不等式典型习题

（2009天津高考10 ）设0(ax)^2的解集中的整数恰有三个，则（）

A．-1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3

解析：要使关于x的不等式（x-b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，

解：原不等式可转化为

[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0

对系数a进行讨论，从1处开始。

1.a《=1.结合不等式解集形式知不符合题意。

2.a>1此时，-b/a-1

-3<=-b/a-1<-2

整理得：2a-2

结合题意b<1+a，有2a-2<1+a

所以a<3，从而有1＜a＜3

故选C．

本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．当年得分不高。

另外，这样也可。由题得不等式（x-b）^2＞（ax）^2

即（a2-1）*x^2+2bx-b2＜0，它的解应在两根之间，

因此应有a2-1＞0，解得a＞1或a＜-1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，

故有△=4b2+4b2（a2-1）=4a2b2＞0，

不等式的解集为-b a-1 ＜x＜b a+1 或0＜b a+1 ＜x＜-b a-1 ．

若不等式的解集为-b a-1 ＜x＜b a+1 ，

又由0＜b＜1+a得0＜b a+1 ＜1，

故-3＜-b a-1 ＜-2，0＜b a+1 ＜1，这三个整数解必为-2，-1，0

2（a-1）＜b≤3 （a-1），

注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．

故要满足题设条件，只需要2（a-1）＜1+a＜3（a-1）即可，则

b＞2a-2

b＜3a-3

又0＜b＜1+a

故1+a＞2a-2

3a-3＞0

解得1＜a＜3，综上1＜a＜3．

故选C．

本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．当年得分不高。

2009年全国高考数学（文）16题：

若关于x的不等式（2x-1）^2＜ax^2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_____

分析：由关于x的不等式（2x-1）^2＜ax^2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．

解：∵不等式等价于（-a+4）x2-4x+1＜0，

当a≥4时，显然不满足要求，

故4-a＞0且△=4a＞0，

故0＜a＜4，

不等式的解集为1 2+ a ＜x＜1 2- a ，1 4 ＜1 2+ a ＜1 2则一定有1，2，3为所求的整数解集．

所以3＜1 2- a ≤4，

解得a的范围为(25/ 9 ，49/ 16 ]

故答案：(25/ 9 ，49 /16 ]

令f(x)=(2x-1)^2-ax^2 =(4-a)x^2-4x+1>0的解集中的整数恰有3个 所以4-a<0,（此时一定有,△>0） 令f(x)=0,x1 +x2=4/(4-a),x1*x2=1/(4-a) lx1-x2l^2=(x1+x2)^2-4x1x2 因为有三个整数解，所以2