常见分布的期望和方差)

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要

X — 4

1、 正态分布的计算： F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。

c

2、 随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量， 求丫 = f(X)的概率密度：f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。(参见P66〜

_ x y

3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:

0

对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i

r 2

4、一个重要的分布函数： F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为：f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 2

2

兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9)

5、二维随机变量的边缘分布:

f x (x) = J*f(x, y)dy

边缘概率密度：

t

f Y (y) = Lcf(x,y)dx

x -be

F X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du

边缘分布函数： '4； 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

⑴、 是变量x , y 的非降函数;

⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续，关于y 右连续;

⑷、

y

F Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv

随机变量的独立性：若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务；+b 2cr 2

)o

13、k 阶原点矩：vk=E(X k

)，k 阶中心矩：4k =E[(X-E(X))k

] o

16、独立同分布序列的中心极限定理:

6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度：

f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + Y

J-oC

9、 期

望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY()

；(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y) o

10、方差： D(X ) =E(X 2

)-(E(X))2

o

若 X , Y 不相关，贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y),

D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)

11、协方差：Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))]，若 X , Y 独立，则 Cov(X,Y) = 0，此时称：X 与 Y 不相关。 12

、相关系数：卩"|(栄器箫DY)，

P xY 兰

1，当且仅当X 与Y 存在线性关系时P XY

r 1 当 b>o ； 二1，且

P X Y =L 1,当 b<0；o

14、切比雪夫不等式：P 彳X-E(X)|>s

0(X2,或P {j x —E(X)|

O 贝努利大数定律:

I m

I

lim P j -- p <

T 0

15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因

c 2 22

，

所以 lim P i-Z X j - 4 <名\=1。

—0 I n i¥

(1)、当n 充分大时，独立同分布的随机变量之和

n

乙=送X i 的分布近似于正态分布 N(n 巴e 2) o

i=1

20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见 P243 和 P248。

_ 1 n _ 1 n n U

1 n

n cT '

仃

⑵、对于 X 1,X 2,...X n 的平均值 X =丄送 X i ，有 E(X ^-Z E(X i)=L =卩，D(X)=4S D(X i^-n

^

n y

n i 吕

n

n y

n

分布的随机变量的 均值当n 充分大时，近似服从正态分布 N(4竺)。

n

⑶、由上可知：lim p{a cZ n 兰 b }=e (b)—①(a)= P 牯 c 乙

17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理： 设m 是n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意x ,

n imP

｛器兰 x j®x)，其中 q 4p

。

19、正态总体参数的区间估计:

=上，即独立同

n

(1)、当n 充分大时, m 近似服从正态分布, N(np Tipq)。 (2)、当n 充分大时,

-近似服从正态分布,

n

N(p,凹)。

n

18、参数的矩估计和似然估计: (参见P200)