2019-2020学年福建省泉州市惠安县八年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年福建省泉州市惠安县八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1．（4分）立方根是﹣3的数是（ ）A ．9B ．﹣27C ．﹣9D ．272．（4分）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．（a 2）3＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．23＝6 3．（4分）下列六个数：0、√5、√93、π、−13、0.6.中，无理数出现的频数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．（4分）如图，已知△ABC ≌△DAE ，BC ＝2，DE ＝5，则CE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．（4分）若等腰△ABC 的周长为20，AB ＝8，则该等腰三角形的腰长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．8或66．（4分）直线l 上有三个正方形A 、B 、C 放置如图所示，若正方形A 、C 的面积分别为1和12，则正方形B 的面积为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．√1457．（4分）用反证法证明，“在△ABC 中，∠A 、∠B 对边是a 、b ，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ．”第一步应假设（ ）A ．a ＜bB ．a ＝bC ．a ≤bD ．a ≥b8．（4分）已知实数a 、b 满足等式x ＝a 2+b 2+20，y ＝a （2b ﹣a ），则x 、y 的大小关系是（ ）A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x ＜yD ．x ＞y9．（4分）如图，等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，BE 平分∠ABC ，AD ⊥BE 的延长线于点D ，若AD ＝2，则△ABE 的面积为（ ）A．4B．6C．2√3D．2√510．（4分）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9B．10C．18D．20二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）因式分解：2a2﹣4a＝．12．（4分）计算（2x）3÷2x的结果为．13．（4分）计算（x﹣a）（x+3）的结果中不含x的一次项，则a的值是．14．（4分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为度．15．（4分）某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，DA＝26米，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是平方米．16．（4分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．三、解答题：本题共9小题，共86分17．（8分）已知a是2的相反数，计算|a﹣2|的值．18．（8分）先化简，再求值：2a•3a﹣（2a+3）（2a﹣3），其中a＝﹣2．19．（8分）如图，已知AB＝AC，点D、E在BC上，且∠ADE＝∠AED，求证：BD＝CE．20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC．按要求解答下面问题：（1）尺规作图：（保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P；③连结PB、PC．（2）根据（1）中作出的正确图形，写出三条线段P A、PB、PC之间的数量关系．21．（8分）如图，已知长方形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝8，点E在AD边上，将△ABE沿BE折叠后，点A 正好落在CD边上的点F处．（1）求DF的长；（2）求△BEF的面积．22．（10分）如果一个三角形的所有顶点都在网格的格点上，那么这个三角形叫做格点三角形，请在下列给定网格中按要求解答下面问题：（1）直接写出图1方格图（每个小方格边长均为1）中格点△ABC 的面积；（2）已知△A 1B 1C 1三边长分别为√2、√13、√17，在图2方格图（每个小方格边长均为1）中画出格点△A 1B 1C 1； （3）已知△A 2B 2C 2三边长分别为√m 2+16n 2、√m 2+9n 2、√4m 2+n 2（m ＞0，n ＞0，且m ≠n ）在图3所示4n ×3m 网格中画出格点△A 2B 2C 2，并求其面积．23．（10分）参加学校运动会，八年级1班第一天购买了水果，面包，饮料，药品等四种食品，四种食品购买金额的统计图表如图所示，若将水果、面包、药品三种食品统称为非饮料食品，并规定t =饮料金额非饮料金额． （1）①求t 的值；②求扇形统计图中钝角∠AOB 的度数．（2）根据实际需要，该班第二天购买这四种食品时，增加购买饮料金额，同时减少购买面包金额，假设增加购买饮料金额的25%等于减少购买面包的金额，且购买面包的金额不少于100元，求t 的取值范围．金额食品金额（单位：元） 水果100 面包125 饮料 225药品5024．（13分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D，边AD与边BC交于点P（不与点B、C 重合），点B、E在AD异侧，I为△APC的内心（三条角平线的交点）．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）当∠BAC＝90°时，①若AB＝16，BC＝20时，求线段PD的最大值；②若∠B＝36°，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，求m、n的值．25．（13分）如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．2019-2020学年福建省泉州市惠安县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1．【解答】解：∵√−273=−3，∴立方根是﹣3的数是﹣27．故选：B ．2．【解答】解：A 、a 2•a 3＝a 5，原式错误，故本选项错误；B 、（a 2）3＝a 6，计算正确，故本选项正确；C 、a 6÷a 2＝a 4，原式错误，故本选项错误；D 、23＝8，原式错误，故本选项错误．故选：B ．3．【解答】解：0、√5、√93、π、−13、0.6.中，无理数有：√5、√93、π， 则无理数出现的频数是3．故选：A ．4．【解答】解：∵△ABC ≌△DAE ，∴AC ＝DE ＝5，BC ＝AE ＝2，∴CE ＝5﹣2＝3．故选：C ．5．【解答】解：（1）当AB ＝8为底边时，BC 为腰，由等腰三角形的性质，得BC =12（20﹣AB ）＝6；（2）当AB ＝8为腰时，①若BC 为腰，则BC ＝AB ＝8；②若BC 为底，则BC ＝20﹣2AB ＝4，综上，该等腰三角形的腰长为8或6，故选：D ．6．【解答】解：如图，∵A 、B 、C 都是正方形，∴DF ＝FH ，∠DFH ＝90°；∵∠DFE +∠GFH ＝∠EDF +∠DFE ＝90°，∴∠EDF ＝∠GFH ，在△DEF 和△FGH 中，{∠EDF =∠GFH∠DEF =∠FGH =90°DF =FH，∴△DEF ≌△FGH （AAS ），∴DE ＝FG ，EF ＝HG ；在Rt △ABC 中，由勾股定理得：DF 2＝DE 2+EF 2＝DE 2+HG 2，即S B ＝S A +S C ＝1+12＝13，故选：C ．7．【解答】解：根据反证法的步骤，得第一步应假设a ＞b 不成立，即a ≤b ．故选：C ．8．【解答】解：∵x ﹣y＝a 2+b 2+20﹣a （2b ﹣a ）＝a 2+b 2+20﹣2ab +a 2＝（a ﹣b ）2+a 2+20．又∵（a ﹣b ）2≥0，a 2≥0，∴（a ﹣b ）2+a 2+20＞0．即x ＞y ．故选：D ．9．【解答】解：延长AD 、BC 交于F 点，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，且BD＝BD，∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△ADB≌△FDB（ASA）∴AD＝FD，∵∠F AC+∠AED＝90°，∠CBE+∠CEB＝90°，∴∠F AC＝∠CBE，又∵∠FCA＝∠ECB＝90°，AC＝BC，∴△AFC≌△BEC（AAS），∴AF＝BE，∴AD=12BE．∵AD＝2，∴BE＝4，∴S△ABE=12×AD×BE＝4，故选：A．10．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝12cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=2−122=9cm，∴则该圆柱底面周长为18cm．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．【解答】解：原式＝2a（a﹣2）．故答案为：2a（a﹣2）．12．【解答】解：（2x）3÷2x＝8x3÷2x＝4x2．故答案为：4x213．【解答】解：（x﹣a）（x+3）＝x2+3x﹣ax﹣3a＝x2+（3﹣a）x﹣3a，∵（x﹣a）（x+3）的结果中不含x的一次项，∴3﹣a＝0，解得：a＝3，故答案为：3．14．【解答】解：∵k＝2，∴设顶角＝2α，则底角＝α，∴α+α+2α＝180°，∴α＝45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．15．【解答】解：连接AC．则由勾股定理得AC＝10米，∵AC2+DC2＝AD2，∴∠ACD＝90°．这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD=12AB•BC+12AC•DC=12（6×8+10×24）＝144米2．故答案为：144．16．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．三、解答题：本题共9小题，共86分17．【解答】解：∵a是2的相反数，∴a＝﹣2，∴|a﹣2|＝4．18．【解答】解：原式＝6a2﹣（4a2﹣9）＝6a2﹣4a2+9＝2a2+9，当a＝﹣2时，原式＝8+9＝17．19．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABE 和△ACD 中，{∠B =∠C∠AED =∠ADE AB =AC，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴BE ＝CD ，∴BD ＝CE ．20．【解答】解：（1）如图，（2）P A ＝PB ＝PC ．理由：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，即AD 垂直平分BC ，∴PB ＝PC ，∵EF 垂直平分AB ，∴P A ＝PB ，∴P A ＝PB ＝PC ．21．【解答】解：（1）∵AB ＝CD ＝BF ＝10，BC ＝AD ＝8，∴在直角△BCF 中，CF =√BF2−BC 2=√102−82=6，∴DF ＝DC ﹣CF ＝10﹣6＝4；（2）设DE ＝x ，则AE ＝EF ＝8﹣x ，在直角△BCF 中，DE 2+DF 2＝EF 2，即x 2+42＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴AE ＝3，DE ＝8﹣3＝5，S△BEF＝S△AEB=12×AB•BE=12×10×5＝25．22．【解答】解：（1）S△ABC＝2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3＝2.5．（2）如图2中，△A1B1C1即为所求．（3）如图，△A2B2C2即为所求．S△A2B2C2=2m×4n−12×m×4n−12×m×3n−12×2m×n＝3.5mn．23．【解答】解：（1）①由题意可得，t=225100+125+50=225275=911；②扇形统计图中钝角∠AOB的度数为：360°×50+125100+125+225+50=360°×175500=126°；（2）设减少购买面包的金额为x元，则增加购买饮料的金额为4x元，t=225+4x100+125+50−x=225+4x275−x，则x=275t−225t+4，∵125﹣x≥100，∴x≤25，∴275t−225t+4≤25，解得，t ≤1310， 由（1）中①知，当原来的购买金额不变时t =911， 故t 的 取值范围是911≤t ≤1310． 24．【解答】（1）证明：∵在△ABC 与△ADE 中，{AB =AD ∠B =∠D BC =DE，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ；（2）①在△ABC 中，∠BAC ＝90°，由勾股定理，得AC =√BC 2−AB 2=√202−162=12，∵AD ＝AB ＝16，而PD ＝AD ﹣AP ＝16﹣AP ，∴当AP ⊥BC 时，AP 最小，PD 最大，此时，S △ABC =12BC •AP =12AB •AC ，即12×20×AP =12×16×12， 解得，AP =485，∴PD 的最大值为：16−485=325；②如图，∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，设∠BAP ＝α，则∠P AC ＝90°﹣α，∠PCA ＝54°，∵I 为△APC 的内心，∴AI 、CI 分别平分∠P AC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠P AC，∠ICA=12∠PCA，∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°−12（∠P AC+∠PCA）＝180°−12（90°﹣α+54°）=12α+108°，∵0°＜α＜90°，∴108°＜12α+108°＜153°，即108°＜∠AIC＜153°，∴m＝108，n＝153．25．【解答】（1）证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠AHF＝90°，∵AM平分∠DAH，∴∠F AH＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AH，AF=√2AH=√2FH，∵AF=√2BE，∴FH＝AH＝BE，∴AH+AE＝BE+AE，∴HE＝AB＝BC，在△FEH和△ECB中，{FH=EB∠FHA=∠B=90°HE=BC，∴△FEH≌△ECB（SAS），∴CE＝EF；（2）解：∵△FEH≌△ECB，∴∠FEH ＝∠ECB ，∵在Rt △BCE 中，∠ECB +∠CEB ＝90°，∴∠FEH +∠CEB ＝90°，∴∠CEF ＝90°，由（1）知，CE ＝EF ，∴△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF ＝∠EFC ＝45°，把Rt △CDG 绕点C 逆时针旋转90°至Rt △CBN 位置，如图2所示： 则∠GCN ＝90°，CG ＝CN ，DG ＝BN ，∴∠NCE ＝∠GCN ﹣∠GCE ＝45°，∴∠NCE ＝∠GCE ，在△CEG 和△CEN 中，{CG =CN∠GCE =∠NCE CE =CE，∴△CEG ≌△CEN （SAS ），∴GE ＝NE ＝EB +BN ＝EB +DG ，∴△AEG 的周长＝AE +GE +AG ＝AE +EB +DG +AG ＝AB +AD ＝2a ；（3）解：设AE ＝x ，由（1）得：FH ＝BE ＝a ﹣x ，则△EAF 的面积=12AE ×FH =12x （a ﹣x ）=−12（x −a 2）2+a 28，∴当x =a 2，即点E 在AB 边中点时，△EAF 的面积最大，最大值为a 28．。