2015级高三数学导数及其应用专题

导数概念与运算1．导数的概念函数)(x f y =,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆)()(00x f x x f -∆+=，比值x y ∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='。

即)(0x f ' =0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(002．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。

也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '。

相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'= 4．两个函数的和、差、积、商的求导法则(.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv += .)(''Cu Cu =(C 为常数)，)('vu=2''v uv v u -（0≠v ） 5．复合函数的求导①一般地，由几个函数复合而成的函数，称为复合函数。

由[])()()(x f y x u u f y φϕ===得复合函数与②[])(x f y φ=则x x f y ϕϕ'∙'=' 考点一 导数的概念及其运算例1 如果质点A 按规律32s t =运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）A ．6s m /B ．18s m /C ．54s m /D ． 81s m / 例2 已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A ．41- B ． 2 C ．41D ．－2例3 求所给函数的导数：（1）x x y 23log += （2）xne x ⋅ （3）xx y sin 13-=1．()()()为则设hf h f f h 233lim,430--='→（ ）A ．－１B ．－2C ．－3D ．12．()()()00003,lim x f x x f x x f x x x∆→+∆--∆∆设在可导则等于（ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f '3．设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ）A ．(－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3) 4．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为23416441t t t s +-=,则速度为零的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 与8s 末 D ．0s ,4s ,8s 末5．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定 考点二 导数的几何意义（1）已知切点，求曲线的切线方程（只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可） 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B ．32y x =-+ C ．43y x =-+ D ．45y x =-（2）已知斜率，求曲线的切线方程（利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决） 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） A ．230x y -+=B ．230x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=（3）已知过曲线外一点，求切线方程（先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解） 例3 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程 1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．曲线12-=x xy 在点()1,1处的切线方程 3．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， （ ）A ．9B ．6C ．9-D ．6-4．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________5．已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标（注意曲线过原点）6．已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 A. 12m ≤-B. 12m >- C. 2m ≤ D. 2m > 7．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．1n B ．11n + C ．1n n + D ．1 8．函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A ．)2()3()3()2(0//f f f f -<<<B ．)2()2()3()3(0//f f f f <-<< C ．)2()3()2()3(0//f f f f -<<< D ．)3()2()2()3(0//f f f f <<-<9．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为10．若曲线)(1R x y ∈+=αα在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=________11．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝()A ．13B ．－13C ．73D ．－13或5312．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝_______13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为____________14．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为_______15．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数)1(f '的取值范围是________16．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )A ．0°B ．锐角C ．直角D ．钝角17．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_______18．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .（1）求直线l 1的方程； （2）求△ABD 的面积S 1.导数的应用 一、函数的单调性函数()f x 在某个区间(,)a b 内，若()0f x '>，则()f x 为 ；若()0f x '<，则()f x 为 ；若()0f x '=，则()f x 为 。

常见考察题型：（1）求函数的单调区间，即解不等式或0)(>'x f 0)(<'x f 。

（2）函数在区间],[b a 上单调递增（递减），即0)(≥'x f ()()0≤'x f 在区间],[b a 上恒成立，利用分离参数或函数性质求解恒成立问题，对等号单独验证。

例1 已知函数))((R x x f y ∈=的图象如图所示，则不等式0)(<'x f x 的解集为( )A ．(—∞，12)∪(12,2) B ．(—∞，0)∪(12，2) C ．(—∞，12) ∪(12，+∞) D ．(—∞，12)∪(2，+∞)例2（1）已知函数x x a x f +=ln )(在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是_______.（2）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。

（3）若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( )A ．[-1,0]B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞ 例3（选做）已知函数a ax x a x x f ---+=232131)(，R x ∈其中0>a . （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 1．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ） A ．[]0,1- B ．[]8,2 C ．[]2,1 D ．[]2,0 2．已知函数53123-++=ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 . （2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是3．设函数)0(19)(23<--+=a x ax x x f 若曲线)(x f y =的斜率最小的切线与直线612=+y x 平行， 求：（1）a 的值;（2）函数)(x f 的单调区间4．已知函数)(1)(23R x bx ax x x f ∈+++=，函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f P 的切线方程是4+=x y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间)32,(+k k 上是单调函数，求实数k 的取值范围5．)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时,2'(1)()2()0x f x xf x ++<，且0)1(=-f ，则不等式0)(>x f 的解集是（ ）A ．),1(+∞B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．)1,(--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞ 6．已知函数f (x )(x ∈R )的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 7．设f (x )、g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )8．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a9．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______ 10．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为______(用“<”连接)11．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A ．a ＜－1B ．a ＞－1C ．a <－1eD ．a >－1e12．若函数f (x )的导函数为42)(-='x x f ，则函数f (x －1)的单调递减区间是________ 12．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是_______14．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，设t >－2，f (－2)＝m ，f (t )＝n .函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________15．已知32()2,()ln f x x ax x g x x x =+-+=（1）如果函数，)(x f 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数)(x f 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =的图像过点)1,1(P 的切线方程；（3）对一切的(0,),()22()x f x g x '∈+∞+≥恒成立，求实数a 的取值范围。