高考数学模拟试题全国新课标卷)
2013年全国高考仿真模拟题(一)(全国新课标理科数学卷)参考答案
（ ２ ２） ＋（ ２
０ ． ４ ， ， Ｊ （ 一 ２ ） 一 音 ｏ ． ２ ， Ｐ （ ∈ 一 ３ ） ＝ ｏ ． ２ ， Ｐ （ ｓ 一 ４ ） 一 一
０ ． １ ，Ｐ （ 一５ ） ： ＝ｏ ． １ ．故 “ 购 买 该 品 牌 汽 车 的 ３位 顾 客 中
所 以 的 分 布 列 为
假 设 抛 物 线 Ｌ 上 存 在 点 ｃ （ ｆ ， 鲁 ） （ ｆ ≠ ｏ ， ￡ ≠ ４ ） ， 使 得 经 过
１ ｌ － ５ ｌ ２
ｏ ． Ｉ ｏ ． ２ Ｉ
ｌ
Ｉ
Ｐ
故 的 数 学 期 望
０ ． ４
设 该 圆 的 圆 心 为 Ｎ （ ｎ ， ６ ） ． 因 ｛ Ｉ Ｎ Ａ Ｉ ＝ Ｉ Ｎ Ｂ Ｉ ， 所 以
（ ３ ）叩的可 能 取 值 为 １ ， １ ． ５ ， ２ （ 单位 ： 万元 ） ， 易 得
Ｐ（ １ ） 一 Ｐ（ １ ） 一Ｏ ． ４ ，
｝ ＋ ； ＞ 兰
Ｐ（ ： １ ． ５ ） 一 Ｐ（ ＝２ ） ＋ Ｐ（ 搴 ＝３ ） 一０ ． ４，
Ｐ（ 一 ２ ） ＝ Ｐ（ ： ４ ） ＋ Ｐ（ 一 ５ ） Ｏ ． １ ＋０ ． １ —０ ． ２ ．
．
１ 一 ａ — － ｔ ） ２ ＋ （ ｂ －．
ＡＳ Ｂ Ｃ为 等 腰 三 角 形 ， ｓ ｏ＿ ｌ ＿ Ｂ ｃ， 且 Ｓ Ｏ＝ ｓ Ａ， 从而 Ｏ Ａｚ ＋
即 ｆ ｎ 十 ６ 一 ＋ 吉 解 。 得 ｔ ： 一 － 。 十 壑 ，
．
Ｓ Ｏ ＝Ｓ Ａ。 ． 所 以Ａ Ｓ Ｏ Ａ 为 直 角 三角 形 ， 且Ｓ Ｏ上Ａ Ｏ． 又Ａ ０ｎＢ Ｏ＝０， 所以 Ｓ Ｏ 上平面 Ａ ＢＣ ．
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2024
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【热点题型】题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【提分秘籍】作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【举一反三】设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．题型二利用三角函数图象求其解析式例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．【提分秘籍】已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【举一反三】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )A ．－32B ．－62 C.3 D ．－ 3(2)函数f(x)＝Asin(ω＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为______．题型三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【提分秘籍】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f(x)化为y ＝asin x ＋bcos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值； (2)求函数y ＝f(x)＋f⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 【高考风向标】【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点最近的对称中心.5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，1．(·天津卷) 已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π2．(·安徽卷) 若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π43．(·重庆卷) 将函数f(x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．4．(·北京卷) 函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．.5．(·福建卷) 已知函数f(x)＝2cos x(s in x ＋cos x)．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．6．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A ．l1⊥l4B ．l1∥l4C ．l1与l4既不垂直也不平行D ．l1与l4的位置关系不确定7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．8．(·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 9．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos2x 的最小正周期为________． sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .12．(·陕西卷) 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度15.(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【高考押题】1．函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π43．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象 ( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图象知f(x)的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝⎛⎭⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即φ＝2kπ－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f(x)是奇函数 B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 6．将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝______．7．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f(x)＝________．8．设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________．9．已知函数f(x)＝4cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 一元二次不等式的解法 例1、求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x －3>0； (2)ax2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x1＝4－13，x2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－13<x<4＋13}．当a ＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a <x<1}．【提分秘籍】含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【举一反三】(1)若不等式ax2＋bx ＋2>0的解为－12<x<13，则不等式2x2＋bx ＋a<0的解集是________． (2)不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．答案 (1)(－2,3) (2)(－12，1]题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2、设函数f(x)＝mx2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4<m<0.所以－4<m≤0.(2)要使f(x)<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法二 因为x2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m(x2－x ＋1)－6<0，所以m<6x2－x ＋1.因为函数y ＝6x2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m<67.【提分秘籍】(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．【举一反三】(1)若不等式x2－2x ＋5≥a2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1,3)答案 (1)A (2)C解析 (1)x2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x2－2x ＋5≥a2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.(2)把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f(a)＝(x －2)a ＋(x2－4x ＋4)， 则由f(a)>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 易知只需f(－1)＝x2－5x ＋6>0， 且f(1)＝x2－3x ＋2>0即可， 联立方程解得x<1或x>3.题型三 题型三 一元二次不等式的应用例3、某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．【提分秘籍】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果． 【举一反三】某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．答案 20 解析 由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000， 化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x 的最小值为20. 【高考风向标】1.【高考广东，文11】不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．2．（·全国卷）设集合M ＝{x|x2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x≤5}，则M∩N ＝() A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0] 【答案】B【解析】因为M ＝{x|x2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N ＝{x|－1<x<4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x<4}．3．（·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sin πx m ，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m 的取值范围是()A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】函数f(x)的极值点满足πx m ＝π2＋kπ，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k0使之满足不等式m2⎝⎛⎭⎫k0＋122＋3<m2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m2＋3<m2成立即可，即m2>4，解得m>2或m<－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．4．（·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为() A ．{x|x<－1或x>－lg 2} B ．{x|－1<x<－lg 2} C ．{x|x>－lg 2} D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x<12，解得x<－lg 2. 5．（·广东卷）不等式x2＋x －2<0的解集为________． 【答案】{x|－2<x<1}【解析】x2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1.故不等式的解集是{x|－2<x<1}．6．（·四川卷）已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．【答案】(－7，3)7．(高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x≤0，ln x ＋1，x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是()A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax 化简为x2－2x≥ax ，即x2≥(a ＋2)x ，因为x≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)>0，所以|f(x)|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax 恒成立，选择D.【答案】D 【高考押题】1．函数f(x)＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 B 解析1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ＋2≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤1，x≠－2⇔－2<x≤1. 2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋6，x≥0，x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x ＋6>3，解得－3<x<1或x>3.3．设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c<ax ＋b<c ，又a>0， ∴－b ＋c a <x<c －ba .∵不等式的解集为{x|－2<x<1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.4．若不等式mx2＋2mx －4<2x2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 答案 A5．若集合A ＝{x|ax2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a|0<a<4}B ．{a|0≤a<4} C ．{a|0<a≤4}D ．{a|0≤a≤4} 答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a≤0得0<a≤4，所以0≤a≤4.6．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为________．答案 {x|x<－lg2}解析 由已知条件0<10x<12，解得x<lg 12＝－lg2.7．若0<a<1，则不等式(a －x)(x －1a )>0的解集是________________． 答案 {x|a<x<1a }解析 原不等式即(x －a)(x －1a )<0， 由0<a<1得a<1a ，∴a<x<1a .8．已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ，x≥0，－x2－4x ，x<0.不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x2－4x>x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－x2－4x>x.解得：x>5，或－5<x<0.9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x ＋6. (1)解关于a 的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值．10．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征锐率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%， 农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y ＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝150a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x －84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.即x的取值范围为(0,2]．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷105 (2)
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题． 【重点知识梳理】1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．【高频考点突破】考点一 函数的最值与导数例1、已知a ∈R ，函数f(x)＝ax ＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值． 【拓展提升】1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．2.求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论．【变式探究】已知函数f(x)＝ax －2x －3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f(x)的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤32，3上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；考点二 利用导数证明不等式例2、 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax ，g(x)＝3a2lnx ＋b ，其中a>0.设两曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．【方法技巧】利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调区间； (2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式． 【变式探究】 证明：当x ∈[0,1]时，22x≤sinx≤x. 考点三、利用导数研究函数零点问题 例3、已知函数f(x)＝x2＋xsinx ＋cosx.(1)若曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 【方法技巧】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．【变式探究】 已知函数f(x)＝x3－3ax －1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 考点四 生活中的优化问题例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【方法技巧】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．【变式探究】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【真题感悟】【高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升【高考福建，文22】已知函数2(1)()ln2xf x x-=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-． 【高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx ＋x2－2ax ＋a2，其中a>0. (Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R（I ）求()f x 的单调区间; （II ）设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x ,求证:1321-43a x x . 16.【高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.1．（·四川卷）已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1. 2．（·安徽卷）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P(x0，y0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x3；②直线l ：x ＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P(0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P(0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P(1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x. 3．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． 4．（·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论)5．（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. 6．（·湖北卷）π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x)＝ln xx 的单调区间；(2)求e3，3e ，eπ，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数． 7．（·湖南卷）若0＜x1＜x2＜1，则() A ．ex2－ex1＞ln x2－ln x1 B ．ex2－ex1＜ln x2－ln x1 C ．x2ex1＞x1ex2 D ．x2ex1＜x1ex28．（·湖南卷）已知函数f(x)＝xcos x －sin x ＋1(x ＞0)． (1)求f(x)的单调区间；(2)记xi 为f(x)的从小到大的第i(i ∈N*)个零点，证明：对一切n ∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x2n ＜23.9．（·江西卷）若曲线y ＝xln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 10．（·江西卷）将连续正整数1，2，…，n(n ∈N*)从小到大排列构成一个数123…n ，F(n)为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S ＝{n|h(n)＝1，n≤100，n ∈N*}，求当n ∈S 时p(n)的最大值．11．（·辽宁卷）当x ∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]12．（·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是() A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)13．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点．14．（·全国新课标卷Ⅰ）已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a 的取值范围是()A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)15．（·全国新课标卷Ⅰ）设函数f(x)＝aln x ＋1－a 2x2－bx(a≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1， f(1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜aa －1，求a 的取值范围． 16．（·山东卷）设函数f(x)＝aln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性．17．（·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R. (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．18．（·天津卷）已知函数f(x)＝x2－23ax3(a ＞0)，x ∈R. (1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a 的取值范围．19．（·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋3|x －a|(a ＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)． (1)求g(a)；(2)证明：当x ∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.19．（·重庆卷）已知函数f(x)＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y ＝12x.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值． 【押题专练】1．已知函数f(x)＝ax2＋c ，且f′(1)＝2，则a 的值为() A. 2 B ．1 C ．－1 D ．02．曲线y ＝x3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为() A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋23．若函数f(x)的定义域为[a ，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为() A ．[a ，b] B ．[－b ，－a] C ．[－b ，b] D ．[a ，－a] 4．过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．x －2y ＋2＝05．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．定义域为R 的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>12，则满足2f(x)<x ＋1的x 的集合为( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|x<1} C ．{x|x<－1或x>1} D ．{x|x>1}7．设f(x)＝x(ax2＋bx ＋c)(a≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( ) A ．(a ，b) B ．(a ，c) C ．(b ，c) D ．(a ＋b ，c)8．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为xn ，则log2 012x1＋log2 012x2＋…＋log2 012x 的值为( )A ．－log2 0122 011B ．－1C ．－1＋log2 0122 011D ．19．函数f(x)＝x3＋ax(x ∈R)在x ＝1处有极值，则曲线y ＝f(x)在原点处的切线方程是________． 10．曲线y ＝x(3lnx ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．11．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________．12． 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50＜x≤80时，每天售出的件数为P ＝105（x －40）2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？13．已知函数f(x)＝ex(ax2＋x ＋1)． (1)设a>0，讨论f(x)的单调性；(2)设a ＝－1，证明：对任意x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<2. 14．已知函数f(x)＝ex ＋1x －a.(1)当a ＝12时，求函数f(x)在x ＝0处的切线方程；(2)当a>1时，判断方程f(x)＝0实根的个数．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第02节 古典概型一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
2019-2020年最新高考仿真模拟试题：文科数学(新课标II卷)试卷及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试 II 卷文 科 数 学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.334 D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b分别为14,18,则输出的a为（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】试题分析：由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.π36 B. π64 C.π144 D. π256 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A. 考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a= ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点(3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ． 【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. （I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A BC D -中AB=16,BC=10,18AA =,点E,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率2点(2在C上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 中点为M,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1.【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明EF BC ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II ）3考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4.【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,>（II >a b c d -<-的充要条件.【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为22a b c d =++=++考点：不等式证明.。
2013年全国高考仿真模拟题(一)(全国新课标理科数学卷)
２ ０ １ ３年 全 国 高考 仿 真 模 拟题 （ 一， ）
（ 全 国新 课 标 理科 数 学 卷 ）
考试 时间 １ ２ ０分 钟 总分 １ ５ ０分
第 １卷
一
、
选 择题 （ 本大题 共 １ ２小题 ， 每 小题 ５分 ， 共６ Ｏ分 ， 在 每小题 给 出 的 ４个 选项 中， 只有 １ 项 是符合 题 目要求 的 ） ） ．
１ ３ ．已知在等 差数 列 ｛ ａ ） 中， ａ ＋口 一６ ， ａ 。 一２ ， 则 Ｓ 一
１ ４ ．已知 ６ ： ＝ ＝ （ ３ ， ３ ） ， 且口 ・ ６ ： ＝ ＝ 一３ ， Ｉ 口ｌ 一’ １ ， 则 向量． 口 ， ｂ夹角 为
…
件：
一
１ ６ ．假 设要 考察 某公 司生 产 的 ５ ０ ０ ｇ袋装 牛奶 的质 量是 否达 标 ， 现从 ８ ０ ０袋牛 奶 中抽取 ６ Ｏ袋 进行 检验 ， 利 用 随 机 数表抽 取 样本 时 ， 先将 ８ ０ ０袋牛奶 按 ０ ０ ０ ， ０ ０ １ ， …， ７ ９ ９ 进 行编 号 ， 如果从 随机数 表第 ８行第 ７列 的数 开始 向右 读， 请你 依 次写 出最先 检测 的 ５袋 牛奶 的编号 ：
９ ．已知 图① 中 的图象 对 应 的 函数 为 Ｙ 一厂 （ ｚ ） ， 则 图② 的 图象 对应 的函 数 为
（ ） ．
Ａ 一， （ 『 ｚＩ ） ； Ｃ 一厂 （ 一Ｉ Ｊ ） ；
Ｂ —Ｉ 厂 （ ） Ｉ ； Ｄ 一－ｆ （ １ ｚ 内 ， 点（ ２ ， １ ） 对 应 的复数 为 Ｚ， 则 ｚ的共 轭复 数是 （
Ａ ； Ｂ ； ｃ ； Ｄ
３ ．执 行 右 图所示 的程 序框 图 ， 输 出的 Ｓ值 为 （
2020年高考数学模拟试卷1(文科)(新课标ⅲ)
2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．205．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（136，72]B ．（72，256] C ．（256，112] D ．（112，376]6．（5分）已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2﹣5x +3的两个零点是a 1、a 5，则a 3＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．±√3D ．√37．（5分）曲线y ＝sin x ﹣2cos x 在点（π，2）处的切线方程为（ ） A ．x +y ﹣π﹣2＝0B ．x ﹣y ﹣π+2＝0C ．2x +y ﹣π+2＝0D ．2x ﹣y ﹣π﹣2＝08．（5分）已知直线l 和平面α，若直线l 在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l ′和l （ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣110．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√311．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ ． 14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ ． 15．（5分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ ．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； （2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ＝AB ，E 为PB 的中点． （1）若过C ，D ，E 的平面交P A 于点F ，求证：F 为P A 的中点； （2）若平面P AB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥P A ．20．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2﹣1，且f '（1）＝﹣1． （1）求a 的值；（2）若对于任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）﹣mx ≤﹣1，求m 的最小值．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ． （1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}【解答】解：∵A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∴A ∩B ＝{3，4}． 故选：C ．2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1， 故选：D ．3．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，所以821=C n 1×C 10−n3C 104，所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝480，（n ∈N *） 解得n ＝4． 故选：C ．4．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．20【解答】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点， 则这四个数为：41、48、28，19， 故选：B ．5．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（136，72]B ．（72，256]C ．（256，112] D ．（112，376]【解答】解：f （x ）＝2sin （ωx −π3）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx −π3）＝﹣1得ωx −π3=−π6+2k π，或ωx −π3=7π6+2k π， ∴x =π6ω+2kπω，或x =3π2ω+2kπω，k ∈Z ，设直线y ＝﹣1与y ＝f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，∵方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即3π2ω+2πω＜π≤π6ω+4πω，解得72＜ω≤256．故选：B．6．（5分）已知数列{a n}是等比数列，函数y＝x2﹣5x+3的两个零点是a1、a5，则a3＝（）A．1B．﹣1C．±√3D．√3【解答】角：由韦达定理可知a1+a5＝5，a1•a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a32=a1⋅a5=3∴a3=√3，故选：D．7．（5分）曲线y＝sin x﹣2cos x在点（π，2）处的切线方程为（）A．x+y﹣π﹣2＝0B．x﹣y﹣π+2＝0C．2x+y﹣π+2＝0D．2x﹣y﹣π﹣2＝0【解答】解：因为y＝sin x﹣2cos x，所以y′＝cos x+2sin x，则当x＝π时，y′＝﹣1，又因为x＝π时，y＝2，故曲线在（π，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣π），整理得x+y ﹣2﹣π＝0，故选：A．8．（5分）已知直线l和平面α，若直线l在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l′和l（）A．垂直B．平行C．异面D．相交【解答】解：当直线l与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．当直线l与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线l与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l ′垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A 正确． 故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣1【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝2+22+23+…+22019的值， 由于S ＝2+22+23+…+22019=2(1−22019)1−2=22020﹣2．故选：C ． 10．（5分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√3【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F （2，0），可得c ＝2．双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则2×b2a =2√2，又c 2＝a 2+b 2，联立解得：a ＝b =√2． 则双曲线的离心率=ca =√2． 故选：C ．11．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）【解答】解：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1＜0”，故命题p 为假命题； 如图，函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，故命题q 为真命题． ∴p ∧q 、￢q 、p ∧（￢q ）为假命题；p ∨q 为真命题． 故选：B ．12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：（1）∵f 1（x ）=2aπarctan x 的定义域为R ，∵−π2＜arctan x ＜π2，∴f 1（x ）的值域为（﹣a ，a ），∵f 1（x ）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f 1（x ）是S 函数， （2）f 2（x ）=ax|x|x 2+1的定义域为R ，∵﹣1＜x|x|x 2+1＜1，∴f 2（x ）的值域是（﹣a ，a ），∵f 2（﹣x ）=−ax|x|x 2+1=−f 2（x ），∴f 2（x ）是奇函数， 当x ＞0时，f 2（x ）=ax 2x 2+1=a −ax 2+1，∵a ＞0，∴f 2（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 2（x ）是S 函数．（3）由解析式可知f 3（x ）的定义域为R ，当x ＞0时，a −1x ＜a ，当x ＜0时，﹣a −1x ＞−a ，∴f 3（x ）的值域是R ，不符合条件③，∴f 3（x ）不是S 函数．（4）f 4（x ）的定义域为R ，∵2x −12+1=1−22x +1，2x ＞0，∴﹣1＜2x−12x +1＜1，∴f 4（x）的值域是（﹣a ，a ）．f 4（﹣x ）＝a •2−x −12−x +1=a •1−2x 1+2x=−f 4（x ）．∴f 4（x ）是奇函数．∵f 4（x ）＝a （1−22x+1），∴f 4（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 4（x ）是S 函数． 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ −32． 【解答】解：∵向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）， ∴a →−2b →=(3−2m ，−4)， ∵（a →−2b →）∥b →，∴﹣4m ＝3﹣2m ， ∴m =−32． 故答案为：−32．14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ 120 ． 【解答】解：由a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），知数列{a n }是公差为2的等差数列， 由S 10＝10，得10a 1+10×9d 2=10，即a 1+92d =1， a 2+a 4+a 6+…+a 20=10(a 1+d)+(10×9)2d2＝10a 1+100d =10a 1+45d +55d =10(a 1+92d)+55d ＝10+55×2＝120． 故答案为：120． 15．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ −12 ．【解答】解：椭圆的离心率为√22，可得e =c a =√1−b22=√22，可得b 2a 2=12，设P （s ，t ），M （m ，n ），N （﹣m ，﹣n ），可得m 2a 2+n 2b 2=1，s 2a 2+t 2b 2=1，相减可得(m−s)(m+s)a +(n−t)(n+t)b =0，即有n−t m−s •n+tm+s=k 1k 2=−b 22=−12．故答案为：−12．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为56V ．【解答】解：∵三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，∴S 四边形BCFE ＝S △SBC ﹣S △SEF =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×SE ×SF ×sin∠BSC =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×12SB ×13SC ×sin∠BSC =56（12×SB ×SC ×sin∠BSC ）=56S △SBC ，设点A 到平面SBC 的距离为h ， 则三棱锥S ﹣ABC 的体积： V =13×S △SBC ×ℎ，∴四棱锥A ﹣BCFE 的体积：V A ﹣BCFE =13×S 四边形BCFE ×ℎ=13×56S △SBC ×h =56V ． 故答案为：56V ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为1﹣（0.025﹣0.015×2+0.010+0.005）×10＝0.3．补全的频率分布直方图如图所示．（2）众数为：70+802=75，设中位数为x ，则0.1+2×0.15+(x −70)×0.03=0.5⇒x =7313．抽取学生的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71（分），所以可估计这次考试的平均分为71分．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； （2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）∵23cos 2A +cos2A ＝23cos 2A +2cos 2A ﹣1＝0， ∴cos 2A =125，又∵A 为锐角，cosA =15， 而a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即b 2−125b −13=0， 解得b ＝5（舍负），∴b ＝5； （2）方法一：（正弦定理）由正弦定理可得b +c =2(sinB +sinC)=2(sinB +sin(2π3−B))=2√3sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B +π6＜5π6， ∴12＜sin(B +π6)≤1， ∴b +c ∈(√3，2√3]． 方法二：（余弦定理）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A 可得b 2+c 2﹣3＝bc ， 即(b +c)2−3=3bc ≤34(b +c)2，∴b+c≤2√3，又由两边之和大于第三边可得b+c＞√3，∴b+c∈(√3，2√3]．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A＝AB，E为PB的中点．（1）若过C，D，E的平面交P A于点F，求证：F为P A的中点；（2）若平面P AB⊥平面PBC，求证：BC⊥P A．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以，CD∥AB，又AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面P AB＝EF，所以CD∥EF，…………………（2分）所以AB∥EF，又在△P AB中，E为PB的中点，所以，F为P A的中点．（2）因为P A＝AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，AE⊂平面P AB又平面P AB⊥平面PBC，平面P AB∩⊥平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，所以AB⊥BC，AE∩AB＝A，AB，AE⊂平面P AB，所以，BC⊥平面P AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥P A．20．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣1，且f'（1）＝﹣1．（1）求a的值；（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．【解答】解：（1）对f（x）求导，得f'（x）＝1+lnx+2ax，所以f'（1）＝1+2a＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由f （x ）﹣mx ≤﹣1，得xlnx ﹣x 2﹣mx ≤0，因为x ∈（0，+∞），所以对于任意x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣x ≤m ． 设g （x ）＝lnx ﹣x ，则g ′(x)=1x −1， 令g '（x ）＝0，解得x ＝1，当x 变化时，g （x ）与g '（x ）的变化情况如下表：x （0，1）1 （1，+∞）g '（x ） + 0 ﹣ g （x ）增极大值减所以当x ＝1时，g （x ）max ＝g （1）＝﹣1，因为对于任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≤m 成立，所以m ≥﹣1， 所以m 的最小值为﹣1．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 【解答】解：（1）由题意知，B （2，4），设A （t ，t 2）， 由OA →⋅OB →=2，得2t +4t 2＝2， 解得：t =12（舍）或t ＝﹣1， ∴A （﹣1，1）；（2）由条件知x 2+(x −14)2=λ2(x 2+y 2)， 把y ＝x 2代入得(1−λ2)y 2+(12−λ2)y +116=0， ∴△=λ2(λ2−34)，当λ＝1时，M 有两个点，当λ=√32时，M 有两个点， 当√32＜λ＜1时，M 点有四个，当λ＞1，M 点有两个， 当0＜λ＜√32，M 点不存在；（3）设B （x 1，x 12），A （x 2，x 22），由题意得：x 1x 2+x 12x 22=2，解得x 1x 2＝﹣2． 设直线AB 的方程为y ＝kx +m ， 联立{y =kx +m y =x 2，得x 2﹣kx ﹣m ＝0， 得x 1x 2＝﹣m ，又x 1x 2＝﹣2，∴m ＝2，则直线经过定点（0，2）， ∴S 四边形OABC ＝S △OAB +S △OBC ＝S △OAB +S △OBF =12×2×(x 1−x 2)+12×14×x 1=98x 1+2x 1≥2√94=3， 当且仅当x 1=43等号成立，四边形OABC 面积最小， ∴B （43，169）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ． （1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．【解答】解：（1）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x tan α得tan θ＝tan α， ∴l 极坐标方程是θ=α(ρ∈R ，π2＜α＜π)． C 1的普通方程是x 2+y 2﹣2ax ＝0， 其极坐标方程是ρ＝2a cos θ； （2）C 1：ρ＝cos θ，C 2：ρ＝2sin θ，将θ＝α分别代入C 1，C 2得|OM |＝﹣cos α，|ON |＝2sin α． ∴2|OM |2+|OM ||ON |＝2cos 2α﹣2cos αsin α =√2sin(π4−2α)+1． ∵π2＜α＜π，∴当α=7π8时，2|OM |2+|OM ||ON |取最大值√2+1． 五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|＞4， 当x ≥1时，x ﹣1+2x +3＞4，解得x ≥1； 当−32＜x ＜1时，1﹣x +2x +3＞4，解得0＜x ＜1； 当x ≤−32时，1﹣x ﹣2x ﹣3＞4，解得x ＜﹣2． 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； （2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3| ={3t +2，t ≥1t +4，−32＜t ＜1−3t −2，t ≤−32， 可得t =−32时，|t ﹣1|+|2t +3|取得最小值52，关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立， 等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值，由|x +l |﹣|x ﹣m |≤|m +1|，可得|m +1|≥52， 解得m ≥32或m ≤−72．。
2020年高考新课标(全国卷2)数学(文科)模拟试题(一)
2020年高考新课标（全国卷2）数学（文科）模拟试题（一）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=012x x x A ，{}22≤≤-=y y B ，则A B =IA ．[][]2,11,2--UB ．∅C ．{}1,1-D ．{}1 2、欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ把自然对数的底数e ，虚数单位 i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足（e i π+i ）•z ＝i ，则|z |＝（ ） A ．1B 2C 3D 2 3、某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A ．110B ．16C ．15D ．564、明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为 A ．53 B ．54 C ．158 D ．2635、若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的是A .sin 2sin 2αβ> B.sin 2sin 2αβ< C.cos 2cos 2αβ> D. cos 2cos 2αβ< 6、若变量x ，y 满足约束条件3,30,10.x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则y 的取值范围是A.RB.[]0,4C.[)2,+∞D.(],2-∞ 7、设函数)232sin()322cos()(ππ---=x x x f ，将函数)(x f 的图像向左平移ϕ (ϕ>0)个单位长度，得到函数)(x g 的图像，若)(x g 为偶函数，则ϕ的最小值是 A.6π B. 3π C. 32π D.65π8、若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 9、在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB 3，sin C 6BC BD ＝（ ）A 2B 3C ．3D ．210、P 是双曲线22134x y -=的右支上一点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为（ ） A 3B ．2C 7D ．311、已知函数2||()22019x f x x =+-，则使得(2)(2)f x f x >+成立的x 的取值范围为A ．2(,)(2,)3-∞-+∞UB ．2(,2) 3- C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 12、已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案(Word版)
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案本试卷共 4 页，22 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用2 笔试(A)在答卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
作答选择题时，选出每小题等案后，用2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题爷的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1. 已知集合, 则A.B.C.D.2. 已知, 则A.B.C. 0D. 13. 已知向量. 若, 则A.B.C.D.4. 设函数在区间单调递减, 则的取值范围是A.B.C.D.5. 设椭圆的离心率分别为. 若,则A.B.C.D.6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为, 则A. 1B.C.D.7. 记为数列的前项和, 设甲: 为等差数列; 乙: 为等差数列, 则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知, 则A.B.C.D.二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得0 分9. 有一组样本数据, 其中是最小值, 是最大值, 则A. 的平均数等于的平均数B. 的中位数等于的中位数C. 的标准差不小于的标准差D. 的极差不大于的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级, 其中常数是听觉下限阑值, 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为, 则A.B.C.D.11. 已知函数的定义域为, 则A.B.C. 是偶函数D. 为的极小值点12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为1 (単位: ) 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A. 直径为的球体B. 所有棱长均为的四面体C. 底面直径为, 高为的圆柱体D. 底面直径为, 高为的圆柱体三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分.13. 某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课, 学生需从这8 门课中选修2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有种(用数字作答).14. 在正四棱台中, , 则该棱台的体积为15. 已知函数在区间有且仅有3 个零点, 则的取值范围是16. 已知双曲线的左、右焦点分别为. 点在上. 点在轴上, , 则的离心率为四、解答题: 本大题共 6 小题, 共70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在中, .(1) 求;（2）设, 求边上的高.18. 如图, 在正四棱杜中, . 点分别在棱上, , .(1) 证明: ;（2）点在棱上, 当二面角为时, 求.19. 已知函数.(1) 讨论的単调性;（2）证明: 当时, .20. 设等差数列的公差为, 且, 令, 记分别为数列, 的前项和.(1) 若, 求的通项公式;( 2 ) 若为等差数列, 且, 求.21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为0.6 , 乙每次投篮的命中率均为0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为0.5 .( 1 ) 求第2 次投篮的人是乙的概率;( 2 ) 求第次投篮的人是甲的概率;( 3 ) 已知: 若随机变量服从两点分布, 且, 则, 记前次(即从第1 次到第次投篮) 中甲投篮的次数为, 求.22. 在直角坐标系中, 点到轴的距离等于点到点的距离, 记动点的轨迹为.(1) 求的方程;( 2 ) 已知矩形有三个顶点在上, 证明: 矩形的周长大于.参考答案（非官方答案仅供参考）1、C2、A3、D4、D5、A6、B7、C8、B9、BD10、ACD11、ABC12、ABD13、6414、15、[2,3)16、。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和2 14
高考模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{an}的通项公式为an=2n37,则Sn取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=2,a1=20,∴S10=10a1+d=0=110.答案:1107.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶S奇=3015=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=2.(2)S10=10×a1+d=10.10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得<d<,又d∈Z,∴d=4.(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,即S6=6×23+×(4)=78.(3)Sn=23n+×(4)>0,整理得n(252n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{an}为等差数列,公差d=2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(2)=0,所以a1=20.答案:B2.(全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3②,得(2115)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=12n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为()A.45B.50C.55D.66解析:∵Sn=,∴=n,∴的前11项和为(1+2+3+…+11)=66.故选D.答案:D5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=.又a4=1+3×,ak=1+(k1)d,由ak+a4=0,得+1+(k1)d=0,将d=代入,可得k=10.答案:106.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又<1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足Sn>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.解数列{an}的公差d==3,∴an=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由an<0得3n63<0,解得n<21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=Sn==n2+n;当n>20时,Sn'=S20+(SnS20)=Sn2S20=60n+×32×n2n+1260.∴数列{|an|}的前n项和Sn'=8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以an=1+(n1)×2=2n1,Sn=n×1+×2=n2.(2)由(1)知bn=,所以b1=,b2=,bm=.若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以,即6(1+t)(2m1+t)=(3+t)(2m1+t)+(2m1)(1+t)(3+t),整理得(m3)t2(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m3)t(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
2011年全国高考理科数学仿真模拟题(全国新课标)
Ａ
；
Ｂ √ ３ ；
ｃ ￣ ； ／ ， 西
） ．
Ｄ ２
８ ．如 图 ３ 一个 简单 空 间几 何体 的三 视 图 的 主视 图与 左 视 图都 是 边 长 为 ２的正 三 角 形 ， ， 其
俯 视 图轮 廓为 正方 形 ， 则其 体 积是 （
Ａ ６ ； Ｂ
竽； ｃ竽； Ｄ詈
人 不左 右ห้องสมุดไป่ตู้相邻 ， 那么 不 同的坐 法种 数是 —
—
．
１． 口 为（＋ ） 的展开式中含 Ｘ ４ 若 １ ｚ 一 项的系数， 则数列｛ 的前 项和为— — ． ÷）
≥ Ｏ， ０， ≥
１． ５ 设不等式组｛≤２ ｚ ，
【≤ ２
上 方 的概 率 为 ．
所表示的区 域为Ａ 现在区域Ａ中任意丢进一个粒子， ， 则该粒子落在直线 一寺
一
１ Ｏ， ≤
俯 视 图
图 ３
９ ．已知点 Ｐ ｘ ） （ ， 满足｛ ｚ ４ｏ 点 Ｑ ｘ 在圆（ ＋２。 ）一１ 则 ｌＱＩ ２ ＋３ 一５ ， （ ，） ｚ ）＋（＋２ 上， Ｐ
【ｚ 一１ ， ４ ＋３ ≥Ｏ
的最大 值 与最 小 值分 别 为 （
Ａ ６， ３； Ｂ ６， ２；
圜一 全 国 高 考 理 科 数 学仿 真 模 拟 题 （ 国新 课 标 ） １年 ２１ ０ 全
模 般 考 场
一
一 一 一 一
、
考 试 时 间 １ ０分 钟 ２
总分 １ ０分 ５
选择 题 （ 每题 ５ ， ６ 分） 分 共 ｏ
１ ．已知集 合 Ｓ ｛ ￡ ＜ ０ ， ｛ ｚ （口 ） ＋口 ＋口 ０ （ 一 ｚ１ ） 丁一 ｚｌ 一 ２ ＋１ ｚ ｚ ≥ ）口∈Ｒ） 若 ｓＵ Ｔ＿ Ｒ， 实数 ｎ的 取值 范 围 ｚ ， － 则
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高考模拟数学试题(一)（全国新课标卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位,复数i i ++13= A ．i +2 B ．i -2C ．2-iD ．2--i2．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,B C a C A b A B c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于 A ．32 B ．32-C ．12D ．12-3．已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ，}8121|{≥⎪⎭⎫⎝⎛∈=+yN y B ，记A c a rd 为集合A 的元素个数，则下列说法不正确．．．的是 A ．5card =A B ．3card =B C ．2)card(=B A D ．5)card(=B A 4．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为A ．6 3B ．8C ．8 3D ．125．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为A ．5B ．4C ．3D ．26．下列说法正确的是 A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小 7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A ．1030020(())a x a x a a x +++的值 B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值 8．若(9x －13x)n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为 A ．252 B ．－252 C ．84D ．－849．若S 1＝⎠⎛121xd x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点。
若△F AB 的面识为则直线l 的斜率为 A ．13132 B ．21 C ．41 D ．7711．已知三个正数a ，b ，c 满足a c b a 3≤+≤，225)(3b c a a b ≤+≤，则以下四个命题正确的是p 1：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有b ≤c ； p 2：存在一组实数a 、b 、c ，使得b >c ； p 3：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有6b ≤4a +c ； p 4：存在一组实数a 、b 、c ，使得6b >4a +c . A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 412．四次多项式)(x f 的四个实根构成公差为2的等差数列，则()f x '的所有根中最大根与最小根之差是A ．2B ．2 3C ．4D ．52第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.13．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中t 的值为 ． 14．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ． 15．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．16．等比数列{a n}中，首项a 1＝2，公比q ＝3，a n ＋a n＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则m ＋n ＝ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在∆ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c,证明：（1）cos cos b C c B a +=； （2）22sin cos cos 2C A Ba bc +=+.18．（本小题满分12分）直三棱柱111C B A AB C -的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （1）求证：直线BD A AB 11平面⊥；（2）求二面角B D A A --1的大小正弦值； 19．（本小题满分12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：并假设每天的车流量相互独立． （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量 低于5万辆的概率； （2）用X 表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2且过点)23,1(．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值．21．（本小题满分12分）设函数x c bx ax x f ln )(2++=，（其中c b a ,,为实常数）（1）当1,0==c b 时，讨论)(x f 的单调区间； （2）曲线)(x f y =（其中0>a ）在点))1(f 1(，处的切线方程为33-=x y ，（ⅰ）若函数)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，求c b a ,,的值；（ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点，证明)(x f 的极小值小于43－.23题中任选一题做答，如果.10分）选修4－4：坐标系.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.（1） 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值； （2） 在（1）条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分。
1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题：13. 50 14.{13，23，1} 15. 43316.9 三、解答题:17.证法一：（余弦定理法） （1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c aab ac a+-+-+=+==（2）222222223223222cos cos 2222()2a c b b c a A B ac bc a b a bab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc+-+-++=+++-++---+==+222222212sin 1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，所以等式成立 证法二：（正弦定理法）（1）在∆ABC 中由正弦定理得2sin ,2sin b R B c R C ==，所以（2）由（1）知cos cos b C c B a +=， 同理有 cos cos a C c A b +=所以cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+ 即2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅ 所以22sin cos cos 2C A Ba bc +=+18. 解：（1）取BC 中点O ，连结AO ．ABC ∆ 为正三角形，BC AO ⊥∴ 11B BCC ABC 平面平面⊥∴且相交于BC 11B B C C AO 平面⊥∴取11C B 中点1O ，则11//BB OO BC OO ⊥∴1 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系xyz O -，则()()()()())0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,111--C B A A D B,0111=⋅=⋅BA AB BD AB ，111,AB AB ⊥⊥∴． ⊥∴1AB 平面1A BD ．（2）设平面AD A 1的法向量为()z y x n ,,=．()()0,2,0,3,1,11=--=．令1=z 得()1,0,3-=n 为平面AD A 1的一个法向量．由（1）()3,2,11-=AB 为平面1A BD 的法向量．46,cos 1->=<∴AB ．∴所以二面角B D A A --1的大小的正弦值为410． 19. 解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70， P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049 （Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为0.7＝2.1.20. 解：（1）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=，1491,2222222b ab ac 解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程是13422=+y x.（2）由已知得：122F F =，由于四边形ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点O 是其对称中心，且()()121121222AF F AF B AF F BF F S S S S ∆∆∆∆=+=+()122A B A D F F y y y y =+=-，当直线AD 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理得：()2222344120k x k x k +-+-=，由韦达定理得：22228412,3434A D A D k k x x x x k k -+==++， ∴()()()()()2222222221441434A D A D A D A D k k y y kx x k x x x x k +⎡⎤-=-=+-=⎣⎦+， ∴26ABCDA D Sy y =-==<，当直线AD 的斜率不存在时，易得：331,,1,22A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴26ABCDA D Sy y =-=，综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的1,0==c b 时f )0>x ………1分当0≥a 时，0)('>x f 很成立，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数；………2分当0<a 时，令0)('=x f 得ax 21-=或ax 21--=（舍）………3分 令0)('>x f 得ax 210-<<；令0)('<x f 得ax 21-> )(x f ∴在上)21,0(a-是增函数，在),21(+∞-a上是减函数………4分 (2) (i)xc b ax x f ++=2)('由题得⎩⎨⎧==3)1('0)1(f f ，即⎩⎨⎧=++=+320c b a b a ⎩⎨⎧-=-=⇒a c a b 3． 则x a ax ax x f ln )3()(2-+-=，xa ax ax x a a ax x f -+-=-+-=3232)('2（ⅰ）由)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，得0)3(82=--a a a )0(>a 解得38=a ，于是38-=b ，31-=c ．（ⅱ）由(i)知)0(32)('2>-+-=x xaax ax x f ，要使函数)(x f 有两个极值点，只要方程0322=-+-a ax ax 有两个不等正根，设两正根为21,x x ，且21x x <，可知当2x x =时有极小值)(2x f ．其中这里,4101<<x 由于对称轴为41=x ，所以21x 412<<， 且032222=-+-a ax ax ，得123222---=x x a【也可用以下解法：由(Ⅱ)知)0(32)('2>-+-=x x aax ax x f ，要使函数)(x f 有两个极值点，只要方程0322=-+-a ax ax 有两个不等正根，那么实数a 应满足 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>->--0)2(2030)3(82a a a a a a ，解得338<<a ， a a a a a a x 24941414)3(822-+=--+=338<<a 12490<-<∴a即21x 412<<】 所以有22222ln )3()(x a ax ax x f -+-= 而2222222222)12()ln )(14(3)('-----=x x x x x x x f ，记x x x x g ln )(2--=，)141(≤<x ，有0)1)(12()('≤-+=xx x x g 对]1,41(∈x 恒成立，又0)1(=g ，故对)21,41(∈x 恒有)1()(g x g >，即0)(>x g ．0)('2>∴x f 对于21x 412<<恒成立即)(2x f 在⎪⎭⎫⎝⎛21,41上单调递增，故43)21()(f 2-=<f x ．22.解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(2) 设(1cos2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα+，当c o s (2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1，此时P点坐标为(1.23.解：(1)由()6f x ≤，得626a x a a a-≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =.(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥.。