大学高等数学经典课件12-5
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《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
南开大学高等数学课件12极限-PPT精品文档
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大学文科数学
例5 等比级数的求和． 解. 等比级数： a0+a0q+a0q2+…+a0qn+… = 部分和sn: a0+a0q+…+a0qn-1 =
2.2极限
部分和数列{sn}: s1=a0，s2=a0+a0q，…，sn=a0+a0q+…+a0qn1，…．
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通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0． 正如《庄子》所说：“万世不竭”． 哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限
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大学文科数学
2.2 极限
例2刘徽运用割圆术算出圆周率． 东汉科学家张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃：=3.156 三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼 近圆周．n无限增大时，其周长无限接近圆周d，算出 =3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘徽割圆术计算11 次，分割圆为12288边形，=3.14159265 ，成为此后千 年世界上最准确的圆周率。
n 1 1 , 1 , 1 , 1 , ,( 1 ) 无极限
1 ， 3 ， 5 ， 7 ， ， ( 2 n 1 ), 无极限
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大学文科数学
2.2 极限
数列与函数的关系 x n ) ,它的定义域是全体正整数 n f( 用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图，如画出{n/(n+1)} ListPlot[Table[ n/(n+1),{n,1,100}]]
高等数学第十二章《常数项》复习 课件
12
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1234
x
13
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
8
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5
3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1
,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
n320
(1)n
1 (2n)!
x2n ,
x
(, )
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
n
有
lim
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
5高等数学课件完整版详细
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 nf2 nfn n极限运算与对数运算换序得
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
12高等数学课件详细
发散 .
例4.
判别级数
ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n
2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’ALEMBERT
判别法)
设 un 为正项级数, 且 lim n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un1 un
,
则
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1 n1 n p
:
lim un1 n un
1
lim
.
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2n Sn ) 0
n
但
S2n
Sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1 2n 2n 2
矛盾! 所以假设不真 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
n1
un 也收敛 ;
n1
vn 也发散 .
n1
例1.
讨论
P
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高 等 数 学 电
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x,y)dx Q(x,y)dy, u u P( x, y), Q( x, y ) x y
隐函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u[ x, ( x)] C
上式两端对x求导,我们得到
u u y u u 0 dx dy 0 p( x, y )dx Q( x, y)dy 0 x y x x y
y
x (2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u( x, y) p( x, y)dx Q( x0 , y)dy C (3)
x0 y0
x
y
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
高 等 数 学 电 子 教 案
高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x2 y2 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
高 等 数 学 电 子 教 案
P Q y x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
d ( xe y ) d ( y 2 ) d ( xe y y 2 ) 0 xe y y 2 C
高 等 数 学 电 子 教 案
我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚. x2 y 2 xdx ydy 1 2 2 (1) xdx ydy d ( ) (2) 2 d [ ln( x y )] 2 22 x y 2 2 x y xdx ydy 1 2 2 (3) xdx ydy d ( ) (4) 2 d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (5) xdy ydx d ( xy) (6) d (ln xy) xy
0
x
y
0
3 3 y y 2 dy x 5 x 2 y 2 xy 3 2 3
于是,方程的通解为
3 2 2 y3 3 x x y xy C 2 3
5
高 等 数 学 电 子 教 案
除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p Q 6 xy 3 y 2 y x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y) (5 x 4 3xy 2 y 3 )dx
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p) ( Q) 教 y x 案
p
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
p Q Q ( )0 y x y x
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
ydx xdy y (7) d( ) 2 x x ydx xdy x (8) d( ) 2 y y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ydx xdy x xdy ydx y (9) 2 d (arctg ) (10) d (arctg ) 2 2 x y y x x ydx xdy 1 x y xdy ydx 1 x y (11) 2 d ( ln ), (12) 2 d ( ln 2 2 x y 2 x y x y 2 x y
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
P( x, y ) e y , Q( x, y ) xe y 2 y, P Q ey y x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
e y dx ( xe y 2 y)dy 0 (e y dx xe y dy) 2 ydy 0
(e y dx xey dy) d ( xey ), 2 ydy d ( y 2 ) (e y dx xey dy) 2 ydy 0
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
du[ x, ( x)] 0 u[ x, ( x)] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x,y)dx Q(x,y)dy, u u P( x, y), Q( x, y ) x y
隐函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u[ x, ( x)] C
上式两端对x求导,我们得到
u u y u u 0 dx dy 0 p( x, y )dx Q( x, y)dy 0 x y x x y
y
x (2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u( x, y) p( x, y)dx Q( x0 , y)dy C (3)
x0 y0
x
y
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
高 等 数 学 电 子 教 案
高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x2 y2 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
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P Q y x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
d ( xe y ) d ( y 2 ) d ( xe y y 2 ) 0 xe y y 2 C
高 等 数 学 电 子 教 案
我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚. x2 y 2 xdx ydy 1 2 2 (1) xdx ydy d ( ) (2) 2 d [ ln( x y )] 2 22 x y 2 2 x y xdx ydy 1 2 2 (3) xdx ydy d ( ) (4) 2 d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (5) xdy ydx d ( xy) (6) d (ln xy) xy
0
x
y
0
3 3 y y 2 dy x 5 x 2 y 2 xy 3 2 3
于是,方程的通解为
3 2 2 y3 3 x x y xy C 2 3
5
高 等 数 学 电 子 教 案
除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p Q 6 xy 3 y 2 y x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y) (5 x 4 3xy 2 y 3 )dx
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p) ( Q) 教 y x 案
p
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
p Q Q ( )0 y x y x
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
ydx xdy y (7) d( ) 2 x x ydx xdy x (8) d( ) 2 y y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ydx xdy x xdy ydx y (9) 2 d (arctg ) (10) d (arctg ) 2 2 x y y x x ydx xdy 1 x y xdy ydx 1 x y (11) 2 d ( ln ), (12) 2 d ( ln 2 2 x y 2 x y x y 2 x y
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
P( x, y ) e y , Q( x, y ) xe y 2 y, P Q ey y x
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e y dx ( xe y 2 y)dy 0 (e y dx xe y dy) 2 ydy 0
(e y dx xey dy) d ( xey ), 2 ydy d ( y 2 ) (e y dx xey dy) 2 ydy 0
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
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du[ x, ( x)] 0 u[ x, ( x)] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的