最优化方法在储运中的应用PPT-第4章 线性整数规划_指派问题
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运筹学-整数规划与分配问题PPT
但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
第4章 整数规划
第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。
整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。
用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。
分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。
隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。
试述隐枚举法的步骤。
试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。
计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。
最优化方法及其应用PPT课件
f ( X 0 ) f ( X1) f ( X k ) f ( X k 1)
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
x1 x2
即求
2x，1 5x2 40
x1 0 ， x2 0
max f (x1, x2 ) x1 x2
2x1 5x2 40，
x1
0，x2
0．
一 最优化问题总论
最优化问题的数学模型包含有三个要求：即变
量（又称设计变量）、目标函数、约束条件．
一、变量 二、目标函数 三、约束条件 四、带约束条件的优化问题数学模型表示形式
t f (x1，x2 )
t c
L
L在 三维空间中曲面
与[平x1， 面x2 ]T 有一条交
线 ．交线在平面上的投影曲线是 ，可见曲线上的点到平
面
的高度都等于常数C，也即曲线上的的函数值都
具有相同的值．
一 最优化问题总论
当常数取不同的值时，重复 上面的讨论，在平面上得到一族 曲线——等高线.
等高线的形状完全由曲面的 形状所决定；反之，由等高线的 形状也可以推测出曲面的形状．
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
x1 x2
即求
2x，1 5x2 40
x1 0 ， x2 0
max f (x1, x2 ) x1 x2
2x1 5x2 40，
x1
0，x2
0．
一 最优化问题总论
最优化问题的数学模型包含有三个要求：即变
量（又称设计变量）、目标函数、约束条件．
一、变量 二、目标函数 三、约束条件 四、带约束条件的优化问题数学模型表示形式
t f (x1，x2 )
t c
L
L在 三维空间中曲面
与[平x1， 面x2 ]T 有一条交
线 ．交线在平面上的投影曲线是 ，可见曲线上的点到平
面
的高度都等于常数C，也即曲线上的的函数值都
具有相同的值．
一 最优化问题总论
当常数取不同的值时，重复 上面的讨论，在平面上得到一族 曲线——等高线.
等高线的形状完全由曲面的 形状所决定；反之，由等高线的 形状也可以推测出曲面的形状．
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合
物流运筹学第4章 运输最优化
cij xij
ij
xij 1, j 1,2n
•
i
xij 1,i 1,2n
j
xij 1或0
17
• 例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D， 现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时 间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需 总时间最少？
完成任务所需时间表
任务人
员
A
B
C
D
23
• 解决这样的问题，可以采用奇偶点图上作业法：如果在配送范围内，街道中没有 奇点，那么他就可以从配送中心出发，走过每条街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也就是最短的路程。对于有奇点的街道图，就必须 在每条街道上重复走一次或多次。
v1
1
v3
1
v5
1
1
1
1
1
v2
1
v4
1
v6
24
ai ,i 1,2,, m
bj , j 1,2,, n
Ai
Bj
cij
xij
Ai
Bj
7
mn
min z
cij xij
i1 j1
m
xij bj , j 1,2,, n
i 1
n
xij ai ,i 1,2,, m
j 1
xij 0
8
表上作业法
• 例题：某物流公司有三个仓库，每天向四个超市供应某种货物。已知三个仓 库A1 、A2 和A3的此货物储藏量分别为7 箱、 4箱和 9箱。该物流公司把这些 货物分别送往B1 、B2 、B3 和B4四个超市，各超市每日销量分别为3箱、 6箱、 5箱和6箱。试用表上作业法求解满足供需要求的最佳调运方案，使总运费最 少。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法在储运中的应用PPT-第4章 线性整数规划
x1 , x2 0
P2： max S 40x1 90x2
9 x1 7 x2 56 s.t.7x1x1520x2 70
x1 , x2 0
Pl的最优解为x1=4，x2=2.1，S=349，则P1的目标函数上 界为：S1=349。
P2的最优解为x1=5，x2=1.571，S＝341，S2 341
货物
甲 乙
每包体积(m3) 每包重量(吨)
5
2
4
5
收益 (元/包)
2000 1000
解：设xl、x2为甲、乙两种货物的装箱包数，则其数学模 型为：
max S 2000x1 1000x2
5x1 4x2 24
s.t.2x1 5x2 13
x1
,
x2
0且 为 整 数
这个问题怎么求解呢？
通常会很自然地想到从线性规划出发，将上述模 型中的整数约束去掉，变成一个线性规划问题。也就 是得到原问题的松弛问题：
数的系数均为整数且大于0）。
②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P0
P1： 比P0增 加 一 个 约 束 条 件x1 4 P2： 比P0增 加 一 个 约 束 条 件x1 5
分枝定界法
P1： max S 40x1 90x2
9 x1 7 x2 56 s.t.7x1x1420x2 70
线性整数规划的概念
因此，解整数规划问题比解相应的松弛问题要困难 得多。整数规划是数学规划中较弱的一个分支，目前即 使对线性整数规划也没有找到一种象线性规划单纯形法 那样有效的通用算法。
目前求解线性整数规划的方法有：分枝定界法、隐 枚举法和割平面法。
§4.2 分枝定界法
一、基本思想
1、几个术语 ①分枝：将原问题分成几个无整数约束的子问题； ②定界：每一个子问题可以给原问题划出一个边界； ③探测：判断子问题的可行解是否包含原问题的最优解。
P2： max S 40x1 90x2
9 x1 7 x2 56 s.t.7x1x1520x2 70
x1 , x2 0
Pl的最优解为x1=4，x2=2.1，S=349，则P1的目标函数上 界为：S1=349。
P2的最优解为x1=5，x2=1.571，S＝341，S2 341
货物
甲 乙
每包体积(m3) 每包重量(吨)
5
2
4
5
收益 (元/包)
2000 1000
解：设xl、x2为甲、乙两种货物的装箱包数，则其数学模 型为：
max S 2000x1 1000x2
5x1 4x2 24
s.t.2x1 5x2 13
x1
,
x2
0且 为 整 数
这个问题怎么求解呢？
通常会很自然地想到从线性规划出发，将上述模 型中的整数约束去掉，变成一个线性规划问题。也就 是得到原问题的松弛问题：
数的系数均为整数且大于0）。
②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P0
P1： 比P0增 加 一 个 约 束 条 件x1 4 P2： 比P0增 加 一 个 约 束 条 件x1 5
分枝定界法
P1： max S 40x1 90x2
9 x1 7 x2 56 s.t.7x1x1420x2 70
线性整数规划的概念
因此，解整数规划问题比解相应的松弛问题要困难 得多。整数规划是数学规划中较弱的一个分支，目前即 使对线性整数规划也没有找到一种象线性规划单纯形法 那样有效的通用算法。
目前求解线性整数规划的方法有：分枝定界法、隐 枚举法和割平面法。
§4.2 分枝定界法
一、基本思想
1、几个术语 ①分枝：将原问题分成几个无整数约束的子问题； ②定界：每一个子问题可以给原问题划出一个边界； ③探测：判断子问题的可行解是否包含原问题的最优解。
最优化 PPT课件
• 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹 学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉 及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此 这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法 也不一致。
• 比较公认的是：“规划论”（包括线性和
非线性规划、整数规划、动态规划、多目
标规划和随机规划等），“组合最优化”，
“对策论”及“最优控制”等等。
j
1, 2,L
,n
(5)
14
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1, i 1, 2,L
,n
s.t.
j 1 n
(5)
xij 1, j 1, 2,L , n
i1
xij
0
或 1 ,i,
j
1, 2,L
,n
(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只
mn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai ,
i 1, , m
j 1
s.t.
m xij bj ,
j 1,2, , n
i 1
xij
0
11
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
n
bj
j1
m
i1
n xij
j1
n m
j1 i1
xij
费的总时间最少？
引入变量 xij ，若分配 i 干 j 工作，则取 xij 1，否则取 xij 0 。上
述指派问题的数学模型为
nn
min
cij xij
i 1 j 1
n
xij 1,i 1, 2,L
,n
j1
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题 ppt课件
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
3
100
利润
4
5
6
11
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
yj 10,,
xj 0 xj 0
j1,2,3
m ax z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3
32
分枝的方法
max z CX
AX b
s.t.
X
0,
X为整数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0,
X为
整
数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0, X 为 整 数
33
定界的方法
当前得到的最好整数解的目标函数值 分枝后计算放松的线性规划的最优解
.t
.
X
0
如果最优解x
i中某个分量
x
0 i
非整
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ]
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ] 1
26
分枝定界法的两个要点：分枝和定界 ☺如何定界？ • 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
运筹学-4-整数规划ppt课件
.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
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（2）任务数多于资源数。这时可引入若干个虚拟的 资源，并令效应矩阵中虚拟资源对应的行全为0元素。这 种情况下，实际上将有某些任务分配不到资源（某些任 务无人承担）。
9
指派问题的数学模型 库恩(W. W. Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法， 他引用了匈牙利数学家康尼格（D. Konig）一个关于矩 阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等 于能覆盖所有0元素的最少直线数。这种解法称为匈牙利 法。
引入0-1变量xij
xij
1 表示将工作人员Ai分配给任务B j 0 表示不将工作人员Ai分配给任务B j
3
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
S表示完成所有任务所需的总工时，则该问题的数学模型为：
44
min S
cij xij
i1 j1
4
xij 1 i 1～（4 一个人只能去完成一项任务）
个常数ui，从每一列元素中分别减去一个常数vj，
11
nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
在介绍匈牙利法之前，我们先介绍指派问题的几个重要性质。
定理1：如果效率矩阵[cij]n×n中的所有元素非负，且其中
5
指派问题的数学模型
则数学模型为：
nn
min S
cij xij
i 1 j1
n
xij 1 i 1～n（ 一 项 资 源 只 能 分 配 给一 个 任 务 ）
j1
s.t. n xij 1 j 1～n（ 一 个 任 务 只 能 分 配 到一 项 资 源 ）
i1
xij
0,1 i
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
这是一个有4个人和4项任务的完整指派问题，上表中 的数据反映了每个人完成各项任务的效率（或效应），通 常称为效率（或效应）矩阵。指派问题的所有原始数据均 包含在其效率（或效应）矩阵中。
这个指派问题的特点是：每一项任务必须且只能由一 个工作人员去完成，每一个工作人员也只能分配一项任务。
就是指派问题的最优解。
12
nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
定理2：如果从效率矩阵 [cij ] 的每一行元素中分别减去一
5、指派问题可以推广到资源数和任务数不等的情况。为了 把这类推广的指派问题转化为常规指派问题，只需对问 题增加若干个虚拟的资源或若干个虚拟的任务即可。
8
指派问题的数学模型
（1）资源数多于任务数的情况。这时可引入若干个 虚拟任务，并令效应矩阵中虚拟任务对应的列全为0元素。 这种情况下，实际上将有某些资源分配不出去（某些人 分配不到工作）。
存在n个位于不同列、不同行的零元素，则只要令
对应于这些零元素位置的xij=1，其余的xij＝0，这
样得到的解即为指派问题的最优解。
这是因为：
(1)在目标函数表达式中xij=1的系数为0，可使目标函数达 到最小；
(2)另外，还可以保证在约束方程组的每个方程中只有一
个变量为1，故可满足约束条件的要求。因此，这样得到的解
1～n，j
1～n
6
指派问题的数学模型
讨论：
1、问题中的效应系数cij可以有多种不同的实际意义，例 如可以为时间、价值、资源消耗量或工作效率等。根 据效应系数的具体含义，指派问题的目标函数可以取 最小值，也可以取最大值，但最大化问题可以转化为 最小化问题求解。
2、指派问题的数学模型是一个线性规划数学模型，约束 系数矩阵的元素不是1就是0，且约束方程的右端常数 均为1，其基本可行解必满足0-1变量的取值要求，故 可以直接用单纯形法求解，但求解工作量较大。
1
一、指派问题的数学模型
例：某一单位，有4个工作人员，有4项任务。如果每个 工作人员都有能力去完成n项任务中的任一项，只是 完成任务所需时间cij不同(见下表)，问应如何合理分
配人力，才能使完成任务所需的总工时最少？
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
2
任务
10
二、用匈牙利法求解指派问题
1、匈牙利法的基本思路
与大多数整数规划算法不同，求解指派问题的匈牙 利法不是采用解迭代方式而采用了问题迭代的方式。
其基本思路是：根据指派问题的性质对原问题做一 系列同解变换，从而得到一系列等价(同解)的指派问题， 最后可得到一个只需直接观察其效率矩阵就可得到最优 解的派生指派问题，该问题的最优解即为原指派问题的 最优解（但目标函数值不同）。
j1
s.t. 4 xij 1 j 1～（4 一项任务只能由一个人去完成）
i1
，j
1～4
4
指派问题的数学模型 对于将n项资源分配给n项任务的完整指派问题，设资 源i分配给任务j所产生的效应为cij，S表示总效应，引入0-1 变量：
1 表 示 将 资 源i分 配 给 任 务j xij 0 表示不将资源i分配给任务j
§4.4 指派问题及其应用
在实际工作中，我们经常会遇到这样的问题：有n项 工作要由n个人去完成，要求每人刚好承担一项工作。由 于任务性质和各个人的专长不同，不同的人完成同一项工 作所需的资源（或工作效率）不同。那么，到底应分配哪 一个人去完成哪一项工作才能使所需的资源总量最少（或 总的效率最高）？
这类问题就称为指派问题或分配问题。指派问题不仅 仅是指人力资源的分配，也可以是其他资源（如物力资源） 的分配问题。
7
指派问题的数学模型
3、指派问题的数学模型是一个特殊的运输问题数学模型， 各个产地的产量和各个销地的销量均为1，可以采用运 输问题的表上作业法求解。但由于该问题的特殊性，用 表上作业法求解时效率很低。
4、指派问题的数学模型是一个0-1线性规划问题，可以用 上一节介绍的隐枚举法求解。但由于指派问题的变量和 约束条件都较多，采用隐枚举法求解计算量很大。
9
指派问题的数学模型 库恩(W. W. Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法， 他引用了匈牙利数学家康尼格（D. Konig）一个关于矩 阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等 于能覆盖所有0元素的最少直线数。这种解法称为匈牙利 法。
引入0-1变量xij
xij
1 表示将工作人员Ai分配给任务B j 0 表示不将工作人员Ai分配给任务B j
3
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
S表示完成所有任务所需的总工时，则该问题的数学模型为：
44
min S
cij xij
i1 j1
4
xij 1 i 1～（4 一个人只能去完成一项任务）
个常数ui，从每一列元素中分别减去一个常数vj，
11
nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
在介绍匈牙利法之前，我们先介绍指派问题的几个重要性质。
定理1：如果效率矩阵[cij]n×n中的所有元素非负，且其中
5
指派问题的数学模型
则数学模型为：
nn
min S
cij xij
i 1 j1
n
xij 1 i 1～n（ 一 项 资 源 只 能 分 配 给一 个 任 务 ）
j1
s.t. n xij 1 j 1～n（ 一 个 任 务 只 能 分 配 到一 项 资 源 ）
i1
xij
0,1 i
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
这是一个有4个人和4项任务的完整指派问题，上表中 的数据反映了每个人完成各项任务的效率（或效应），通 常称为效率（或效应）矩阵。指派问题的所有原始数据均 包含在其效率（或效应）矩阵中。
这个指派问题的特点是：每一项任务必须且只能由一 个工作人员去完成，每一个工作人员也只能分配一项任务。
就是指派问题的最优解。
12
nn
min S
cij xij
i1 j1
n
xij 1 i 1～n （一项资源只能分配给一个任务）
j1
s.t.
n
xij 1 j 1～n （一个任务只能分配到一项资源）
i1
xij
0,1 i
1～n，j
1～n
定理2：如果从效率矩阵 [cij ] 的每一行元素中分别减去一
5、指派问题可以推广到资源数和任务数不等的情况。为了 把这类推广的指派问题转化为常规指派问题，只需对问 题增加若干个虚拟的资源或若干个虚拟的任务即可。
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指派问题的数学模型
（1）资源数多于任务数的情况。这时可引入若干个 虚拟任务，并令效应矩阵中虚拟任务对应的列全为0元素。 这种情况下，实际上将有某些资源分配不出去（某些人 分配不到工作）。
存在n个位于不同列、不同行的零元素，则只要令
对应于这些零元素位置的xij=1，其余的xij＝0，这
样得到的解即为指派问题的最优解。
这是因为：
(1)在目标函数表达式中xij=1的系数为0，可使目标函数达 到最小；
(2)另外，还可以保证在约束方程组的每个方程中只有一
个变量为1，故可满足约束条件的要求。因此，这样得到的解
1～n，j
1～n
6
指派问题的数学模型
讨论：
1、问题中的效应系数cij可以有多种不同的实际意义，例 如可以为时间、价值、资源消耗量或工作效率等。根 据效应系数的具体含义，指派问题的目标函数可以取 最小值，也可以取最大值，但最大化问题可以转化为 最小化问题求解。
2、指派问题的数学模型是一个线性规划数学模型，约束 系数矩阵的元素不是1就是0，且约束方程的右端常数 均为1，其基本可行解必满足0-1变量的取值要求，故 可以直接用单纯形法求解，但求解工作量较大。
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一、指派问题的数学模型
例：某一单位，有4个工作人员，有4项任务。如果每个 工作人员都有能力去完成n项任务中的任一项，只是 完成任务所需时间cij不同(见下表)，问应如何合理分
配人力，才能使完成任务所需的总工时最少？
任务
人员
B1
B2
B3
B4
A1
5
8
8
6
A2
4
6
5
8
A3
6
10
7
4
A4
9
9
7
3
2
任务
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二、用匈牙利法求解指派问题
1、匈牙利法的基本思路
与大多数整数规划算法不同，求解指派问题的匈牙 利法不是采用解迭代方式而采用了问题迭代的方式。
其基本思路是：根据指派问题的性质对原问题做一 系列同解变换，从而得到一系列等价(同解)的指派问题， 最后可得到一个只需直接观察其效率矩阵就可得到最优 解的派生指派问题，该问题的最优解即为原指派问题的 最优解（但目标函数值不同）。
j1
s.t. 4 xij 1 j 1～（4 一项任务只能由一个人去完成）
i1
，j
1～4
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指派问题的数学模型 对于将n项资源分配给n项任务的完整指派问题，设资 源i分配给任务j所产生的效应为cij，S表示总效应，引入0-1 变量：
1 表 示 将 资 源i分 配 给 任 务j xij 0 表示不将资源i分配给任务j
§4.4 指派问题及其应用
在实际工作中，我们经常会遇到这样的问题：有n项 工作要由n个人去完成，要求每人刚好承担一项工作。由 于任务性质和各个人的专长不同，不同的人完成同一项工 作所需的资源（或工作效率）不同。那么，到底应分配哪 一个人去完成哪一项工作才能使所需的资源总量最少（或 总的效率最高）？
这类问题就称为指派问题或分配问题。指派问题不仅 仅是指人力资源的分配，也可以是其他资源（如物力资源） 的分配问题。
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指派问题的数学模型
3、指派问题的数学模型是一个特殊的运输问题数学模型， 各个产地的产量和各个销地的销量均为1，可以采用运 输问题的表上作业法求解。但由于该问题的特殊性，用 表上作业法求解时效率很低。
4、指派问题的数学模型是一个0-1线性规划问题，可以用 上一节介绍的隐枚举法求解。但由于指派问题的变量和 约束条件都较多，采用隐枚举法求解计算量很大。