2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期末联考数学试题

蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考

数学

考试时间共120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{

}

|28x

B x =≤，则A B ?=（） A ．{1,0,1,2,3}-

B ．{0,1,2,3}

C ．[1,3]-

D ．[0,3]

2.设向量(12,)b n =，(1,2)c =-，若b c ，则n =（）

A ．6

B ．6-

C ．24

D ．24-

3.已知函数26

()3(1)x f x a a -=+>的图象过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则tan θ的值为（）

A ．

43 B ．34 C ．45 D ．35 4.设sin48a =?，cos41b =?，tan46c =?，则下列结论成立的是（） A ．b a c << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a <<

5.函数(

)

()ln 421f x x x =--的单调递减区间为（） A ．(,2)-∞

B ．(,3)-∞-

C ．(2,)+∞

D ．(7,)+∞

6.若1

()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（）

A ．9

B ．

C D 7.已知函数()sin (0)6f x x πωω??

> ??

?的最小正周期为π，则54

f π

= ???（）

A ．1

B ．

C ．0

D 8.ABC △中，D 为BC 边上一点，且5BC BD =，若AD mAB nAC =+，则2n m -=（）

A ．

B ．35

C ．25

D ．

9.已知函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数(

)12()log x g x f x -=+ ）

A ．(1,3)

B ．(0,2)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

10.已知函数()sin(5)(0)f x x ??π=+为偶函数，则函数1()2cos 23g x x ???=- ??

?在50,12π??

????

上的值域为（） A

．[-

B ．[1,2]-

C ．[2,2]-

．[

11.函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

12.已知函数222,0

()|ln |,0

x kx k x f x x x ?++=?>?，若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ?，且n a <，

127

232

mn ab k +-<

，则实数k 的取值范围为（） A ．54,167??

? B ．14,87??

???

C ．15,88?? ???

D ．14,27??????

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若向量(7,5)a =，b 为单位向量，a 与b 的夹角为

，则a b ?=______. 14.已知一个扇形的面积为2

6cm π，弧长为2cm π，圆心角为θ，则函数()tan(2)f x x θ=+的单调递增区间为______.

15.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x

f x =-，则()2lo

g 11f =

______.

16.函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+??

--> ???

的最小值为_______.

17.求下列表达式的值. （1）2

ln 2lg5lg (lg31)5

e +++-；（2）已知：1

sin 2

α=，sin cos 0αα?<. 求：

sin(2)cos()sin()

sin 2cos 22παπαπαππαα-+--+????++- ? ?????

的值.

18.如图，平行四边形OABC 的一边OA 在x 轴上，点(4,0)A ，(1,2)C ，P 是CB 上一点，且CP CB λ=.

（1）当1

λ=时，求点P 的坐标；（2）连接AP ，当A 为何值时，OP AP ⊥.

19.已知定义在R 上的函数1

()(0)1

x x a f x a a -=>+.

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）当2a =时，判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[1,2]-上有零点时，m 的取值范围.

20.某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是

()sin()0,0,02f x A x A πω?ω???=->> ???还是()cos()00,02f x A x A πω?ω??

?=->> ???

.翻

（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式()f x ，并写出该函数的最小正周期；（2）若利用sin y x =的图象用图象变化法作()y f x =的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）

第一步：sin y x =的图象向右平移?

=_____得到1y =_____的图象；

第二步：1y 的图象（纵坐标不变）______得到2y =_____的图象；第三步：2y 的图象（横坐标不变）_____得到()f x 的图象.

21.已知：向量(2,)a m m =，(sin cos ,2sin cos )b θθθθ=+. （1）当1m =，2

θ=

时，求||a b -及a 与b 夹角的余弦值；

（2）若给定sin cos [θθ+∈，0m ，函数()sin cos f a b θθθ=?++的最小值为()g m ，求

()g m 的表达式.

22.已知：函数()f x =()m ∈R . （1）若()f x 的定义域为R ，求m 的取值范围；

（2）设函数()()g x f x x =-，若(ln )0g x ，对于任意2,x e e ??∈??总成立.求m 的取值范围.

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数学参考答案及评分标准

14.

212212

k k

ππππ

，k Z

∈15.

-16.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）原式2ln2lg5lg2lg51

=++-+

2lg5lg21

=+++

（2）

sin

α=，sin cos0

αα<，cos0cos

αα

∴

原式

sin()cos()sin()

cos()2sin()

ααα

αα

---+

cos

cos2sin

αα

===+

18.解：设点(,)

P x y，(1,2)

C，(4,0)

又平行四边形OABC，(4,0)

OA CB

由CP CB

=，即(1,2)(4,0)

x yλ

--=

xλ

∴=+，2

（1）当

λ=时，即：3

x=，2

(3,2)

∴

（2）(14,2)

OPλ

=+，(43,2)

APλ

由OP AP

⊥，0

OP AP

∴?=

即(41)(43)40

λλ

+-+=，2

16810

λλ

-+=

410λ-=，14

λ=

19.解：（1）当1a =时，()0f x =，()f x 既为奇函数又为偶函数

②当1a ≠时，1()(0)1

x x a f x a a -=>+为奇函数

证明：1111()()01111x x x x

x x x x

a a a a f x f x a a a a

------+-=+=+=++++ ()f x ∴为奇函数

（2）当2a =时，21

()21

x x f x -=+为增函数

证明：任取21x x >，

则()()2121212121

2121

x x x x f x f x ---=-++

()()

2121122121

222122212121x x x x x x x x x x +++---+-+=++ ()

()()

212

2222

121x x x x -=

21x x >，21220x x >>

()f x ∴在R 上为增函数

21()21x x f x -∴=+在[1,2]-上的值域为：13,35??

-????

要使()10f x m +-=在[1,2]-上有零点，则28,35m ??∈????

()3sin 26f x x π?

?=- ??

? 最小正周期T π=

（2）第一步：sin y x =的图象向右平移6

π?=

（个单位长度）得到1sin 6y x π??

的图象. 第二步：1y 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的

12倍得到2sin 26y x π?

?=- ??

?的图象.

第三步：2y 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到()f x 的图象 21.解：（1）当1m =，2

θ=

时，(2,1)a =，(1,0)b =

(1,1)a b -=，||2a b ∴-=

cos ,||||5

a b a b a b ?<>=

==?（2）()sin cos f a b θθθ=?++

2(sin cos )2sin cos sin cos m m θθθθθθ=+++

令sin

cos t θθ+=，则2

2sin cos 1t θθ?=-，[t ∈

设22

()

2(21)h

t mt mt m t mt m t m =+-+=++-

，[

t ∈ ①当0m =时，()h t t =，min ()(h t h == ②当0m <时，函数()h t 的对称轴为112t m ??=-+

?（或21

2m t m

+=-）当1102m ?

?-+

> ??

（或2102

m m +-

>），即1

m >>-时， min ()((1h t h m ==-当1102m ??-+

（或210

2m m +

-），即1

m -时，

min ()

1)h t h

m ==+1(102

()1(12

m m g m m m ?---

22.解：（1）函数()f x 的定义域为R ，即2

10mx mx -+在R 上恒成立

当0m ≠时，必有0

040m m >??

综上：m 的取值范围是[0,4] （2

）

()()g x f x x x =-=

(ln )0g x ∴，对任意2

,x e e ??∈??总成立，

等价于220(ln )ln 1(ln )m x m x x -+在2

,x e e ??∈??总成立

即：222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )

m x m x m x m x x ?-+?-+?(*)在2

,x e e ??∈??

上恒成立设：ln t x =，因为2,x e e ??∈??，所以[1,2]t ∈，

不等式组(*)化为()()222

1m t t m t t t

?-+?

?-+??

[1,2]t ∈时，20t t -（当且仅当1t =时取等号） 1t =时，不等式组显然成立

当(1,2]t ∈时，()()22222

21101

1m m t t t t

t m t t t m t t ??-?-+???-???--+????-??

恒成立 2

211

t t t -

-??--+ ???，即12m -

111

1t t t t t t -+==+-在(1,2]上递减，所以11t

+的最小值为32，32m 综上所述，m 的取值范围是13,22??

-????.

解析：

12.易知当0k >，0x 时，2

27()224k f x x kx k x k ?

?=++=++ ??

?，

()f x 的图象如图所示.

当直线y k =在图中l 的位置时，

2272k k k <<，得14

k <<，

,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根，

即2

20x kx k k ++-=的两根，故2

2mn k k =-；而1ab =

则2211327

212122232

mn ab k k k k k k +-

=-+-=-+<

，即2

644850k k -+<，解得1588k <<，所以1427

k <<；

当直线y k =在图中2l 的位置时，2

2k k 且0k >，得1

<；此时0n = 则112712232mn ab k k +-

=-<，得51

162

k <≤.

所以，k 的取值范围是54,167??

???

16.2

251616()533x x g x x

x x -+==+-=+，当4x =时，()3g x =；因为121sin 2362x ππ??-

-- ???，所以5()2f x ；而5(4)2f =，所以min 5

()2

f x =.