圆锥曲线解题方法技巧归纳

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备: 1. 直线方程的形式

(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般 式。

(2) 与直线相关的重要内容

(3) 弦长公式

直线 y kx b 上两点 A(x 1, y-i ), B(x 2, y 2)间的距离：

AB

y 1 k

J (1 k 2)[(x~X 2)2 4x 1X 2] 或AB J i *|y i y 2

(4) 两条直线的位置关系 ①l 1 l 2

k 1k 2=-1

② l 1//l 2

k 1 k 2且b 1 b 2

2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)

标准方程： 2 2

——1(m

0,n 0 且 m n)

m n

距离式方程:

(x c)2 y 2 .(x c)2 y 2 2a

参数方程： x a cos , y bsin

(2)、双曲线的方程的形式有两种

①倾斜角与斜率k tan , [0,)

②点到直线的距离

Ax o By o C A 2 B 2

③夹角公式:

tan

1 k z k i

x 1 x 2

2 2

标准方程：—y 1(m n 0)

m n

距离式方程：| (x c)2 3 4 y 2、.. (x c)2 y 21 2a

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?

2 2

如：已知F 1、F 2是椭圆- » 1的两个焦点，平面内一个动点 M 满足

4

3

(6)、记住焦半径公式：(1)

椭圆焦点在x 轴上时为a ex 0；焦点在y 轴上时为a ey °

，可简记为“左加右减，上加下减”。

(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x °| a

(3) 抛物线焦点在x 轴上时为lx,卫,焦点在y 轴上时为|%|卫

2 2

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)

2 2

设A x 1, y 1、B X 2, y 2 ， M a, b 为椭圆—'1的弦AB 中点则有

4

3

2 2 2 2 2 2 2 2

4 h 1，卷

1 ;两式相减得出空 也匕 0

4 3

4 3

4

3

MF 1 MF 2

2则动点M 的轨迹是(

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线;

D 、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S

F 1PF 2

(其中 F 1PF 2

,cos

b 2 tan —

2

uuun ujir uuuir

］西需护岸？苹2闻『阿込)

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典

套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一 个二次方程，使用判别式

0,以及根与系数的关系，代入弦长公

式，设曲线上的两点A(X i ,yJ,B(X 2,y 2)，将这两点代入曲线方程得到 ① ②两个式子，然后①-②，整体消元 ........... ，若有两个字母未 知数，贝S 要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以 利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间 的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y kx b ，就

意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆4x 2 5y 2 80上，且点A 是椭 圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).

(1) 若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程； (2) 若角A 为900 , AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为90°可得出AB 丄AC ,从而得X 1X 2 y 』2 14(y i 祠16 0，然后利用联立消元法及交轨 法求出点D 的轨迹方程；

解：(1)设B ( x i ,y i ) ,C(X 2,y 2 ),BC 中点为(冷皿)尺2,0则有

x 1 x 2 x 1

x 2

y i

y 2 y i y 3

k

AB

3a

4b

20 16 20 16

(1)

两式作差有 (X i X 2)(X 1

X 2) (y i

y 2)(y i

y ?) 0 x o y o k 工 20 16

~5 ~4~

y o

2，代入（1）得k 6

5

直线BC 的方程为6X 5y 28 0

2)由 AB 丄 AC 得 X 1X 2 y 1 y 2 14( y 1 y 2) 16 0 (2)

设直线BC 方程为y kx b,代入4X 7

8 5y 2

80，得

2 2 2

(4 5k )X 10bkx 5b 80 0

4 y —

9y 2 9X 2 32 y 16 0

所以所求点D 的轨迹方程是x 2 （y ④）2

（20）2（y 4）。 9

9

3、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD 中AB 2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当|

4

F （2,0为三角形重心，所以由

X i X 2

2，得 X o

3，由 yi

y2

4

3

X 1 X 2

10kb 4 5k 2， X 1X 2

2

5b 80

4 5k 2

y 1

y 2 8k 4 5k 2

,ym

4b 2 80k 2 4 5k 2

代入（2）式得

2

9b 32b 16

4 5k 2

0 ,解得b 4（舍）或b

直线过定点（0,