华南师范大学2013高代真题

华南师范大学2013年研究生入学考试

高等代数 试题

一 （20分）名词解释

1.最大公因式

2.多项式标准分解式

3.向量空间基

4.余子空间

5.正交变换

二 （20分）求一三元多项式，使它的三个根是32x ax bx c +++的三个根的平方。

三 （20分）已知2222222

2a a a a

a a a a A a a a a

a a a

a a ++=++，求 (1) A ， (2) ()r A 。

四 （20分）已知线性方程组123412341

23412342572227(15)7611524861

x x x x x x x a x x x x x x x x x b -++=⎧⎪-+++=⎪⎨-+--=⎪⎪-++=+⎩ (1)讨论方程组有解和无解时a ，b 应满足的条件，

(2)在方程组有解时求出方程的全部解。

五 （20分）已知 123,,ααα和123,,βββ是两组基，且

()()123123111,,,,101011βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭

，012323αααα=-++

变换σ满足()()()112233121232313x x x x x x x x x σαααααα=++→-+-+-

（1）求dim Im σ和dim Ker σ

（2）求()0σα在123,,βββ下的坐标

（3）求2σ在123,,βββ下的矩阵

六 （25分）已知101062122A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，满足()'A αβαβ=

（1）求证()αβ是内积

（2）求3R 关于这个内积构成的欧式空间的一个规范正交基。

七 （25分）已知线性变换σ满足2σσ=且σ非0和单位变换，

（1）证明0和1是其特征值；

（2）证,Im Ker σσ分别是0和1的特征子空间，且 (

)Ker V σξσξξ=-∈

（3）证明存在V 的一个基，在此基下矩阵为000r

E ⎛⎫

⎪⎝⎭.