初中数学动点问题归纳

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动点问题

题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

3x???6yP、QO B、A点出发，与坐标轴分别交于、（2009年齐齐哈尔市）直线同时从两点，动

点14y

Q OAA个单点，运动停止．点运动，速度为每秒沿线段1同时到达B

O APB沿路线→→运动．位长度，点B、A（1）直接写出两点的坐标；P

tt OPQ△SQS的运动时间为，求出秒，2）设点之间与的面积为（x

A 的函数关系式；48?SQP、O、MP的（3）当的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点时，求出点5坐标．6）B（0，（8，0）解：1、A2

S=t3时，＜t＜2、当0 ／8(8-t)t8时，S=3 当3＜t＜

所有时间分段分类；P到拐点B）问按点提示：第（2探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同，、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P为边。然后画出各类OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边，②OP为边、OQ分类-----①OP为边、的图形，根据图形性质求顶点坐标。年衡阳市）（20092、，的直径，弦BC=2cm如图，AB是⊙O o．∠ABC=60 的直

径；）求⊙O（1 O相切；BD长为多少时，CD与⊙延长线上一点，连结（2）若D是ABCD，当点出发沿的速度从BF以1cm/s的速度从E以2cm/sA点出发沿着AB方向运动，同时动点（3）若动点t)t?2)(t(s0?BC方向运动，设运动时间为为直角三角形．为何值时，△BEF，连结EF，

当C C C

E A B

D O

O B

）图（3）图（2图（1）3）问按直角位置分类讨论注意：第（0)?3(?3a??ya(x1)2)，02A(?D，经过点，已知抛物线如图，2009（、3重庆綦江）抛物线的顶点为（（（（（（（．…………………………

xx CO BCOMAD∥OMBD．连结轴的直线交射线过在作射线于点，．过顶点轴正半轴上，平行于（1）求该抛物线的解析式；

Ot(s)OMPP．问出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动的时间为（2）若动点运动，设点从点tDAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？当为何值时，四边形M y

OQ OB?OCB个长度同时出发，分别以每秒分别从点，动点1和动点（3）若和点BOOC运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随和单位和2个长度单位的速度沿P

tt BCPQPQs)(四边形当，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，A

B PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．°注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60 的面

积最小。OPQ面积最大时，四边形BCPQ 当△二、特殊四边形边上动点Q ABCD°?60?BP同4、（2009年吉林省）如图所示，菱形．从初始时刻开始，点的边长为6厘米，、

Q BA?C?PA秒的速度沿点出发，点的方向运动，点以1厘米/秒的速度沿/时从以2厘米QQQ DB?C?A?PDP运动的时间两点同时停止运动，设的方向运动，当点、运动到点时，、x APQ △y O ABC△，秒时，的三角形）平方厘米与（这里规定：点和线段是面积为重叠部分为的面积为．．．．C D

解答下列问题：Q P秒；从出发到相遇所用时间是（1）点、P

B A Q

x APQ△Q P秒；（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是xy与（3）求之间的函数关系式．高相等的两个三角形面积比等提醒----- 所有时间分段分类、C ；提示：第(3)问按点Q到拐点时间B 。于底边的比的坐是菱形，点A1，

在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO5、（2009年哈尔滨）如图3?．边交y 轴于点H轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB标为（x，4），点C在的解析式；（1）求直线AC匀速运动，2个单位／秒的速度向终点CABC，动点P从点A出发，沿折线方向以BM（2）连接，如图20S?tt之间的函数关系式（要求写出自变量的运动时间为t秒，求PMB设△的面积为S（S与，点）P 的取值范围）；所夹锐ACBCO互为余角，并求此时直线OP与直线23）在（）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠（角的正切值．y

A H A H

B B

M M x x C O C O

图（2））（1图所用时间分段分类；到拐点2）问按点PB注意：第（（（（（（（（．…………………………第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，

∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。

利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

33，2)，C（0，2)．动点D如图，在平面直角坐标系中，点6、(2009年温州)A(以每秒，0)，B(31个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单

位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

(1)求∠ABC的度数；

(2)当t为何值时，AB∥DF；

(3)设四边形AEFD的面积为S．

①求S关于t的函数关系式；

32时，求m的取值范围(S<2写出答案即可)．②若一抛物线y=x+mx经过动点E，当注意：发现特殊性，DE∥OA

7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO y

是菱形，且B

开始以每从点CB的坐标是，点P∠AOC=60°，点3)(0,8P

QB个单位长度的速度在线段CB上向点移动，同时，点秒1OA≤3）个单位长度的速度沿射线从点O开始以每秒a（1≤a D C

8)?t(0?t D. 于点秒后，直线方向移动，设PQ交OB AOB（1）求∠的度数及线段OA的长；Q C三点的抛物线的解析式；A，B，（2）求经过43?3D?a,O时，求t的值及此时直线PQ

的解析当）（3x

式；?OAB a为顶点的三角形与Q，D以O，P）（4当，为何值时，?OAB a不相似？请给出你的结论，并加以证明为顶点的三角形与. P，Q，D相似？当为何值时，以O，O COABAOC ∥AB，B，C，为原点建立平面直角坐标系，中，黄冈）已知：如图，在直角梯形以、8（08A(8，，0)B(810)，，C(0，4)O BCPD出发，以每秒1的中点，动点，点个为线段从点三点的坐标分别为tOABD秒．的路线移动，移动的时间为单位的速度，沿折线

BC的解析式；（1）求直线2tOAOPDCCOABP面积的上移动，当2（）若动点的面积是梯形？在线段为何值时，四边形7t SOS OABDOPD△P的的路线移动过程中，与的面积为出发，沿折线，设请直接写出动点（3）从点t的取值范围；函数关系式，并指出自变量CQPDQ OAABP为矩形？请求出此）当动点在线段上找到一点上移动时，能否在线段，使四边形（4P的坐标；若不能，请说明理由．时动点B

y y D

（（（（（（（O x

O P A

（此题备用）．

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xoy中,抛物线如图,在平面直角坐标系9、(09年黄冈市)14

210x?y?x?Bx . 与y与轴的交点为点轴的交点为点A,918ACxBCCB．现有两动轴的平行线,,交抛物线于点过点连结作PP,Q,C个单位的速度沿以每秒分别从O4两点同时出发,点点BAQCBOA,以每秒1个单位的速度沿移动向点向终点,移动点DOCPQPQ,,相交于点也同时停止运动点,停止运动时,点线段FQExDDEOACAE．设动点过点交作,∥,交射线于点轴于点tP,Q)

:移动的时间为秒(单位A,B,C;

三点的坐标和抛物线的顶点的坐标(1)求PQCAt; 四边形为何值时,请写出计算过程为平行四边形(2)当?9PQt△请说明理由; 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, (3)当0＜＜若不是时,,F

2PQF△t请写出解答过程．为等腰三角形(4)当?为何值时,）问用相似比的代换，提示：第（3 。得PF=OA（定值））问按哪两边相等分类讨论第（4QF=PF. ③①PQ=PF,②PQ=FQ,三、直线上动点2x cbx?y?ax?yBAa?0、轴轴交于）的图象与（（8、2009年湖南长沙）如图，二次函数两点，与3)(0，C，(0)?3A C2?4xx??C、BC，AC、A两点的坐标分别为．连结相交于点、和，且当时二次y相等．函数的函数值cb，a，1）求实数的值；（NM、BCBA、B其中一个点到2（）若点边运动，均以每秒1同时从个单位长度的速度分别沿点出发，tMNMNN △BMB点沿翻折，达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将tACPP的坐标；恰好落在的值及点边上的处，求QB，N，Q为项点的三角形与，使得以2（3）在（）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点y

Q ABC△相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．C

P N

）问发现2提示：第（M A B O x ∠CBA=60°特殊角∠CAB=30°, BNPM为菱形；特殊图形四边形，再判相似的△BNQ 问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC(3) 第断是否在对称轴上。1x1x?y?y轴交于A与，与轴交于点、9（2009眉山）如图，

已知直线

212x cbxy?x??两B，抛物线点D、CA与直线交于、E两点，与轴交于2。0)， (1点坐标为B点，且（（（（（（（．

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⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

|AM?MC|的值最大，求出点M，使M的坐标。⑶在抛物线的对称轴上找一点提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

ABCDA、BC在第一象点，8，4）的坐标分别为（0，10）10、（2009年兰州）如图①，正方形，中，点（PABCDAABCDQx轴正的边上，从点→出发沿以相同速度在→匀速运动，同时动点限．动点→在正方形

PD点时，两点同时停止运动，设运动的点到达半轴上运动，当

t秒．时间为QPAB（长度单位）关于点在边的横坐标上运动时，点(1)当x Qt开始运动运动时间（秒）的函数图象如图②所示，请写出点P运动速度；时的坐标及点C的坐标；(2)求正方形

边长及顶点PtOPQ点为何值时，△的面积最大，并求此时(3)在（1）中当的坐标；DCPAB、PQ 匀速运动沿→当点(4)如果点→→保持原速度不变，tPQOP能否相等，若能，写出所有符合条件

的时，的值；若不能，请说明理由．与。t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”边上分类讨论；求AB、BC、CD注意：第（4）问按点P分别在xOy三个顶点的坐标分别为中，△、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系ABC111??????34C0,6,0B6,0A?AC的延长线于∥AB交使，CD=BC,过点，D作DE，延长AC到点D,2E.

点D点的坐标；（1）求b?y?kx分成CDFEB点的直线将四边形EFC（2）作点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、，若过周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；bkx??y到达点，再沿GAP从直线轴的交点出发，先沿y轴到达G与y轴上一点，点）设（3G为y点按照上P 点的位置，使Gy轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定PA点，若点在G 点位置的方法，但不要求证明）（要求：简述确定述要求到达A点所用的时间最短。

提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离

见“最短路线问和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.（（（（（（（．…………………………题”专题。) 年上海市12、(2009 D

D A

∥°，AB=2，BC=3，AD已知∠ABC=90上的动点，点BC，P为线段BD Q

B C 上，且满足Q在射线AB C

B C

B （Q）ADPQ2

图1

图3

图?．（如图1所示）Q

ABPCQ PCB的长；2所示）（1）当AD=2，且点与点，求线段重合时（如图S3APQ△x Q y?AB?ADQB、AP，其，上时，设点，且点之间的距离为）在图（28中，联结在线段．当2S PBC△x S SyPBC △表示关于的函数解析式，并写出函数定义域；中APQ表示△的面积，的面积，求PBC△APQ △QPC?Q ABAB?AD在线段的大小．的延长线上时（如图，且点3）当（3所示），求找到运

动始、末两个位置变量的取值，动手操作2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先注意：第（获得最小值；重合，x然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD 时，点Q、B x获得最大值。当P与D重合时，来判定两判定两三角形相似，即两个锐角三角

形或两个钝角三角形可用SSA 第（3）问，灵活运用SSA P四点共圆也可求解。，得B、Q、C、个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP为R（含端点）上的动点．过P作BC

的垂线PR，（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB、13，其，若以线段RS上存在一点TPT为一边作正方形PTEF垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段 F恰好分别在边BC，AC上．顶点E，（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；

）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（2 的最小值和最大值．PTEF的面积y）设边（3AB ＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形

TRRTSS

EE PP

AACCFF

)

13第(第13题题) (

PA=TS与R重合时，提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T PA最小。此问与上题中求取值范围类似。P为最大；当与A重合时，个1C出发沿CA 以每秒= 5C=90°，AC = 3，AB ．点P从点中，∠如图，在、14(2009年河北)Rt△ABC以每秒

A出发沿AB返回；点单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿ACQ从点，交折D保持垂直平分DEPQ，且交PQ于点、个单位长的速度向点1B匀速运动．伴随着PQ 的运动，运也随之停止．设点P、QPBQQPECPBCQB线--于点．点、同时出发，当点到达点时

停止运动，点（（（（（（（．

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动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取

值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．．． B

C A P

t值；有二种成立的情形，提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

t值；有二种情形，（４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出

t时，ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

2c?axbx?y?(1，0)A(2，0)B2)?C(0，0a?，（）的图象经过点15，、（2009，年包头）已知二次函数x mx?2m?D轴交于点直线）与．（（1）求二次函数的解析式；mx?2m?BD、E、EE为顶点的三角形与以）上有一点在第四象限）（（点（2）在直线，使得mC、A、OE的代数式表示）为顶点的三角形相似，求点坐标（用含；ABEFF为平行四边形？若存在，请，使得四边形2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点（3）在（mABEF的值及四边形求出的面积；若不存在，请说明理由．提示：）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（2）问中两种情形AB=EF，对第（2两点纵坐标相等，且）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F第（ 3 分别讨论。

四、抛物线上动点2x3?ax??bxy－(0)和点B）≠0与年湖北十堰市）16、（2009如图①，已知抛物线轴交于点A(1，（a 轴交于点C．)3，0，与y (1) 求抛物线的解析式；x为等腰三角形？若存在，CMPP轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点，使△(2) 设抛物线的对称轴与的坐标；若不存在，请说明理由．请直接写出所有符合条件的点P面积的最大值，并求此BOCE，求四边形为第二象限抛物线上一动点，连接(3) 如图②，若点EBE、CE

E时点的坐标．（（（（（（（．

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为C①C为顶点时，以2注意：第（）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----为半径画弧，与对称轴MC为顶点时，以M为圆心圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M 。MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P交点即为所求点P，③P为顶点时，线段方法二，先求与）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；第（3 BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积

xyABCDDA轴的在在如图所示的平面直角坐标系中，在200917、（年黄石市）正方形轴正半轴上，2x4?y?ax?bx y1?OEBCE，ABF过负半轴上，轴负半轴于交轴正半轴于交，，抛物线FD、A、三点．

）求抛物线的解析式；1（x NQQ BCF、DADM，点作平行于，交间的一点，过（2）轴的直线交边是抛物线上于所在直线于3AFQMS?S的形状；，则判断四边形若FQN△AFQM四边形

2CBHDBPHAP⊥PHAP?P若存（，在射线上是否存在动点使得，3）在射线上是否存在动点且，在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

E F O A x C

FA;

NM且＝NM注意：第（2）问，发现并利用好∥FA D

合适的第（3）问，将此画出分离出来问题单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先图形，再证明

三年共同点：①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。（（（（（（（．

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“坐标几何题”（动点问题）分析

3）2考题（00中广东（（（（（（（．

…………………………（（（（（（（．