BD DC =

，4AD AC ?=，则AB BC ?=

A ．-45

B ．13

C ．-13

D ．-37

2．若，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．已知集合{

}

2

2

(,)1A x y x y =+=，{}

(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为

（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若

sin 5sin 2A c

B b

=，7sin 4B =

，574

ABC S =△，则b =（ ） A ．23

B ．27

C ．15

D ．14

5．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

6．在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )

A ．4323??

? ???

，

B ．4323??

???

?，

C ．4323??

????

?，

D ．432,

3??

? ??

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．20

B ．10

C ．30

D ．60

8．设函数f (x )=cos (x +

3

π

)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为?2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=

83

π

对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=

6

π D ．f(x)在(

2

π

,π)单调递减 9．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ??

- ???

上单调递增，则ω的取值不可能为

（ ） A ．

14

B ．

15

C ．

12

D ．

34

10．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

12．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ?为正三角形，平面ECD ⊥平面

,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）

A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线

B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线

C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线

D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线

二、填空题

13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．

14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.

15．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2.

16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,

,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现

任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 17．设

，则

________

18．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 19．若1tan 46

πα??

-

= ??

?,则tan α=____________. 20．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

三、解答题

21．在中角所对的边分别是

，

，

，

．

求的值； 求

的面积．

22．已知满足

(1)求的取值范围； (2)求函数

的值域．

23．已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5

2

b =

，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.

24．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东

12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .

（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1

{

}n S 的前n 项和为n T ，求证：34

n T <． 26．已知以点C 2

(,)t t

（t ∈R ，t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值；

（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D

【解析】

【分析】

先用AB和AC表示出2

A

AB BC AB C AB

?=?-，

再根据，

1

2

BD DC

=用用AB和AC表示出AD，再根据4

AD AC

?=求出A

AB C

?的

值，最后将A

AB C

?的值代入2

A

AB BC AB C AB

?=?-，，从而得出答案．【详解】

()2

A=A

AB BC AB C AB AB C AB

?=?-?-，

∵

1

2

BD DC

=，

∴

111

B C?

C B

222

AD A A AD AD A AD A -=-=-+

（），

整理可得：

12

AB

33

AD AC+

＝，

2

21

A A4 33

AD AC AB C C

∴??+=

＝

∴A=-12

AB C

?，

∴2

=A=122537

AB BC AB C AB

??---=-．，

故选：D．

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．

2．D

解析：D

【解析】

试题分析：，

且，故选D.

【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

3．B

解析：B

【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以()

0,0为圆心，1为半径的单

位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆

2

2

1x y +=与直线y x =

相交于两点,22? ??

，22??

-- ? ???

，则A B 中有2个元

素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简

sin 5sin 2A c

B b

=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c

，由sin B =

，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于

sin 5sin 2A c B b

=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5

2a c =

由于在ABC

中，sin 4B =

，4

ABC S =△

1sin 2ABC

S ac B =

=

联立521

sin 2sin a c ac B B ?

=??

?=???=?

?

，解得：5a =，2c = 由于B

为锐角，且sin 4

B =

，所以3cos 4B ==

所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=

，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．

5．B

解析：B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则

1

2384r ??=，所以163

r =，所以米堆的体积为21116

3()5433????=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】

由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ?<<，解得43

23

x <<.故选A. 【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或

b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 7．B 解析：B 【解析】 【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：

可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322

S =

??= ∴三棱锥体积：1115

410332

V Sh ==??=

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.

8．D

解析：D 【解析】

f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3??

???＝cos 8ππ33??

+ ???

＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ?

?++ ??

?＝－cos π3x ??+ ???，∴f ππ6??+ ???＝－cos ππ63??

+ ???

＝－cos 2π＝

0，故C 正确； 由于f 2π3??

???＝cos 2ππ33??+ ?

??

＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ?? ???上不单调，故D 错误． 故选D.

9．D

解析：D 【解析】

∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω?

?=-=-> ??

?

∴令22,2

4

2

k x k k Z π

π

π

πωπ-

+≤-

≤+

∈，即232,44k k x k Z ππππ

ωωωω

-

+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22

ππ??

- ??

?

上单调递增

∴42ππω-

≤-且342

ππω≥ ∴1

02

ω<≤

故选D. 10．D 解析：D 【解析】 【分析】

分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】

函数()lg f x x x =的定义域为{}

0x x ≠，定义域关于原点对称，

()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；

当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D.

【点睛】

本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.

11．B

解析：B 【解析】 【分析】

可采用构造函数形式，令()()()35

lg 1,1

x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】

由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358

()(1)lg(1)350lg(1)311

x f x x x x x x x +=-+--=?+==+--， 令()()()35

lg 1,1

x h x x g x x +=+=

-，画出函数图像，如图：

则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】

本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】

如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，

平面CDE ⊥平面ABCD ．

,EO CD EO ⊥?平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，

MFB ∴?与EON ?均为直角三角形．设正方形边长为2，易知

3,1

2EO ON EN ===，

35

,72

MF BF BM =

=∴=BM EN ∴≠，故选B ．

【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性．

二、填空题

13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以

m=3故答案为3

解析：3

【解析】

【分析】

【详解】

如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．

故答案为3．

14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni

解析：18

【解析】

应从丙种型号的产品中抽取

300

6018

1000

?=件，故答案为18．

点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．

15．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为

解析：

【解析】 【分析】 【详解】

圆柱的侧面积为22416ππ??=

16．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：

725

【解析】 【分析】

由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。 【详解】

从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则||1a b -的情况有：()0,0，

()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()7,7，()8,8，()9,9，()0,1，()1,0，()1,2，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，()4,5，()5,4，()5,6，

()6,5，()6,7，()7,6，()7,8，()8,7，()8,9，()9,8共有28种，所以287

10025

P =

=

. 【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f -2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-

解析：-1 【解析】 【分析】

由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得

的值.

【详解】

， ，

所以，故答案为-1. 【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外

依次求值．

18．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3

π

【解析】

试题分析：因为sin 3cos 2sin()3

y x x x π

=-=-，所以函数sin 3cos y x x =-的的

图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移

3

π

个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式

【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．

19．【解析】故答案为 解析：75

【解析】

1tan tan 1

7446tan tan 144511tan tan

644ππαππααππα??-++ ???????=-+=== ?????????--- ??

?

故答案为7

5

.

20．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---

【解析】

当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填

1x ---.

三、解答题

21．（1）；（2）

【解析】 【分析】

)利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得

的值；

由

，可得

为锐角，由可得

，利用两角和的正弦函数公式可求

的值，利用三角形面积公

式即可得解．

【详解】

，，．

，

由正弦定理可得：

，C为锐角，

由可得：，

，

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

22．(1) (2)

【解析】

试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.

试题解析：

解：(1) 因为

由于指数函数在上单调递增

(2) 由（1）得

令，则，其中

因为函数开口向上，且对称轴为

函数在

上单调递增

的最大值为，最小值为

函数

的值域为

.

23．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3??-?+∞ ???

【解析】 【分析】

（1）设(,)c x y =，根据条件列方程组解出即可；

（2）令(2)(2)0a b a b +?-=求出a b ?，代入夹角公式计算；

（3）利用()

0a a b λ+>?，且a 与a λb +不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围. 【详解】 解：设(,)c x y =， ∵25c =，且//c a ， ∴22

2020y x x y -=??

+=?，解得24x y =??=?

或2

4x y =-??=-?， ∴(2,4)c =或(2,4)c =--； （2）∵2a b +与2a b -垂直， ∴(2)(2)0a b a b +?-=， 即222320a a b b +?-=， ∴5

2

a b ?=-

， ∴52

cos 1||||

552

a b

a b θ-

?=

==-?，

∴a 与b 的夹角为π； （3）

a 与a λ

b +的夹角为锐角

则()0a a b λ+>?，且a 与a λb +不同向共线，

()2

5(12)0a a

a a

b b λλλ+==+>∴?++?，

解得：53

λ>-

， 若存在t ，使()

a b a t λ=+，0t >

()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++

则()1,2(1,2)t λλ=++，

122t t t t λλ+=?∴?+=?，解得：10t λ=??=?

， 所以5

3

λ>-且0λ≠，

实数λ的取值范围是()5,00,3??-?+∞ ???

． 【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 24．（1）1tan 3cos 2

t θθ=+-；（2）6π

【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值． 【详解】

（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02

π

θ<<，

所以2tan PC θ=，2

cos AC θ

=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为 2122tan 1tan 3242cos 4cos 2

AC BC t θθ

θθ-=

+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθ

θθ

-=+-=+， 令2sin 0cos y θ

θ

-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++

解得3y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6

π

θ=

时，所花时间t 最小．

【点睛】

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 25．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得11

12829282a d a d a d +=?

?+=++?，，解得

13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有

()2

32122

n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ??==- ?++??，利用裂项相消法求解即可. 【详解】

（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=?

?+=++?，，

解得13a =，2d =．

所以21n a n =+．

（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122

n n

S n n n =++=+． 则

()11111222n S n n n n ??==- ?++??

． 所以n T 1111111

1111232435112n n n n ????????????=

-+-+-++-+- ? ? ? ? ???-++??????

??????

111112212n n

??=

+-- ?++??

34

<

． 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的

方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ??

=- ?++??；（2）

1

k

=

； （3）()()1

111212122121n n n n ??=- ?-+-+??

；（4）

()()11

122

n n n =

++()()()11

112n n n n ??-??+++??

；此外，需注意裂项之后相消的过程中

容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

26．（1）证明见解析（2）圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5 【解析】 【分析】

（1）先求出圆C 的方程（x －t ）2＋

2

2

)y t

-（＝t 2＋2

4

t ，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB 的面积为定值；（2）根据21

2

t =t 得到t ＝2或t ＝－2，再对t 分类讨论得到圆C 的方程．

【详解】

（1）证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋

24t

. 设圆C 的方程是（x －t ）2＋2

2)y t

-（＝t 2＋2

4t ， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝

4

t

； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，

所以S △OAB ＝

12OA ·OB ＝12×|2t |×|4

t

|＝4， 即△OAB 的面积为定值．

（2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12

. 所以

21

2

t =t ，解得t ＝2或t ＝－2.

当t ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1），OC

此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d

C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两

点．

符合题意，此时，圆的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5.

当t ＝－2时，圆心C 的坐标为（－2，－1），OC C 到直线y ＝－2x ＋4的距

离d

>.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．

所以圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5. 【点睛】

本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.