行列式计算证明题

1. 设

计算A41 + A42 + A43 + A44 = , 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解. A41 + A42 + A43 + A44

=

2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.

解.

3. 计算n阶行列式(n 2).

解. 当

+

=+

++

=－

=－－= 0当

4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:

的充要条件是a + b + c =0.

证明: 考察范德蒙行列式:

=

行列式即为y2前的系数. 于是

=

所以的充要条件是a + b + c = 0.

5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.

证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.

6. 设

证明: 可以找出数(0 < < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).

证明: ,

由罗尔定理, 存在数(0 < < 1), 使.

7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)

证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组

…………

系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以

8. 设

解. ===

=